Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ свойств существующих методов и математических моделей разрушения 17
1.1. Анализ линейной механики разрушения 17
1.1.1 Классические теории прочности 17
1.1.2. Феноменологические теории длительной прочности 22
1.1.3. Линейная механика трещин 31
1.1.4. Обобщения линейной механики трещин 43
1.2. Анализ упругопластической механики трещин 48
1.2.1. Метод предельного анализа 48
1.2.2. Энергетические критерии разрушения 55
1.2.3. Локальные глобальные энергетические критерии разрушения .60
1.2.4. Интеграл Раиса - Черепанова 70
1.2.5. Критерий критических деформаций 79
1.2.6. Критерии как непрерывный переход между двумя предельными состояниями 81
1.2.7. Критерии нелинейной механики трещин 82
1.2.8. Модель, учитывающая силы сцепления у вершины трещины 86
1.2.9. Критерий критического раскрытия трещины 93
1.2.10. Двухкритериальный метод 100
1.2.11. Локальные критерии разрушения 105
1.2.12. Критерии разрушения на основе глобальной деформации 110
1.3. Статистические теории разрушения 115
1.4. Микромеханизмы разрушения 117
1.5. Формулирование задач исследований 136
2. Алгоритмы задач синтеза для совокупности конструкционных материалов и их дефектов 138
2.1. Формулирование математической задачи 138
2.1.1. Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности 141
2.1.2. Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности 152
2.1.3 Задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости
конструкционных материалов 172
2.1.4. Задача синтеза для совокупности дефектов и трещиноподобных образований на основании требований к особенностям
движения 190
3. Случайно - фрактальное (перколяционное) моделирование разрушения на основе неоднородных напряжений 209
3.1. Топологическое свойство - связность, сплошная среда со структурой и инвариантность интеграла Раиса - Черепанова 209
3.2. Фрактальная модель неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах (задача анализа) 224
3.3. Перколяционная (кластерная) модель разрушения поликристаллических конструкционных материалов 245
4. Фрактальное нелинейное моделирование в динамике распространения трещин 252
4.1. Фрактальная природа трещин 252
4.2. Иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах 266
4.3 Математическая модель возникновения трещины в кристаллических конструкционных материалах 287
Заключение 291
Библиографический список
- Феноменологические теории длительной прочности
- Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности
- Фрактальная модель неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах (задача анализа)
- Иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах
Введение к работе
Актуальность работы. Изучение процесса разрушения твердого тела требует одновременного рассмотрения таких разных факторов, как микроскопические явления в местах возникновения и развития разрушения, состав и структура материала и макроскопические эффекты (например, напряженное состояние вокруг макроскопических концентраторов, где вероятность возникновения разрушения наиболее высокая).
На нижнем конце этой шкалы происходит процесс разрыва связей, осуществляющих сцепление в материале. В этом интервале масштабов интересны явления, происходящие в материале на расстояниях порядка
10"9м. Аппаратом, пригодным для изучения этих явлений, служит квантовая механика. На верхнем же конце этой шкалы, границы которой не определены однозначно (величина их зависит от особенностей структуры), материал можно считать однородной сплошной средой; для изучения происходящих в нем явлений можно использовать аппарат классической механики сплошных сред. Явления, которые происходят в материале между этими двумя крайними масштабами, такие, как движение линейных и точных дефектов, всегда присутствующих в структуре твердого материала, очень сильно зависят от структуры материала и требуют иного подхода. Так, например, разработка новых математических моделей. Таким образом, вследствие очень сложной природы явления и связанного с этим отсутствия полного физического понимания его сущности, а также отсутствия достаточно мощных математических средств в настоящее время не существует последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению. В существующих теориях проблема разрушения рассматривается только с какой-либо одной из трех точек зрения: статистической механики, микроструктуры или классической механики сплошной среды.
Теории разрушения, основанные на статистической механике, с одной стороны, упрощают и идеализируют материал в отношении кинетики его
атомной структуры, а с другой стороны, игнорируют его локальную геометрию и механику в отношении микроструктуры и напряженного состояния. Они, следовательно, дают некоторый феноменологический взгляд на явления, а не удовлетворительную количественную теорию [242, 291]. На этом уровне статистический подход является общим и применим ко всем твердым телам.
