Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия и определения 22
1.1 Предварительное описание систем управления и их функционирования. Связь возвращаемости и управляемости 22
1.2 Общая схема исследования управляемости 24
2 Управление линейными по состояниям системами 27
2.1 Специфика линейных по состоянию систем 27
2.2 Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы) 29
2.3 Линейные по состоянию системы управления с непрерывным пространством базовых управлений 37
2.3.1 Предположение А о сводимости системы с непрерывным пространством базовых управлений к полисистеме с дискретным пространством базовых управлений 38
2.3.2 Матричные семейства общего положения 39
2.3.3 Приведение матричных семейств в общее положение 40
2.3.4 Спектральные типы матричных семейств 44
2.3.5 Справедливость предположения А1 для системы с тривиальным спектральным типом 49
2.3.6 Управляемость систем с тривиальным спектральным типом 50
2.3.7 Ослабленное предположение А для систем с нетривиальным спектральным типом 52
2.3.8 Представление системы с нетривиальным спектральным типом. Иерархия подсистем 53
2.3.9 Иерархия проективных компонент 58
2.3.10 Условия зацепляемости компонент проективного разложения 60
2.3.11 Проективная управляемость систем с нетривиальным спектральным типом 63
4 Пара управляющих встречных последовательностей многообразий 65
5 Пара встречных последовательностей многообразий для проекции линейной системы с тривиальным спектральным типом 68
6 Системы второго порядка 70
2.6.1 Условия управляемости билинейных систем, выраженные через коэффициенты матриц 70
2.6.2 Соотношение свойства зацепляемости и вида зависимости матричного семейства от управляющего параметра 73
7 Условия локальной управляемости критических элементов и условия зацепляемости 79
2.7.1 Условия локальной управляемости 79
2.7.2 Условия локальной управляемости точек покоя 80
2.7.3 Условия локальной управляемости предельных циклов для систем третьего порядка 83
2.7.4 Условия зацепляемости для систем третьего порядка . 84
» 2.8 Примеры линейных по состоянию систем 86
2.8.1 Системы второго порядка 86
2.8.2 Системы третьего порядка 92
2.8.3 Системы с комплексными коэффициентами 97
2.9 Примеры маятниковых колебательных систем 99
2.10 Линейные по состоянию дискретные динамические системы управления 101
2.11 Линеаризации системы управления 103
2.11.1 Управление системой в окрестности ее точки покоя . 103
2.11.2 Управление системой в окрестности ее предельного цикла 104
2.11.3 Системы Морса-Смейла 106
2.11.4 Управление системой в окрестности ее инвариантного множества 108
2.12 Заключительные замечания об условиях управляемости для
линейных и нелинейных систем. 109
2.12.1 Сравнение линейных и нелинейных систем с регулярным поведением 109
2.12.2 Характер поведения траекторий регулярных и хаотических систем 112
2.12.3 Программная реализация проверки управляемости линейных по состоянию систем 115
3 Управление хаотическими системами 116
3.1 Вводные замечания 116
3.2 Определение динамической системы управления и некоторых связанных с ней понятий 120
3.2.1 Основные отображения, локальные семейства отобра жений и порожденные ими системы управления 121
3.2.2 Управляемость системы и время управления 122
Свойства динамической системы, порожденной базовым отображением 124
3.3.1 Топологические свойства основных отображений 124
3.3.2 Системы, задаваемые гладкими обратимыми основными отображениями (гиперболическими и нейтральными) 126
3.3.3 Свойства основных отображений (диффеоморфизмов), выраженные в терминах инвариантных мер 130
3.3.4 Оценки для скорости сходимости в законе больших чисел 139
3.3.5 Оценки для времени переходного процесса, равномерные относительно начального состояния 141
Свойства локальной системы управления 142
3.4.1 Условия полной равномерной локальной управляемости во всем пространстве состояний 145
3.4.2 Условия частичной локальной управляемости для гиперболических систем 146
3.4.3 Вычисление матрицы локальной управляемости 149
Оценки времени управления для систем равномерно гиперболического типа 150
3.5.1 Оценки сверху времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями 151
3.5.2 Оценки снизу времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями 159
3.5.3 Пример динамической системы управления, порожденной линейным гиперболическим отображением 162
3.6 Оценки времени управления для гиперболических систем, использующие средние характеристики 166
3.6.1 Средний коэффициент растяжения 168
3.6.2 Оценки времени управления для случая частичной локальной управляемости во всем пространстве состояний 168
3.6.3 Сравнение оценок времени управления, использующих равномерный коэффициент растяжения и коэффициент растяжения в среднем 175
3.7 О выборе параметров в оценках для времени управления 177 3.7.1 Выбор оптимального значения параметра 5\ 177
3.8 Оценивание времени переходных процессов с помощью статистических методов 182
3.9 Асимптотичекие оценки сверху времени управления 183
3.9.1 Оценки сверху для среднего времени управления, ис
пользующие распределения коэффициентов управляе
мости вдоль неустойчивых направлений 185
3.10 Оценки времени управления для систем нейтрального типа 189
3.10.1 Свойства множеств локальной достижимости 189
3.10.2 Оценка сверху времени управления для систем нейтрального типа 192
