Содержание к диссертации
Введение
1 Алгоритмы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов 25
1.1 Нормализация и квазиклассическое квантование полиномиальных гамильтонианов 25
1.1.1 Введение 25
1.1.2 Процедура нормализации 26
1.1.3 Приближенные интегралы движения 32
1.1.4 Обратная задача нормализации 34
1.1.5 Процедура квантования 38
1.1.6 Обсуждение и выводы 44
1.2 Алгебраическая теория возмущений для атома водорода . 46
1.2.1 Введение 46
1.2.2 Постановка задачи 47
1.2.3 Метод решения 48
1.2.4 Примеры вычисления собственных функций и спектра . 50
1.2.5 Оператор эволюции в представлении собственных функций невозмущенного атома 55
1.2.6 Обсуждение и выводы 58
1.3 Алгебраические схемы линеаризации интегрируемых моделей квантовой оптики 60
1.3.1 Введение 60
1.3.2 Модели квантовой оптики, их формулировка в терминах алгебры supd(2) 61
1.3.3 Модель генерации второй гармоники [98] 65
1.3.4 Обсуждение и выводы 68
2 Моделирование трехчастичных квантовых систем 71
2.1 Квазиклассическая модель двойной ионизации атома гелия быстрым электроном 71
2.1.1 Визуализация асимптотических траекторий испускаемых электронов 71
2.1.2 Выводы 75
2.2 Модели электронных корреляций в процессах ударной ионизации атома гелия 76
2.2.1 Введение 76
2.2.2 Постановка задачи 78
2.2.3 Приближения 82
2.2.4 Результаты и обсуждение 84
2.3 Эффективное адиабатическое приближение в задаче трех частиц 91
2.3.1 Введение 91
2.3.2 Постановка задачи 92
2.3.3 Асимптотические состояния парных каналов 93
2.3.4 Каноническое адиабатическое преобразование 95
2.3.5 Канонический адиабатический подход 98
2.3.6 Обсуждение и выводы 101
3 Дискретные модели и алгоритмы для квантовых систем во внешних полях 102
3.1 Модели рассеяния плоских волн на системе квантовых точек 102
3.1.1 Введение 102
3.1.2 Рассеяние на потенциалах нулевого радиуса в трёх из мерениях 103
3.1.3 Сравнение подходов 107
3.1.4 Задача рассеяния на двух точечных центрах 108
3.1.5 Задача рассеяния на восьми точечных центрах, расположенных в вершинах куба 112
3.1.6 Результаты 113
3.2 Адаптивные алгоритмы для решения эволюционных задач .114
3.2.1 Введение 114
3.2.2 Постановка задачи 115
3.2.3 Алгоритм схемы Кранка - Николсона в представлении метода конечных элементов 116
3.2.4 Адаптивная схема для двухмерного осциллятора во внешнем электрическом поле 119
3.2.5 Адаптивная схема для модели одномерного атома в поле сверхкороткого лазерного импульса 123
3.2.6 Обсуждение и выводы 126
3.3 Алгоритмы расщепления оператора эволюции для сверхкорот ких лазерных импульсов 128
3.3.1 Введение 128
3.3.2 Постановка задачи 129
3.3.3 Результаты и обсуждение 132
3.3.4 Выводы 135
Заключение 136
Литература 138
Приложение 153
- Алгебраическая теория возмущений для атома водорода
- Алгебраические схемы линеаризации интегрируемых моделей квантовой оптики
- Модели электронных корреляций в процессах ударной ионизации атома гелия
- Алгоритм схемы Кранка - Николсона в представлении метода конечных элементов
Введение к работе
В настоящее время квантовые системы во внешних полях интенсивно исследуются из-за разнообразия их приложений в процессах ударной ионизации атомов, рассеяния света на системе квантовых точек, импульсного воздействия лазерных полей на атомы в магнитных ловушках, генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния в квантовой оптике. Основным инструментом анализа квантовых систем и процессов является математическое моделирование с использованием комбинированньгх символьных и численных методов, которое реализуется в рамках современных компьютерных технологий в виде дискретных моделей, комплексных алгоритмов и программ.
Канонические преобразования гамильтониана к нормальной форме широко применяются для интегрирования и анализа уравнений движения нелинейных систем методами теории возмущений [1-7], включая современные модели, например, управления квантовомеханическими процессами [8, 9], регулярной и хаотической динамики заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах [10], или квантовых вычислений и алгоритмов [11]. С другой стороны, ридберговские атомы с долгоживущнми энергетическими уровнями, имеющими главные квантовые числа п ~ 50 и максимальные орбитальные и магнитные квантовые числа, в настоящее время интенсивно исследуются в микроволновых резонаторах как элементы будущего квантового компьютера [12]. Кроме того в экспериментах с ионами в радиочастотных ловушках изучаются водородоподобные ионы, например 9Ве+, с одним электроном на внешней оболочке и, соответственно, с двумя внутренними состояниями (сверхузкие или метастабильные уровни энергии), которые связываются с колебательными степенями свободы ионов в ловушках [12]. Поскольку гамильтониан водородоподобного атома связан с гамильтонианом гармонического осциллятора посредством преобразований типа Леви-Чивита [13], то метод квантования нормальных форм [14] применяется и для расчетов динамических характеристик атомных систем во
Введение ___^ ___^_ Q
внешних полях [15]. Применение различных систем компьютерной алгебры (MATHEMATICA, MAPLE и REDUCE) существенно расширяет возможности различных реализаций процедур нормализации [16 - 18] и квантования полиномиальных гамильтонианов [19 - 21], поэтому актуальной задачей является анализ и сравнение алгоритмов в рамках универсального псевдокода с учетом специфики языков символьных вычислений MATHEMATICA, MAPLE и REDUCE с целью повышения эффективности новых реализаций [22]. В разделе 1.1 мы сравниваем алгоритмы приведения класса полиномиальных гамильтонианов (ангармонического осциллятора) к нормальной форме методом Биркгофа-Густавсона и преобразованиями Ли (метод Депри-Хори), а также процедуры нахождения приближенных и точных интегралов движения и построения квантового аналога нормальной формы, представленные в виде универсального псевдокода. Рассмотрены примеры, позволяющие оценить эффективность работы вышеупомянутых алгоритмов и программ, реализованных на языках REDUCE, MAPLE и MATHEMATICA. Представлен расчет квазиклассического спектра двумерного атома водорода в электрическом поле удаленного точечного заряда и дано сравнение со спектром соответствующей квантовой задачи, полученным алгоритмом теории возмущений раздела 1.2.