Поскольку начало процесса разрушения означает образование трещин или пустот, которые зависят от микроструктуры материала и условия нагружения, это означает, что механизм разрушения может быть различным для кристаллических твердых тел различной структуры. Современное состояние различных теорий, рассматривающих зарождение трещины и ее рост до определенного размера, для кристаллических материалов обсуждалось в работах следующих авторов: Котрелла А.Х., Гилмана Дж. Дж., Хана Г. Т., Макклинтока Ф. А., Аргона А. С, Орована Е., Строха А. Н., Томпсона Н.. [135, 158, 176, 234, 267, 268] для кристаллических материалов. Поскольку главное внимание во всех микроструктурных теориях уделяется выяснению механизма начала разрушения, они в основном носят качественный характер.
С другой стороны, в макроскопических теориях разрушения предполагается существование трещин, пустот или других дефектов, которые могут легко служить очагами разрушения. Чтобы оправдать использование методов классической механики сплошной среды, принимается, что размеры этих дефектов достаточно велики по сравнению с характерными размерами микроструктуры. При этом необходимо заметить, что характерные размеры неизвестны. В этих теориях материал рассматривают как однородную сплошную среду, и многочисленные аналитические и численные исследования с применением ЭВМ, как правило, выполняются методами механики сплошной среды и классической термодинамики. Среди работ, выполненных в рамках механики сплошной среды, для исследования процессов разрушения принципиальное значение имеют труды Александрова
В. М., Баренблатта Г.И., Грифитса А. А., Ершова Л.В., Ивлева Д.Д., Ирвина Г.Р., Ишлинского А.Ю., Каштанова А. В., Качанова Л.М., Лурье А.И., Любовица Г., Макклинтока Ф.А., Мусхелишвили Н.И., Орована Е.О., Партона В.З., Понасюка В.В., Париса П., Петрова Ю. В., Работнова Ю.И., Си Д., Снеддона И.Н., Тернера У.И., Уолша И.Б., Хеллана К., Холанда А.И., Черепанова Г.П., Шемякина Е.И., Эрдогана Ф., Ягера И.С. и др.[2,40, 41, 92, 164,165].
Таким образом, поскольку в основе теории деформируемых твердых тел и механики разрушения лежит модель классической сплошной среды, то необходимо определить различие задач в этих теориях. Если поставить и решить задачу теории деформируемых твердых тел, имеющих тонкий разрез, то в полученное решение в виде параметра войдет размер разреза, как и иные размеры тела. При заданных и фиксированных внешних усилиях ряду значений длины разреза соответствует ряд значений компонентов напряженного и деформированного состояний. В полученном решении задачи теории деформируемых твердых тел содержится длина разреза наравне с другими геометрическими размерами тела. Но при этом в нем не содержится связи внешнего усилия с длиной разреза при заданной нагрузке (при заданной нагрузке можно произвольно менять размеры тела, что отражается только на напряженно-деформированном состоянии). Для того, чтобы получить такую связь, необходимо к полученному решению добавить некоторое условие или критерий разрушения, который переводит разрез в трещину. Такой критерий устанавливает величину усилия, при котором разрез начинает распространяться. В этом случае величина нагрузки и длина трещины становятся взаимосвязанными. При этом нельзя изменить длину трещины, не изменив и саму нагрузку. Если разрез получает возможность распространяться быстро или медленно, то такое состояние тела называют предельным или критическим, при этом критерий разрушения удовлетворяется. В таких моделях учитываются трещины с помощью поля
напряжений, все остальные трещины, слияние которых образуют излом, в этих моделях не учитываются.
Критерий разрушения ставит условие наступления предельного состояния равновесия. В состоянии предельного равновесия внешнее усилие и характерный размер трещины связаны функциональной зависимостью. Критерий разрушения является дополнительным уравнением к уравнениям теории упругости и пластичности. Поэтому наличие решений теории упругости для тел с тонкими разрезами еще не создает теорию трещин, в то же время основной вопрос теории трещин — установление и изучение критерия разрушения.
При макроскопическом подходе необходимо сформулировать модель реального явления и постулировать «критерий» разрушения. Среди таких критериев могут быть упомянуты: критерии линейной и развитой механики разрушения; локальные и глобальные энергетические критерии разрушения; использование интеграла Раиса - Черепанова и его критического значения в виде критерия страгивания трещины; модели с силами сцепления у вершины трещины; локальные критерии разрушения, выраженные через критические напряжения или деформации; критическое раскрытие трещины; критерии разрушения, базирующиеся на критической глобальной деформации; двухкритериальный метод.