3.10.3 Оценка снизу времени управления для систем нейтрального типа , 195
3.10.4 Пример динамической системы управления, порожденной аффинным отображением нейтрального типа 197
3.11 Оценки времени управления для слабо хаотических систем, имеющих накрывающие системы 200
3.11.1 Пример семейства вырождающихся систем управления на двумерном торе 203
3.11.2 Некоторые случаи управления хаосом 210
3.11.3 Возмущение вырожденного семейства отображений посредством двупараметрического семейства отображений 211
3.11.4 Определение слабо хаотической системы управления 212
3.11.5 Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления 215
3.11.6 Оценки сверху времени управления 216
3.12 Распределение ресурсов при управлении слабо хаотическими системами 217
3.12.1 Описание возмущенных систем управления 217
3.12.2 Сравнение оценок времени управления для возмущенных систем гиперболического и нейтрального типов. 225
3.13 Оценки времени управления для нестационарных систем, по рожденных квазилинейными гиперболическими отображени ями 231
3.13.1 Хаотические системы на торе, порожденные линейны ми нестационарными отображениями 232
3.13.2 Описание одного класса нестационарных систем управ ления 235
3.13.3 Характеризация хаоса с помощью коэффициентов раз-бегания траекторий 240
3.13.4 Оценки сверху времени управления с помощью коэффициентов разбегания траекторий 242
3.13.5 Характеризация хаоса как степени роста объемов в неустойчивом направлении 247
3.13.6 Оценки сверху времени управления на основе скорости роста объемов 249
3.13.7 Оценки снизу времени управления для нестационарных систем управления 254
3.13.8 Оценки времени управления для случая, когда эллипсоид локальной управляемости не находится в общем положении 259
3.14 Заключительные замечания 261
4 Методы символической динамики и локального управления 266
4.1 Вводные замечания 266
4.2 Символический образ динамической системы 267
4.3 Построение управлений 269
4.4 Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем 275
4.4.1 Исследование двумерной линейной по состоянию системы 275
4.4.2 Проверка условий зацепляемости 277
4.4.3 Применение методов символической динамики к построению символических образов хаотических систем. 279
4.5 Заключительные замечания 284
Заключение 286
Результаты, выносимые на защиту 288
Список литературы
- Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы)
- Основные отображения, локальные семейства отобра жений и порожденные ими системы управления
- Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления
- Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем
Введение к работе
Работа посвящена исследованию математических моделей динамических систем управления с конечномерными пространствами состояний, имеющих различные типы поведения. Основное внимание уделено нахождению условий управляемости этих систем, получению оценок времени управления и построению управляющих воздействий, обеспечивающих достижение заданных целей управления.
Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана [120],[121],[121], в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.
Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р. [43], Кухтенко А.И. и др. [48], Елкина В.И. [24] и неко-
торые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.
Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.
Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре [5] Андреева Ю.Н., в обзоре [2] Аграчева А.А., Вахрамеева С.А., Гамкрели-дзе Р.В. и в обзоре [22] Вахрамеева С.А. и Сарычева А.В. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге [4] Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению
динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению, (см. например, [60, 24, 116, 157]). Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.
Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем. Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е. рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей. Некоторые ее частичные решения даны в работах [135, 158].
Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения — у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходят-
ся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение, см. рис.2.16. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла, [34].
Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемос-ти могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением. В настоящей работе исследуется проявление свойства возвращаемости на различных моделях регулярных и хаотических систем.
Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, в работах [60], [61],[27],[28] и других исследовался вопрос, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример относится к работе [15], где показано, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. В данной работе исследуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.
Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что
обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений, [15]. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий, [159]. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых численное моделирование не дает обычно понимания причин управляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, осуществленного в настоящей работе, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.
