Содержание к диссертации
Введение
1 Усреднение дифференциальных включений 16
1.1 Основные понятия и классы отображений 16
1.2 Постановка задачи аппроксимации сверху, известные результаты 20
2 Построение аппроксимирующего сверху дифференциального включения для задач с полунепрерывной правой частью 27
2.1 Леммы 29
2.2 Теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения 31
2.3 Примеры построения аппроксимирующего сверху дифференциального включения 38
3 О точном сверху дифференциальном включении для задач с непрерывной правой частью 49
3.1 Основная теорема 49
3.2 Следствия о точных сверху дифференциальных включениях 54
3.3 Примеры построения точного сверху дифференциального включения 58
4 Анализ одной макроэкономической модели 64
4.1 Постановка задачи 67
4.2 Примеры одно- и многопродуктовых моделей 68
Заключение 78
Библиография 79
- Постановка задачи аппроксимации сверху, известные результаты
- Теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения
- Следствия о точных сверху дифференциальных включениях
- Примеры одно- и многопродуктовых моделей
Введение к работе
При решении различных проблем современного естествознания часто возникают модели, которые можно описывать дифференциальными включениями. В настоящее время теория дифференциальных включений используется в задачах оптимального управления, физики, экономики [6, 15, 16, 17, 37, 43, 46, 48, 70].
Дифференциальные включения являются естественным обобщением дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения как средство описания детерминированных физических процессов использовались еще И.Ньютоном [2, 42]. Но такие модели не принимают во внимание некоторую неопределенность в описании различных процессов, неточность задания и неполноту информации о системе. Это особенно характерно для систем, полученных, например, в макроэкономике, социологии, биологии [85]. Но в отличие от стохастических дифференциальных уравнений дифференциальные включения позволяют описывать динамику системы, не используя вероятностные характеристики модели, что во многих случаях позволяет избежать априорных предположений о таких характеристиках. Аппарат дифференциальных включений является удобным и общим средством для описания недетерминированных процессов.
В первых исследованиях по дифференциальным уравнениям с многозначной правой частью (дифференциальным включениям), которые были проведены С.Зарембой [92] и А.Маршо [89], была предпринята попытка
обобщить существовавшие в то время результаты по теории дифференциальных уравнений. Доказанные теоремы не имели в то время применений и были забыты.
Своим вторым рождением дифференциальные включения обязаны математической теории оптимального управления.
В начале шестидесятых годов появился цикл работ Т.Важевского [90, 91] и А.Ф.Филиппова [71, 72, 73], в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, а также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления, что привело к бурному развитию теории дифференциальных включений.
Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Обширная библиография этих исследований содержится, например, в [6, 8, 74, 85]. Необходимый для данной работы математический аппарат (элементы выпуклого анализа, теория опорных функций, сведения из теории многозначных отображений) изложен, например, в [4, 5, 62].
Многие математические модели описываются дифференциальными включениями. При изучении эволюции моделей, где имеет место медленное изменение параметров, соответствующая формализация приводит к дифференциальным включениям с быстрыми и медленными переменными. В прикладных исследованиях часто основную информацию об эволюционных процессах системы несут медленные движения. Математически это связано с подходящим выбором системы координат. Для таких задач естественно воспользоваться приближенным анализом свойств системы, обращая внимание только на медленные переменные, которые характеризуются малым параметром /г, ц « 1, при многозначном векторном
поле скоростей части переменных. Остальные переменные носят название быстрых. При анализе исходная задача заменяется другой, более простой, которая описывает эволюцию медленных переменных, как правило, на асимптотически большом промежутке времени: T(fi) = [0,1///], /і —> 0. Утверждение о близости решений исходной системы и аппроксимирующей (усредненной) по медленным переменным в промежутке Т(/л) принято называть принципом усреднения.
В той или иной форме метод усреднения применялся еще основоположниками небесной механики для анализа нелинейных систем, содержащих медленные переменные.