Некоторые критерии в общем виде описывают различные предельные состояния, в частности линейноупругое разрушение, упругопластическое разрушение, пластическую неустойчивость. В этом направлении ряд исследователей (Ивлев Д.Д., Ишлинский А. Ю., Гвоздев А. А., Прандтль Л., Хилл Р., Прагер В., Соколовский В. В., Койтер В. и др.) [13, 28, 29, 33, 74, 185, 208, 243] получили весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. В тоже время нельзя не отметить, что многие из этих критериев разрушения содержат один параметр, который рассматривается как характеристика материала, но зависящий от скорости деформирования, т. е. от условия опыта, что, конечно же, недопустимо.
В некоторых материалах при заданных температуре и скорости деформирования у вершины трещины наблюдают достаточно мало развитую пластическую деформацию. Поэтому можно рассматривать поведение таких материалов как линейноупругое. Этот подход известен под названием линейной механики трещин. Среди работ, выполненных в данном направлении, для исследования разрушения принципиальное значение имеют труды Баренблатта Г. И., Черепанова Г. П., Ирвина Г. Р., Грифитса А. А. Ивлева Д. Д., Ершова Л. В. и др. [2,27, 89,90]
При таком подходе к решению проблем разрушения конструкционных материалов трещины как объекты, существующие над внутренним строением, независимы от последнего, что, конечно же, является недопустимым предположением для конструкционных материалов.
Поэтому дальнейшее развитие решение проблем разрушения было связано с введением понятий длительной прочности и долговечности материала (Журков С.Н., Бюссе У.И., Ильюшин А.А.). В ряде работ были установлены соотношения, выражающие зависимость между временем до разрушения и действующими напряжениями, т.е. созданы феноменологические теории длительной прочности. Кинетический подход к разрушению трактуется по-разному. Некоторые авторы временную зависимость разрушения объясняют химическими явлениями (Орован Е. О.), другие - неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального деформирования и разрушения. Есть авторы, которые рассматривают временную зависимость разрушения как органическое свойство материала, что недопустимо. Время, согласно требованиям термодинамики, не может быть параметром состояния. Поэтому необходимо согласиться с тем, что временная зависимость разрушения должна быть истолкована неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального разрушения. В связи с этим необходимо отметить работы Гольдштейна Р. В., Гузь А.Н., Бабича И. Ю., Карташова Э. М., Цоя Б., Шевелева В. В., Маргетройда Дж. Б и др. [15,17,37,38].
Итак, мы в полной мере наблюдаем реализацию опасений, связанных с переносом линейного опыта на нелинейную почву, высказанных в свое время Л. И. Мандельштамом. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, специалисты по теории разрушения встали на путь своего рода «математического старательства», и приступили к решению как нелинейных, так и линейных проблем «поштучно», используя их индивидуальные специфические особенности. На этом пути ряд исследователей получили весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути. Каждое из них отражает некоторые существенные особенности явления разрушения, а в совокупности феноменологические теории, теории трещин и статистические теории позволяют воспроизвести достаточно полную картину макроразрушений, что указывает на перспективность синтеза методов этих теорий в рамках единого подхода. Но при этом, каждая из них по отдельности так и вместе не могут составить основу для последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению.
Фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования в развитии общей теории разрушения. Такой подход вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейной теории разрушения в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.
Формулировка основных положений математической модели, призванной отразить наиболее существенные стороны явления разрушения, задача чрезвычайно сложная, ввиду большого многообразия определяющих факторов и форм разрушения. В связи с этим естественно отправляться от ключевых, характеристических черт явления.
1. В конструкционных материалах всегда в изобилии присутствуют неоднородности в различных масштабах и разрушение путем образования поверхностей - характеристическая черта явления. Причем, если эти вновь образованные поверхности при разрушении становятся поверхностями трещин, то они являются фрактальными поверхностями, на что указывали многие авторы. Мандельброт и другие авторы [217-219] установили, что структура поверхности трещин в металле превосходно моделируется фрактальными поверхностями, несмотря на то, что поверхность трещин имеет предел извилистости, который ограничен снизу характерным размером микроструктурных неоднородностей, в то время как фракталы бесконечно извилисты [50]. Проведенные этими авторами эксперименты по разрушению металла показали, что фрактальная размерность D имеет вполне определенное значение для различных образцов одного и того же металла. В свою очередь величина фрактальной размерности напрямую зависит от числа факторов, влияющих на рассматриваемый процесс разрушения.
По мнению автора работы [50] нерегулярности связанные с размерами и ориентацией зерен во многих поликристаллических металлах, да и с распределением примесей, дефектов и других источников внутренних напряжений, возможно, и являются физической основой того, что поверхности трещин в металле успешно моделируются фракталами. К этому мнению необходимо относиться не больше, чем к предположению, которое, конечно же, требует доказательства, ибо оно впрямую не следует из выше обозначенного эксперимента и проведенного анализа последним автором (как размер зерна влияет на разрушение металла в фрактальных моделях).
