Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов построения математических моделей 13
1.1. Обзор методов и задач анализа динамических временных рядов 13
1.2. Обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа 16
1.3. Обзор по нелинейной динамике и нейросетевому моделированию 20
1.4. Обзор методов прогнозирования 24
Глава 2. Построение статистической совокупности моделей анализа при условиях стационарности динамических систем 29
2.1. Методика анализа и разработки комплекса статистических моделей, отражающих динамику поведения системы 29
2.2. Построение однофакторной модели анализа динамики поведения системы 30
2.2.1. Анализ исходной системы и выявление тенденции ее поведения 31
2.2.2. Анализ системы курса акций РАО ЕЭС и определение тенденции ее поведения 32
2.2.3. Оценка точности и адекватности уравнения тенденции.. 34
2.2.4. Оценка точности и адекватности уравнения тенденции системы курса акций РАО ЕЭС 39
2.2.5. Определение цикличности в динамике поведения системы 40
2.2.6. Определение цикличности в динамике поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС 42
2.2.7. Построение обобщенной регрессионной модели системы 43
2.2.8. Построение обобщенной регрессионной модели системы курса акций РАО ЕЭС и оценка ее адекватности 45
2.3. Разработка многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов 48
2.3.1. Спецификация и анализ факторов, влияющих на скорость изменения состояния системы 49
2.3.2. Спецификация и анализ факторов, влияющих на скорость изменения состояния системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта 50
2.3.3. Построение системы многофакторных уравнений 51
2.3.4. Решение многофакторных уравнений на примере системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта 52
2.3.5. Переход к стандартизированной форме многофакторного уравнения 54
2.3.6. Переход к стандартизированной форме многофакторного уравнения для курса акций РАО ЕЭС 55
2.3.7. Оценка адекватности модели 55
2.3.8. Оценка адекватности многофакторной модели на примере системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта 57
2.3.9. Прогнозирование и экстраполяция разработанной модели 58
2.3.10. Прогнозирование и экстраполяция разработанной многофакторной модели для курса акций РАО ЕЭС после дефолта 60
2.4. Построение модели анализа появления локальных экстремумов в динамике поведения системы 62
2.5. Выводы ..67
Глава 3. Разработка схемы исследования нелинейных динамических систем ...68
3.1. Построение алгоритма иелинейно-нейросетевого анализа нестационарных систем 68
3.2. Исследование поведения системы на локальную неравновесность 70
3.2.1. Анализ и декомпозиция исходных данных 70
3.2.2. Восстановление ДС в виде совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 70
3.2.3. Переход к дискретным отображениям 73
3.2.4. Выявление областей функционирования системы 75
3.3. Определение состояний дезадаптации системы 76
3.3.1. Исследование областей бифуркаций 76
3.3.2. Определение критических значений управляющего параметра и устойчивых точек 79
3.3.3. Применение алгоритма нелинейного анализа на примере системы курса акций РАО ЕЭС 79
3.3.4. Применение алгоритма нелинейного анализа на примере системы курса акций Ростелеком 90
3.3.5. Построение «доверительного коридора» поведения системы 92
3.3.6. Выявление соответствия аппроксимирующей модели области поведения системы на примере системы курса акций РАО ЕЭС 94
3.4. Исследование области расширения неравновесности системы 95
3.4.1. Построение аттрактора 95
3.4.2. Определение характеристик аттрактора 97
3.5. Исследование различных траекторий развития системы 106
3.5.1. Построение совокупности нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы 106
3.5.2. Моделирование ДС на основе нейронной сети, построение предиктора 107
3.5.3. Восстановление и реконструкция аттрактора на примере системы
курса РАО ЕЭС в области хаоса 116
3.6. Выводы 125
Заключение 125
Список литературы
- Обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа
- Обзор методов прогнозирования
- Определение цикличности в динамике поведения системы
- Исследование поведения системы на локальную неравновесность
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Методология анализа динамики поведения сложной системы, используемая на этапе планирования и принятия решений на основе прогнозирования, имеет существенные недостатки, связанные с отсутствием строгой формализации соответствующих процедур, эффективных способов организации и проведения вычислений. Численные методы линейной и нелинейной динамики, реализованные средствами программных пакетов Statis-tica, Statgraphics, MathCad, нейросетевые технологии, реализованные программными средствами BrainMaker Professional, Braincel, Statistica Neural Network позволяют решать статистические и математические задачи определения и восстановления моделей, отражающих динамику поведения изучаемой системы, реализуют основные функции математического моделирования, однако не приспособлены для реализации методов научного управления, основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях.