К 30-м годам уже было исследовано значительное число задач нелинейной механики на основании интуитивно ясного подхода аппроксимации медленных движений системы движениями упрощенной, так называемой усредненной, системы. Ван-дер-Поль использовал по существу принцип усреднения для изучения нелинейных проблем в радиотехнике на примере модели лампового генератора [12].
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными переменными принцип усреднения был доказан Н.Н.Боголюбовым в 30-е годы [7].
В работе [43] первая теорема Боголюбова [7, 39, 40, 46, 53, 77] была обобщена на случай дифференциальных включений. Эффективные результаты, полученные в прикладных задачах, а главное, актуальные постановки еще нерешенных проблем стимулировали развитие теории усреднения во всех направлениях [1, 13, 14, 18, 19, 39, 43, 52, 69, 77, 78, 79, 81]. В частности, В.М.Волосов разработал общую схему усреднения, доказал теоремы, дающие строгое обоснование для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными и рассмотрел многочисленные частные случаи. В [18, 21, 36] рассматри-
валась проблема непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров.
Более общий класс задач, описываемых дифференциальными включениями, потребовал и соответствующего развития математического аппарата, которое произошло в конце 50-х годов прошлого столетия в связи с появлением классических результатов теории оптимального управления [50, 71].
В задачах усреднения дифференциальных включений с медленными переменными первые результаты были получены В.А. Плотниковым в конце 70-х годов [43, 44]. Этот результат был затем перенесен на различные схемы частичного усреднения [45], интегро-дифференциальные включения [46, 49], дифференциальные включения с быстрыми и медленными переменными [17, 68, 70, 80], функционально-дифференциальные включения [9, 88], дифференциальные включения в банаховом пространстве [82, 83], дифференциальные уравнения с разрывной правой частью [46, 75, 76], дифференциальные включения с запаздыванием [47], дифференциальные включения с управлением [59, 63], дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями [10], дифференциальные включения с нелипшицевой правой частью [46, 48, 86, 87]. В книгах [46, 48] имеется достаточно подробная библиография по вопросам усреднения дифференциальных уравнений и включений.
Традиционная область применения дифференциальных включений — теория управления [6, 46, 48]. В настоящей работе задачи теории управления непосредственно не рассматриваются. Основной результат связан с принципом усреднения для дифференциальных включений.
Применительно к дифференциальным включениям принцип усреднения целесообразно формулировать в виде трех самостоятельных задач: аппроксимации снизу, аппроксимации сверху и взаимной аппроксимации.
Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы аппроксимации, позволяющие ответить на вопрос: может ли некоторое дифференциальное включение аппроксимировать данное по медленным переменным, доказаны в [66, 67, 68, 69, 70].
Мы будем рассматривать задачу аппроксимации сверху. В ней требуется, чтобы любое решение системы приближалось по медленным переменным некоторым решением аппроксимирующего дифференциального включения. То есть для любого решения исходной задачи должно существовать решение аппроксимирующего дифференциального включения, которое отличается по медленным переменным от указанного решения аппроксимирующего включения не более чем на заданное число є > 0, по меньшей мере, в промежутке Т(ц). Величина малого параметра //. зависит от точности аппроксимации є и принадлежит некоторому промежутку (0,/г0], цо = Цо{є).
В [54, 70] рассматривались вопросы построения аппроксимирующих дифференциальных включений для систем с быстрыми и медленными переменными. Поскольку для работы с многозначными отображениями удобно использовать опорные функции многозначного поля скоростей медленных переменных, то было введено понятие усредненной опорной функции. Показано, что с помощью такой функции можно строить правые части аппроксимирующего дифференциального включения [54, 55, 58, 64, 65, 70].
Мы будем строить аппроксимирующие дифференциальные включения для задач с медленными переменными.
Отметим, что аппроксимирующее сверху дифференциальное включение можно построить всегда: достаточно в качестве множества допустимых векторов скоростей в каждой точке фазового пространства взять все пространство скоростей. Разумеется, такое тривиальное построение ап-
проксимирующего сверху дифференциального включения не дает какой-либо информации о свойствах системы.