Аналогичная ситуация наблюдается в работах других авторов, которые занимались исследованием поверхности трещин в геоматериалах [77, 78, 93]. В работе [49] конфигурация трещин в материалах исследовалась с помощью модели, включающей в себя уравнения упругости и простые правила распространения трещин (вероятность образования трещины в данной части образца пропорциональна действующему на нее напряжению). Предложенная
модель, которая воспроизводит распространение трещин в идеальном моно -или поликристалле, позволяет исследовать различные изотропные материалы при различных граничных условиях: деформация сдвига, одноосное сжатие, равномерное сжатие и т. д. Автомодельные конфигурации получены при фрактальных размерностях, близких к 1.6. Здесь уместно отметить, что при фрактальной размерности равной 1.5, поведение системы близко к гауссовскому, при фрактальной размерности временного процесса, стремящейся к 2, на систему оказывает влияние сразу много равновеликих факторов влияния.
Поскольку решающую роль в явлениях растрескивания играют многие факторы, такие, как структура материала, дефекты, примеси и т. д. (не учитывается в данном исследовании), что обусловливает существование обширного семейства механизмов растрескивания, то предложенную модель следует считать простой моделью, позволяющей довести до конца анализ возможной фрактальной природы поверхности трещин. Полученные результаты в данной работе необходимо расценивать так, что конфигурации образующихся в данной простой модели трещин действительно обладают фрактальным характером, что стимулирует дальнейшие исследования более реалистических систем.
2. Случайный характер всех без исключения опытных данных по разрушению указывают на то, что в основе лежат случайные механизмы. Проявляются они в основном в случайном характере поверхностей изломов, образующихся при разрушении. Это свидетельствует о том, что трещины являются иерархически организованными системами. Но в отличие от других иерархических систем, трещины не могут существовать сами по себе, они образуются в конструкционных материалах. Трещины в консрукционных материалах должны рассматриваться, как составляющие внутреннего строения и быть согласованы с ним, особенности которого определяются в рамках теории сложных систем. Согласно этой терии, конструкционные материалы - это макроскопические системы, динамика которых
определяется взаимодействием большого числа микроскопических частей. Макроскопические системы обладают большим количеством степеней свободы. Системы со многими степенями свободы с необходимостью стохастические. В свою очередь стохастические системы де-факто иерархические в том смысле, что допускают дополнительное описание, по крайней мере, на двух различных уровнях. На микроскопическом уровне, на котором большое число, равное или большее числа Авогадро, частиц вступает во взаимодействие друг с другом на основе обратимой гамильтоновой динамики. И на макроскопическом, феноменологическом уровне, на котором для многих (но не для всех) практических целей система может быть описана небольшим числом макроскопических переменных; эти макроскопические переменные возникают как коллективные свойства динамики, происходящей на микроскопическом уровне.
Таким образом, трещина это фрактальный объект в иерархически организованной системе, каждый уровень которого имеет свой характер взаимодействия и условия формирования коллективного свойства, и требует разработки новых математических моделей для каждого уровня, связанных между собой на иерархической основе.
В связи с изложенным, разработка теоретических основ иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов -последовательной единой теории, охватывающей все уровни разрушения, является актуальной.
Цель исследования - разработать математические методы и средства для построения последовательной единой теории, охватывающей все иерархические уровни разрушения конструкционных материалов.
Основная идея работы. Трещина как фрактальный объект в иерархической среде должен описываться иерархией фрактальных моделей.
Основные научные положения, выносимые на защиту: - алгоритмы решения задач синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу
однородности, позволяющие отличить на базе математической модели однокомпонентные (однофазные) от композиционных материалов, и технические материалы от геоматериалов;
- алгоритм решения задач синтеза для совокупности дефектов,
трещиноподобных образований и трещин на основании требований к
иерархичности, который позволяет на базе математической модели отличить
друг от друга дефекты, и трещины от трещиноподобных дефектов;
случайно-фрактальная (перколяционная) модель разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации, описывающая поэтапное разрушение структурного, композиционного и породно-массивного иерархических уровней;
- модель сплошной среды со структурой, разработанная на базе отображений
связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных
иерархических уровней конструкционных материалов;
-причиной нарушения масштабной инвариантности интеграла Раиса -
Черепанова является наличие в конструкционных материалах
незавершенных иерархических уровней, которым соответствует топологическая конструкция в виде несвязных пространств; границы области нарушения масштабной инвариантности интеграла Раиса - Черепанова определяются границей применимости сплошных сред со структурой;
- иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и
неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах на всех завершенных и незавершенных иерархических уровнях разрушения;
- качественная модель как критерий адекватности устойчивого и
неустойчивого распространения трещин.