В области анализа экспериментальных данных и разработки методики исследования и управления состоянием системы средствами автоматизации имеются существенные недостатки, связанные с необходимостью выявления структуры взаимосвязей параметров, от которых зависит состояние системы, отсутствием комплексного подхода к изучению динамики ее поведения, с требованиями к точности предсказания состояния системы. Разнообразие и сложность исследования нестационарных систем, в которых процессы развиваются во времени и пространстве, ставят новые задачи перед математическим моделированием. Традиционный путь их решения связан с разработкой одного или системы стандартных уравнений исследования, со сложной техникой анализа и многочисленными компьютерными расчетами. Поэтому естественно возникает необходимость выбора радикального, альтернативного пути решения - представлять различные нестационарные системы совокупностью как статистических, так и динамических эволюционных операторов на дискретном языке, считая, что само состояние системы может принимать конечный набор значений.
Таким образом, учитывая, что в рамках традиционных подходов не удается получить существенного улучшения качества анализа поведения сложных нели-
нейных систем, актуальным является разработка и применение соответствующих методик на основе новых подходов.
Объектом диссертационного исследования являются нелинейные динамические системы.
Предметом диссертационного исследования являются алгоритмы анализа развития нестационарных систем, математические модели и методы их исследования.
Целью диссертационного исследования является повышение эффективности методов статистического, нелинейного анализа и экспериментального исследования динамики поведения нестационарной системы на примере курса акций РАО ЕЭС России и Ростелеком и их программной реализации.
Научная задача исследования состоит в разработке и применении алгоритмов и методов статистического, нелинейного анализа основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях, экспериментальном исследовании динамики поведения нестационарных систем.
Для решения общей научной задачи была проведена ее декомпозиция на ряд следующих частных задач:
разработка алгоритма анализа системы экспериментальных данных с применением методов математической статистики средствами программных математических пакетов;
разработка алгоритма многофакторного анализа состояния системы и интервальной оценки результата экстраполяции;
разработка алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа системы для получения информации о динамике ее поведения при различных траекториях развития исследуемой системы;
разработка метода оценки построенной нейронной сети на основе результатов эксперимента;
разработка программного средства для реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы;
статистическая обработка результатов исследования.
Методы исследования. Для решения поставленных научных задач использованы методы статистического, нелинейного анализа, теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетей.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате теории динамических систем, нелинейного анализа, теории хаоса, нейронных сетей.
Справедливость выводов относительно эффективности разработанных моделей подтверждена результатами вычислительных экспериментов.
Научная новизна результатов.
Показано, что алгоритм, построенный на основе статистического анализа, не позволяет достаточно адекватно описать поведение сложной нестационарной системы.
Применена модификация стандартного подхода к построению методологии много факторного анализа изучаемой системы с использованием процедуры декомпозиции влияющих на состояние исследуемой системы факторов, позволяющая судить о влиянии каждого из выбранных факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы, повышающая его эффективность и используемая в целях краткосрочного прогнозирования скорости изменения состояния системы. Получена интервальная оценка прогноза на основе разработанной модели.
Предложена схема исследования нелинейных систем на основе построения алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа динамических систем.
Разработан программный пакет исследования поведения системы на локальную неравновесность и определения состояний дезадаптации изучаемой системы.
При исследовании динамики состояния системы проведен сравнительный анализ применяемых современных программных средств нейросетевого моделирования и алгоритмов обучения системы на основе динамики ее поведения.