Различные схемы теории возмущений для водородоподобного атома в поле удаленного точечного заряда и ее приложения в атомной и молекулярной физике изучается более 60 лет [23 - 32], поэтому такую интегрируемую систему естественно рассматривать как эталонную модель для проверки эффективности разрабатываемых символьных алгоритмов [22]. Так полиномиальные решения для невозмущенного водородоподобного атома в сфероидальной системе координат исследовали в работе [27], где было отмечено, что традиционные схемы теории возмущений [33] не приводят к правильным замкнутым аналитическим выражениям для решений, характеризуемых наборами сферических или параболических чисел, что якобы не позволило в работе [26] получить правильное выражение для спектра в пятом порядке теории воз-
Введение _____ „__„_____„^_____ 7
мущений. Последовательный, но более сложный в реализации и в дальнейшем использовании полученных решений алгоритм, обеспечивающий факто-ризованное асимптотическое представление решений по большому параметру, классифицированных сфероидальными квантовыми числами был предложен в исходя из возможности разделения переменных [28]. Там же было получено разложение спектра до шестого порядка по обратной степени расстояния до удаленного заряда. Однако достаточно эффективного алгоритма для вычисления волновой функции в виде разложений по малому параметру теории возмущений [34, 35] с коэффициентами, заданными в виде полиномов от параболических или сферических чисел в аналитическом виде, так и не было построено [32]. В настоящее время эта задача остается актуальной, поскольку наличие простых аналитических выражений для спектра и собственных функций водородоподобного атома в поле удаленного заряда необходимы для вычисления асимптотик эффективных потенциалов экзотических двухэлек-тронных атомных систем в адиабатическом представлении [32, 36], а также асимптотик сильно дел окал изованные состояний антипротонного атома гелия [37] и подобных им ридберговских состояний водородоподобных атомов, рассматриваемых как интегрируемые модели в специальных конфигурациях электрического и магнитных полей [38, 39].
Как известно, группа 0(4) есть группа симметрии трехмерного атома водорода, а группа вращений 0(4,2) в шестимерном псевдоевклидовом пространстве является группой динамической симметрии [40, 41]. В самом деле, одно бесконечномерное неприводимое представление группы вращений связано масштабным преобразованием с волновыми функциями дискретного спектра атома водорода. Это обстоятельство позволяет формулировать алгебраическую схему теории возмущений в рамках алгебры группы 0(4,2) для атома водорода в трехмерном пространстве, заменяя полиномиальное возмущение подходящей комбинацией операторов1. Для построения такой схемы теории
1 Группа 0(3) есть группа симметрии двумерного атома водорода, группой динамической симметрии которого является группа вращений 0(3,2) б пятимерном псевдоевклидовом пространстве.
Введение s
возмущениЁ принято использовать представление алгебры 0(2,1), исходя из возможности разделения переменных для эффекта Штарка [42] или задачи двух кулоновских центров [28]. Однако, в случае полиномиального возмущения общего типа, например для атома водорода в электрическом и магнитном полях или в неоднородном электрическом поле, когда переменные не разделяются, такое представление неудобно и требуется разработка общей схемы теории возмущений [31]. Для решения спектральных задач удобнее выбрать нормировку собственного вектора таким образом, чтобы она не содержала дробных степеней квантовых чисел, участвующих в процессе алгебраических вычислений в символьном виде. В разделе 1.2 дана формулировка наиболее эффективной схемы теории возмущений, которая не использует идею явного разделения переменных и допускает дальнейшее обобщение при рассмотрении вырожденной теории возмущений. Для того, чтобы изложение материала было максимально наглядным, мы демонстрируем работу предлагаемой схемы на примере типа эффекта Штарка, который позволяет получить правильные волновые функции нулевого приближения в замкнутом виде, а также в некоторых специальных конфигурациях электрического и магнитного полей.
В течение последних десятилетий большое внимание уделяется исследованию различных квантово-олтических моделей с нелинейными гамильтонианами, выраженных в терминах генераторов алгебры Ли, позволяющих изучать новые физические эффекты и явления. Для анализа таких моделей используются в основном численные расчеты [43 - 45], потому что стандартные Ли-алгебраические методы, хорошо приспособленные к решению проблем с линейными (по генераторам алгебры Ли) гамильтонианами неэффективными [46 - 48] , а большинство других аналитических методов (алгебраический анзац Бете [49] и др.) требуют сложных вычислений и не всегда дают простые аналитические выражения для физических величин. С другой стороны, стандартные численные схемы ограничены компьютерными ресурсами и не приспособлены для исследования особенностей динамики модели [50 - 52].
Новый универсальный Ли алгебраический подход, улучшающий и анали-
Введение _____^_____ „___„__ 9
тические и численные решения физических проблем, был предложен в [53] и разработан в [50, 51, 54, 55] для некоторых нелинейных квантовых моделей, с инвариантными гамильтонианами Н относительно группы G; : [( Н] — 0. Этот подход основан на переформулировке изучаемых моделей в терминах (введенный в [51, 53, 55] ) полиномиальных алгебр Ли (PLA) gv^ как алгебр динамической симметрии gD : gD — дР^ полностью описывающих динамику модели. В разделе 1.3 представлены соответствующие алгоритмы, реализующие данный подход для класса интегрируемых полиномиальных моделей квантовой оптики в подпространстве конечной размерности, а также проведено сравнение точных квантовых расчетов с различными квазиклассическими приближениями.
Ионизация атомной мишени электронным ударом с одновременным измерением на совпадение продуктов реакции широко и интенсивно используется для исследования электронной структуры и механизмов ионизации атомов [56]. Режим большой передачи импульса от налетающего электрона одному из электронов атомной мишени, когда измеряется на совпадение быстрая электронная пара, особенно выгоден для изучения структуры волновой функции атома. В этом случае ионизационный механизм хорошо описывается моделью квазиупругого удара, и соответствующее дифференциальное сечение пропорционально спектральной функции ионизационной дырки в пространстве импульсов [57]. Однако такая простая картина процесса справедлива только при достаточно высоких энергиях налетающего электрона (3-5 кэВ), когда дифференциальные сечения малы и, следовательно, трудно измеримы в эксперименте. Поэтому довольно часто эксперименты проводятся при меньших энергиях (0.5-1 кэВ), что с точкрі зрения теории требует учета поправок к модели квазиупругого удара. На примере реакций однократной ионизации, или так называемых (е,2е)- реакций, эти поправки можно условно разбить на две категории: эйкональные поправки за счет эффекта среднего поля в атоме [58] и поправки за счет кулоыовского взаимодействия электронов в конечном состоянии [59].
Введение
Экспериментально (е,2е)- реакции на различных мишенях в кинематике квазиупругого удара исследуются в течение длительного времени, с конца 60-х годов, после появления первых теоретических работ на эту тему [60]. Позже теоретически было предсказано, что (е,3е)- реакции, когда в результате встряски ион-остаток испускает третий медленный электрон, дают эксклюзивную информацию об электронных корреляциях в мишени. И даже если измеряется не угол медленного испущенного электрона, а лишь его энергия (т.н. (е,3-1е)- реакция), то и в этом случае мы можем изучать вклад высших парциальных волн полной волновой функции атома-мишени в дифференциальное сечение, а также радиальные корреляции электронов [61].
Недавно, основываясь на теоретических предсказаниях [61], осуществлён первый (е,3-1е)- эксперимент на атоме Не в симметричной компланарной геометрии [62]. Измерения проводились при значениях энергии падающего электрона Eq = 580 эВ, энергий обоих быстрых электронов Е\ = Е% = Е — 250 эВ и энергии медленного электрона . = 1 эВ. Отметим, что медленный испущенный электрон не детектировался в эксперименте, так как в случае атома гелия данное обстоятельство не принципиально-энергия этого электрона фиксирована законом сохранения. Четырехкратное дифференциальное сечение (в относительных единицах) <$а j dE\dE2dl\dl2 измерялось как функция угла разлета быстрых конечных электронов в\ — ( — 6 относительно вектор-импульса начального электрона ро- Было установлено, что экспериментальное сечение имеет некоторую характерную угловую структуру, которая позволяет говорить о наблюдении радиальных корреляций, однако оно оказалось примерно на 10 смещено в сторону больших углов разлета по сравнению с теоретическими расчетами в рамках приближения плоских волн [61], что указывает на необходимость учета поправок.