Остановимся сначала на системах управления с регулярным поведением. В данной работе для некоторых классов таких систем предлагается метод управления, который является новым вариантом метода регулярного синтеза управлений. Этот метод состоит в построении двух так называемых встречных последовательностей многообразий, элементы которых называются клетками. Элементами первой последовательности обычно являются устойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности убывают. Элементами второй последовательности обычно являются неустойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно также предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности воз-
растают. В соответствии с предлагаемым методом движение происходит по клеткам, поочередно принадлежащим то одной, то другой последовательности. Переключение движений с элементов одной встречной последовательности на элементы другой встречной последовательности организовано так, что позволяет осуществить переход из начального заданного состояния в конечное заданное состояние.
Основное внимание в работе уделено применению метода встречных последовательностей для управления линейными по состоянию системами. Класс линейных по состоянию систем является важным, в частности, по следующей причине. К исследованию управляемости таких систем можно свести исследование управляемости произвольных гладких систем в окрестности их инвариантных множеств достаточно простой природы, таких как точки покоя, предельные циклы, инвариантные торы и некоторые другие. В данной работе рассмотрен ряд примеров такого сведения. Некоторые математические постановки задач об управлении линейными по состояниям системами можно найти в работах Кучеры [136] и Суссмана [155]. Однако задача о глобальной управляемости линейных по состояниям систем произвольной размерности не получила достаточно полного решения. Изложенные в этой работе новые условия управляемости линейных по состоянию систем основаны на публикациях автора [88], [90]. Для формулировки условий управляемости введены некоторые новые понятия, в частности понятие спектрального типа линейной по состояниям системы управления, понятие проективных компонент системы и понятие о зацеп-ляемости этих компонент.
В предлагаемой работе исследуется управляемость грубых линейных систем, т.е. систем, сохраняющих свои свойства при малых возмущениях их параметров. Они называются системами общего положения. Нелинейные
системы, дающие при линеаризации грубые линейные системы, достаточно адекватно характеризуются своими линейными приближениями.
Следует отметить, что многие понятия, введенные для линейных по состоянию систем, могут быть соответствующим образом модифицированы для гладких динамических систем управления достаточно широкого класса (без предположения наличия у них каких-либо специальных свойств). Поэтому методы управления, применявшиеся первоначально для линейных по состояниям системам, могут быть применены для управления регулярными системами более общего вида, без обязательной их линеаризации. Однако практически удается исследовать управляемость нелинейных систем общего вида лишь невысокой размерности, [129, 130]. Это связано с трудностью локализации их инвариантных множеств даже численными методами.
Обратимся теперь к системам с хаотическим поведением. Как уже отмечалось, системами с хаотическим поведением иногда невозможно управлять методами, пригодными для систем с регулярным поведением. Главная причина этого заключается в трудности осуществить регулярный синтез управлений (см. подробнее об этом в разделе 2.12). Однако, у систем с хаотическим поведением имеются всюду плотные траектории, что позволяет тривиально решить вопрос об их глобальной управляемости при наличии локальной управляемости. Примерная схема управления может быть осуществлена следующим образом. Для начальной и конечной точек пространства состояний существует (базовая) траектория, проходящая сколь угодно близко от них. Поэтому с помощью подходящего локального управления можно перейти из начальной точки на указанную траекторию, затем двигаться по этой траектории (достаточно большое время) до следующей подходящей точки, затем снова с помощью подходящего локального управления перейти с траектории в конечную точку.
Особенностью систем с хаотическим поведением является возможность применять управляющие воздействия сколь угодно малой интенсивности, так как базовая траектория проходит сколь угодно близко от начальной и конечной точек. Однако, это может сделать время управления сколь угодно большим. Поэтому для систем с хаотическим поведением на первый план выходят вопросы исследования зависимости времени управления от интенсивности управлений, а также от величин, характеризующих хаотичность системы.
В настоящее время исследование управляемости систем с хаотическим поведением проводится весьма интенсивно, что привело к появлению большого числа работ, в которых исследовались системы различных классов. Современное состояние теории управления хаосом и история вопроса освещены в обзоре [8, 9]. Мы перечислим здесь лишь некоторые из работ. Во-первых, отметим работу [143], в которой заложены основы так называемого OGY-метода, получившего развитие во многих последующих работах. В этой работе полученные оценки времени управления зависят степенным образом от уровня локальных управлений. Далее отметим работу [159], в которой исследовались необратимые одномерные систем на единичном отрезке и с помощью методов символической динамики получены оценки времени управления логарифмического типа. В работе [153] исследовалась управляемость гамильтоновых систем и отмечалось, что в области хаотического поведения траекторий время управления зависит логарифмически от размера областей локальной достижимости и, следовательно, от уровня локальных управлений. Из других подходов можно отметить работы, использующие методы обратной связи ([117, Isidori А.], [149, Piragas К.] и др.) Имеется большое число работ, в которых время управления системой оценивалось численно. Для примера укажем на работы [99, 141].
