Введение к работе
Актуальность темы. Общая репликаторная система описывает динамику взаимодействия видов в большом количестве биологических моделей, которые возникают в областях современной теории эволюции биологических видов. [5, 29, 30]. В частности, эта система возникает в теоретической популяционной генетике [5], теории предбиологической молекулярной эволюции [2, 23, 24], а также в эволюционной теории, построенной на основе теории игр [29, 31, 32].
Репликаторное уравнение может быть выведено из общего уравнения воспроизводства видов. Рассмотрим систему селекции из п взаимодействующих видов, записанную в форме уравнения Колмогорова [5]:
Ni = FiNi, і = 1,---, п. (1)
Здесь N = (TVi,--- , Nn) Є К — вектор абсолютных численностей видов, функция Fi отражает средний прирост на одну единицу видов А^, который может зависеть от структуры всей популяции в момент времени t. Предполагая, что суммарная численность видов отлична от нуля, можно
ввести относительные частоты численностей: Vi = Л^/^Л^. Если Fi(v) =
^2j=iaijvj = (A-v)i-> aij Є ^) т0 система (1) эквивалентна системе, которую называют репликаторной системой:
уг = уг((Ау)г-/І0С(і)), і = І,---, п. (2)
Здесь v = v(t) = (г>і(), ,vn(t)) Є Wn — вектор-функция из п компонент, А — постоянная матрица п х п с элементами а^ Є М, (Av)i = YTj=iaijvj{t) ~ *-й элемент вектора Av, floc(t) — функция, которая будет описана ниже. Каждая функция Vi(t) отражает относительную концентрацию і-того вида в популяции в момент времени t. При этом
суммарная концентрация ^2 Vi предполагается постоянной. Без потери
г=1
общности можно считать ее равной 1. Поэтому фазовое пространство системы (2) представляет из себя симплекс
Sn = {v:J2v* = 1i Ч>0, г = 1,-,ті}.
г=1
Симплекс Sn будет инвариантен относительно системы (2), если положить
jloc= (Av^vy
Величина (Av)i отражает скорость прироста і-того вида в системе и называется приспособленностью вида, в то время как floc это средняя приспособленность всей системы в момент времени t. Отметим, что в англоязычной литературе приспособленность и средняя приспособленность называются фитнессом вида и фитнессом системы видов соответственно. Система (2) является следствием системы Лотка -Вольтерра и изучалась в работах [5, 29, 35].
Система (2) может быть использована для описания взаимодействия и сосуществования молекул репликазы в подходящей среде. Репликаза — обобщенное понятие для молекулы, которая обладает свойством самовоспроизводимости, то есть может произвести свою копию при наличии подходящего субстрата. Примерами таких систем могут быть самореплицирующиеся рибозимы, вирусы, преоны. Как правило, молекулы репликазы, являющиеся родственными, то есть имеющие близкую последовательность, могут воспроизводить друг друга, существенно увеличивая скорость репликации. При этом вероятность получить такую «помощь» пропорциональна родству между этими макромолекулами.
Репликаторная система уравнений возникает также в эволюционной теории игр [31],[32]. Существует параллель между концепциями теории игр и поведением решений репликаторного уравнения (2) [5]. В частности, одно из центральных понятий теории игр, симметрическое равновесие по Нэшу v в антагонистической игре с матрицей А: определяется как значение вектора і) Є Sn7 для которого
(v,Av) < {v,Av) Vve Sn.
Можно доказать (см. [5]), что если v — равновесие по Нэшу антагонистической игры с матирцей выигрыша А: то v является положением равновесия динамической системы (2). Если v это положение равновесия системы (2) и оно устойчиво по Ляпунову, то оно является равновесием по Нэшу в игре с матрицей выигрыша А.
В работе [18] была проведена еще одна аналогия между репликаторной системой (2) и теорией игр. Так, если некоторая строка с номером к матрицы А доминируется выпуклой комбинацией других строк этой матрицы, то можно доказать, что численность к-го вида Vk(t) стремится к нулю при t —> оо.
Одним из частных случаев репликаторной модели является
гиперциклическая модель. Эта модель была впервые предложена М. Эйгеном в 1971 году [1] и была развита совместно с П.Шустером и другими авторами в [2], [3]. Гиперцикл представляет из себя систему из п видов (макромолекул), каждый из которых индуцирует воспроизводство последующего вида. Вместе эти виды образуют замкнутый цикл.
Простейшая математическая модель такой циклической системы может быть записана в виде
лу і І ҐЬ^ >лу
І-1
ф'
1.