Кроме того, задачи построения односторонних аппроксимирующих дифференциальных включений могут быть решены, вообще говоря, неоднозначно. Поэтому возникает проблема выбора «наилучшего» в определенном смысле аппроксимирующего дифференциального включения, что приводит к понятию точных дифференциальных включений.
В связи с возможностью выбора аппроксимирующего дифференциального включения в данном классе задач в [70] было введено понятие точного дифференциального включения. Будем говорить, что дифференциальное включение является точным в задаче аппроксимации сверху, если любая другая, аппроксимирующая сверху исходное включение, задача аппроксимирует сверху также и точное включение.
Вопросы построения точных дифференциальных включений рассмотрены в [57, 61, 70].
Любое точное включение в задаче аппроксимации сверху при заданной погрешности приближения дает исчерпывающее описание эволюции переменных системы на множестве аппроксимирующих сверху включений. Другими словами, если дано аппроксимирующее сверху дифференциальное включение, то оно обязано аппроксимировать сверху точное включение.
Основное положение, доказанное в [61, 70], которое используется в данной работе, сводится к тому, что усредненная опорная функция при естественных предположениях позволяет конструктивно определять точные сверху дифференциальные включения в задаче аппроксимации сверху. Но, если в [57, 61, 70] рассматривались задачи с липшицевой правой частью, то в предлагаемой работе решается проблема построения точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной
правой частью.
В последней главе работы рассматривается задача построения точного сверху дифференциального включения для макроэкономической модели, описывающей влияние основных фондов на скорость роста валового продукта.
Различные примеры экономических моделей, для описания которых используются дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, приведены соответственно в [51], [33].
Дифференциальные включения для описания экономических моделей использовались в [16, 15].
Макроэкономические модели, характеризующие влияние основных фондов на скорость роста валового продукта, для описания которых используются дифференциальные уравнения, рассмотрены в [11, 35, 41]. О том, что макроэкономические модели можно описывать дифференциальными включениями, говорилось, например, в [85].
При анализе экономической модели с помощью точного сверху дифференциального включения существенным образом используется основной результат данной диссертационной работы. Правые части, полученных в результате формализации, дифференциальных включений не обязательно удовлетворяют условию Липшица. Поэтому требование непрерывности, накладываемое на правые части исследуемых задач, оказывается естественным в экономических исследованиях.
Содержание диссертационной работы
Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.
В начале первой главы приводятся все необходимые определения, обо-
значения, а также сведения из многозначного анализа и теории дифференциальных включений. Ставится задача аппроксимации дифференциальных включений сверху на асимптотически большом промежутке времени. Вводится понятие усредненной опорной функции, которая позволяет строить аппроксимирующие дифференциальные включения. А также приводятся необходимые теоремы, касающиеся принципа усреднения и вопросов построения аппроксимирующих дифференциальных включений из предшествующих работ [6, 48, 61, 70].
В главе 2 рассматривается задача построения аппроксимирующего сверху дифференциального включения для исходной системы с медленными переменными и полунепрерывной сверху правой частью, доказывается основная и вспомогательные теоремы и приводятся примеры, иллюстрирующие основную теорему.