В разделах 3.1 и 3.2 приводится последовательная схема учета поправок к механизму квазиупругого удара в реакциях двухкратной ионизации атомов электронным ударом. На основе приведенного формализма делаются приближения, которые отвечают случаю эйкональных [58] и квазиклассических
Введение
[59] поправок, хорошо известных в теории квазиупругих (е,2е)- реакций. В рамках сделанных приближений выполняются расчеты дифференциальных сечений (е,3-1е)~ реакций в гелии и проводится анализ и сравнение результатов с экспериментальными данными [62].
Эффективное адиабатическое приближение на основе на канонического преобразования недавно рассматривалось на примере трехчастичных расчетов упругого рассеяния и энергий слабосвязанных состояний [63]. Однако исчерпывающий анализ асимптотических результатов этой процедуры, который исключительно важен в вычислениях резонансных состояний как слабосвязанных, так и нулевых энергий (отсчитанных от парного порога) не был выполнен. Для исследования и демонстрации эффективности такого канонического адиабатического приближения мы выбираем эталонную модель трех частиц на прямой с притягивающими потенциалами нулевого радиуса, так как в этом случае энергия и фазы рассеяния известны в элементарных функциях [64, 101]. Используя асимптотическое поведение результирующего дальнодействующего потенциала, мы демонстрируем в разделе 2,3 сходимость адиабатического разложения при конечном значении радиальной переменной. Мы показываем, что каноническое адиабатическое приближение обеспечивает адиабатическое разделение переменных в задаче упругого рассеяния 2 + 1, так же как и правильную асимптотику двумерной волновой функции. Мы получаем правильные верхние и нижние оценки при вычислении энергии состояния с нулевой энергией и подходящее поведение фазовых сдвигов упругого рассеяния.
В математическом моделировании физических процессов важную роль играют точно решаемые модели, когда можно явно определить спектр, собственные функции, резонансы, параметры рассеяния и т. п. К числу таких моделей относится описание движения частиц в потенциале, сосредоточенном на некотором дискретном множестве точек (5 - потенциал). Большинство работ на эту тему сделано в квантовой механике.
Одноцентровый гамильтониан с точечным взаимодействием в трёхмерном
Введение
случае вперввіе был исследован Бете и Пайерлсом в 1935 г. при рассмотрении дейтрона [65]. Ферми в 1936 г. при исследовании движения нейтронов в водородной среде ввёл 6 ~ потенциал, получивший позже название псевдопотенциала Ферми [66]. Обширный обзор приложений в атомной физике дан в монографии Демкова и Островского [67].
Несмотря на огромный объём физических и математических работ по 6 -потенциалам (см., например, монографию [68]), практически в стороне осталась одна достаточно простая тема - можно ли при решении задачи рассеяния приблизить произвольный ограниченный потенциал конечной решёткой, состоящей из S - функций. Поскольку задача рассеяния на узлах решетки решается точно, то такой подход имеет преимущества по сравнению с традиционным разложением неизвестной волновой функции в ряд по некоторому ортонормированному базису. Б самом деле, при разложении волновой функции в квантовой задаче рассеяния для системы нескольких частиц возникают известные проблемы [69, 70, 101]. Во-первых, практически очень тяжело оценивать вклад отброшенной части базиса. Во-вторых, асимптотика полученного решения, как правило, отличается от асимптотики точного решения. В-третьих, уточнение любых спектральных характеристик (энергии связанных состояний, ширины и положения резонансов, положения угловых пиков и т.п.) требует значительного увеличения размеров базиса.
Ответ на вопрос: молено ли приблизить кусочно-непрерывный ограниченный потенциал конечной суммой сингулярных ё - функций и использовать такое представление в качестве алгоритма решения эллиптического дифференциального уравнения? - далеко не очевиден, поскольку в самом уравнении появляется произведение функций, сингулярных в одной точке (сингулярность самой функции накладывается на сильную сингулярность дельта-функции). В работе [104] на основе численного эксперимента показано, что в одном измерении такое приближение хорошо работает и, при увеличении числа дельта-функций, сходится к точному решению. Попутно обнаружено, что сетка равных площадей, предложенная в [67], менее эффективна, чем
Введение
простая сетка равных интервалов.
В трехмерном пространстве сингулярность волновой функции значительно сильнее, чем простой излом в одномерном случае. Хотя амплитуда рассеяния и здесь определяется специальными граничными условиями, однако приходится отказаться от требования ограниченности волновой функции [68]. Б разделе 3.1 предложен способ преодолеть эту трудность и получена математическая схема, которая позволяет в принципе приблписать потенциал 5 - функциями в многомерном пространстве и свести исходную задачу нахождения амплитуды рассеяния к решению неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
Динамика заряженной частицы в скрещенных постоянном магнитном и время-зависягцем (переменном) электрическом полях [8] или в специальной метрики искривленного пространства-времени [71] проявляет много интересных эффектов. Например, вычисления классической траектории электрона показывают, что электромагнитное излучение релятивистского электрона в постоянном магнитном поле и сверхкоротком интенсивном лазерном импульсе имеет богатую структуру в направлениях как магнитного, так и электрического полей [72]. Если резонансное условие между циклотронной частотой и лазерной частотой имеет место, то радиационные потери минимизируются и экстремальное ускорение электрона становится возможным на очень короткой длине пробега электрона [73]. Решение уравнения Дирака для атомного электрона в комбинированном сильном магнитном и лазерном поле приводит к кольцевому распределению в резонансном режиме [74], подобно движению волнового пакета свободного электрона в постоянном магнитном и переменном электрическом полях[8]. Наложение статического магнитного поля может усилить скорость ионизации или стабилизировать квантовую систему при воздействии интенсивного лазерного импульса [75]. Тот же эффект наблюдается для модели системы с взаимодействием нулевого радиуса [76]. Более того, не только одноэлектронной, но и многоэлектронной динамикой можно управлять используя конфигурации скрещенных магнитных и элек-
Введение
трических полей [77]. Эти наблюдения показывают большие потенциальные возможности контроля динамики классических и квантовых систем, используя оптимизацию различных параметров в комбинации магнитного и электрических полей.
В квантовом случае решение проблемы контроля динамики сводится к решению нестационарного уравнения Шрёдингера, поэтому разработка высокоточных и устойчивых схем крайне важна для предсказания новых эффектов индуцированных сверхкороткими импульсами.
Для аппроксимации решения по временной переменной обычно применяют схемы типа Кранка-Николсона [78 - 80]. Для аппроксимации решения по пространственным переменным обычно используют разложение решения по ортогональному базису с выделением радиальной переменной [81], при этом радиальное решение в предположении его достаточно гладкого поведения аппроксимируют методом конечных элементов [82, 83]. Для быстроосцилирую-щего решения можно выделить аналитически быстроменяющийся фазовый множитель, а для нахождения достаточно гладкой огибающей, применить схему Кранка-Николсона и затем вернуться к исходному решению. В разделе 3.2 такая адаптивная схема реализована, а ее эффективность продемонстрирована на примере эталонной точно решаемой модели двумерного осциллятора в электрическом поле [8]. Ослабление возмущений искомого решения на границе можно обеспечить искусственным введением мягкой поглощающей диафрагмы [84] или комплексного скейлинга в асимптотической области [85]. Ранее также был предложен так называемый метод расщепления волновой функции [86], который использует представление ее в виде суммы асимптотической и взаимодействующей частей. При помощи граничных условий излучения [87] можно физически корректно разрешить этот вопрос. В случае, если наибольший интерес представляет именно поведение вытекшего излучения, перспективным является использование адаптивной схемы в расширяющейся системе координат, представленной в разделе 3.2. Здесь показано, что для интенсивного сверхкороткого лазерного импульса, огибающая вол но-
Введение
вого пакета определяет распределение по импульсам плотности вероятности ионизации электрона.
