Содержание к диссертации
Введение
1 Предельные циклы на участке удвоения периода. Анализ стохастической чувствительности при переходе к хаосу 21
1.1. Анализ детерминированной системы Пиковского. Структура участка перехода к хаосу 21
1.1.1. Положение равновесия 21
1.1.2. Участок перехода к хаосу. Построение предельных циклов 22
1.1.3. Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского 35
1.2. Стохастическая чувствительность предельных циклов системы Пиковского 41
1.2.1. Стохастические циклы 41
1.2.2. Функция стохастической чувствительности 42
1.2.3. Метод установления для вычисления ФСЧ и его модификация 46
1.2.4. Чувствительность циклов системы Пиковского 48
1.2.5. Стохастические суперциклы 49
1.2.6. Экспоненциальный рост стохастической чувствительности суперциклов при переходе к хаосу 51
2 Стохастическая устойчивость линейного уравнения с периодическими коэффициентами 53
2.1. Необходимые и достаточные условия стохастической устойчивости в среднем квадратичном для линейных систем 53
2.1.1. Метод функций Ляпунова 54
2.1.2. Метод моментов 55
2.1.3. Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами 56
2.1.4. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами 58
2.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для линейного уравнения 60
2.2.1. Случай уравнения с постоянными коэффициентами 60
2.2.2. Уравнение с периодическими коэффициентами. Итерационный процесс 61
2.2.3. Вычисление значений оператора стохастической устойчивости 62
2.2.4. Формулировка теоремы сходимости итерационного процесса 63
2.2.5. Необходимые сведения из функционального анализа 63
2.2.6. Доказательство теоремы сходимости 66
2.2.7. Повышение точности вычисления спектрального радиуса 71
2.3. Анализ устойчивости стохастически возмущенного уравнения Матье 72
2.3.1. Области устойчивости в плоскости параметров j и а 72
2.3.2. Области неустойчивости в плоскости параметров є и си 75
3 Орбитальная стохастическая устойчивость предельных циклов 78
3.1. Экспоненциальная орбитальная устойчивость в среднем ква дратичном предельных циклов 78
3.1.1. Определение устойчивости. Орбитальные функции Ляпунова 78
3.1.2. Системы первого приближения. Р-устойчивость 80
3.1.3. Спектральный критерий устойчивости 82
3.1.4. Оценки спектрального радиуса оператора стохастиче ской устойчивости 84
3.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической
устойчивости для предельных циклов 85
3.2.1. Итерационный процесс 85
3.2.2. Ускорение вычисления значений оператора стохастической устойчивости 85
3.2.3. Теорема сходимости 85
3.3. Стохастическая система Ресслера. Система первого приближения 88
3.4. Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости и его оценки для системы Ресслера 91
3.5. Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера . 93
Заключение 98
Приложение. Программный комплекс 100
4.1. Вычислительные возможности комплекса 100
4.2. Реализация отдельных модулей 102
4.2.1. Поиск предела последовательности матриц 102
4.2.2. Генерация случайного трехмерного вектора 107
Литература
- Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского
- Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами
- Системы первого приближения. Р-устойчивость
- Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера
Введение к работе
Предыстория и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке эффективных методов численного анализа устойчивости колебательных систем к случайным возмущениям. Объектом исследования являются предельные циклы нелинейных стохастических систем на участке перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода, а также линейные стохастические уравнения с периодическими коэффициентами.
Наличие внешних шумов, а также внутренних параметрических случайных возмущений может значительно изменить характер поведения динамической системы. Первые исследования стохастических систем проводились уже в конце 19-го века: в 1899-м году в работе [70] Аррениусом С.А. получены результаты в задаче выхода траектории системы под воздействием шума из некоторой области устойчивости. В 1933-м году была опубликована работа Понтрягина Л.С, Андронова А.А., Витта А.А. [50], содержащая постановки основных задач стохастической динамики, которые привлекают внимание исследователей и в настоящее время.
Для формального описания динамических систем, находящихся под действием случайных возмущений, широко используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений. Основной моделью в современной теории стохастической устойчивости является система Ито [2, 3, 12, 28, 29, 35, 58]. Для моделирования случайных возмущений используется виперов-ский процесс [11,116], являющимся математической моделью броуновского движения, открытого еще в 1827-м году.