В данной работе для систем с хаотическим поведением в качестве основной задачи рассматривается задача оценивания времени управления для различных класс систем. Для этого мы используем такую характеристику степени хаотичности как скорость роста объемов начальных множеств в неустойчивых направлениях. Связь скорости роста объемов и степени хаотичности системы отмечалась в работах [160, 142].
Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют всевдотраектории движений системы управления и обеспечивают "почти управляемость" системы в пространстве состояний. Поэтому они имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать эти всевдотраектории и получать настоящие траектории движения в пространстве состояний. Преимущество данного подхода разделения управлений на основные и корректирующие проявляется в том, что каждая из этих составляющих может проектироваться отдельно с тем, чтобы обеспечить заданные свойства совокупной системы. Такое разделение управлений имеется во многих реальных системах управления.
В ряде рассмотренных ниже задач управления можно ограничиться сравнительно небольшим (обычно конечным) множеством основных управлений. Отметим, что для систем с хаотическим поведением как правило можно обойтись всего одним основным управлением, которое соответствует динамической системе, имеющей всюду плотные траектории. Для систем
с регулярным поведением множество основных управлений обычно более обширно, причем мощность множества основных управлений обусловливается количеством качественно различных фазовых портретов семейства векторных полей, задающих систему управления. Последнее же связано с числом бифуркаций, происходящих в этом семействе векторных полей. Заметим также, что имеется ряд сценариев, при которых регулярное поведение системы сменяется хаотическим после прохождения определенного количества бифуркаций.
Как отмечалось ранее, при управлении динамической системой в предлагаемом методе управления используется свойство локальной управляемости вдоль основных траекторий. Поэтому желательно, чтобы это свойство не было исключительным. В работе использовано, что по крайней мере для аналитических систем свойство локальной управляемости не является исключительным. Кроме того, для достаточно гладких систем наличие этого свойства может быть эффективно проверено с помощью ранговых критериев.
Выше мы касались вопросов качественного исследования управляемости систем. Остановимся на проблеме конкретного построения управлений. Что касается систем с регулярным поведением, то при исследовании их управляемости (методом встречных последовательностей) одновременно строится последовательность базовых управлений. Локальные же управления строятся стандартным способом (см. например [2]). Для систем с хаотическим поведением при качественном их исследовании обычно лишь используется существование управлений, обеспечиващих заданные цели управления. Для построения конкретных управлений полезными оказываются методы символической динамики. Методы символической динамики могут применяться для систем управления любой природы, но особенно эффективны
они для систем с хаотическим поведением. В настоящей работе некоторый специальный вариант метода символической динамики, предложенный в [54], приспособлен для поиска управляемых траекторий, ведущих из начальной точки в желаемую целевую точку.
Структура текста работы следующая. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и заключения. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры. Вторая глава посвящена исследованию управляемости класса линейных по состоянию динамических систем управления и некоторым классам регулярных систем с достаточно простым поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению достаточных условий управляемости по части переменных при различных предположениях о свойствах системы. Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем управления с хаотическим поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению оценок сверху и снизу времени управления, а также получению оценок в среднем времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. На основе полученных оценок решается задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости. Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ построения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние под действием последовательности допустимых управлений, которая также строится. В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций. Список
их дан в приложении.
* Используемые в работе сведения по теории динамических систем, в ос-
новном, взяты из книг [44] и [17], а по теории случайных процессов — из книг [33, 68, 96, 50]. Часть общепринятых понятий и определений приводится, на другие понятия указаны ссылки, причем необязательно на первоисточники.
Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы)
Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют всевдотраектории движений системы управления и обеспечивают "почти управляемость" системы в пространстве состояний. Поэтому они имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать эти всевдотраектории и получать настоящие траектории движения в пространстве состояний. Преимущество данного подхода разделения управлений на основные и корректирующие проявляется в том, что каждая из этих составляющих может проектироваться отдельно с тем, чтобы обеспечить заданные свойства совокупной системы. Такое разделение управлений имеется во многих реальных системах управления.