Постановка задачи аппроксимации сверху, известные результаты
В этом разделе ставится задача аппроксимации сверху дифференциального включения с медленными переменными на асимптотически большом промежутке времени, дается определение точных дифференциальных включений, усредненной опорной функции, и приводится ряд теорем, необходимых для дальнейшего изложения. Рассмотрим дифференциальное включение с начальным условием где и Є (0, а], а 0, — малый параметр, отображение F : D — Kv(Wn) определено на множестве D = Ш+ х Р и принимает непустые компактные выпуклые значения из евклидова пространства 1RW, область Р С Rm-Начальные данные (о,#о) Є + х Р Множество всех решений типа Каратеодори задачи (1.4), определенных на отрезке T(to, р) = [to, о + 1/Н? М 0 будем обозначать символом X(to,x0,n). Задаче (1.4) поставим в соответствие более простую задачу где F0 -.P KviW71). Определение 1.7 [70] Задача (1.5) аппроксимирует дифференциальное включение (1-4) сверху в некоторой области PQ С -Р, если V є О 3/хо 0 V/г Є (0,//о] выполняется следующее условие: для любого решения x(t) задачи (1-4) существует решение () задачи (1.5) такое, что для любых начальных условий (to,xo) Є К+ х PQ. В этом определении и далее мы всегда будем предполагать, что любое решение задачи (1.4), также как и любое решение аппроксимирующей задачи (1.5), определено на отрезке T(tQ,fi) при любом fj, (0,//о]
Определение 1.8 [70] Дифференциальное включение (1.5) будем называть точным в задаче аппроксимации сверху включения (1-4) (точным сверху для (1.4)) в классе CQ(ITI,P), если включение (1.5) аппроксимирует сверху задачу (1-4), пРи этом любая другая аппроксимирующая сверху исходное включение задача из класса Сц(т,Р) аппроксимирует сверху также и дифференциальное включение (1.5). Дифференциальное включение (1.5) из определения 1.8 будем называть точным в области PQ С Р, если начальное условие XQ В задачах (1.4), (1.5) можно взять произвольно в области PQ. Далее всегда предполагаем, что отображение FQ принадлежит классу С0{т,Р). Во всех дальнейших построениях для простоты рассуждений будем предполагать, что область Р— шар В(о,г) С Кто, о = ( о)5 достаточно большого радиуса г С, где С — константа из условия равномерной ограниченности отображения F. Тогда, если правая часть включения (1.4) равномерно ограничена и полунепрерывна сверху, то любое решение задачи (1.4) определено на всем отрезке T(/i) при любом fi Є (0,/го] по теореме 2 [6, с.213]. Сначала приведем теорему, которая представляет достаточные условия в задаче аппроксимации сверху. В следующих теоремах 1.1 — 1.3 начальное условие Q В задачах (1.4) и (1.5) предполагается фиксированным и равным нулю. Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать задачи с медленными переменными, ниже приводится следствие теоремы об аппроксимации, доказанной в [70] для более общего случая быстрых и медленных переменных. Из теоремы 1 [70, с.36] следует
Теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения
Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы аппроксимации, позволяющие ответить на вопрос: может ли некоторое дифференциальное включение аппроксимировать данное по медленным переменным, доказаны в [66, 67, 68, 69, 70].
Мы будем рассматривать задачу аппроксимации сверху. В ней требуется, чтобы любое решение системы приближалось по медленным переменным некоторым решением аппроксимирующего дифференциального включения. То есть для любого решения исходной задачи должно существовать решение аппроксимирующего дифференциального включения, которое отличается по медленным переменным от указанного решения аппроксимирующего включения не более чем на заданное число є 0, по меньшей мере, в промежутке Т(ц). Величина малого параметра //. зависит от точности аппроксимации є и принадлежит некоторому промежутку (0,/г0], цо = Цо{є).
В [54, 70] рассматривались вопросы построения аппроксимирующих дифференциальных включений для систем с быстрыми и медленными переменными. Поскольку для работы с многозначными отображениями удобно использовать опорные функции многозначного поля скоростей медленных переменных, то было введено понятие усредненной опорной функции. Показано, что с помощью такой функции можно строить правые части аппроксимирующего дифференциального включения [54, 55, 58, 64, 65, 70].
Мы будем строить аппроксимирующие дифференциальные включения для задач с медленными переменными.
Отметим, что аппроксимирующее сверху дифференциальное включение можно построить всегда: достаточно в качестве множества допустимых векторов скоростей в каждой точке фазового пространства взять все пространство скоростей. Разумеется, такое тривиальное построение ап проксимирующего сверху дифференциального включения не дает какой-либо информации о свойствах системы.