Начиная с работы Каца И.Я и Красовского Н.Н. [30] для исследования устойчивости стохастических систем стал применяться метод функций Ляпунова. Дальнейшее развитие эта методика получила в работах Хасьмин-ского Р.З., Гихмана И.И, Кушнера X. [16, 35, 58, 59].
Большая часть исследований стохастических систем посвящена анализу поведения случайных траекторий в окрестности положения равновесия (Хасьминский Р.З., Кушнер Г.Дж., Левит М.В., Невельсои М.Б., Царьков
Е.Ф., Haussman U.J., Klcinman D.L., Wonham W.M. и др.)- Изучение воздействия случайных возмущений на поведение систем в окрестностях предельных циклов представляет собой существенно более сложную задачу. Предельный цикл является математической моделью автоколебаний, наблюдаемых в различных системах: электронных генераторах, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследование воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным Л.С, Андроновым А.А., Виттом А.А. [50] и продолжено в большом количестве работ, посвященных флуктуациям в механических и радиофизических системах: Страто-нович Р.Л. [56], Ibrahim R.A. [91], Soong Т.Т., Grigoriu М. [112], Baras F. [71], Mangel M. [98], Day M. [76, 79] и других.
Аналитическое исследование стохастических циклов систем размерности три и выше представляет собой большую сложность. В связи с этим были разработаны методы для численного анализа стохастических систем. Основные результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах [34, 44, 94, 95] и других. Под действием шумов фазовые траектории системы покидают предельный цикл и формируют вокруг него пучок случайных траекторий — стохастический цикл. Большой интерес представляет изучение геометрических характеристик этого пучка. Его доверительные области в плоскостях, ортогональных предельному циклу, представляют собой эллипсы разных размеров и ориентации по отношению к циклу. Размер эллипса является характеристикой чувствительности соответствующей точки цикла к случайным возмущениям. Таким образом, различные участки предельных циклов обладают различной чувствительностью. Неоднородность пучка случайных траекторий рассматривалась в работах Deissler R.J, Farmer J.D. [80], AH F., Menzinger M. [66, 67]. В работе [93] Kurrer С. и Schulten К. проводили анализ пучка, приближенно решая уравнение в частных производных Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [11, 15, 37], дающее полное описание плотности вероятности пучка. Аналитическое решение уравнения ФПК представляется возможным только в одномерном случае. Для многомерных систем (размерности 2, 3 и более) уравнение либо решается численно (что, в свою очередь, также является сложной задачей в связи с малыми коэффициентами при старших производных), либо для его решений строятся аппроксимации [27, 56, 112].
Для важного случая шумов малой интенсивности в работе Вситце-ля А.Д. и Фрейдлина М.И. [12] для аппроксимации решения уравнения ФПК используется функция Ляпунова специального вида — квазипотен-
циал, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности распределения пучка. Квазипотенциал был разработан в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивого аттрактора. Для анализа стохастической чувствительности предельных циклов квазипотенциал использовался в следующих работах: Naeh Т. [101], Dykman M.I. [81], Graham R., Tel Т. [85, 86, 87, 88], Smelyan-skiy V.N. [Ill], Maier R.S. [97], Мильштейн Г.Н., Ряшко Л.Б. [45], Day M.V. [77, 78, 79].
Метод квазипотенциала для анализа предельных циклов получил дальнейшее развитие в работах Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. [6, 7, 72, 75]. С помощью аппроксимации квазипотенциала авторы построили матричную функцию стохастической чувствительности (ФСЧ), определенную в точках невозмущенного цикла и описывающую ковариацию отклонения стохастической траектории от точек детерминированной орбиты. Для вычисления ФСЧ разработаны численные методы, и с их помощью в работах Ряшко Л.Б., Башкирцевой И.А., Исаковой М.Г., Стихина П.В. [7, 8, 73, 74] проанализирована чувствительность предельных циклов ряда известных моделей нелинейной динамики: двумерных систем Ван-дер-Поля и Брюс-селятора, а также трехмерных систем Лоренца, Чуа и Ресслера.
Применение метода стохастических функций Ляпунова позволило перенести основные конструкции теории детерминированной устойчивости на стохастические уравнения. В 1977-м году в работе [43] Милыптейном Г.Н. был получен критерий экспоненциальной орбитальной устойчивости периодических движений автономных детерминированных систем, опирающийся на метод орбитальных функций Ляпунова. В 1992-м году Мильштейн Г.Н. и Ряшко Л.Б. получили аналогичные результаты для экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном периодических движений стохастических систем.