Научная новизна работы состоит в
- алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности
конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и
масштабу однородности;
- алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности дефектов,
трещиноподобных образований и трещин на основании требований к
иерархичности;
разработке модели сплошной среды со структурой на базе топологического свойства - отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов;
разработке случайно-фрактальной (перколяционной) модели разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации;
- определении причин и границ области нарушения масштабной
инвариантности интеграла Раиса - Черепанова;
- разработке иерархии фрактальных моделей стохастически устойчивого и
неустойчивого распространения трещин на всех завершенных и
незавершенных иерархических уровнях конструкционных материалов;
- разработке критерия адекватности на базе качественной модели
распространения устойчивого и неустойчивого распространения трещин.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов
исследований подтверждается следующим:
- корректностью применения апробированного математического аппарата
(теории обобщенных функций, тензорного исчисления, теории краевых задач
для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, теории уравнений
математической физики и интегро-дифференциальных уравнений, методов
фрактальной геометрии, стохастической и нелинейной динамики,
перколяционной теории);
-совпадением результатов исследований качественным методом как первым приближением, результаты которого совпадают с результатами защищаемой работы в частном (линейном) случае;
- согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических
моделей разрушения, с экспериментальными данными других
исследователей.
Результаты диссертационной работы могут иметь практическую ценность:
- при исследовании трещин в конструкциях транспортных средств;
- при исследовании устойчивости горных выработок и откосов бортов
карьеров;
- при определении параметров эффективного дробления и измельчения;
- в расчетах разрушения неоднородных сред, которые могут быть как
изотропными, так и анизотропными.
Результаты исследования реализованы в разработке спецкурсов для
студентов, специализирующихся по профилям: теория обобщенных функций
и ее приложения, материаловедение, механика, прикладная математика, а
также для студентов горных специальностей.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения
докладывались:
на шестой Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (2004г.);
на пятом, шестом и седьмом Всероссийском симпозиуме по Прикладной и
Промышленной математике (2004г., 2005г.);
- на второй Международной конференции по Физическим проблемам
разрушения горных пород (Санкт-Петербург 2001г.)
- на семинарах кафедры «Высшая математика» МГГУ (Москва, 2001 - 2006
г.г.)
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в монографии и 25 научных статьях, из которых 7 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 291 наименований, содержит ІЗрисунков.
^/ ч
Феноменологические теории длительной прочности
Из анализа этих работ ясно, что наиболее перспективным является изменение классической теории прочности путем введения дополнительных параметров в условие (1.8). На выбор параметров оказал влияние один из серьезных недостатков критериев прочности в форме (1.8). Им является экспериментально установленный факт зависимости разрушения не только от величин, но и от длительности внешних воздействий. В связи с этим было введено понятие длительной прочности, указывающее на промежуток времени, в течение которого действие заданных напряжений разрушает материал - исчерпывает несущую способность. Это позволяет сделать вывод, что разрушение в квазистатических условиях есть длительный процесс, который может быть разделен на стадии. Причем для описания каждого из них может потребоваться своя теория.
В ряде работ были установлены соотношения, выражающие зависимость между временем до разрушения и действующими напряжениями, т.е. созданы феноменологические теории длительной прочности. Для примера приведем эмпирическую формулу Голланда и Тернера [186]: т = Ва г, (1.9) где г- долговечность; т- растягивающее напряжение; В и у-характеристики материала, а также формулу Буссе и Журкова [23, 127] т = т0ехір[-и0-аа/кТ], (1.10) где щ- энергия активации; К- постоянная Больцмана; Т- абсолютная температура; т0 и а- константы, полученные на основании опытных данных, которые показывают, что разрушение твердого тела - это процесс, развивающийся при любом уровне напряжений.
Кинетический подход к энергии разрушения трактуется по-разному. Некоторые авторы временную зависимость разрушения объясняют химическими явлениями [236], другие - неоднородностью структуры твердого тела и связанной с нею неоднородностью локального деформирования и разрушения [220].