6. Построена совокупность нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы.
Практическая значимость.
Усовершенствована методика восстановления динамики состояний системы на основе математических и программных средств корреляционно-регрессионного анализа. Данная методика основана иа построении статистической совокупности моделей анализа динамики поведения сложной системы на базе аддитивной модели с последующей ее оценкой, модифицированной много факторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, статистического уравнения изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени. Результаты могут быть использованы для оценки влияния ряда факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы и для построения прогноза ее поведения,
Разработана схема нелинейного-неЙросетевого анализа динамики -поведения исследуемой системы, которая включает в себя математический аппарат теории катастроф и бифуркаций, построение нейронных сетей, выбор оптимальной из них и сравнительный анализ построенной сети на основе различных алгоритмов обучения с использованием трех программных сред нейросетевого моделирования, позволяющая по экспериментальным данным исследовать интегральные свойства изучаемой системы и определить ее состояние на ближайший временной интервал..
Основные положения, выносимые на защиту.
Алгоритм построения комплекса статистических моделей анализа поведения системы.
Алгоритм восстановления многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, отражающей изменение скорости поведения состояния системы.
Много факторная модель динамики скорости изменения состояния системы.
4. Статистическое уравнение изменения экстремумов во времени
при почти периодической функции времени и оценка корректности моде
ли на основе сравнительного анализа.
5. Алгоритм нелинейно-нейр о сетевого анализа нестационарной
системы.
Совокупность математических моделей нелинейно-динамического анализа.
Метод оценки построенной нейронной сети на основе результатов сравнительного анализа используемых алгоритмов обучения средствами трех программных сред нейросетевого моделирования.
Программное средство реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы.
Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, соискателем: предложена схема построения комплекса статистических моделей анализа, адекватно описывающего поведение сложной системы [16, 17, 18, 19]. Применена модификация стандартного подхода к построению методологии многофакторного анализа изучаемой системы с использованием процедуры декомпозиции влияющих на состояние исследуемой системы факторов, позволяющая судить о влиянии каждого из выбранных факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы, повышающая его эффективность и используемая в целях краткосрочного прогнозирования скорости изменения состояния системы [15, 47]. Предложена схема исследования нелинейных систем на основе построения алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа динамических систем [22, 23]. Разработан программный пакет исследования поведения системы на локальную неравновесность и определения состояний дезадаптации изучаемой системы [26]. Проведен сравнительный анализ применяемых современных программных средств нейросетевого моделирования и алгоритмов обучения системы на основе динамики ее поведения [20]. Предложен новый подход к построению оптимальной нейронной сети в целях анализа и прогнозирования состояния системы [20]. Построена совокугг-
ность нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы [24, 25].
Внедрение результатов. Полученные в данной диссертационной работе результаты реализованы в учебном процессе Северо-Кавказского государственного технического университета (акт внедрения от 6.09.2005г.), внедрены в ООО «Моби» (акт внедрения от 19.09.2005г.) и ООО «РР-ИКС» (акт внедрения от 11.08.2005г.).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на V Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь, 2001 г.), 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука — региону» (Ставрополь, 2003 г.), на IX Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика 2004» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационыые технологии в науке, производстве pi образовании» (Ставрополь, 2004 г.), на международной научно-практической конференции «Традиции, инновации и инвестиции современной рыночной экономики» (Казань, 2004 г.), Ш Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2004 г.), на международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета «Информационные системы, технологии и модели управления производством» (Ставрополь, 2005 г.).
Публикации. По теме работы опубликовано 18 работ, из них 9 в соавторстве.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, приложения и списка литературы, содержащего 131 наименование. Основная часть работы содержит 138 страниц машинописного текста, из них 60 рисунков и 12 таблиц.