В 1996-м году Ряшко Л.Б. в работе [53] для исследования орбитальной устойчивости периодических решений нелинейных стохастических систем использовал системы первого приближения — линейные стохастические системы с периодическими коэффициентами. Для этих систем введено понятие Р-устойчивости, а для Р-устойчивости получено необходимое и достаточное условие, позволяющее свести вопрос об устойчивости периодического решения исходной стохастической системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Таким образом был получен спектральный критерий экспоненциальной орбитальной
устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов.
Важную самостоятельную задачу представляет собой исследование экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем. Для этих систем анализ устойчивости был сведен Хась-минским Р.З. [58] к задаче разрешимости некоторого детерминированного матричного дифференциального уравнения. В работе Царькова Е.Ф. [62] представлен аналогичный результат для случая системы с периодическими коэффициентами.
Широко известным общим методом анализа устойчивости в среднем квадратичном линейных систем является метод моментов [58]. Этот метод позволяет свести задачу исследования стохастической устойчивости к задаче асимптотической устойчивости детерминированной системы дифференциальных уравнений достаточно большой размерности. На практике эта задача может представлять значительные вычислительные трудности. Поэтому для некоторых частных случаев систем с постоянными коэффициентами рядом авторов разработаны более простые конструктивные критерии устойчивости: Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. [47], Левит М.В., Якубович В.А. [36], Willems J.C. [117].
В 1999-м году в работе Ряшко Л.Б. [109] спектральный подход был применен для решения задачи экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами. Получен спектральный критерий, сводящий задачу исследования устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейной системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора.
Предельные циклы нелинейных систем в диссертации исследуются на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода. Исследования на этих участках связаны со значительными трудностями. Во-первых, вблизи точек бифуркаций существенно замедляется сходимость численных методов. Во-вторых, построение многократных циклов обычным методом сечений [51] неэффективно в силу их большой геометрической сложности. Витки циклов находятся близко друг к другу, из-за чего может оказаться сложной задачей отличить, например, 8-цикл от 16-цикла или 16-цикл от 32-цикла.
В связи с указанными проблемами становится актуальной задача построения численных методов, которые используют специфику строения участка перехода к хаосу для эффективного нахождения предельных ци-
клов, а также позволяют ускорить существующие численные методы анализа чувствительности и повысить их точность. Численные методы с такими характеристиками дадут возможность не только анализировать единичные многократные циклы, но и исследовать целые интервалы структурной устойчивости, что позволит выявить ряд интересных закономерностей в поведении стохастических систем при переходе к хаосу. Разработке таких численных методов построения циклов и анализа чувствительности посвящена первая глава диссертации.
Спектральный подход, разработанный Ряшко Л.Б., сводит анализ устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем к нахождению значения спектрального радиуса некоторого положительного оператора — оператора стохастической устойчивости. В работах [53, 109] доказан ряд теорем, дающих для спектрального радиуса оценки сверху и снизу, из которых следуют простые как необходимые, так и достаточные условия устойчивости. На практике оказалось, что полученные оценки часто определяют достаточно широкий интервал, в котором лежит спектральный радиус оператора стохастической устойчивости, что не позволяет воспользоваться ни необходимыми, ни достаточными условиями сходимости. Более того, информативность оценок быстро снижается при приближении к точкам бифуркаций удвоения периода. В связи с этим становится очевидной актуальность построения методов для вычисления с необходимой точностью значения спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости, которые позволяли бы сразу отвечать на вопрос об устойчивости системы. Разработке таких численных методов для линейных уравнений с периодическими коэффициентами посвящена вторая глава, а для предельных циклов нелинейных систем — третья глава диссертации.
В качестве базовых моделей для демонстрации результатов первой и третьей глав выбраны две известные трехмерные системы нелинейных дифференциальных уравнений — система Ресслера и система Пиковского.