Современные лазерные эксперименты стимулируют компьютерное моделирование динамики экзотических малочастичных кулоновских систем. В этом случае конструирование алгоритмов расщепления по физическим параметрам позволяет экономить ресурс ЭВМ [88]. Имеется два важных требования к разрабатываемым схемам и алгоритмам. Они должны быть стабильными и обеспечивать высокую точность по временной и пространственным переменным. С ростом интенсивности лазерных импульсов схема Кранка-Николсона становится неэффективной для аппроксимации оператора эволюции [89], также как и традиционные алгоритмы ее расщепления по физическим параметрам [90]. Поэтому в разделе 3.3. для решения нестационарного уравнения Шредингера разработаны алгоритмы расщепления, основанные на унитарных разложениях оператора эволюции, аппроксимирующих импульсы электрического поля более короткие, чем период классической орбиты электрона в атоме. Этот режим представляет значительный концептуальный интерес, так как перекидывает мост между фотоионизацией и ударной ионизацией атома частицами высоких энергий (см. раздел 2.2). Даны примеры расчета динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы.
Во введение было показано, что актуальной проблемой математического моделирования квантовых систем во внешних полях является разработка как дискретных моделей, так и комплексных алгоритмов и программ, которые реализуют решение рассмотренного выше класса многомерных параметрических и эволюционных краевых задач.
Введение
Под комплексным алгоритмом понимается сочетание адаптивного и комбинированного алгоритмов. Первым шагом реализации адаптивного алгоритма является переформулировки или редукции исходной задачи, при которой полученная задача удовлетворяла бы всем условиям применимости имеющегося набора методов и алгоритмов ее решения. Основной способ редукции многомерной краевой задачи состоит в функциональном разложении искомого решения по удачно выбранному ортогональному базису и последующем приведении полученной задачи к алгебраической, доступной для численного анализа и сравнения с интегрируемыми эталонными моделями. Эти преобразования должны учитывать наиболее значимые особенности искомого решения и быть согласованными с условиями применимости выбранного типа аппроксимации задачи. Таким образом, исходная задача разбивается на последовательность задач, для формулировки и решения которых применяются комбинированные алгоритмы.
Комбинированным алгоритмом реализуется поэтапное решение поставленной задачи. Сначала символьным или численным алгоритмом решается вспомогательная задача. Затем результаты ее решения используются в соответствующем численном или символьном алгоритме как входные данные. Например, для класса квантово-оптнческих моделей с помощью символьных алгоритмов исходная нелинейная задача в новых динамических переменных сводится к линейной алгебраической задаче, а редуцированную таким образом задачу на собственные значения решают стандартными численными алгоритмами.
Во введении было показано, что для построения дискретных моделей и комплексных алгоритмов применяются алгебры динамической симметрии, канонические преобразования, символьные и численные методы. Использование символьных методов позволяет избежать ошибок округления, получить решение поставленной задачи для необходимой области определения исходных параметров, а также рассматривать сингулярные функции и изучать их асимптотическое поведение. Однако промежуточные результаты символь-
-Введение
ных вычислений, как правило, имеют большой объём, а их преобразование к искомой форме требует значителвных компьютерных ресурсов. Поэтому, необходима разработка эффективных комплексных алгоритмов, сочетающих достоинства символьных и численных методов и позволяющих визуализировать исследуемые решения, зависящие от набора физических параметров. Для тестирования разрабатываемых алгоритмов и контроля эффективности их работы необходимо построение эталонных моделей [91].
Целью диссертационной работы является разработка дискретных моделей и комплексных алгоритмов для символьных и численных расчетов физических характеристик квантовых систем во внешних полях и их визуализации с использованием современных компьютерных технологий.
В связи с этим были поставлены и решены следующие задачи по разработке, анализу и апробации комплексных дискретных моделей и алгоритмов:
нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов
анализ моделей ионизации в трехчастичных квантовых системах
решения задачи рассеяния плоских волн на системе квантовых точек
расчета населённостей водородоподобных атомов во внешних импульсных полях
построения системы эталонных моделей
визуализации физических характеристик изучаемых процессов.
Научная новизна. Разработаны и проанализированы алгоритмы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов.Разработаны алгоритмы алгебраической теории возмущений для водородоподобных атомов во внешних полях. Разработан комбинированный алгоритм редукции для модели генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния. Построена квантовая модель среднего поля для ударной ионизации атома гелия. Разработан алгоритм коррекции и визуализации траекторий в полуклассической модели ионизации атома гелия. Построена модель эффективного потенциала для систем трех квантовых частиц. Построены модели рассеяния на системе квантовых точек. Разработаны
Введение
адаптивные алгоритмы для расчета населенностей водородоподобного атома в импульсных полях.
Практическая значимость. Разработаны комбинированные программы символьного решения задач нормализации н квантования полиномиальных гамильтонианов, реализованные на языках MAPLE, MATHEMATICA, REDUCE; произведено сравнение эффективности алгоритмов для нормализации полиномиальных гамильтонианов классической механики методами Виркгофа-Густавсона и Депри-Хори, а также их различных реализаций на указанных языках. Вычислены мультипольные поправки к энергетическому спектру и волновой функции для двух- и трех- мерного водородоподобного атома в однородном и неоднородном электрических полях, реализована модель среднего поля для вычисления сечений процесса ионизации атома гелия. Для нестационарного уравнения Шредингера разработаны программы, реализованные на языках FORTRAN и MAPLE, для расчета динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации. Применение технологии комплексных символьных и численных алгоритмов включает новые возможности визуализации искомых решений, в частности, сложных движений и эволюции волновых пакетов в классических и квантовых системах, а также построения эталонных моделей для тестирования алгоритмов и контроля эффективности их работы. Разработанную комбинированную методику и программы можно применять для расчета характеристик квантовых систем во внешних полях.
Работы выполнялись в рамках совместных проектов по теоретическим и экспериментальным исследованиям квантовых систем во внешних полях, поддержанных грантами РФФИ: 00-02-16337-а "Исследование эффектов, связанных с явлением динамического хаоса при прохождении частиц большой энергии через кристаллы", 00-02-81023-Бел2000_а "Интегрируемые модели в квантовой механике и квантовой оптике", 03-02- 16263-а "Явление динамического хаоса во взаимодействии частиц большой энергии с кристаллическими
Введение
структурами" и ФНТП РФ 40.018.1.1.1314 (2003-2004 гг.) "Разработка новых методов диагностики биологических структур на основе прецизионных оптических и спектроскопических измерений".
Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на 19 международных конференциях:
III - VI International Workshops on Computer Algebra in Scientific Computing, (Самарканд и Бухара, 5-11 октября 2000г.; Констанц, 22-26 сентября, 2001г.; Ялта, 22-27 сентября, 2002г.; Пассау, 20-26 сентября, 2003г,); 6th MACS Conference on Applications of Computer Algebra (Санкт-Петербург, 25-29 июня 2000г.); 2 международная конференция "Современные направления вычислительной физики", (Дубна, 24-29 июля 2000г.); ХХШ International Colloquium Group Theoretical Methods In Physics (Дубна, 31 июля-5 августа 2000 г.); международная конференция "Дифференциальные Уравнения и Системы Компьютерной Алгебры", (Брест, 18-23 сентября 2000г.); International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics, (Дубна, 28-30 июня 2001г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция "Новые информационные технологии" (24 апреля 2002г.; 24-25 марта 2004г.). Sixth Workshop on Computer Algebra (Дубна, 27-28 мая 2002г.); VIII International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research (Москва, 24-28 июня 2002); Fifth International Congress on Mathematical Modelling (Dubna, 30 сентября- 2 октября 2002г.); 12-th International Colloquium Quantum Groups and Integrable Systems (Прага, 12 - 14 июня 2003г.); XXIII International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions, (Стокгольм , 23 - 29 июля 2003г.); Focus Symposium on "Quantum Physics and Communication" (Дубна, 30 июля - 2 августа 2003г.); X International Conference on Symmetry Methods in Physics (Ереван, 13-19 августа 2003г.); International Workshop on Laser Physics and Photonics (Саратов, 1-4 октября, 2002г.; 2-7 октября, 2003г.); а также на научных семинарах Научного центра прикладных исследований (НЦеПИ), Лаборатории информационных технологий (ЛИТ), Лаборатории теоретической физики (ЛТФ) Н.Н.Боголюбова Объединённого института ядерных исследо-
Введение
ваний, физико-математического факультета Белгородского государственного университета (БелГУ), ЫИИЯФ МГУ, РУДН.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 16 публикациях [92 - 107] в виде статей в журналах Программирование, Вычислительные методы и программирование, Журнал физической химии, Journal of physics A, Physics Letters A., SPIE, Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering , в сборнике научных трудов "Новые информационные технологии", докладов в трудах международных конференций, препринтов и сообщений ОИЯИ, программы для расчета динамических характеристик системы ангармонических осцилляторов и водородоподобных атомов во внешних полях официально зарегистрированы в Роспатенте [108 -110]. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и семи приложений. Объём диссертации - 160 страниц, 24 рисунка, 8 таблиц. Список литературы включает 141 наименование.
Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ, БелГУ, НИИЯФ МГУ, ФИАН, кафедра прикладной математики и физики Университет Киото (Япония), Темпл Университет (Филадельфия, США), самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Он внёс определяющий вклад в разработку представленных математических моделей, компьютерное моделирование и анализ конкретных физических задач.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы её цели. Описаны задачи, решение которых приводит к достижению поставленных целей. Приводится краткий обзор истории развития и современного состояния в области построения математических моделей и разработки комплексных алгоритмов для анализа квантовых систем во внешних полях. Кратко изложено содержание разделов диссертации.
В главе 1. представлены и проанализированы комплексные алгоритмы и программы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов
Введение
[92 - 98, 108].
В разделе 1.1. сравниваются алгоритмы и программы для нормализации полиномиальных гамильтонианов классической механики методами Биркго-фа-Густавсона (БГ) и Депри-Хори (ДХ) и процедуры квазиклассического квантования нормальных форм (НФ), представленные в виде универсального псевдокода. Используя алгоритм нормализации построены алгоритмы для решения обратной задачи нормализации: построения класса гамильтонианов Н по заданной нормальной форме G и интегралов движения. Показано, что класс гамильтонианов с произвольными коэффициентами, приводящихся к нормальной форме с нулевыми компонентами принадлежит к классу интегрируемых систем Бертран а-Дарбу. Эффективность работы вышеупомянутых алгоритмов и программ, реализованных с помощью систем компьютерной алгебры REDUCE, MAPLE ж MATHEMATICA, иллюстрируется на примерах полиномиальных гамильтонианов атомных систем во внешних электромагнитных полях.
В разделе 1.2. разработаны и реализованы на языках MATHEMATICA и MAPLE алгоритмы алгебраической теории возмущений для водородоподоб-ного атома, использующие формулировку задачи на собственные значения в терминах алгебры динамической симметрии 30(4,2) или so(3,2). Вычислены мультипольные поправки к энергетическому спектру и волновой функции для двух- и трех- мерного водородоподобного атома в электрическом и магнитном полях.
В разделе 1.3. на языках REDUCE и FORTRAN разработаны комплексные алгоритмы построения и решения линеаризованных моделей класса полиномиальных интегрируемых гамильтонианов квантовой оптики, связанных с представлением алгебры Ли suvd(2). Для модели генерации второй гармоники показаны особенности перехода к двояко-периодическому поведению во времени т среднего числа фотонов {N$(t))cjs в квазиклассическом пределе при больших s > Sq ;> 1.
В главе 2 построены модели и алгоритмы для анализа процессов рассеяния
Введение
в трехчастичных квантовых системах [99 - 102].
В разделе 2.1. разработана и реализована на языке MAPLE программа визуализации асимптотических классических траекторий инжектируемых электронов в полуклассической модели двойной ионизации атома гелия быстрым электроном. Эффективность программы продемонстрирована построением асимптотических траекторий при заданных начальных данных, обеспечивающих коррекцию квантовых расчетов в конечной области.
В разделе 2.2. для атома гелия построена модель А(е,Зе)А++ и А(е, 3 — 1е)Л++ квазиупругих атомных реакций в симметричной плоской геометрии при средних энергиях начального электрона порядка нескольких сотен эВ. На языке FORTRAN реализована программа для вычисления сечений процесса ионизации атома гелия. Сравнение с недавним (е,3-1е) экспериментом в симметричной компланарной геометрии [62] показало возможность выделения эффектов среднего поля в атоме гелия и пост-столкновительных взаимодействий.
В разделе 2.3. разработаны и реализованы на языке MAPLE алгоритмы построения эффективных потенциалов с использованием однопараметриче-ского базиса. Эффективность подхода продемострирована для эталонной одномерной модели трех бозонов с парными взаимодействиями нулевого радиуса.
В главе 3 сформулированы дискретные модели и разработаны алгоритмы расчета физических характеристик систем квантовых точек с короткодействующими потенциалами и атома водорода во внешних полях [103 - ЮТ, 109, ПО].
В разделе 3.1. на языках MAPLE и FORTRAN разработаны комплексные алгоритмы аппроксимации взаимодействий нулевого радиуса еепарабельны-ми потенциалами для решения задачи рассеяния уравнения Шредингера. Эффективность алгоритмов показана на эталонных точно решаемых моделях.
В разделе 3.2. разработаны адаптивные алгоритмы и программы, реализованные на языках MAPLE и FORTRAN, для моделирования процессов
Введение
ионизации атомных систем при импульсном воздействии с выделением медленной огибающей решения задачи Коши для нестационарного уравнения Щредингера. Построены эталонные модели, проведены расчеты, демонстрирующие эффективность разработанных алгоритмов.
В качестве эталонной модели рассмотрен двухмерный осциллятор (или заряженная частица в постоянном однородном магнитном поле) во внешнем электрическом поле. Для численного решения использовалось разложение Галеркина по базису одномерных угловых функций.