В' первой главе рассмотрены традиционные классические и новые методы анализа и исследования динамических систем, их достоинства и недостатки, применение нейросетевых алгоритмов для решения задач прогнозирования сложных систем. Проведен обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа. Рассмотрены и проанализированы фундаментальные понятия классической теории устойчивости и бифуркаций. Обсуждены проблемы диагностики и реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. Раскрыта роль нейросете-вого моделирования в научных исследованиях и эффективность нейросе-тев'ого подхода. Отражен научный интерес к методам нейронных сетей для решения задач прогнозирования, классификации и управления сложными системами.
Вторая глава посвящена разработке методологических основ построения математической модели, отражающей динамику поведения системы, с целью ее краткосрочного прогнозирования и оценки ее нестационарности. Представлена общая методика разработки такой модели, включающая построение статистической совокупности моделей исследования динамики поведения системы методами корреляционно-регрессионного анализа, разработку многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, построение статистического уравнения изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени, прогнозирование и интервальную оценку прогноза на основе разработанной модели.
В третьей главе предложена схема исследования нестационарных систем на основе нелинейно-нейросетевого анализа. Исследуется поведение динамической нестационарной системы курса акций РАО ЕЭС и Ростелеком с применением теории динамических систем, хаоса и бифуркаций, нейросетевого моделирования, разработана совокупность моделей анализа и прогнозирования динамики поведения нестационарной системы.
Обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа
Все явления и системы находятся в постоянном движении. Известно, что статистические данные, характеризующие развитие таких систем являются рядами динамики, особенности которых учитываются при статистическом анализе. Исследование данных особенностей изложено во многих работах [1, 13, 27, 29, 32]. В настоящее время исследованию рядов динамики посвящено много работ и монографий. В них рассматриваются различные методы исследования и прогнозирования рядов динамики [2, 3, 13,27, 32,33,35]. Любая область науки требует знания от специалистов множества методов анализа и исследования явлений, так как специалист обычно работает в условиях неполноты исходной информации. Для исследования систем выявляются причинные механизмы, объясняющие их эволюцию. Особое значение в исследовании систем занимают корреляционно-регрессионный анализ. Имеется ряд работ по применению в научных исследованиях аппарата корреляционного и регрессионного анализа [1-3, 13, 27-29, 31, 32]. Применение корреляционного и регрессионного анализа со всеми теоретико-вероятностными выводами позволит построить математическую модель и обосновать ее.
Как известно, задачи, поставленные перед корреляционным методом исследования, разрешаются с помощью следующих методов анализа: качественного анализа с отбором взаимосвязанных признаков; графического метода; метода определения тесноты связи. Результаты представляют информацию о сущности и характере исследуемой связи и служат основой для регрессионного анализа [33]. Но данных методов недостаточно для определения оптимальной модели, отражающей развитие системы. Сложность практического применения теории корреляции состоит в определении характера связи и в правильном выборе уравнения связи. Результаты корреляционного анализа являются основой регрессионного метода исследования. В настоящее время регрессионный метод анализа временных рядов рассматривается во многих работах и монографиях [1-3, 28, 32, 33, 35].
Корреляционные связи в аналитическом виде выражаются только приближенно. Недостаточность данных для большой совокупности явлений приводит к «ложным» результатам исследования корреляционной связи. При применении корреляционного и регрессионного анализа для исследования взаимосвязей явлений следует сочетать с известными предпосылками этих методов []]. Корреляционный и регрессионный анализы относятся именно к тем разделам математической статистики, которые широко используют более глубокие статистические методы, поэтому применение теорий корреляции и регрессии без достаточного анализа теоретико-вероятностных предпосылок этих теорий недопустимо и может принести гораздо больше вреда, чем пользы [1]. Известно, что при непосредственном коррелировании рядов динамики, содержащих определенные тенденции развития, возникает проблема так называемой ложной корреляции [1].
Корреляционный метод исследования - один из основных методов моделирования [27, 29, 31, 33, 108]. Но статистические показатели, подвержены влиянию ряда причинных факторов. Основной задачей исследования характера таких показателей является выявление тенденций закономерностей развития систем. Исследование зависимостей разных видов рассматривается во многих работах [13, 27, 31, 32, 55]. Тенденция развития характеризуется показателями скорости, ускорения, темпов развития. Знание этих показателей позволяет тщательно анализировать последствия ряда решений, планировать и прогнозировать развитие систем [15, 19].