,п,
ф
У /V/jJ/jJ/j — l.
(3)
Здесь Хі — концентрация і-того вида, чья скорость роста — пропорциональна концентрации предыдущего по циклу вида Хі-\. Здесь и далее считаем индексы по модулю п, то есть хо = хп, Х\ = xn+i,.... Ф отражает постоянный отток макромолекул, который должен обеспечить постоянство суммарной концентрации: Х^Г=1ж* = 1- Уравнение (3) было изучено в [25, 26, 27, 28].
Модель (3) эквивалентна модели (2) с матрицей
/000 к2 0 0
о h о
о h \ о о о о
(4)
\ 0 0 0 кп 0 /
Гиперцикл представляет собой вид наиболее простой модели, в которой гарантируется сосуществование всех видов в каждый момент времени t. Математическая формулировка этого свойства связана со свойством перманентности [5], которое можно также называть свойством биологической устойчивости: каковы бы ни были начальные значения, удовлетворяюшие условию Vi > const > 0, существует такое 6 > 0, что все концентрации Vi > 5 в любой момент времени t. В системах коротких гиперциклов для п = 2,3,4 доказано существование внутреннего предельного положения равновесия, все координаты которого отличны от нуля, а для систем с п > 5 доказано существование устойчивого предельного цикла [16]. Отметим, что сам факт доказательства существования устойчивого предельного цикла в многомерном пространстве является значительным математическим достижением и утверждения такого типа достаточно редко появляются в математических исследованиях динамических систем.
Гиперциклическое взаимодействие было предложено, чтобы объяснить один из вопросов пребиотической эволюции: феномен преодоления «информационного барьера». Он возникает при переходе от небольших макромолекул к более сложным структурам — РНК. В биологических системах, как правило, точность репликации может быть повышена только за счет снижения ее эффективности. Так как небольшие макромолекулы находились в жестких конкурентных условиях, они не могли себе позволить иметь точные репликазы и, следовательно, слишком длинные цепочки, потому что чем длиннее цепочка нуклеотидов, тем больше вероятность критической ошибки при воспроизведении. Для каждой репликазы существует некоторая предельная длина последовательности, достигнув которой система не может сохраняться в стабильном виде. При этом для синтеза более сложных и более приспособленных макромолекул с более совершенным механизмом самовоспроизведения одной простой макромолекуле не хватает точности. Макромолекулы, взаимодействующие в виде гиперцикла, могут решить эту проблему: каждая довольно проста и несет лишь определенный сегмент информации. Совокупный гиперцикл содержит достаточно информации для того, чтобы быть способным произвести более сложную макромолекулу с более совершенными механизмами самовоспроизведения. Очевидно, что циклическая организация — это простейшая организация, при которой можно гарантировать сосуществование помогающих друг другу видов.
Репликаторная модель (2) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений, она отражает процесс в хорошо перемешанной среде без учета пространственной компоненты и диффузии. Однако более реальными с точки зрения биологии являются модели, в которых может быть добавлена неоднородная пространственная компонента [36]. Один из подходов представляет из себя рассмотрение пространственно-распределенной модели с помощью клеточных автоматов (см. [6, 7]). Существуют и другие подходы к моделированию с учетом распределения видов в пространстве, а именно, введение однородной диффузии, что соответствует добавлению оператора Лапласа к правой части уравнения (2) [39, 40].
Рассмотрим распределенное уравнение репликации видов в некоторой односвязной области D с гладкой границей Г:
! = Fi(w) + diANi,
где N = (Ni, , Nn) — вектор функций, отображающих численность видов в пространстве в каждый момент времени t: di — коэффициенты диффузии.
Будем предполагать, что в каждый момент времени ^ J Ni(x, t)dt Ф 0, тогда
i=l D
можно перейти к переменным
Nfat)
Wi = — .
52fNi(x,t)dt
i=lD
Если Fi(w) = (Aw)і, то получим систему:
щ = Wi(( Aw) і- fsp (t)) + diAwi, і = l,---,n, їеД (5)
на открытой односвязной области D с гладкой границей Г, где Wi(x,t) — количество макромолекул і-того вида в точке х Є D в момент времени t и заданы начальные значения Wi(x,0) = w концентраций макромолекул, di > О — коэффициент диффузии і-того вида. Потребуем замкнутости области D, то есть зададим однородные граничные условия Неймана
'дщ
= 0. г
Существует несколько способов задания условия постоянства суммарной концентрации. Один из способов, предложенный М.Эйгеном и П.Шустером [3, 41] состоит в ограничении суммарной концентрации в каждой точке пространства. Однако подобное условие приводит к нелинейным уравнениям, которые тяжело поддаются анализу. Другой, более простой способ — ограничить суммарную численность видов на всей рассматриваемой области. Условие постоянства суммарной концентрации трансформируется в
2_] / Wi(x,t)dx = 1. i=\jD
Для его выполнения, с учетом Граниных условий, достаточно положить
fsp = У2 / Wi(Aw)idx = / {Au,u)dx (6)
l=l JD JD
Поведение подобной системы было подробно рассмотрено в [24] а также в работах [8, 23, 37] для случаев гиперциклической матрицы. Стоит отметить, что система (5) не является системой уравнений в частных производных в обычном смысле, так как содержит функционал (6).