В разделе 3.3. для расчета населенностей водородоподобного атома в постоянном магнитном поле разработаны многослойные схемы и комбинированные алгоритмы и программы на языках MAPLE и FORTRAN решения задачи Коши для нестационарного уравнения Шрёдингера, описывающей модели взаимодействия атома с последовательностью лазерных импульсов нулевой длительности. Проведены расчеты, демонстрирующие эффективность разработанных алгоритмов и возможность эффекта стабилизации атома резонансным полем.
Основные научные результаты.
Разработаны комбинированные программы символьного решения задач нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов, алгебраической теории возмущений для расчета мультипольных характеристик водороподобного атома и линеаризации полиномиальных гамильтонианов моделей квантовой оптики, включающей модель генерации второй гармоники.
Сформулированы оригинальная квантовая модель среднего поля для расчета сечения ударной ионизации (е,3е) атома гелия быстрыми электронами в эйканальном импульсном приближении и алгоритм коррекции постстолк-новительных взаимодействий, необходимые для интерпретации современных экспериментов по электронной спектроскопии.
Разработан алгоритм для формирования эффективного потенциала потенциала системы трех частиц в представлении параметрического базиса. Сфор-
Введение
мулированы дискретные модели и эффективные алгоритмы решения задачи рассеяния плоской волны на системе квантовых точек.
Для нестационарного уравнения Шредингера в ортогональном базисе разработаны новые многослойные схемы с расщеплением оператора эволюции, адаптивные алгоритмы и программы для расчета эволюции волнового пакета с выделением медленной огибающей и динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации. Показано, что для интенсивного сверхкороткого лазерного импульса, огжбающая волнового пакета определяет распределение по импульсам плотности вероятности ионизации электрона.
Проведены анализ и апробация разработанных алгоритмов на точно решаемых (трех частиц с потенциалами нулевого радиуса, двумерного осциллятора в электрическом поле) и модельных (генерации второй гармоники, рассеяние плоской волны на решетке квантовых точек, атом водорода в постоянном магнитном и импульсном электрическом полях) задачах. Таким образом, подтверждена высокая точность и эффективность разработанных алгоритмов и программ.
Вычислены сечения реакций ионизации (е-Зе) атома гелия быстрыми электронами, которые согласуются с экспериментальными данными в рамках эй-кональной модели с пост-столкновительными взаимодействиями. Выполненный расчет динамики атома водорода в суперпозиции импульсного резонансного лазерного и постоянного магнитного полей показывает возможность стабилизации и контроля населенностей состояний атома при вариации параметров поля.
Алгебраическая теория возмущений для атома водорода
Как известно, группа 0(4) есть группа симметрии трехмерного атома водорода, а группа вращений 0(4,2) в шестимерном псевдоевклидовом пространстве является группой динамической симметрии [40]. В самом деле, одно бесконечномерное неприводимое представление группы вращений связано масштабным преобразованием с волновыми функциями дискретного спектра атома водорода. Это обстоятельство позволяет формулировать алгебраическую схему теории возмущений в рамках алгебры группы 0(4,2) для атома водорода в трехмерном пространстве, заменяя полиномиальное возмущение подходящей комбинацией операторов5. Для построения такой схемы теории возмущений принято использовать представление алгебры 0(2,1), исходя из возможности разделения переменных для эффекта Штарка. Однако, в случае полиномиального возмущения общего типа, например для атома водорода в Группа 0(3) есть группа симметрии двумерного атома водорода, группой динамической симметрии которого является группа вращений 0(3,2) в пятимерном псевдоевклидовом пространстве. электрическом и магнитном полях или в неоднородном электрическом поле, когда переменные ые разделяются, такое представление неудобно и требуется разработка общей схемы теории возмущений.
Для решения спектральных задач удобнее выбрать нормировку собственного вектора таким образом, чтобы она не содержала дробных степеней квантовых чисел, участвующих в процессе алгебраических вычислений. Цель настоящей работы состоит в формулировке наиболее эффективной схемы теории возмущений, которая не использует идею разделения переменных и допускает дальнейшее обобщение при рассмотрении вырожденной теории возмущений. Для того, чтобы изложение материала было максимально наглядным, мы демонстрируем работу предлагаемой схемы на примерах типа эффекта Штарка, который позволяет получить правильные функции нулевого приближения в замкнутом виде. относительно которого являются самосопряженными6. Базисные векторы в пространстве представлений с данным п заданы собственнымн функциями
Для решения системы уравнений (1.2.13), применяется алгоритм б при следующих значениях параметров: п = 2, A} J — (щ + s) + (щ + t) + m + 1, А = 0, коэффициенты Assj вычисляются из уравнения (1.2.5) с помощью разложений (1.2.5), (1.2.7), и действия операторов (1.2.12).
Алгоритм вычисления собственных значений и собственных функций атома водорода в слабых полях был реализован на различных системах компьютерной алгебры: в виде программ STARK (однородное электрическое поле) [95, 96] и POINTFIELD (поле удалённого точечного заряда) [97] HaREDUCE(red), и EN1QU на MAPLE(mws) и MATHEMATICA(nb). Различие этих программ состоит в способе нахождения коэффициентов f . : в программах STARK и POINTFIELD в &-том порядке задается выражение коэффициента при ek разложения левой части уравнения (1.1.18) (которое автоматически раскрывается, по заданным правилам преобразований), вычисляются коэффициенты
Заметим, что формулы для спектра справедливы и в двумерном случае при значении азимутального квантового числа тп= —1/2. Ограничения на параметры расщепления АЕ и расстояние между центрами R зависят от номера п: АЕ п 3, R п5/2 и согласуются с указанными в работе [25]. Разработанный алгоритм также обеспечивает вычисления замкнутых аналитических выражений для поправок к волновой функции, которые необходимы для построения эффективных потенциалов в кулоновской задачи трёх частиц в адиабатическом представлении [32], таких как антипротонный атом гелия [36], и исследования их сильно делокализованных ридберговских состояний, расчет которых требует разработки специальных численных алгоритмов с плавающей сеткой [37]. различными квантовыми числами п,т — 0 в высокочастотном электрическом поле. В работе [120] случаи п — 5, 20, 50 изучались для одномерного случая и оказались неотличимыми от трёхмерного случая для малых значений главного квантового числа. Как видно из рисунка с увеличением главного квантового числа увеличивается диапазон изменения амплитуды автокорреляционной функции, тогда как со временем частота осцилляции автокорреляционной функции почти не меняется.
Дана формулировка наиболее эффективной схемы теории возмущений, которая не использует идею разделения переменных и допускает дальнейшее обобщение при рассмотрении вырожденной теории возмущений.
Разработаны и реализованы на языках REDUCE и MAPLE алгоритмы алгебраической теории возмущений для водородоподобного атома, использу гощие формулировку задачи на собственные значения в терминах алгебры динамической симметрии so(4,2) или so(3, 2). Разработанный алгоритм также обеспечивает вычисления замкнутых аналитических выражений для поправок к волновой функции, которые необходимы для построения эффективных потенциалов в кулоновской задаче трёх частиц в адиабатическом представлении [32], таких как антипротонный атом гелия [36], и исследования их сильно де локализованных ридберговских состояний, расчет которых требует разработки специальных численных алгоритмов с плавающей сеткой [37].