Система Ресслера
xi = -(а?2 + а?з),
Х2 = хг + 0.2ж2, (1)
ж3 = 0.2 + ж3(яі-А«)5
где \і — параметр, была введена в работе [105] как модельный пример системы с одним нелинейным членом, которая генерирует периодические и хаотические фазовые портреты, сравнимые по сложности с портретами из-
вестной системы Лоренца, имеющей два нелинейных члена. Система Пиковского
х\ = [іх\ + х2 + 0.1ж3,
х2 = -Ж1, (2)
ж3 = 10 th(100(l + 4ж3 - Ібжі)) - 40(ж3 + жі + ж?),
где /х — параметр, была предложена в [102] как простая система, которая полностью воспроизводит полученные экспериментально периодические и хаотические режимы в реакции Белоусова-Жаботинского.
Химическая реакция Белоусова-Жаботинского является ключевым примером в современной теории динамического хаоса. Эта реакция проявляет богатое разнообразие поведения. При различных условиях она демонстрирует как периодические, так и хаотические режимы. Исследования реакции БЖ проводились в большом количестве работ, например: [64, 61, 68, 69, 82, 83, 84, 108, ИЗ, 114, 115].
Предельные циклы соответствуют установившимся колебаниям фиксированной частоты и амплитуды (автоколебаниям). Они возникают в системах порядка 2 и выше. Системы трех уравнений проявляют гораздо большее разнообразие фазовых портретов по сравнению с системами второго порядка. В этих системах начинают наблюдаться различные сценарии перехода к хаосу [10, 37, 64]. Рассматриваемые в данной диссертационной работе трехмерные системы Ресслера и Пиковского демонстрируют сценарий перехода к хаосу путем бифуркаций удвоения периода.
Результаты второй главы диссертации демонстрируются на примере стохастически возмущенного уравнения Матье[2],[65, Глава VIII, 3]:
у + [a + bq(t)] у = 0. (3)
К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводят многие задачи физики и техники (динамическая устойчивость упругих систем, параметрический резонанс в мощных линиях передач и ускорителях элементарных частиц, ряд задач небесной механики и др.). Основные результаты, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, приведены в работах: [33, 38, 39, 40, 41, 42, 63, 65, 103, 104].
Краткое содержание диссертации
Первая глава посвящена разработке численных методов построения
предельных циклов на участке бифуркаций удвоения периода, а также последующего анализа чувствительности этих циклов к внешним случайным возмущениям.
В разделе 1.1 проводится анализ детерминированной системы Пи-ковского (2), исследуется структура одного из участков перехода к хаосу удвоением периода и предлагается метод построения предельных циклов на этом участке.
В параграфе 1.1.1 найдено бифуркационное значение параметра /х, при котором единственное положение равновесия системы Пиковского теряет устойчивость, и рождается устойчивый предельный цикл большого радиуса. Обнаружен участок перехода к хаосу удвоением периода.
В п. 1.1.2.1 исследуется- геометрическая структура предельных циклов. Приводится алгоритм определения кратности цикла. Отмечается существенная неоднородность циклов в системе Пиковского, которая накладывает повышенные требования на разрабатываемые численные методы.
В п. 1.1.2.2 решается задача построения предельного цикла в случае, когда заранее известна его кратность. Привлечение к построению цикла информации о его кратности позволит избежать ряда грубых вычислительных ошибок, вероятных при использовании обычного метода сечений. Методика априорного определения кратности предельного цикла на основе анализа точек бифуркаций удвоения периода приводится в п. 1.1.2.3. Априорное определение кратности цикла выполняется в два этапа. Первый этап — нахождение приближенных значений точек бифуркаций на рассматриваемом участке перехода к хаосу. Этот подготовительный этап проводится один раз для всего участка. Построение нескольких начальных точек бифуркаций основано на асимптотической линейности мультипликатора цикла вблизи точки бифуркации. Здесь с помощью экстраполяции удается избежать трудоемкого построения предельных циклов в малой окрестности точки бифуркации. Для нахождения последующих точек бифуркаций используется тот факт, что значения разностных отношений точек бифуркаций начинают стабилизироваться. Приводятся приближенные формулы для точек бифуркаций и точки перехода к хаосу.
Точки бифуркаций задают на участке перехода к хаосу набор интервалов структурной устойчивости Ik, к ^ 1. На втором этапе для произвольного значения параметра ц — fi* с участка перехода к хаосу определяется номер к* интервала структурной устойчивости, содержащего это значение. При этом кратность цикла равна 2к*. Таким способом получаем возмож-
ность построения циклов на участке перехода к хаосу с помощью метода из п. 1.1.2.2. Формальное описание алгоритма построения предельного цикла приведено в п. 1.1.2.4. Эффективность метода демонстрируется на примере построения цикла системы Пиковского кратности 128.