Следует отметить, что конкретные временные ряды содержат циклическую составляющую, поэтому необходимо проверить гипотезу о наличии или отсутствии сезонных колебаний с помощью какого-либо критерия, например, дисперсионного или гармонического анализа или визуально по графику. Дисперсионному анализу посвящены работы [79, 114, 116]. Целью гармонического анализа в данной диссертационной работе является выявление и измерение периодических колебаний в динамическом временном ряду. Применение гармонического анализа связано с некоторой опасностью: основные гармоники могут быть вызваны суммированием случайных причин [40]. В течение последних двухсот лет предложено немало методов применения гармонического анализа.
Основной смысл регрессионного анализа состоит в определении теоретических значений признака по уравнению регрессии, которые будут использованы для прогнозирования значений признака на предстоящий период.
Отметим, что корреляционно-регрессионный анализ позволяет решать и такие задачи как: выделение важнейших факторов, влияющих на результа тивный признак; оценка функционирования системы по эффективности использования имеющихся факторов; прогнозирование значений результативного признака; подготовка данных для оптимизационных задач.
Значения состояния системы определяются влиянием не одного, а нескольких объясняющих факторов. В данном случае целесообразно использовать множественную регрессию. Многомерные временные ряды являются информационной базой регрессионного анализа. Выбор факторов, влияющих на исследуемый показатель, производится, прежде всего, исходя из содержательного анализа [54]. В [54] рассматривается линейная модель множественной регрессии, которая строится на основе временных рядов наблюдений, и параметры которой рассчитываются методом наименьших квадратов (МІЖ). Мы же используем нелинейную модель множественной регрессии для оценки связи показателей, характеризующих состояние системы.
Справедливо отмечено в работах [37, 39], что метод корреляционно-регрессионного анализа не может объяснить роли факторных признаков в создании результативного признака. Это очень серьезное ограничение метода, о котором не следует забывать [32]. Аппроксимирование исследуемого процесса должно быть осуществлено оптимальным образом. Оптимальность характеризуется степенью достоверности или точности.
Обзор методов прогнозирования
Распространенной методикой описания тех или иных процессов и явлений служит моделирование. Моделирование считается достаточно эффективным средством прогнозирования поведения экономической системы.
Известно, впервые для целей прогнозирования было предпринято построение операционных моделей в экономике [11]. Конструирование модели на основе предварительного изучения объекта и выделения его существенных характеристик, экспериментальный и теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными объекта, корректировка модели — все это составляет содержание метода моделирования [ П ].
Метод моделирования, разработка которого применительно к прогнозированию встречает серьезные трудности, требует к себе особого внимания. Трудность применения метода моделирования в прогнозировании сложного процесса вызывается сложностью структуры динамической системы и поэтому вынуждает пользоваться не единственной моделью, а системой методов и моделей, характеризующейся определенной иерархией и последовательностью.
Согласно [13], под системой моделей прогнозирования следует понимать совокупность методик и моделей, позволяющую дать согласованный и непротиворечивый прогноз поведения системы, основывающийся на изучении складывающихся в текущем и будущих периодах тенденций и закономерностей и их динамике. Такая система предполагает определенную очередность использования моделей для целей составления комплексного прогноза.
Разработка системы моделей прогнозирования проходит три этапа. 1) На первом этапе разработки локальных методик прогнозирования прорабатываются отдельные модели и подсистемы моделей прогнозирования. Разработанные модели должны быть взаимно увязаны и составлять единую систему для целей прогнозирования, обеспечивающую взаимодействие отдельных моделей в соответствии с определенными требованиями. Такие требования будут зафиксированы в программе исследований по проблеме в целом [16-18]. 2) На втором этапе разработки локальных методик прогнозирования поведения системы создается система взаимодействующих моделей прогнозирования, уточняются и согласовываются подсистемы моделей, проверяется их взаимодействие, определяется последовательность использования отдельных моделей, а также приемов оценки и методов проверки получаемых комплексных прогнозов. На этом этапе используются соответствующие программы для решения задач на электронных вычислительных машинах [21-25]. 3) Третий этап создания системы моделей прогнозирования в основном связан с уточнением и развитием отдельных систем и методов в ходе практического их использования для прогнозирования.