Кроме того, задачи построения односторонних аппроксимирующих дифференциальных включений могут быть решены, вообще говоря, неоднозначно. Поэтому возникает проблема выбора «наилучшего» в определенном смысле аппроксимирующего дифференциального включения, что приводит к понятию точных дифференциальных включений.
В связи с возможностью выбора аппроксимирующего дифференциального включения в данном классе задач в [70] было введено понятие точного дифференциального включения. Будем говорить, что дифференциальное включение является точным в задаче аппроксимации сверху, если любая другая, аппроксимирующая сверху исходное включение, задача аппроксимирует сверху также и точное включение.
Вопросы построения точных дифференциальных включений рассмотрены в [57, 61, 70]. Любое точное включение в задаче аппроксимации сверху при заданной погрешности приближения дает исчерпывающее описание эволюции переменных системы на множестве аппроксимирующих сверху включений. Другими словами, если дано аппроксимирующее сверху дифференциальное включение, то оно обязано аппроксимировать сверху точное включение.
Основное положение, доказанное в [61, 70], которое используется в данной работе, сводится к тому, что усредненная опорная функция при естественных предположениях позволяет конструктивно определять точные сверху дифференциальные включения в задаче аппроксимации сверху. Но, если в [57, 61, 70] рассматривались задачи с липшицевой правой частью, то в предлагаемой работе решается проблема построения точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью.
В последней главе работы рассматривается задача построения точного сверху дифференциального включения для макроэкономической модели, описывающей влияние основных фондов на скорость роста валового продукта.
Различные примеры экономических моделей, для описания которых используются дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, приведены соответственно в [51], [33]. Дифференциальные включения для описания экономических моделей использовались в [16, 15].
Макроэкономические модели, характеризующие влияние основных фондов на скорость роста валового продукта, для описания которых используются дифференциальные уравнения, рассмотрены в [11, 35, 41]. О том, что макроэкономические модели можно описывать дифференциальными включениями, говорилось, например, в [85].
При анализе экономической модели с помощью точного сверху дифференциального включения существенным образом используется основной результат данной диссертационной работы. Правые части, полученных в результате формализации, дифференциальных включений не обязательно удовлетворяют условию Липшица. Поэтому требование непрерывности, накладываемое на правые части исследуемых задач, оказывается естественным в экономических исследованиях.
Следствия о точных сверху дифференциальных включениях
Для исследования многопродуктовой макромодели, описывающей влияние основных фондов на скорость роста валового продукта, поставим задачу Копій для дифференциального включения где х Є Ж — валовой продукт, F : D — Кь Ш) — макроэкономическая производственная функция, которая определяет многозначное векторное поле допустимых скоростей и принимает непустые компактные выпуклые значения из евклидова пространства Mm, D = М.+ х Р, область Р С 1R+. Малый параметр ц Є (0, а], а О, —- коэффициент фондоотдачи. Начальные данные (to,xo) Є 1+хР. Множество всех решений типа Каратеодори задачи (4.1), определенных на отрезке T(tQ,fi) — [(ь о + l//fL М 0, будем обозначать символом Х(о,о А4) Поясним смысл коэффициента /І В случае, когда функция F характеризует капитальные вложения.