В параграфе 1.1.3 исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость предельных циклов в системе Пиковского. Вводится понятие детерминированного суперцикла — самого устойчивого цикла среди циклов той же кратности.
Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского
Значительная часть данной диссертационной работы посвящена изучению стохастической устойчивости и чувствительности предельных циклов. Результаты работы основаны на предположении асимптотической орбитальной устойчивости циклов в исследуемых системах. В п. 1.1.3.1 вводятся основные определения орбитальной устойчивости. В п. 1.1.3.2 и п. 1.1.3.3 дается понятие мультипликаторов и приводится необходимое и достаточное условие асимптотической орбитальной устойчивости циклов (теорема Ан-дронова-Витта). В п. 1.1.3.4 с помощью приведенных результатов показана асимптотическая устойчивость предельных циклов системы Пиковского.
Определения орбитальной устойчивости предельных циклов нелинейных систем
Рассмотрим автономную нелинейную систему п дифференциальных уравнений первого порядка х = f(x). (1.4)
Пусть Г — предельный цикл системы (1-4) — замкнутая фазовая кривая, соответствующая периодическому решению (), f (t, хо) — решение системы (1.4) с начальными данными t = 0, х = XQ. Через р(х:Г) обозначим расстояние от точки фазового пространства х до предельного цикла Г.
Определение 2. Предельный цикл Г называется орбиталъно устойчивым по Ляпунову, если
1) существует настолько малое положительное число р, что при P(XQ, Г) р решение p(t, XQ) определено для всех положительных ;
2) для всякого положительного числа є найдется такое положительное число 8 р, что при P{XQ, Г) 6 имеем p((p(t,x0),T) є при всех t 0.
Определение 3. Орбитально устойчивый по Ляпунову предельный цикл Г называется асимптотически орбиталъно устойчивым, если существует настолько малое положительное число а р, что при P(XQ, Г) а имеем: limp( (t,a:o),r) = 0. t—юо
Определение 4. Асимптотически орбитально устойчивый по Ляпунову предельный цикл Г называется экспоненциально орбиталъно устойчивым, если существует настолько малое положительное число а р и такие, положительные числа А и а, что при р(хо, Г) а и t 0 имеем: p{ip{t,x0),r) Ap(x0J)e-at. 1.1.3.2. "Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами
Исследование орбитальной устойчивости предельных циклов проводится сведением к исследованию на устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами: У = A(t)y, (1.5) где A(t) — Т-псриодическая п х n-матрица. Исследование линейной системы проводится в рамках теории Флоке [26, 65].
Приведем определения устойчивости по Ляпунову тривиального решения системы (1.5) x(t) = 0.
Определение 5 ([26, глава II, 1]). Тривиальное решение x{t) = 0 системы (1.5) называется устойчивым по Ляпунову при t —» +оо, если для любого є 0 существует 5 = 6(e) 0 такое, что 1) все решения x(t) системы (1-5), удовлетворяющие условию ж(0) 5, определены при t 0, и 2) для этих решений справедливо неравенство \x(t)\ є при t 0.
Определение 6. Тривиальное решение x{t) = 0 системы (1.5) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при t — +оо, если 1) это решение устойчиво по Ляпунову, и 2) существует А 0 такое, что все решения x(t) системы (1.5), удовлетворяющие условию ж(0) А, обладают свойством lim x(t) = 0. t- +oo Под устойчивостью линейной системы (1.5) далее будем понимать устойчивость ее тривиального решения. Определение 7. Пусть Z(t) — нормированная при t = 0 (Z(0) = Е) фундаментальная система решений системы (1.5). Тогда матрица Z{T) называется матрицей монодромии, а ее собственные значения — мультипликаторами системы (1.5). Совокупность мультипликаторов называется спектром.
Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами
Рассмотрим систему (2.1) в случае, когда ее коэффициенты A(t) и ar(t) являются Т-периодическими функциями. Введем следующие множества матричных функций (n 2): п — пространство непрерывных Т-периодических симметричных п х n-матричных функций V(t), для которых при любом t справедливо равен-ство V(t)f({t)) = 0. Кп = {V Є Sn I V(t) неотрицательно определенная \/t Є [0,Т]} — конус неотрицательно определенных матричных функций из Еп. К — множество положительно определенных матричных функций из Кп. Также введем обозначения для множеств скалярных функций: Е — пространство непрерывных Г-периодических функций. К — конус неотрицательных непрерывных Т-периодических функций. К\ —- множество положительных непрерывных Т-периодических функций.
В работе [109] для системы (2.1) с периодическими коэффициентами приведена следующая теорема, дающая необходимое и достаточное условия устойчивости. Теорема 4 ([58], [62]). Пусть система с периодическими коэффициентами (2.1) устойчива. Тогда 1) Для любой матрицы С Є Кп существует единственная матрица V Є Кп, удовлетворяющая уравнению (2.2): р V + AT{s)V + VA(s) + J2aJ(s)V(Tr(s) = -C(s). (2.2) r=l 2) Если С Є Щ, moV Є Щ.
Если для некоторой матрицы С Є K[l уравнение (2.2) имеет решение V Є К, то система (2.1) устойчива.
Следующее замечание из [109] будет использоваться при доказательстве теорем в этой и следующей главах. Замечание 5 ([109, стр. 22]). Для решения V{s) уравнения (2.2) справедливо следующее представление: оо tv(Y(s)X) = Е [ xT(s)C(t)x(t)db, s где х{) = X(t, S,XQ) И EXQXQ = X.
Для случая системы (2.1) с постоянными коэффициентами несколько конструктивных критериев стохастической устойчивости было предложено в работах [36], [47], [58]. Например, одним из результатов работы [36] являются условия устойчивости в среднем квадратичном для скалярного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами в случае стохастического возмущения одного из коэффициентов уравнения (см. также параграф 2.2.1). В работе [НО] был использован подход, связанный со спектральной теорией положительных операторов, и, в частности, получен критерий устойчивости в среднем квадратичном положения равновесия линейной системы.
В [109] спектральный подход применяется для линейных систем с периодическими коэффициентами. Сначала для системы (2.1) вводится некоторый положительный оператор V — оператор стохастической устойчивости, а затем формулируется критерий устойчивости системы. В этом критерии накладываются условия на детерминированную систему dx = A(t)xdt, (2.3) соответствующую (2.1), и на спектральный радиус оператора стохастической устойчивости. Оператор V задается формулой: V = -A S, где A[V] = V + ATV + VA, s[v] = X ;?v 7r. r=l
Оператор А является оператором Ляпунова для детерминированной линейной системы (2.3) действующим на множестве непрерывно дифференцируемых функций из п, с областью значений в Еп. Справедлив следующий спектральный критерий стохастической устойчивости системы (2.1).
Теорема 5 ([109, стр. 23]). Система (2.1) устойчива тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) Система (2.3) экспоненциально устойчива2. 2) Справедливо неравенство piV) 1, где p(V) — спектральный радиус оператора V. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами Аг-(), a{(t), 1 і п yW + (Ai(t) + 7i(i) wi)y(n-V + + (Xn(t) + an(t) wn)y = 0 (2.4) рассматривается в [109] как частный случай системы (2.1). Показывается, что в случае уравнения задача исследования тривиального решения на экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичном с помощью спектрального критерия сильно упрощается. Оказывается, что спектральный радиус оператора стохастической устойчивости V, действующего в пространстве Еп, равен спектральному радиусу следующего оператора Б: действующего в пространстве Е: Оператор /3, как и оператор V, будем называть оператором стохастической устойчивости.
Система (2.3) является экспоненциально устойчивой, так как экспоненциально устойчиво невозмущенное уравнение (2.4) (это условие, в частности, обеспечивает [109] существование обратного оператора Л г, присутствующего в определении оператора В). Поэтому в силу теоремы 5 для решения вопроса о стохастической устойчивости уравнения (2.4) достаточно найти спектральный радиус оператора В.