В ряде рассмотренных ниже задач управления можно ограничиться сравнительно небольшим (обычно конечным) множеством основных управлений. Отметим, что для систем с хаотическим поведением как правило можно обойтись всего одним основным управлением, которое соответствует динамической системе, имеющей всюду плотные траектории. Для систем с регулярным поведением множество основных управлений обычно более обширно, причем мощность множества основных управлений обусловливается количеством качественно различных фазовых портретов семейства векторных полей, задающих систему управления. Последнее же связано с числом бифуркаций, происходящих в этом семействе векторных полей. Заметим также, что имеется ряд сценариев, при которых регулярное поведение системы сменяется хаотическим после прохождения определенного количества бифуркаций.
Как отмечалось ранее, при управлении динамической системой в предлагаемом методе управления используется свойство локальной управляемости вдоль основных траекторий. Поэтому желательно, чтобы это свойство не было исключительным. В работе использовано, что по крайней мере для аналитических систем свойство локальной управляемости не является исключительным. Кроме того, для достаточно гладких систем наличие этого свойства может быть эффективно проверено с помощью ранговых критериев.
Выше мы касались вопросов качественного исследования управляемости систем. Остановимся на проблеме конкретного построения управлений. Что касается систем с регулярным поведением, то при исследовании их управляемости (методом встречных последовательностей) одновременно строится последовательность базовых управлений. Локальные же управления строятся стандартным способом (см. например [2]). Для систем с хаотическим поведением при качественном их исследовании обычно лишь используется существование управлений, обеспечиващих заданные цели управления. Для построения конкретных управлений полезными оказываются методы символической динамики. Методы символической динамики могут применяться для систем управления любой природы, но особенно эффективны они для систем с хаотическим поведением. В настоящей работе некоторый специальный вариант метода символической динамики, предложенный в [54], приспособлен для поиска управляемых траекторий, ведущих из начальной точки в желаемую целевую точку.
Структура текста работы следующая. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и заключения. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры. Вторая глава посвящена исследованию управляемости класса линейных по состоянию динамических систем управления и некоторым классам регулярных систем с достаточно простым поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению достаточных условий управляемости по части переменных при различных предположениях о свойствах системы. Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем управления с хаотическим поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению оценок сверху и снизу времени управления, а также получению оценок в среднем времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. На основе полученных оценок решается задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости. Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ построения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние под действием последовательности допустимых управлений, которая также строится. В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций. Список их дан в приложении.
Используемые в работе сведения по теории динамических систем, в ос новном, взяты из книг [44] и [17], а по теории случайных процессов — из книг [33, 68, 96, 50]. Часть общепринятых понятий и определений приводится, на другие понятия указаны ссылки, причем необязательно на первоисточники.
Основные отображения, локальные семейства отобра жений и порожденные ими системы управления
Рассмотрим локальное семейство гладких обратимых отображений (диффеоморфизмов) /(.,«) :Х- Х, иеисж, (3.2.1) зависящих от параметра и, где X — компактное гладкое риманово много образие размерности d. Локальность семейства (3.2.1) означает, что мно жество U — некоторая окрестность точки ІІ Є кга. Далее мы считаем для простоты, что т = 1. Метрика риманова многообразия порождает меры объемов всех порядков к = 1,..., , в частности, меру объема Vol в про » странство состояний (ПС) и функцию расстояния dist в ПС.
Пусть задано некоторое отображение z+ — U с помощью соответствия t - щ, t = 0,1,2,..., которое задает последовательность управлений {щ}. Это отображение и семейство отображений (3.2.1) определяют динамическую систему управления (ДСУ) следующего вида xt+1 = f(xt,ut), і = 0,1,2 (3.2.2) Эта система управления является дискретным аналогом системы с непрерывным временем вида (1.2.4).
Отображение /о(.) = /(.,w) при значении параметра и = w мы будем называть основным (базовым). Оно определяет динамическую систему (ДС) +i = /o( ). = 0,1,2,.... (3.2.3)
Если ввести новый (локальный) управляющий параметр Аи = и — и0, новые (локальные вблизи состояний xt) координаты Axt = xt — х , то с учетом формул (3.2.2) и (3.2.3) имеем Axt+i = Af(x0t,u0,Axt,Aut), = 0,1,2...., (3.2.4) 121 где Д/(ж, и0, Ах, Аи) = /(ж0 + Ах, и0 + Аи) - f(x\ u). (3.2.5) Локальные управления Auf для системы управления (3.2.4) принадлежат множеству AU = {Аи \Аи = и- и0, и, и0 Є U, \Аи\ й], где й — уровень локальных управлений.