Известно [30, 33], что требования, предъявляемые к отдельным моделям и системе моделей прогнозирования, предопределяют методы, с помощью которых эти модели могут и должны разрабатываться, а также методы и средства осуществления расчетов по ним. Эти требования сводятся главным образом к следующим положениям: методика должна давать четкое описание последовательности правил, позволяющее составить отдельный прогноз при достаточно широких предположениях о характере и значениях исходной для данного прогноза информации определенной структуры; методика должна использовать методы и технические средства, позволяющие проводить расчеты своевременно и многократно, исходя, как правило, из неоднородной и большой по объему, меняющейся по вариантам прогноза информации; в подобных методиках должны учитываться сложные многофакторные связи прогнозируемых процессов и показателей [113, 114]. Необходимо обеспечить выявление в этих условиях важнейших и устойчивых закономерностей и тенденций [118-120]. Такое выявление необходимо как на исходном материале, так и в процессе анализа результатов, получаемых по данной методике, и их расчетов по комплексу связанных с ней моделей; необходимо согласование отдельных прогнозов в их системе. Система прогнозов должна обеспечить непротиворечивость и взаимную корректировку прогнозов. Применение математических методов является необходимым условием разработки и использования методов прогнозирования.
Изучение процессов и систем путем построения их моделей является наиболее экономичным способом для принятия наиболее эффективного решения. В прогнозировании широко используются различные модели [11, 13, 33]. Содержанием процесса моделирования является конструирование модели на основе предварительного изучения системы, выделения ее существенных характеристик или признаков, теоретический и экспериментальный анализ модели, сопоставление результатов моделирования с фактическими данными об объекте или процессе, корректировка и уточнение модели.
С учетом фактора времени могут использоваться статические или динамические модели [62, 74]. Также принято различать следующие модели: факторные, структурные и комбинированные. Один и тот же тип моделей может быть применим к различным объектам. Факторные модели могут включать различное количество переменных величин и соответствующих им параметров. Простейшими видами факторных моделей являются однофакторные. Многофакторные модели линейного, нелинейного типа позволяют одновременно учитывать воздействие нескольких факторов на уровень и динамику прогнозируемого показателя.
Структурные модели описывают соотношения, связи между отдельными элементами, образующими одно целое или агрегат. Известно, что особое значение в прогнозировании имеют статистические методы [30, 33, 45]. Одним из статистических методов прогнозирования является расчет прогнозов на основе тренда колеблемости динамического ряда до настоящего времени. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционио в достаточно стабильных условиях. В отличие от прогноза на основе регрессионного уравнения прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде. Тем не менее, прогноз по тренду охватывает все факторы, в то время как в регресси онную модель невозможно включить в явном виде более 10-20 факторов [74]. Статистический прогноз предполагает не только верное качественное предсказание, но и достаточно точное количественное измерение вероятных возможностей, ожидаемых значений признаков [77]. В динамических рядах с существенной колеблемостью трендовая модель должна дополняться либо вероятностной оценкой доверительных интервалов прогноза, либо моделью колебаний, которая в свою очередь может быть авторегрессионной или перо-дической колеблемости или факторной - при случайно распределенной во времени колеблемости [45, 71, 77, 96].
Важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи нелинейной динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил.
В целом, в рамках моделирования систем рассматривается вопрос — насколько точно модель динамики отражает процессы, реально происходящие в системе. Достоверность отражения моделью реальных процессов основывается на практической оценке сопоставления реальности и модели динамики.
Существуют два вида моделей динамики, реализующих дискретный и непрерывный подходы. В обоих случаях модели носят весьма общий, абстрактный характер. В то же время решение может быть найдено в явном виде, причем из него вытекают важные особенности для различных частных случаев соотношения параметров. На этих моделях удобно продемонстрировать простейший аппарат дискретного и непрерывного динамического моделирования, проиллюстрировать важнейшие категории и проблемы динамики [59, 63-66,76,78,80].