Рассмотренные выше модели предполагают, что существует некоторый постоянный поток, выводящий излишки концентрации за пределы реактора. С точки зрения биологии или реального моделирования подобного процесса это условие является сложно выполнимым. Поэтому в [7] была предложена математическая модель, в которой суммарная концентрация видов не ограничена:
п. (7)
х Є D, (8)
Здесь gi задают скорости диссипации (естественного разложения со временем) макромолекул, множетель e~F является ограничителем размножения макромолекул. В отличие от модели (5) данная модель не требует жесткого условия постоянства суммарной концентрации, а также допускает такие значения параметров репликации и смертности, при которых популяция вымирает. Эта модель была рассмотрена в [8] для случая гиперциклической и автокаталитической (диагональной) матрицы А.
Работа ставит целью обобщить математическую модель (8) и рассмотреть модель
Wi = Wi((Aw)iY(F)-gi) + diAwi, г = 1,---,п, х Є D, (9)
для целого класса функций Y(F): задающих конкуренцию видов за ресурсы. В качестве функции Y(F) в работе [6] была также предложена функция Y(F) = 1-F.
Цели работы
Целями работы являются:
1. Исследование предельного поведения открытых репликаторных математических моделей для циклических и гиперциклических матриц.
-
Исследование условий устойчивости неподвижных точек, гетероклинических и предельных циклов в этих системах.
-
Оценки бассейнов притяжения нулевой неподвижной точки.
-
Доказательство существования предельного цикла в открытых гиперциклических моделях размерности от 5 видов.
-
Исследование влияния диффузии на поведение открытой репликаторной модели.
-
Разработка приложения для численного моделирования поведения траекторий системы.
Методы исследования
В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа. В ходе исследования разработано приложение, которое численно решает сосредоточенную и распределенную реплпкаторную системы. Для их разработки применяются численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных параболлического типа (методы Бубнова-Галеркина и Рунге-Кутта). Приложение разработано в среде Matlab и используется для иллюстрации поведения системы.
Теоритическая и практическая ценность
Результаты работы могут быть применены для построения математических моделей, описывающих взаимодействие биологических видов.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие результаты:
-
Получен метод, позволяющий переносить результаты, известные для замкнутых репликаторных моделей на открытые репликаторные модели.
-
Доказана теорема об исключении доминируемых видов.
-
Доказано существование и устойчивость предельных и гетероклинических циклов в циклических системах размерности три и четыре.
-
Доказано существование предельного цикла в открытых гиперциклических моделях с пятью и более взаимодействующими видами.
-
Найдены необходимые условия устойчивости пространственно однородных решений в распределенной системе.
-
Доказано существование и устойчивость пространственно неоднородных решений в распределенной системе гиперцикла. Все результаты являются новыми.
-
Разработана программа для численного решения открытых репликаторных систем и иллюстрации поведения математической модели.
Аппробация работы
Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах:
-
На Международной конференции «Ломоносов-2008» (г. Москва, МГУ, 8-11 апреля 2008 г.).
-
На семинаре кафедры Оптимального управления под руководством д. ф.-м. н., профессора Ф.П.Васильева (г. Москва, факультет ВМК МГУ им. Ломоносова в 2012 г).
-
На научной конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, МГУ, 16-25 апреля 2012).
-
Семинар в Московском государственном университете путей сообщения (МНИТ) на кафедре «Прикладная математика» под руководством А.С. Братуся (г. Москва, МНИТ, 17 мая 2012 г.)
-
Семинар в Вычислительном центре РАН имени А.А. Дородницына 29 мая 2012 г.
-
Семинар в Институте Физики Атмосферы РАН под руководством Д.О. Логофета 31 мая 2012 г.
-
На конференции «Математические модели и численные методы в биоматематике» (г. Москва, ИВМ РАН, 11 октября 2012 г.)