Если множества X и U не имеют линейной структуры, то вместо уравнения (3.2.4) можно рассматривать уравнение с состояниями и управлениями, принимающими значения в касательных пространствах: Ажт = A(xt,ut)Axt + B(xt,ut)Aut, t = 0,1,2...., (3.2.6) где Аж Є Тхо, Ащ Є Тио, Л А Г Л А Г A(xQ,u) = -г-— дж=о,ди=о В(х,и) = —— дї=0,ди=о- (3.2.7) о Ах оАи
Уравнение (3.2.6) можно назвать линейным расширением уравнения (3.2.3). Совокупная система (3.2.3) — (3.2.6) имеет пространством состояний касательное расслоение ТХ, управляющие воздействия принимают значения в касательном расслоении TU.
Для простоты будем рассматривать случай, когда множество U является подмножеством линейного пространства и без ограничения общности далее будем считать, что и0 = 0. Множество AU будем также иногда для простоты отождествлять с множеством U. Совместные свойства ДС (3.2.3) и локальной ДСУ (3.2.4) (или (3.2.6)) определяют свойства ДСУ (3.2.2). Ниже мы опишем эти свойства. Пусть X — компактное многообразие. I
Определение 3.2.1 ДСУ (3.2.2) называется управляемой из точки XQ X в точку х X под действием управлений уровня й, если существует число Тй( о,ж+) оо (время управления) и последовательность управлений uo,ui,... ,ит, для которой \ип\ й, п = 1,2,..., что в силу системы (3.2.2) состояние х = хт Обозначим TU(XQ) = supXiteXTu(xQ,x ). Основной задачей этой главы является нахождение оценок для времени управления Тй(жо), которые мы рассматриваем как некоторые функции уровня управлений й м и, возможно, некоторого параметра а Л. В качестве параметра может выступать, в частности, начальное состояние хо Определение 3.2.2 Величина Т(й) называется оценкой сверху для времени управления TU(XQ) при уровне управлений й, если TU(XQ) Т(и). Величина Т(й) называется оценкой снизу для времени управления TU(XQ), если Т Ы Т{й).
Пусть имеется некоторая совокупность оценок Т(й,а), зависящая от некоторого параметра а Л.
Определение 3.2.3 Величина Т(й,а) является асимптотической оценкой сверху для времени управления TU(XQ) при уровне управлений й — О (обозначаетсяTU(XQ) Т(ща)), если Тй{х0) lim "v и; 1. (3.2.8) u- оТ(й,а) - ;
Величина Т(й, а) называется равномерной по параметру а Є А асимптотической оценкой сверху для времени управления TU(XQ) при уровне управлений и — 0; если стремление отношения оценок к пределу в формуле (3.2.8) равномерно по параметру а А.
Определение 3.2.4 Мы говорим, что оценка Т1(и) асимптотически при и - 0 эквивалентна оценке Т2(й) (обозначается Tl(u) Т2(и)), если
Пример. Рассмотрим оценки Т(й, a) = In = + а, а Є Ли оценку Т (й) = 1п. Если Л = [0,1], то оценки Т(гГ,а) и оценка Т (гг) равномерно асимптотически эквивалентны. Если А = [0,оо), то оценки Т(й,а) и оценка Т (и) асимптотически эквивалентны, но не являются равномерно асимптотически эквивалентными.
Обычно асимптотические оценки проще неасимптотических. Так как мы применяем управляющие воздействия лишь достаточно малого уровня, то потеря точности в асимптотических оценках не является слишком существенной. Очевидно, равномерно асимптотически оценки предпочтительнее просто асимптотических. В последнем случае уровень управления й и параметр а обычно подчиняют некоторым соотношениям (см., например, формулу (3.7.8)).
Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления
Рассмотрим достаточные условия локальной управляемости для ДСУ (3.11.25), которые обобщают достаточные условия (3.11.15), данные для линейной ДСУ (3.11.8). Пусть C(w,x) — матрица локальной управляемости, определенная по формуле типа (3.4.4). Матрица C(w,x) построена по функции G(x,u,w) и ее производным по параметрам х и и. Рассмотрим эллипсоид локальной управляемости Ellx(w) = {h\h [C(x,w)C (x,w)]-lh 1,/І Є ша], (3.11.32) который аппроксимирует в линейном приближении множество достижимости из точки х Є X. Пусть эллипсоид Ell (w) является проекцией эллипсоида Ellx(w) на неустойчивое направление Е, эллипсоид Ell1(w) является проекцией эллипсоида EUx(w) на направление Е , которое ортогонально к направлению Е+. Обозначим 4M = Voi №H), («/) = т -к{Еііі(іи)) (3.11.33) 215 соответственно -мерный объем эллипсоида Ell [w) ий- -мерный объем эллипсоида Ell {w).