Эффективность алгоритмов показана на примерах вычисления мульти-польных поправок к энергетическому спектру и волновой функции для двух-и трех- мерного водородоподобного атома в однородном и неоднородном электрических полях, а также в специальных конфигурациях электрического и магнитного полей, которые согласуются в допустимой области физических параметров с результатами численных расчетов с заданной точностью, что позволяет оптимизировать параметры численных алгоритмов и иметь необходимую классификацию рассматриваемых состояний.
Показаны различия в динамике населенностей магнитных состояний в резонансном импульсном лазерном поле в зависимости от начального состояния и оценены возможности стабилизации атома в высокочастотном режиме при вариации параметров поля.
Алгебраические схемы линеаризации интегрируемых моделей квантовой оптики
В течение последних десятилетий большое внимание уделяется исследованию различных квантово-оптических моделей с нелинейными гамильтонианами, выраженных в терминах генераторов алгебры Ли, позволяющих изучать новые физические эффекты и явления. Для анализа таких моделей используются в основном численные расчеты [43 - 45], потому что стандартные Ли-алгебраические методы, хорошо приспособленные к решению проблем с линейными (по генераторам алгебры Ли) гамильтонианами [46 - 48], являются неэффективными, а большинство других аналитических методов (например, алгебраический анзац Бете [49] требуют сложных вычислений и не всегда дают простые аналитические выражения для физических величин. С другой стороны, стандартные численные схемы ограничены компьютерными ресурсами и не приспособлены, для исследования особенностей динамики модели [50 - 52].
Новый универсальный Ли алгебраический подход, существенно улучшающий и аналитические и численные решения физических проблем, был предложен в [53] и разработан в [50, 51, 54, 55] для некоторых нелинейных квантовых моделей с гамильтонианом Н, имеющим группы инвариантности G{ : [Gi, Н] = 0. Этот подход основан на переформулировке изучаемых моделей в терминах (введенный в [51, 53, 55] ) полиномиальных алгебр Ли (PLA) gpd как алгебр динамической симметрии gD : gD — д , полностью описывающих динамику модели. Ниже представлены соответствующие алгоритмы реализующие данный подход, в подпространстве конечной размерности, а также проведено сравнение точных квантовых расчетов с различными квазиклассическими приближениями. FORTRAN, для получения решений спектральной и эволюционной задач для широкого класса интегрируемых моделей квантовой оптики, переформулируемых в терминах алгебры динамической симметрии supd(2). Эти результаты также как и реализация алгоритма получения приближенного решения (см. (1.3.11)) дают эффективный инструмент для исследования моделей в соответствующих диапазонах их характерных параметров, определяемых размерностью подпространства с ([ ]) и соответственно компьютерными ресурсами пользователя.
Численные расчеты, данного раздела показали хорошее согласование точных (квантовых) и приближенных результатов при s » 1 и подходящем выборе параметра г. Поэтому, реализованные в данной работе, схемы точных (квантовых) вычислений, дополненные квазиклассическими выражениями основанными на формулах подобных (1.3.11), (1.3.12), могут использоваться для анализа моделей для любых значений характерных параметров
Проведенное сравнение точных квантовых расчетов в подпространстве конечной размерности с различными квазиклассическими приближениями показывает перспективность нового подхода с полиномиальными алгебрами Ли и открывает конструктивный путь построения нестандартных численных процедур решения сформулированной алгебраической задачи на основе дальнейшего изучения свойств симметрии решений точно-решаемых моделей с q-деформированными алгебрами Ли [123].
Разработана и реализована на языке MAPLE программа визуализации асимптотических классических траекторий вылетающих электронов в полуклассической модели двойной ионизации атома гелия быстрым электроном. Эффективность алгоритма продемонстрирована нахождением асимптотических параметров движения электронов с учетом искривления их траекторий за счет кулоновского отталкивания при заданных начальных данных, обеспечивающих коррекцию приближенных квантовых расчетов.
Рассмотрим кратко формулировку алгоритма визуализации классических траекторий электронов в полуклассической модели двойной ионизации атома гелия быстрым электроном, которая позволяет фитировать эк отклонению от прямолинейных траекторий электронов, которые в выходном канале взаимодействуют по закону Кулона [99]. В общем случае, классический гамильтониан N электронного атома с атомным номером Z имеет вид [124] (в псевдопотенциал типа Паули, который отделяет идентичные электронные пары в фазовом пространстве, при этом описывается электронная структура атома. Полуклассическая модель атома ограничивается нахождением устойчивого основного состояния в котором электроны имеют отличные от нуля импульсы, поскольку потенциалы зависят от скорости; этот процесс был рассмотрен Коэном, который нашел основные состояния для Z 38 с фиксированными параметрами, псевдопотенциалов [125]. Эта модель используется, для изучения таких систем в зависимости от распределения электронов в основном состоянии и динамики столкновения от параметров псевдопотенци-алов аи(.
Ниже мы представляем моделирование двойной ионизации гелиевого атома (N=2) быстрым электроном с начальным импульсом ро 2 1. в предположении Визуализация классических траекторий двух испускаемых электронов с импульсами рьР2 в плоскости их движения в системе координат, показанной на рис. 2.1 за пределами ядра с характерным размером 7 1. Здесь ri, г 2 расстояния между атомным ядром cZ 2i электронами, в\, 92 - углы
Модели электронных корреляций в процессах ударной ионизации атома гелия
Ионизация атомной мишени электронным ударом с одновременным измерением на совпадение продуктов реакции широко и интенсивно используется для исследования электронной структуры и механизмов ионизации атомов [56]. Режим большой передачи импульса от налетающего электрона одному из электронов атомной мишени, когда измеряется на совпадение быстрая электронная пара, особенно выгоден для изучения структуры волновой функции атома. В этом случае ионизационный механизм хорошо описывается моделью квазиупругого удара, и соответствующее дифференциальное сеченже пропорционально спектральной функции ионизационной дырки в пространстве импульсов [57]. Однако такая простая картина процесса справедлива только при достаточно высоких энергиях налетающего электрона (3-5 кэВ), когда дифференциальные сечения малы и, следовательно, трудно измеримы в эксперименте. Поэтому довольно часто эксперименты проводятся при меньших энергиях (0.5-1 кэВ), что с точки зрения теории требует учета поправок к модели квазиупругого удара. На примере реакций однократной ионизации, или так называемых (е,2е)- реакций, эти поправки молено условно разбить на две категории: эйкональные поправки за счет эффекта среднего поля в атоме [58] и поправки за счет кулоновского взаимодействия электронов в конечном состоянии [59].
Экспериментально (е,2е)- реакции на различных мишенях в кинематике квазиупругого удара исследуются в течение длительного времени, с конца 60-х годов, после появления первых теоретических работ на эту тему [60]. Позже теоретически было предсказано, что (е,3е)- реакции, когда в результате встряски ион-остаток испускает третий медленный электрон, дают эксклюзивную информацию об электронных корреляциях в мишени. И даже если измеряется не угол медленного испущенного электрона, а лишь его энергия (т.н. (е,3-1е)- реакция), то и в этом случае мы можем изучать вклад высших парциальных волн полной волновой функции атома-мишени в дифференциальное сечение, а также радиальные корреляции электронов [61].