Есть авторы, которые рассматривают временную зависимость разрушения как органическое свойство материала. Однако реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет, при употреблении термина «время» речь идет о последовательности событий, а не об их временной протяженности. Следует также отметить, что время, согласно требованиям термодинамики, не может входить в число параметров состояния. Наличие явной временной зависимости указывает на неполноту количества параметров состояния. Поэтому дальнейшее развитие теорий прочности происходило путем введения дополнительных параметров: сплошности, введенной Л.М. Качановым [39], и поврежденности, введенной
Ю.Н. Работновым [69] Условием разрушения считается достижение этими скалярными параметрами критического уровня. Обобщением этих теорий является теория, изложенная в работе А. А. Ильюшина [32], где в качестве параметра поврежденности вводится тензор. Условием разрушения считается достижение определенными инвариантами этого тензора критических значений.
В качестве последующего обощения можно считать работу Тамужа В. П. и Лачздинына А.Ж. [80], в которой в качестве параметра поврежденности принимается функция на сфере, характеризующая концентрацию дефектов с учетом их ориентации.
Общим недостатком приведенных теорий является отсутствие физических обоснований критериев разрушения и кинетических уравнений для параметров сплошности и поврежденности.
Попытка сформулировать условие разрушения как условие потери механической устойчивости кристалла была предпринята Борном [9]. Математически это условие выражается в занулении одного из собственных значений матрицы упругих постоянных, сводящихся к собственным значениям динамической матрицы [128]. Борновский критерий дает завышенную оценку теоретической прочности, поскольку разрушение кристалла может произойти задолго до потери механической устойчивости. В этой связи Орован и Маккензи [42], а также другие авторы получали теоретическую прочность, превышающую экспериментальную в 2 - 5 раз.
Наряду с борновским существует другой критерий прочности кристаллов, физически менее обоснованный и ясный. Он основан на предположении о связи процессов разрушения и пластической деформации с плавлением, в связи с чем был назван термодинамическим. В рамках этого критерия теоретическая прочность связывается с основной характеристикой плавления - скрытой теплотой перехода. Поскольку последовательная логическая схема получения такого соотношения отсутствует, данный критерий получил различные математические формулировки [25, 36].
Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности
Для решения поставленной задачи рассмотрим физические процессы при образовании конструкционных материалов и их внутреннее строение. В окружающем нас мире конструкционные материалы в виде горных пород в большинстве своем находятся в кристаллическом состоянии. Образование кристаллических горных пород, в отличие от технических конструкционных материалов, происходит на Земле в естественных условиях. В поверхностном слое Земли различные сорта атомов перемешаны между собой. Физические процессы, проистекающие в земных условиях (землетрясения, осадки, ветер и т. д.), постоянно перемешивают их. Но, несмотря на это, атомы взаимодействуют между собой и могут возникнуть межатомные связи различного характера. В результате атомы могут пристраиваться друг к другу, образуя кристалл. Причем кристалл, начав строиться, позволяет присоединиться только определенному сорту атомов. Это происходит потому, что вся система стремится к возможному наименьшему значению энергии. Растущий кристалл присоединяет новый атом, если он ведет к наименьшему значению энергии. В жидком состоянии все атомы находятся в непрерывном движении. Каждый атом сталкивается с соседним атомом примерно 1013 раз в секунду. А при столкновении его с нужным местом в растущем кристалле вероятность того, что он отлетит, будет меньше там, где меньше энергия. Этот процесс продолжается миллионы лет с частотой 1013 столкновений в секунду. В результате атомы постепенно оседают на тех местах, в которых они находятся в положении с наименьшей энергией, и из них образуются кристаллические породы. Вышеизложенный механизм образования кристаллических горных пород и руд имеет место и в других кристаллических конструкционных материалах с той лишь разницей, что нет того разнообразия сортов атомов, а значит, нет необходимости в длительном времени (достаточно несколько часов) для кристаллообразования. Из-за многообразия атомов различной природы, которые могут входить в состав кристаллических пород и внешних факторов, действующих, на систему при кристаллообразовании, внутреннее строение пород разнообразнее, чем у технических кристаллических конструкционных материалов.