Предположение Lw. Значения величин s (w) и s (w) ограничены снизу, т.е. существуют постоянные s+ О,!1 0, такие что для любых х Є X, w Є [0,гй] выполнены неравенства 4(w) s+, si(w) s1. (3.11.34)
Пусть некоторая ДСУ задана уравнением (3.11.24). Предположим, что для ДСУ (3.11.24) существует покрывающая ДСУ (3.11.25).
Пусть выполнены предположения Gw, Lw. Тогда имеется следующая оценка сверху времени управления (3.11.35) R wp+ l(w)u где R = {Vfld, величина V определена в замечании 3.11.1, задает объемный размер пространства состояний Y, й — уровень локальных управлений, l(w) = [st{w)s (w)]l d, р+ — некоторые постоянные.
Доказательство теоремы 3.11.1 подобно доказательству утверждению для двумерного тора, данному в разделе 3.11.1. Замечание 3.11.3 Как в разделе 3.11.2 мы можем рассмотреть некоторые соотношения между параметрами й и w (см. формулы (3.11.18), (3.11.19), (3.11.20)).
Распределение ресурсов при управлении слабо хаотическими системами
В предыдущих разделах было установлено, что время управления системой с базовой составляющей нейтрального типа значительно больше времени управления системой с базовой составляющей гиперболического типа. Этот факт приводит к мысли распределить имеющиеся мощности управлений так, чтобы часть из них направить на управление состояниями системы и на улучшение свойств управляемости, а часть — на создание хаоса (на управление хаосом). Предположим, что в каждый момент времени мы располагаем некоторой мощностью z, которую представим в виде суммы z = и + v + w, где величина и идет на управление состояниями системы, величина v идет на создание хаоса, величин w идет на обеспечение управляемости системы. Ставится задача, в каких пропорциях следует взять величины u,v,w, чтобы обеспечить наименьшее время управления.
Системы рассматриваемых ниже классов не обязательно являются обратимыми. В этом случае предполагается, что для системы существует накрывающая система.
Описание возмущенных систем управления
Поскольку далее рассматриваются достаточно малые значения величин u,v,w Є U, мы будем рассматривать лишь главные (линейные) части выражений по этим параметрам. Рассмотрим частный случай семейства отображений f(.,u) : X -» X вида (3.2.1), определенных по формуле f(x,u) = f0(x) + uf1(x), х Є X, uU. (3.12.1)
Это семейство отображений определяет систему управления вида m = /oW + «t/i( 0, = 0,1,2,..., (3.12.2) где \щ\ и. Напомним, что времена управления для систем гиперболического и нейтрального типов даются соответственно следующими формулами вд = 1п1 (3-ш) ЭД = . (3.12.4)
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать случаи, когда отображение /о(.) является отображением нейтрального типа. Кроме того, в некоторых случаях матрица локальной управляемости С(х) для пары отображений /о(ж),/і(ж) является вырожденной.
С целью улучшения свойств системы управления (3.12.1), для семейства (3.12.1) рассмотрим некоторое возмущенное параметрами v Є U, w Є U семейство отображений. f(.,x,u,v,w) : X —У X Рассмотрим три вида возмущений. 1) В первом случае возмущенное семейство определенно по формуле f{x,u,v,w) = [fo(x) + vgo(x)] + u[fi(x) + wgi(x)] хЄХ, u,v,wU. (3.12.5) При v = w = О семейство отображений (3.12.5) переходит в семейство отображений (3.12.1). Семейство отображений /о(ж) + vgo{x), v Є U называется базовым. Мы будем предполагать, что для v О отображения /о(ж) +vg$(x) являются гиперболическими, причем устойчивые и неустойчивые подространства не зависят от параметра v, [3].
Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем
При исследовании систем с регулярным поведением (глава 2), в частности для линейных по состоянию систем, может быть определено множество управляющих воздействий, достаточное для управляемости системы. Это множество управлений может быть найдено с помощью уже упоминавшегося пакета символьных вычислений MAPLE, и оно обеспечивает движение по клеткам в любое заданное состояние. Однако для определения моментов переключения этих управляющих воздействий при переходе с одной клетки на другую нужно провести дополнительную работу. Ниже мы рассмотрим способ построения управлений, используя методы символической динамики. Отметим, что методами символической динамики также может быть установлена управляемость произвольной заданной ДСУ при использовании конкретного набора управляющих воздействий.
