Введение к работе
Актуальность темы. Предельные теоремы представляют собой один из фундаментальных разделов теории вероятностей и служат основой многих статистических методов. На протяжении более чем двух столетий основным объектом исследования была схема суммирования независимых величин, и, естественно, что именно -эта схема является на сегодняшний день наиболее полно и глубоко изученной. Первые обобщения на зависимые величины классических результатов (центральная предельная теорема, закон больших чисел и т.д.) берут своё начало, по-видимому, с работ А.А.Маркова (1908), рассматривавшего принцип зависимости "будущее не зависит от прошлого при известном настоящем". Дальнейший подход к понятию слабой зависимости, основан на принципе "далекие прошлое и будущее почти независимы" и связан с работой С.Н.Бернштейна (1927) и идеями А.Н.Колмогорова. Эти идеи были развиты в GO1'"" 60Ь|Р годы в работах таких авторов как И.А.Ибрагимов, Ю.А.Розанов. В.А.Статулявичус M.Rosenblatt и другие. Несмотря на очень большое число публикаций, посвященных проблемам связанным с асимптотическим поведением распределений сумм случайных величин, удовлетворяющих различным условиям слабой зависимости, классические проблемы теории суммирования (необходимые и достаточные условия применимости центральной предельной теоремы, оценки скорости сходимости в предельных теоремах, локальные предельные теоремы, асимптотические разложения и т.п.) не нашли своего окончательного решения.
Диссертация посвящена проблеме точности в предельных теоремах для слабо зависимых величин. Эта проблема занимала внимание многих ученых, начиная с классических работ П.Л.Чебышева и А.М.Ляпунова. В случае независимых величин ей посвящено большое число журнальных статей и монографий. Аналогичная проблема для слабо зависимых величин но многом находится еще лишь в начальной стадии исследований.
Основные результаты диссертации относятся к проблеме точности о центральной предельной теоремо, для сумм случайных величин, удовлетворяющих условиям сильного перемешивания, абсолютной регулярности, равномерно сильного перемешивания, и принимающих значения в евклидовом пли гильбертовом пространствах, а также к некоторым статистическим проблемам для слабо зависимых наблюдений.
Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры геометрии, математической статистики и теории управлення Сыктыв-
карского государственного университета в рамках темы "Аналитические и геометрические вопросы теории динамических систем" Л'!ГР 01.940000331.
Цель работы. Разработать метод для исследования точности в предельных теоремах для слабо зависимых величин, позволяющий получать достаточно точные оценки при ограничениях близких к минимальным для широкого класса функционалов, в том числе нпл-нейных, от случайных величин, удовлетворяющих условиям слабой зависимости типа условий перемешивания и принимающих значения в различных пространствах, образующих случайную последовател: -ность или случайное поле.
Научная новизна и практическая ценность.
Получены новые оценки скорости сходимости в централі:-,, предельной теореме для стационарных последовательностей случ.:.';-ных величин, удовлетворяющих условию сильного перемешивания V коэффициентом а(п), убывающим степенным и экспоненциальным образом, при минимальных ограничениях на моменты.
Получены новые равномерные и неравномерные оценки ско4 -сти сходимости в центральной предельной теореме для векторнозна*'-ных случайных полей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания.
Получены новые, близкие к оптимальным, оценки и центральной предельной теореме для широкого класса статистик от наблюдений, удовлетворяющих условию абсолютной регулярности, в частности, для {/-статистик, для функций от эмпирического среднего. ДЛЯ отношения Стыодснта и других.
Получены новые оценки для близости распределения максимальной из первых и сумм случайных величин, образующих последовательность с сильным перемешиванием, оптимальные по порядку в случае ограниченных величин.
Для гильбертовозначных случайных величин, 'удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания получены новые, близкие к независимому случаю по порядку убывания п по зависимости от центра шара и числа собственных чисел ковариационного оператора, оценки точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар.
Разработан новый метод исследования точности в предельных теоремах для зависимых величин, основанный на применении Стей-новской техники локального секционирования к исследованию поведе-
пня характеристических функции п свойств устойчивости дифференциальных уравнений, характеризующих предельное распределение, к малым возмущениям правой части.
Все приведенные результаты в указанных условиях превосходят по точности известные d литературе на сегодняшний день результаты. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в различных исследованиях асимптотики распределений функционалов от слабо зависимых величин, ведущихся в Московском, Санкт-Петербургском, Омском, Сыктывкарском университетах, Санкт-Петербургском отделении института математики им. В.А.Стеклова РАН, Институте математики СО РАН и других.
Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в ЛОМИ АН СССР (Ленинград, 1982, 1984, 1988, 1990, 1992, 1993), МГУ (Москва, 1986), МИ АН (Москва, 1988), на международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981, 1985, 1989, 1993), (Петрозаводск, 1989), (Зеллнн (ГДР), 198G), (Бплефельд, 1992), на семинарах по теории вероятностей университетов Германии: Дрездена (198G), Магдебурга (1994, 1995), Фрайберга (1986). Билефельда (1994, 1995), им. Гумбольдтов (Берлин, 1987), Йены (1987). а также на семинарах Вильнюсского университета (1989 г.) и Минского университета (1989 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ в жури. Теория вероятн. и ее примен., ДАН СССР. Трудах ЛОМИ АН СССР, Трудах Вильнюсской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике, в тезисах международных конференций.
Основные результаты изложены а 1-15.
Структура її объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, насчитывающего 175 наименований и изложена на 231 странице текста, набранного в ТеХ'є и распечатанного п размере машинописного шрифта с двумя машинописными интервалами.