Определение цикличности в динамике поведения системы
Отметим, что наряду с трен довой составляющей временной ряд может содержать заметные периодические колебания вокруг общей тенденции [27, 75, 92]. В данной главе определение циклической составляющей осуществляется с помощью гармонического анализа. Известно, что любой динамический ряд можно представить как сумму гармонических составляющих. В общем случае их количество не ограничено, однако, задавая определенную степень точности, можно сократить количество вычисленных гармоник. Как правило;, находят лишь те гармоники, которые определяют основные закономерности динамического ряда [35].
Цель анализа - разложить временной ряд на функции синусов и косинусов различных частот, для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо. Один из возможных способов — решить задачу линейной множественной регрессии, где зависимая переменная - наблюдаемый временной ряд, а независимые переменные или регрессоры: функции синусов всех возможных (дискретных) частот.
Вычислительная задача подгонки функций синусов и косинусов разных длин к данным решается с помощью множественной линейной регрессии [21]. Коэффициенты ак при косинусах и коэффициенты Ьк при синусах - коэффициенты регрессии, показывающие степень, с которой соответствующие функции коррелируют с экспериментальными данными [19,21]. Однако синусы и косинусы на различных частотах не коррелированы или, ортогональны. Таким образом, мы имеем дело с частным случаем разложения по ортогональным полиномам. Всего существует q различных синусов и косинусов. Синусоидальных волн столько же, сколько данных, и можно полностью воспроизвести ряд по основным функциям. Если количество данных в ряде нечетно, то последнее наблюдение обычно не учитывается. Для определения синусоидальной функции необходимы, по крайней мере, две точки: высокого и низкого пика.
В итоге, описанный выше анализ определяет корреляцию функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными курса акций. Если найденная корреляция велика, то существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных [21].
В результате применения гармонического анализа [21] получена циклическая компонента в виде совокупности гармоник, отражающих колебания курса акций. Количество гармоник не ограничено, для данной модели циклической компоненты были выбраны наиболее мощные гармоники, отражающие основные закономерности динамического ряда.
Для временного ряда с помощью статистических пакетов программ Statistica, Statgraphics строится некоторое аналитическое уравнение — математическая модель, которая может использоваться в целях прогнозирования. В прогностической модели тенденция и цикличность учитывается посредством декомпозиции методов. При этом предполагается, что характеристики движения ряда показателя, а именно тенденция, сезонность и стохастичность, могут быть разделены, изучены и оценены изолированно одни от других. Окончательный же прогноз осуществляется на основе модели, построенной сведением всех составляющих ряда воедино.
Оценка адекватности модели заключается в анализе остатков е,, их распределении. Близость распределения остатков к нормальному свидетельствует о точности модели. Используя алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона (2.55) определяется наличие положительной автокорреляции остатков. Медленная сходимость автокорреляции остатков также свидетельствует о ее наличии. В соответствии с критерием Дарбина - Уотсона вычисляется средствами процедур Nonlinear Estimation программной системы Statistica и Polynomial Regression статистического программного пакета Statgraphics статистика d:
Таким образом, достаточно высокое значение коэффициента детерминации означает, что модель объясняет более 92% разброса зависимой переменной относительно среднего значения. Критерий Фишера F = 10330.39 при уровне значимости р = 0.00000, превосходит критическое значение. Высокое значение критерия Фишера и высокий вычисленный уровень значимости показывают, что регрессия высокозначима. Критерий Фишера F -1З111.28 при уровне значимости р = 0.00000, превосходит критическое значение. Данные характеристик модели показывают, что регрессия высокозначима. Несмотря на сделанные выше выводы, график автокорреляции остатков и расчет критерия Дарбина - Уотсона, показал наличие автокорреляции остатков (рисунки 2.11,2.12).