Системы первого приближения. Р-устойчивость
Для системы (3.4) в [53] вводятся два вида систем первого приближения: т dz = F(t)zdt + 2 Sr(t)zdwr, (3.6) r=\ m dz = F(t)zdt + 2 \/МІ2)4) (3-7) где z — n-мерный вектор, wr(t) (r = 1,..., m) — независимые в совокупности винеровские процессы, rjr{t) (г = 1,... , m) — n-мерные винеровские процессы с параметрами F(t) = Sr(t) = Е dr)r(t) = О, Е dr]r{t)dr)J (t) = Gr(t)dt, dim)) dx dx Параметры в (3.6), (3.7) — n x п-матрицы F(t), Sr(t), Qr(t), Gr(t) — T-периодические функции, причем Qr(t), Gr(t) — симметрические и неотрицательно определенные. Определение 27 ([54]). Шумы системы (3.6) называются шумами первого типа, а шумы системы (3.7) — шумами второго типа.
Системы (3.6) и (3.7) возникают при аппроксимации производящего дифференциального оператора системы (3.4) на классе орбитальных функций Ляпунова. Во многих случаях форма шумов второго типа для систем первого приближения более естественна. Шумы второго типа устроены проще шумов первого типа. Тем не менее, система даже с одним шумом второго типа позволяет охватить такие важные случаи, как линейное уравнение п-го порядка и общая двумерная система. Также система с одним шумом второго типа может быть использована в качестве мажоранты для системы с несколькими шумами первого типа, что позволяет строить достаточные условия устойчивости систем с шумами первого типа (см. [53]).
Пусть y(t) =/(( )) Рассмотрим матрицу Ру = Е — уут / (уту). Эта матрица задает оператор проектирования на подпространство, ортогональное вектору у. Введем Т-периодическую матрицу P(t) = Py(t). (3.8)
Определение 28 ([43, стр. 746]). Т-периодическая симметрическая матрица V(t) называется Р{ї)-полооісшпельно определенной в момент , если для любого вектора z такого, что P{t)z ф 0, справедливо неравенство zTV(i)z 0. Матрицу V(t), являющуюся Р(і)-положительно определенной при любом t, будем называть Р-положительно определенной.
Замечание 7 ([53, 2]). При условии (3.5) Т-периодическая векторная функция y(t) = /(()) есть детерминированное решение систем (3.6), (3.7) и Sr(t)y(t) = 0, (3.9) Qr(t)y(t) = 0. (ЗЛО)
Для систем вида (3.6), (3.7) — систем линейных стохастических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, имеющих детерминированное периодическое решение y(t) с соответствующим вырождением мультипликативных помех (3.9), (3.10) — в [53] вводится следующее понятие Р-устойчивости.
Определение 29. Тривиальное решение z = 0 системы (3.6) (или (3.7)) называется экспоненциально Р-устойчивым в среднем квадратичном, если существуют такие а 0, L 0, что E\\P(t)z(t)\\2 Le-«E\\P(0)zo\\2 при любых начальных условиях z{0) = ZQ решения z(t) системы (3.6) (или (3.7)). При этом система (3.6) (или (3.7)) называется Р-устойчивой.
В работе [46] (теорема 1, стр. 953) с помощью метода орбитальных функций Ляпунова был получен критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном цикла нелинейной стохастической системы, сводящий анализ устойчивости к исследованию разрешимости соответствующего матричного уравнения Ляпунова. В работе [53] (теорема 1, стр. 587) было показано, что разрешимость этого матричного уравнения, в свою очередь, является необходимым и достаточным условием Р-устойчивости соответствующей линейной системы первого приближения. На основании этих результатов был получен [53] следующий критерий.
Теорема 14. Предельный цикл Г нелинейной стохастической системы (3.4) экспоненциально орбитально устойчив в среднем квадратичном тогда и только тогда, когда Р-устойчива система первого приближения (3.6) (или (3.7)). Для систем (3.6), (3.7) в [53] вводится действующий в пространстве Еп положительный оператор V, который будем называть оператором стохастической устойчивости: V = -A lS, (3.11) где A[V] = V + FTV + VF, (3.12) оператор S для системы (3.6) задается формулой 771 г=1 а для системы (3.7) — формулой т S[V] = Y,te(VGr)Qr. r=l
В [53, стр. 589] обосновывается существование обратного оператора Л и показывается его отрицательность.
Справедлив следующий спектральный критерий Р-устойчивости систем первого приближения.