Итак, атомы - материальные образования, находящиеся в тепловом движении, из которых выстраиваются конструкционные материалы. Из атомов, размеры которых равны 1А =10 10м, складывается отдельная фаза - либо хаотически -аморфные структуры, либо путем правильного, регулярного расположения -кристаллические структуры. Образование кристаллов из атомов идет за счет межатомных сил связи, которые по их величине делятся на три класса: 1. Первичные связи: а) ионная связь - атомы некоторых элементов теряют валентные электроны, которые они могут отдавать, и становятся положительными ионами; атомы других элементов приобретают электроны и становятся отрицательными ионами. Положительные и отрицательные ионы располагаются в регулярном трехмерном порядке и удерживаются вместе электрическими силами. Пример ионной связи - связь при образовании каменной соли; б) ковалентная связь - связь, при которой электроны принадлежат одновременно двум атомам, в результате чего снижается энергия. Этот тип связи встречается чаще и более прочен. Примером служит связь атомов углерода в алмазе, в кварце - между кремнием и кислородом (в последнем наблюдается и ионная связь из-за неравномерного распределения электронов между двумя атомами); в) металлическая связь возникает не между соседними атомами, и валентные электроны принадлежат не одному - двум атомам, а всему кристаллу в целом. Вследствие этого энергия атомов из-за отдачи валентных электронов понижается. 2. Вторичные связи: а) межмолекулярные - связи, при которых валентные связи атомов в пределах одной молекулы насыщены, а между отдельными молекулами имеется относительно слабое притяжение. Посредством ее образуются молекулярные кристаллы; б) ван-дер-ваальсовые связи, обусловлены наличием диполя. При отсутствии постоянного диполя в молекуле существуют колебания заряда электронов, представляющие колебания дипольных моментов, которые в соседних молекулах автоматически взаимно синхронизируются и создают силы притяжения, называемые ван-дер-ваальсовыми. 3. Водородная - связь, обусловлена наличием постоянного диполя, образовавшегося при неполном экранировании положительно заряженного ядра единственным электроном в нейтральном атоме водорода. Диполь дает возможность реализоваться ионному притяжению и присоединению другого электрона. В результате атом водорода может связывать два отрицательных иона.
Фрактальная модель неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах (задача анализа)
При определении неоднородного поля напряжений в однокомпонентных (однофазных) конструкционных материалах описание начинают проводить со структурного иерархического уровня, образованного взаимодействующими зернами случайно ориентированных в пространстве. Причем это описание носит количественный характер, в то время как существующие теории разрушения на этом иерархическом уровне являются качественными. В качестве исходных данных используются упругие свойства отдельного зерна (монокристалла) с еще более низкого иерархического уровня - уровня кристаллической структуры, определенного расположением и взаимодействием атомов друг с другом.
Для определения неоднородного упругого поля напряжений на структурном уровне или все равно, что для однокомпонентных (однофазных) конструкционных материалов построим математическую модель. Для этого вначале, согласно процедуре, рассмотрим следующую содержательную модель, предположения которой могут быть сформулированы следующим образом: - деформации упругие; - материал неоднородный и анизотропный на структурном уровне; - концентратор напряжений на границе зерен из-за сосредоточенности в малой области не влияет на поле напряжений внутри зерна, если и влияет, то пренебрежим по величине; - каждое зерно испытывает влияние остальных зерен через поле; - упругие свойства зерен и внешнее поле напряжений считаем известными; - неизвестным считается поле напряжений внутри зерна и непосредственно измерить его величину невозможно.
На основе этой содержательной модели переходим к следующей математической модели: неограниченная упругая трехмерная анизотропная среда, которую назовем основной с неоднородностями в эллипсоидальных областях V(x) , где х(х,,х2,х3) - точка среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам мономинеральных геоматериалов и однокомпонентных (однофазных) конструкционных материалов.
Введем обозначения. Пусть С - тензор упругих модулей зерна (монокристалла, кристаллита), значения которого определены экспериментально, а С0 - постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна С , С0 + С ,- то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции С(х) = С0 +С, V(x), где V(x) -характеристическая функция области V, занятой неоднородностями, т.е. V(x) = 1 при х є V и V(x)=0 при х є V . Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда х є V, а значит V(x) = 1. Будем иметь в виду, что С, принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь ориентация последних случайна, следовательно С,- случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через є0(х) непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С,= 0 в однородной основной среде при заданных внешних силах и через є(х) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.
Смещение щ{х) в этой среде с неоднородностями в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет уравнению: dj[Cijkl(x)dkul{x)] = -f(x), иХх) - uf(x) при х - оо. (3.4)
Оно понимается в смысле обобщенных функций. Внешние силы - / (х) не содержат сингулярности типа простого и двойного слоев в силу предположения о непрерывности внешнего поля деформаций. Из-за отсутствия двойных слоев решение и(х) предполагается принадлежащим к классу непрерывных функций, отсутствие же простых слоев является достаточным условием для непрерывности нормальной составляющей напряжений с(х) = С(х)є(х) на границе S области V.
Функция Грина позволяет преобразовать дифференциальное уравнение в частных производных (3.3.1) в интегральное уравнение. Для этого применим к обеим частям последнего оператор def Go (оператор def соответствует симметризованному градиенту, G0 - функция Грина основной среды). В результате имеем
Иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах
Согласно процедуре, очевидный, но важнейший начальный этап построения математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях.