Исследование поведения системы на локальную неравновесность
Экспериментальные данные, участвующие в процессе анализа могут исследоваться как в полном объеме, так и по частям. Декомпозиция должна производиться в соответствии с определенным признаком. Рассмотрим следующие принципы декомпозиции: - данные временного ряда продолжительностью п разбиваются на временные интервалы размером m следующим образом O..m-І, l..m, 2..m+2, ..., n-m..n; - экспериментальные данные разбиваются на группы в соответствии с принципом поиска локальных максимумов и минимумов, суть которого заключается в изучении изменения тенденции поведения системы на соответствующих интервальиых участках, в связи с этим фиксируется момент времени изменения тенденции, который и является началом нового интервала. В результате получаются интервалы данных различной продолжительности.
Таким образом, обеспечивается более точная аппроксимация модели экспериментальным данным на каждом из участков разбиения.
Целью исследования является математическое описание объекта, обладающего следующими свойствами: объект однозначно характеризуется конечным набором чисел y,,...,yN; состояние объекта меняется со временем t\ поведение объекта является детерминированным: состояние изучаемой системы зависит только от ее предыстории; все зависимости y,(t),...,yN(t) являются гладкими функциями независимой переменной t.
Главная идея состоит в том, что многие сложные системы могут быть просто описаны с помощью нескольких переменных - параметров порядка. В наиболее важных областях пространства параметров, где меняется число или устой чивость решений, систему можно описывать G помощью одних и тех же соотношений. Это требует локального анализа поведения системы.
Дифференциальные уравнения первого порядка (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) выбираются в качестве эволюционных уравнений поведения нелинейных систем.
Хорошо известно, что простейшая модель состояния динамической системы у = к-у, предложенная Мальтусом, ведет к экспоненциальному росту состояния системы. Эта жесткая модель применима для некоторых систем. Экспоненциальный рост состояния системы не может продолжаться бесконечно, поэтому она должна быть заменена мягкой моделью у = к(у)у [8, 9].
В силу известного свойства дифференциальных уравнений, модели, приводимые к виду (3.1) - (3.4), являются динамическими системами. Наряду с дифференциальными уравнениями известен еще один класс динамических систем - дискретные отображения [86, 115]. Иногда для исследования системы ее состояний во все моменты времени является с одной стороны, затруднительным, а с другой стороны, явно избыточным. Тогда удобно дискретное описание динамической системы с помощью отображения Пуанкаре [78]. Описание динамики таким образом становится проще, так как уменьшается размерность модели и вместо непрерывного времени рассматривается дискретный набор его значений.
Заметим сразу, что если в динамической системе, эволюция которой описывается дифференциальными уравнениями (3.1) - (3.4) имеется неустойчивость, то исследовать ее численными методами путем прямого решения системы дифференциальных уравнений можно только при очень малых временах. В противном случае численное решение будет отражать лишь дискретную схему. Дискретные отображения позволяют отвечать на вопрос об устойчивости решения и тем самым исследовать вопрос о структуре фазового пространства в зависимости от начальных условий и от параметров.
В данном разделе проводится анализ динамики поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС за период с 24.05.1996 года до точки дефолта 26.08.1998 года и с 27.08.1998 по 23.10.2002 г. и Ростелеком с 1.08.2003 по 18.09.2003 г.г. (приложение 3.1). В процессе исследования рассматриваются данные курса акций РАО ЕЭС в количестве 825 и 1518 значений и Ростелеком, в количестве 35 значений, выраженных в рублях. Обсуждая линейные дифференциальные уравнения, рассмотрена модель Мальтуса, в соответствии с которой состояние системы курса акций РАО ЕЭС должно неограниченно расти. Для учета ограниченности условий, влияющих на состояние системы курса акций, вводится нелинейный ограничивающий член, что приводит к уравнениям (3.1) - (3.4). Дифференциальные уравнения в виде (3.1) - (3.4) используются в качестве совокупности эволюционных уравнений, описывающей развитие нестационарной системы.
Похожие диссертации на Разработка и применение методов исследования динамики поведения нестационарных систем
