Введение к работе
Актуальность темы. Установление закономерностей, имеющих мес-
то с вероятностью I, является одной из важнейших задач теории вероятностей. Классическими примерами здесь являются усиленные законы больших чисел, различные формы закона повторного логарифма для сумм независимых случайных величин. Достаточно исчерпывающе эта теория изложена в известных монографиях Б.В.Петрова (1972, 1987) и В.М.Золотарева (1986). С другой стороны, многочисленные практические приложения теории вероятностей, как собственно и ее внутренние запросы, указывают на излишнюю ограничительность требования независимости слагаемых в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. По указанным причинам задача распространения известных предельных законов теории вероятностей на более широкие клаосы случайных последовательностей (главным образом на слабо зависимые случайные процессы и мартингалы) является в настоящее время одной из самых актуальных. Центральной предельной теореме (ц. п.т.) и принципу инвариантности для различных классов слабо зависимых случайных величин посвящены некоторые разделы книг И.А.Розанова (1963), П.Биллинтсли (1977), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника (1965). Предельным теоремам для мартингалов посвящена монография Іолла и Хиде (1980), а также некоторые главы книги Р.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева (1986). иного работ посвящено законам больших чисел к повторного логарифма для слабо зависимых случайных величин и мартингалов. Отметим среди них работы М.Х.Резника (1968), Х.Оодаиры и К.Йопшхары (1971), В.Филиппа (1969), В.А.Егорова (I960).
Тема настоящей диссертации лежит в русле этих исследований. В 1946 г. Эрдеш и Кац для нормированной последовательности максимумов модулей сумм независимых случайных величин нашли предельное распределение. Ими была доказана следующая теорема.
Теорема (Этшеш-Кац). Пусть Jl > 5я, > 5 " П0СЛ9_ довательность независимых случайных величин, такая, что 5П=
- 4 -n
f„^o, S^~-2 f,<., dn =2)Sn , и пусть Ч\х)=-
=*2s^«xpV*#J .x-r;.».».—
1 к.=о эта последовательность удовлетворяет ц.п.т., то
/ max |Sk.I n
Б 1948 г. Чяун оценил скорость сходимости в этой теореме и установил форму закона повторного логарифма.
2. max tfk (Я?,Л"А = 0(^)
Теорема I (Чжтн). Цусть fj. , ^а. Зп , ... центри
рованная последовательность независимых случайных величин, удов
летворяющих условиям:
Здесь 0< &< і - Ьп = 2) Sn , Sn ~JZ. <
Тогда, если о п -* при п -* <=«э , то
^. rax is* і ^^ ~,, кк!клк) PC -***%;—"*)=7oo + OCC^^rJ >
Теорема 2 (Чжун). Пусть выполнены условия Теоремы I. Тогда
/ , max I о* 1 =//Л=7
Утвервдение Теоремы 2 Чжуна будем называть законом повторного логарифма в форме Чжуна.
Основной задачей, рассматриваемой в диссертации, является получение условий справедливости указанных результатов Чжуна для различных классов случайных процессов, а именно, для сіє їй серий независимых в каждой серии случайных величин, для слабо зависимых
случайных процессов, а также для ыартингалов.
Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении излагается общая постановка вадачж и иотория вопроса. В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения и формулируются озновные результаты. Во второй главе теоремы Чжуна доказываются для слабо зависимых случайных величин. Рассматриваются стационарные случайные процессы (с.с.п.), удовлетзорзщие некоторый из наиболее употребительных в настоящее время условий слабой зависимости, а именно, условиям абсолвтвой регулярности, ^ и ^ -перемешивания.
Научная новизна-и осноакне результат. Для различных классов стационарных случайных процессов получены новые достаточные условия справедливости закона новторного логарифма в форме Ч;куна л логарифілпесісио сцоекп скорости сходимости в теореме Зрдеше-Кзца.
В принятой методика исследования предложена новая версия известного метода Барнштзйна, использукцая блоки различпой длины.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит з основном теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в теории случайных процессов и матег.'зтичоской статистике.
Апробация работе. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Института математики АН Армении, з Ереванском Государственном Университете, на У Мэлдународной Вильнюсской конферэн-ции (1989), на зсесоЕзнпх шсолах по математической физике в Цах-кадзорэ (1982) и Нор-Амберде (1988), на межреспубликанских конференциях работников Высшей иколы (1986) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах Ш - и.