Совсем недавно в Италии, основываясь на теоретических предсказаниях [61], осуществлили первый (е,3-1е)- эксперимент на атоме Не в симметричной компланарной геометрни [62]. Измерения проводились при значениях энергии падающего электрона EQ — 580 эВ, энергий обоих быстрых электронов Ei = Е2 = Е = 250 эВ и энергии медленного электрона = 1 эВ. Отметим, что медленный испущенный электрон не детектировался в эксперименте, так как в случае атома гелия данное обстоятельство не принципиально-энергия этого электрона фиксирована законом сохранения. Четырехкратное дифференциальное сечение (в относительных единицах) d4a/dEidE2dQidQ,2 измерялось как функция угла разлета быстрых КОНеЧНЫХ ЭЛеКТрОНОВ и\ — 02 — " ОТ-носителыю вектор-импульса начального электрона р$. Было установлено, что экспериментальное сечение имеет некоторую характерную угловую структуру, которая позволяет говорить о наблюдении радиальных корреляций, однако оно оказалось примерно на 10 смещено в сторону больших углов разлета по сравнению с теоретическими расчетами в рамках приближения плоских волн [61], что указывает на необходимость учета поправок.
В настоящей работе впервые приводится последовательная теория поправок к механизму квазиупругого удара в реакциях двухкратной ионизации атомов электронным ударом. На основе приведенного формализма делаются приближения, которые отвечают случаю эйкональыых [58] и квазиклассиче ских [59] поправок, хорошо известных в теории квазиупругих (е,2е)- реакций. 8 рамках сделанных приближений выполняются расчеты дифференциаль ных сечений (е,3-1е)- реакций в гелии и проводится сравнение результатов с экспериментальными данными [62]. Используются атомные единицы. Обозначим через (J5o Po), {&i,Pi) (&2,р2) и (Ek,k) энергии и импульсы начального, одного и другого быстрых конечных электронов, а также медленного испущенного электрона. Традиционно определим переданный импульс Q = P Q — pi, хотя в случае симметричной кинематики выбор вектора р\ ничем специально не обусловлен, и вектор р = ро рх — р\. Законы сохранения энергии и импульса имеют вид Для симметричных реакций Е\ = Е% — Е 4р, и плоские углы $\ = 6 — 9 45. Полный гамильтониан системы "атом 4- электрон" записывается в виде Для определенности индекс "1" относим к начальному электрону, индекс "2" - к выбиваемому быстрому электрону и индекс "3" - к испускаемому в результате встряски медленному электрону. Их симметрии учтем позже. Кроме того, в (2.2.1) Vi - оператор взаимодействия электрона с бесконечно тяжелым ядром, Vij - оператор взаимодействия двух электронов, 1щ - свободный гамильтониан г-го электрона. Выделим в потенциалах V\j "короткодействующую" Уіа. "дальнодейству-ющую" Vf части для того, чтобы далее использовать хорошо разработанный в теории многочастичного рассеяния аппарат канальных гамильтонианов [127]. Запишем теперь точную амплитуду рассматриваемого процесса следующим образом: Чтобы максимально просто учесть взаимодействие налетающего электрона с атомом в начальном состоянии, сделаем замену Vi -f V + Vf — VQ И будем рассматривать движение электрона в поле эффективного потенциала VQ. С учетом этого обстоятельства выражение (2.2.2) преобразуется к виду где Фо) - волновая функция атома гелия в основном состоянии, а х Г (Ро)) искаженная волна падающего электрона. Заметим, что эффективный потенциал VQ стремится к нулю при достаточном удалении электрона от атома, и искаженная волна переходит в плоскую, как и должно быть. Слагаемое в (2.2.3), включающее оператор V-lg, описывает прямое выбивание быстрого электрона "2" налетающим электроном "1" (как при прямом ударе в бильярде), тогда как слагаемое, включающее оператор V : описывает обменный процесс, когда медленный электрон "3" выбивается быстрым электроном "1", а быстрый электрон "2" образуется в результате встряски. Амплитуда такого процесса может иметь заметную величину по сравнению с прямой амплитудой лишь в случае очень сильных электронных корреляций в атоме гелия, которые мы здесь не предполагаем. В дальнейших расчетах мы опускаем обменный член.
Алгоритм схемы Кранка - Николсона в представлении метода конечных элементов
В данном разделе для моделирования характеристик двумерного осциллятора при наличии внешнего дипольного поля, зависящего от времени, исследована возможность применения адаптивной схемы решения нестационарного уравнения Шрёдингера.
Для аппроксимации решения по временной переменной применена схема Кранка-Николсона, для огибающей решения использовано разложение по ортогональному базису угловой переменной и метод конечных элементов по радиальной переменной.
На точно решаемой эталонной модели одномерного атома показано, что для интенсивного сверхкороткого лазерного импульса, огибающая волнового пакета определяет распределение по импульсам плотности вероятности ионизации электрона.
Эффективность разработанной адаптивной схемы и программы MEWP 4.0, реализованной на языке Фортран, показана сравнением с аналитическим решением задачи.
Для нестационарного уравнения Шредингера разработаны алгоритмы расщепления, основанные на унитарных разложениях оператора эволюции, аппроксимирующих последовательность импульсов электрического поля более коротких чем период классической орбиты электрона в атоме. Даны примеры расчета динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации [107].
Динамика заряженной частицы в скрещенных постоянном магнитном и время-зависящем (переменном) электрическом нолях проявляет много интересных эффектов, Например, вычисления классической траектории электрона показывают, что электромагнитное излучение релятивистского электрона в постоянном магнитном поле и сверхкоротком интенсивном лазерном импульсе имеет богатую структуру в направленииях как магнитного, так и электрического полей [72]. Если резонансное условие между циклотронной частотой и лазерной частотой имеет место, то радиационные потери минимизируются и экстремальное ускорение электрона становится возможным на очень короткой длине пробега электрона [73]. Решение уравнения Дирака для атомного электрона в комбинированном сильном магнитном и лазерном поле приводит к кольцевому распределению в резонансном режиме [74], подобно движению пакета свободного электрона, приведенного в предыдущем разделе. Наложение статического магнитного поля может усилить скорость ионизации или стабилизировать квантовую систему при воздействии интенсивного лазерного импульса [75]. Тот же эффект наблюдается для модели системы с взаимодействием нулевого радиуса [76]. Более того, не только одноэлектронной, но и многоэлектрош-юй динамикой можно управлять используя конфигурации скрещенных магнитных и электрических полей [77]. Эти наблюдения показывают большие потенциальные возможности контроля динамики классических и квантовых систем, используя оптимизацию различных параметров в комбинации магнитного и электрических полей.
В квантовом случае решение проблемы контроля динамики сводится к решению нестационарного уравнения Шрёдннгера, поэтому разработка высокоточных и устойчивых схем крайне важна для предсказания новых эффектов индуцированных сверхкороткими импульсами.
Современные лазерные эксперименты стимулируют компьютерное моделирование динамики экзотических малочастичных кулоновских систем. В этом случае конструирование алгоритмов расщепления по физическим параметрам позволяет экономить ресурс ЭВМ. Имеется два важных требования к разрабатываемым схемам и алгоритмам. Они должны быть стабильными и обеспечивать высокую точность по временной и пространственным переменным. В данном разделе формулируется метод решения нестационарного уравнения Шрёдингера, основанный на унитарных схемах расщепления оператора эволюции (в программе реализован метод четвертого порядка точности по шагу сетки временной переменной). Как и в предыдущем разделе решение трехмерной задачи ищется в представлении базиса сферических гармоник. Для конструирования численной схемы используется алгоритм, реализующий метод конечных элементов заданного порядка точности по шагу сетки радиальной переменной.