Теорема 15 ([53, стр. 590]). Для того чтобы система (3.6) (или (3.7)) была Р-устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера
Исследуем устойчивость предельных циклов стохастической системы Ресслера (3.18) на участке I\ = (/ i,/ ) (значения точек бифуркаций уц приведены в таблице 1.1 на стр. 29). С помощью итерационного процесса (3.16) на этом участке вычислен спектральный радиус оператора стохастической устойчивости В из (3.15) при единичной интенсивности шума (є = 1). График спектрального радиуса p(/j,) на интервале 1\ представлен в логарифмическом масштабе на Рис. 3.2 (сплошная линия). На этом же графике пунктирными линиями изображены оценки спектрального радиуса, полученные из теоремы 17.
Из графиков на Рис. 3.2 видно, что оценки спектрального радиуса в данном случае не позволяют сделать вывод об устойчивости или неустойчивости цикла при некотором значении параметра /І. Верхняя оценка не опускается ниже уровня 1, что не позволяет использовать ее для нахождения области устойчивости. Более того, информативность верхней оценки быстро снижается при приближении к точкам бифуркаций. Аналогично, нижняя оценка всегда остается меньше . Это, в свою очередь, не дает возможности построить область неустойчивости. При этом в результате применения итерационного процесса легко выделить интервал // Є (а, Ь) = (2.947,3.574), на котором значение спектрального радиуса меньше единицы. Этот интервал является областью устойчивости предельных циклов на участке /і, а его дополнение до 1\ — областью неустойчивости.
Спектральный радиус системы Ресслера на каждом интервале структурной устойчивости является выпуклой вниз функцией, имеет точку минимума и уходит в бесконечность на краях интервала. Аналогичное поведение демонстрировала функция стохастической чувствительности предельных циклов, которая рассматривалась в параграфе 1.2.5. Точки минимума ФСЧ (/ii,s) и спектрального радиуса (точка с на Рис. 3.2) расположены достаточно близко друг к другу, но, тем не менее, они не совпадают: с Рз 3.2006, /ІІ,5 « 3.2753 (см. таблицу 1.5, стр. 52).
В разделе 3.4 для стохастической системы Ресслера (3.18) вычислен спектральный радиус оператора стохастической устойчивости при единичном уровне шума є = 1. Формула где p(fi) — спектральный радиус при единичной интенсивности шума, (см. замечание 9, стр. 83) позволяет легко рассчитать значения критической интенсивности шумов. На Рис. 3.3 представлен график критической интенсивности на отрезке /х Є [fii, /25] (интервалы 2-, 4-, 8- и 16-циклов). Этот график представляет собой бифуркационную диаграмму стохастической системы Ресслера. Зона под графиком является областью экспоненциальной орбитальной устойчивости в среднем квадратичном предельных циклов системы, а зона над графиком — областью неустойчивости.
Свойства спектрального радиуса определяют свойства критической интенсивности шумов. На каждом интервале структурной устойчивости эта функция является выпуклой вверх, имеет точку максимума и стремится к нулю при подходе к границам интервала. Таким образом, запас стохастической устойчивости предельных циклов снижается до нуля при приближении параметра системы к точкам бифуркаций.
Максимальное значение (fj) на интервале Ij, j 1 обозначим через є , а соответствующую точку максимума — через /І.
Замечание 10. Значения в таблицах приведены с большим количеством знаков после запятой. Несмотря на то, что оценок погрешности этих значений нет, есть основания им доверять. Во-первых, все вычисления производились численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с малым шагом h = 5 - 10 6. Во-вторых, далее будет показано, что для данных значений обнаружены общие для систем Ресслера и Пиковского закономерности. При этом система Пиковского гораздо жестче системы
1 Стохастическая система Пиковского строится аналогично стохастической системе Ресслера — см. раздел Ресслера, и, если бы значения были далеки от точных, то, скорее всего, в этих системах были бы получены значения, далекие друг от друга, чего не произошло.
Из таблиц видно, что отношение е л_±/е л в системах Пиковского и Ресслера стабилизируется к значению, примерно равному 2.5 (стабилизация в системе Пиковского проявляется лучше, чем в системе Ресслера). Таким образом, последовательность є - стремится к нулю, как геометрическая прогрессия, что говорит о быстрой потере системой запаса устойчивости при переходе к хаосу.
По аналогии с коэффициентом роста чувствительности (см. определение 13, стр. 51) для критической интенсивности шумов можно ввести коэффициент потери устойчивости.