Коэффициент /і имеет размерность [1/время], поскольку размерность dx/dt равна [руб./время2], а размерность элементов множества капитальных вложений F [руб./время]. Если параметр /л равен, например, 1/4 [1/год], то вложения интенсивностью 4 [руб./год] обеспечивают за год прирост интенсивности валового выпуска на 1 [руб./год]. Напомним, что валовой продукт определяется как сумма валовых выпусков всех учитываемых производственных ячеек (предприятий сферы материального производства) за определенный период времени. Класс средств производства (машины, оборудование, здания, сооружения и т.п.), вовлеченных в каждый производственный цикл и не теряющих в нем полностью вещественной формы и функциональных свойств,
В [35] многомерная модель задана как система одномерных моделей для обыкновенных дифференциальных уравнений. В терминах дифференциальных включений эту задачу можно сформулировать таким образом: где ХІ Є Ш+ — валовой продукт г-го вида, Fi : D —» Kv(M.) — г-я макроэкономическая производственная функция, D = 1R+ х Р, область Р С М+, малый параметр ЦІ Є (0, а], а 0, — соответствующий коэффициент фондоотдачи. Заметим, что система одномерных моделей может быть получена как частный случай модели (4.1), когда функция F представляет собой декартово Произведение F\(t, Х\) X І 2(,Ж2) х ... х Fm(t,xm). Экономическое развитие, вызванное ростом валовых выпусков в одной отрасли, особенно при интенсификации производства, связано с ростом валовых выпусков в других отраслях. Межотраслевые связи захватывают сопряженные области (например, самолетостроение стимулирует производство специальных сплавов, пластмасс, приборов и т.п.; атомная энергетика— машиностроение; интенсификация сельского хозяйства — машиностроение, производство удобрений, гербицидов, микробиологическую промышеленность и т.д.). Для того чтобы отразить взаимосвязи между различными видами валовых выпусков, возьмем общую макроэкономическую функцию F(t, х) и рассмотрим дифференциальное включение (4.1). В этом случае правая часть включения (4.1) может иметь сложную структуру, поэтому здесь целесообразно воспользоваться анализом аппроксимирующего дифференциального включения. Пусть макроэкономическая функция JF(, Х) представима в виде алгебраической суммы: где Fr : D -+ Kv(Rm), FB : D -» Kv(Rm), Fj(t,x) + FB(t, x) = {a -f b : a Fj(t,x), b Є FB(t,x)}. Здесь Fi — множество, характеризующее часть дополнительных валовых инвестиций, направленных на развитие производственных возможностей, FB — множество, элементы которого определяют запас производственных фондов и базовые инвестиции, направленные на поддержание действующих основных фондов, их реконструкцию, смену технологий, освоение новых фондов и др.
Особенностями дополнительных инвестиций являются ограниченное время воздействия и тенденция к убыванию, поэтому естественно для отображения jF/(t, х) потребовать выполнение следующего условия: равномерно по начальным параметрам (TQ,XO) Є D И векторам ф Є Km, 11 ip\ = 1, существует предел Заметим, что в экономической структуре весь поток производственных инвестиций воплощен в соответствующих инвестиционных благах — станках, оборудовании, зданиях, сооружениях, им должны соответствовать мощности инвестиционно-монтажной базы, машиностроения, производства конструкционных материалов и т.д. В результате деятельности этого комплекса обеспечивается функционирование производственных фондов — как вновь сооруженных и реконструированных, так и действующих. Проектирование, создание, ввод в эксплуатацию и поддержание определенных производственно-технических систем — заводов, комплексов предприятий — образуют единый инвестиционный процесс, охватывающий полный цикл данной производственно-технологической системы [35]. Эволюция FB отражает изменение рыночной стоимости запаса основных фондов и базовых инвестиций. Она зависит от многих из перечисленных во введении факторов, таких как изменение конъюнктуры рынка, диспропорции в различных отраслях экономики, запаздывание в реализации инвестиций. В соответствии с шумпетеровской концепцией технологических изменений существуют периоды стабильной технологии, которые отделяются друг от друга переломными моментами (или переходными периодами) (см., например, [3]). Существует методика статистического выделения технологических периодов. Они могут происходить не обязательно через равные промежутки времени, поэтому периодические функции F для описания свойств системы (как это было сделано в [48]) в этом случае не подходят. Они также могут быть такими, что условие существования предела средних от опорной функции c(F(t,xo), ) не выполняется. Поэтому здесь может оказаться полезным условие (4.3) существования равномерного верхнего предела от опорной функции c(F(, %о) V0 теоремы о построении точного сверху дифференциального включения.