В задачах тех типов, которые мы здесь рассматриваем, этот этап обычно заключается в уточнении структуры изучаемого объекта, существенных для проводимого исследования свойств его компонентов и характера их взаимодействия. Для этого обратимся к задачам синтеза, которые решены в главе 2.
Поскольку в данной главе решается задача о распространении трещины в конструкционном материале, то речь должна идти, в первую очередь, о кончике трещины, который находится на уровне атомов в случае хрупкого разрушения и на уровне кристаллической структуры при вязком разрушении. Прорастание кончика трещины при хрупком разрушении связано с движением точечных дефектов, а при вязком - с движением дислокаций.
Из решения задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности можно заключить, что к уровням нахождения кончика трещины и, как следствие, к уровням, на которых находятся точечные и линейные дефекты, не применимы методы механики сплошной среды. Отсюда, как следствие, на этих уровнях неопределимы такие макроскопические величины, как напряжение и связанные с ним силы, деформация, плотность и т.п. Поэтому эти величины не могут быть использованы при математическом моделировании распространения трещин.
Так как трещина является иерархически организованной системой, что предполагает пребывание ее по крайней мере на двух иерархических уровнях конструкционного материала, с обязательным пребыванием на нижнем (атомарном или кристаллическом) уровне, то математическая модель должна учитывать это.
Таким образом, уточненная структура изучаемого объекта состоит из трещины и совокупности точечных и линейных дефектов. Причем существенными для проводимого исследования свойствами трещины является его иерархическая организованность и обязательное пребывание на атомарном уровне или уровне кристаллической структуры, а для точечных и линейных дефектов - их движение. Причем движение, в основу которого заложен атомный механизм, который не предполагает участия характеристик, определяемых в рамках сплошной среды.
Для дальнейшего уточнения содержательной модели и определения управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса, в качестве имеющейся информации используем ряд экспериментальных фактов, лежащих в основе механики разрушения. A. Трещина на атомном уровне. При изучении динамики распространения трещин на атомном уровне обнаружено, что распространение трещины сопровождается появлением дислокаций вблизи вершины трещины через регулярные промежутки времени и их распространением [279]; Б. Движение дислокаций. Исследование трещин в тонких пленках из алюминия и сплавов алюминия с 4% медью с помощью электронной микроскопии позволили авторам различить типы разрушения, каждый из которых включает быстрое движение дислокаций [153]. B. Распространение трещины. Имеется много экспериментальных данных, подтверждающих предположение о том, что распространение трещины представляет по существу дискретный процесс, и что период колебаний уменьшается, когда увеличивается скорость трещины [95].
Г. Макроразрушение. Сколь бы ни было велико число испытываемых образцов в серии, тождественные изломы не наблюдаются. Это наблюдение может быть квалифицировано как существенная зависимость от начальных
условий (при сколь угодно малом изменении начальных условий опыта происходит неадекватно большое изменение конечного результата в виде перестройки «портрета» излома) - основная черта, присущая стохастическим динамическим системам.
Д. Критическое напряжение. Трещины в твердых конструкционных материалах (стекло, металлы, горные породы, бетон) сохраняют свои исходные размеры или распространяются устойчиво (действующая нагрузка как раз достаточна для того, чтобы вызвать продвижение трещины на конечное расстояние) при напряжениях ниже критического и неустойчиво -самопроизвольно растет при напряжениях выше критического.
При математическом моделировании необходимо иметь в виду, что существуют принципиально нелинейные объекты (в том числе явления), для которых применение линейных моделей приводит к грубым искажениям. Существенно нелинейной является задача об изучении околокритического состояния объекта, зависящего от параметров, при изменении которых устойчивость сменяется неустойчивостью или один тип движения другим. Во всех этих случаях надо применять методы нелинейного математического моделирования.
Из вышеприведенных рассуждений и экспериментальных фактов можно сделать следующие уточняющие выводы, которые необходимы при построении математической модели: распространение трещин в конструкционных материалах обусловлено взаимодействием вершины трещины с ансамблем микродефектов, каждый из которых находится в быстром движении под действием внешних нагрузок. Как следствие система «трещина - ансамбль дефектов» является термодинамически открытой; рассматриваемая задача о распространении трещин в иерархической среде является существенно нелинейной, и применение линейных моделей недопустимо; динамические уравнения, описывающие системы, дискретны, нелинейны и должны быть исследованы в рамках стохастической динамики.