Рассмотрим линейную по состоянию ДСУ вида (2.10.2) с дискретным временем xt+i = B(u)xu t = 0,1,..., (4.4.1) где xt Є R2\ 0, B(u) = 5_1(г/)5о5(и). Матрицы Д, = eAAt и S(u) имеют I Р _а2\ ( _.. ,„.Л вид cos и sin и Ап = V 2 Р I , S(u) = \ — smu cos и і At — шаг дискретизации линейной системы вида (2.3.1) с непрерывным временем. Управляемость такого рода систем рассматривалась в [25], а также в [127]. В последней работе даны соотношения между параметрами а, 6, при
Жирной линией дана истинная траектория. Тонкой линией — е-траектория. которых данная ДСУ управляема, а также указано, что для управления можно использовать лишь два управляющих воздействия щ и ич. Эти значения могут быть определены, используя методы главы 2.
Для того, чтобы иметь возможность выбрать конечное покрытие пространства состояний произвольно малого размера, мы выберем в качестве пространства состояний некоторое кольцо X = {х\г \х\ г\, что мало меняет содержательную сторону задачи управляемости.
Для моделирования были выбраны следующие значения параметров: г = 1, г = 3, о = 2, Ь = 1, (3 = 0.1, At = 0.5. В качестве множества U базовых постоянных управлений было выбраны значения щ = 0 и щ — 7г/2. Ячейки были выбраны в форме криволинейных прямоугольников, угловой диаметр ячейки — 7г/12, радиальный диаметр — равным 0.4. Матрица Якоби системы равна В(и). Матрица локальной управляемости С(х,и) может быть построена по паре матриц {-В(и), Цж}. В соответствии с формулой (4.3.6) была выбрана интенсивность и локальных управлений Aw.
С помощью описанной выше процедурой был построен символический образ ДСУ, т.е. ориентированный граф G. Число вершин этого графа, т.е. число ячеек фазового пространства, оказалось равным 240. Далее с помощью компьютера были построены ориентированные дуги этого графа. При построении множества ячеек, достижимых из данной, т.е. для построения ориентированных дуг графа, учитывались малые размеры ячеек, что позволяло следить только за итерациями вершин ячеек (прямоугольников). Для каждой вершины установлены вершины, достижимые из нее. Оказалось, что для графа все вершины достижимы друг из друга. Далее были построены локальные (корректирующие движение) управления. На рис. 4.2 показан переход из точки х в точку х для заданных точек х, = (1.9,1.4), ж = (0.9,0.7).
Изложенный метод управления может быть применен к исследованию систем с регулярным поведением более общего вида. При проведении необходимых вычислений для конкретных систем использовалась программа, составленная А.А. Моисеевым.
Для построения проективных компонент линейных по состоянию систем можно применить методы символической динамики, изложенные в [146].
Изложим схему применения методов символической динамики для построения проективных компонент линейных по состоянию систем, которые были введены в разделе 2.3.8. Для этого рассмотрим динамическую систему вида і = /(ж,и), й = 0, (4.4.2) которая имеет пространство X х U. Локализуем инвариантные множества этой системы. Для этого зададимся некоторым параметром At временной дискретизации и сопоставим непрерывной системе дискретную так, чтобы их траектории в точках дискретизации совпадали. В [57] показано, что диаметр ячейки d должен быть согласован с радиусом локальной управляемости є, который зависит от временной дискретизации At.
Напомним, что проективные компоненты, введенные в главе 2, являются объединением точек покоя или предельных циклов при изменении параметра и Є U. После проектирования полученных инвариантных множеств на пространство состояний X получим семейство инвариантных множеств семейства динамических систем х — f(x,u), и Є U.
После того, как инвариантные множества системы (4.4.2) построены, можно проверить, пересекаются ли при каких-либо значениях параметров и{ и и\ два подходящих предельных цикла, т.е. выполняется ли условие вида (2.3.46). См. рис. 4.3.
Используя программу ASI4DS автора СЮ. Кобякова [56], можно найти точки покоя и замкнутые траектории достаточно большого периода для различных значений параметра и. Эта программа позволяет находить замкнутые траектории для систем произвольного вида и, кроме того, некоторые инвариантные множества более сложной структуры (см. рис. 4.4). С помощью упомянутой программы могут быть проверены условия зацепля-емости для многих классов нелинейных систем.
Похожие диссертации на Модели и методы исследования управляемости систем с регулярным и хаотическим поведением