Примеры одно- и многопродуктовых моделей
Экономика в целом характеризуется такими обобщающими показателями как валовой продукт, национальный доход, основные фонды, производительность труда и др. Макромодели в соответствии с их свойствами целесообразно использовать в теоретическом исследовании для определения количественного выражения глобальных экономических зависимостей. В планировании они могут найти практическое применение на первоначальных стадиях расчета сравнительно отдаленной перспективы, когда необходимо обосновать лишь общие закономерности и тенденции изменения сводных экономических показателей. О роли макроэкономических моделей в анализе экономики говорилось, например, [34].
В этой главе изучается эволюция макроэкономической модели под влиянием медленных изменений параметров. Обычно эволюция таких моделей исследуется с помощью дифференциальных уравнений, которые, как известно, описывают детерминированные системы (см., например, [11, 35]). Для анализа можно использовать также стохастические модели, при этом необходимо сделать некие априорные предположения о вероятностных характеристиках изучаемой системы.
Удобным и общим средством описания недетерминированных систем, в том числе и экономических, как отмечалось ранее, являются дифференциальные включения (см., например, [15, 16, 37]). Они позволяют описывать динамику системы, не используя вероятностных характеристик. Модель такого рода обобщает ряд вероятностных моделей. В этом смысле она является более грубой. Однако, результаты исследования позволяют сразу оценить сверху все результаты вероятностных моделей, что иногда оказывается достаточным в прикладных исследованиях.
Как отмечалось, например, в [41], траектория роста экономической системы складывается из трех составляющих: тренда, колебательного движения и случайной компоненты. Исследование особенностей экономического развития показывает, что основную информацию о свойствах системы несут средние значения, составляющие тренд. Он является конкретным способом выражения основной тенденции развития системы.
Анализ специфических форм, в которых проявляется колебательное движение, говорит о том, что его возникновению способствуют следующие факторы: появление новых технологий; изменение спроса на определенные виды товаров; освоение новых основных фондов; различия, возникающие между отдельными сферами экономики в отношении производительности труда, расхода сырья, материалов, энергии, топлива; несоблюдение сроков выполнения плановых заданий по выпуску продукции, капитальному строительству; природные явления, имеющие форму помех, например, наводнения и т.д. Но тренд превалирует над другими признаками и направлениями, несущественными по отношению к росту всей системы. Таким образом, усредненная задача будет нести основную информацию о свойствах системы.
Особенностью такой задачи будет рассмотрение на бесконечном боль шом интервале времени. Важнейшие для экономики явления, связанные, например, с инвестициями, невозможно осмыслить в рамках статических представлений, поскольку логическая природа и смысл этих явлений всегда связаны с будущим. Та же причина не позволяет корректно моделировать эти явления на конечном временном интервале. Трудности, возникающие в экономических моделях на конечном отрезке времени, принято называть «проблемой конца экономической истории». Одно из стандартных решений этой проблемы — предельный переход от конечного временного интервала к бесконечному (см., например, [84]).
Мы будем рассматривать задачу аппроксимации сверху и «наилучшее», в смысле определения 1.8, аппроксимирующее дифференциальное включение. Для построения точного сверху дифференциального включения здесь будет использоваться теорема 3.1 о построении точного включения для задачи с медленными переменными и непрерывной правой частью.
Правая часть, полученного в результате соответствующей формализации дифференциального включения, в экономическом контексте не обязана удовлетворять условию Липшица. Поэтому требование непрерывности, накладываемое на правые части исходных задач, оказывается более естественным.
Доказанные в главе 2 теоремы, вообще говоря, позволяют строить аппроксимирующие дифференциальные включения для задач с полунепрерывной сверху правой частью. Это может оказаться полезным в прикладных исследованиях, поскольку в экономическом моделировании может возникать ситуация, когда правая часть исходной задачи полунепрерывна сверху.
Здесь мы ограничимся случаем построения точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью.
