Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель накопления поврежденности и разрушения термоупругих тел .18
1.1. Основные уравнения 18
1.2. Растяжение стержня , 24
1.3. Характеристики системы уравнений повреждающейся среды 26
1.4. Реологическая неустойчивость повреждающегося материала 31
1.5. Примеры реологической неустойчивости 40
Глава 2. Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала... 49
2.1. Постановка задачи 49
2.2. Упругое деформирование 51
2.3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности 54
2.4. Макроразрушение плиты при изгибе и растяжении 59
Глава 3. Волны разрушения в начально-напряженном слое пористого материала .64
3.1. Основные соотношения теории континуального разрушения начально-пористых материалов 65
3.2. Особенности поведения материала при одноосной деформации 70
3.3. Характеристики и критерий прочности поврежденного материала 73
3.4. Головная волна напряжений 75
3.5. Макроразрушение пористого слоя 82
Заключение 87
Список литературы
- Характеристики системы уравнений повреждающейся среды
- Примеры реологической неустойчивости
- Изгиб и растяжение при наличии поврежденности
- Характеристики и критерий прочности поврежденного материала
Введение к работе
Инженерная практика разработки и эксплуатации новой техники, зданий и сооружений свидетельствует о том, что проблема сохранения прочности конструкций при интенсивных механических и тепловых нагрузках до сих пор остается актуальной задачей. Это обусловлено целым рядом причин, наиболее важными из которых являются использование новых материалов, новых комбинированных видов нагрузок, необходимость минимизации веса конструкций. Новые материалы - композиты, полимеры, среды с наноструктурой - в отличие от традиционных материалов характеризуются более сложным поведением по сравнению с линейно упругими средами, проявляют свойства вязкости, пластичности, могут испытывать структурные превращения. Взаимосвязь этих свойств с процессами разрушения остается в настоящее время в значительной степени открытым вопросом. Комбинированное воздействие на конструкционные элементы механических, тепловых и радиационных нагрузок становится характерным процессом не только для атомной промышленности, но и для ряда других отраслей. Наиболее полное использование ресурса изделий при таком нагружении представляет собой область исследований, которая требует новых подходов и методов.
Характеристики системы уравнений повреждающейся среды
В данном разделе исследуется вопрос, при каких значениях деформации, накопленной поврежденное и для каких направлений распространения возможно нарушение условия Адамара для рассматриваемого материала? С этой целью, следуя работам [Rudnicki J.W., RiceJ.R., 1975, Кондауров В.И., 1991], вводится определение реологически неустойчивого состояния (е", ") элемента материала как состояния, для которого существует направление nt,(ecr,p6r) , вдоль которого скорость характеристической поверхности обращается в нуль, т.е. , ,11 ) = 0.
Реологическая неустойчивость проявляется в образовании элементов поверхностей локализации деформации с некоторой вполне определенной ориентацией n„(etr(x,/), tf(x,0) этих элементов.
Действительно, вектор V скачка нормальной производной массовой скорости, определяемый уравнением (ЗЛО), при с-»0 стремится к значению V,, 0. Из второго уравнения системы (3.4) можно видеть, что при V0 и 0 амплитуда Е скачка нормальной производной тензора деформации при с 0 неограниченно увеличивается. Это означает, что слабый разрыв становится сильным, на поверхности которого скорость непрерывна, но деформация терпит разрыв. Поверхность такого разрыва будем называть поверхностью локализации деформаций.
Из второй формулы (3.8) для скоростей распространения следует, что вырождение по скорости рс%(е,(р) = jU-/2 наступает в состояниях, которые удовлетворяют условию С=2М (1.4.1)
Ориентация поверхности локализации, определяемая вектором ncr, в этом случае может быть произвольной, а вектор V„ ортогонален плоскости, проходящей через векторы псг и mCf =N(ecr)-n[f, поскольку при с=0, М-0 решение уравнения (3.10) таково, что Vu пСГ =0, V0 mcr = О.
Уравнение для экстремальной нормали. Единичный вектор п, доставляющий экстремум величине pcl(e,p,n), которая всегда меньше pcf, определяется уравнением (I-nn)-B-n=0, B = (A + M-pc2)N2(e)-2A(n-N(e)-n)N(e) (1.4.2) Замечание 1.4.1. Уравнение (1.4.2), записанное в виде В n = (п-В-п)п, показывает, что п - собственный вектор симметричного тензора В.
Замечание 1.4.2. Из выражения для тензора В следует, что этот тензор является полиномом второго порядка нормированного девиатора N(e) с коэффициентами, зависящими от параметра , и смешанных инвариантов n-N(e)-n и n-N2(e)-n. Поэтому собственные векторы тензора N являются собственными векторами тензора В. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, поскольку могут существовать векторы, собственные для В, но не являющиеся таковыми для N.
Доказательство. Чтобы получить уравнение (1.4.2), будем искать экстремум рс (е,(р,а) при условии пп = 1 методом множителей Лагранжа. Функцию Лагранжа запишем в виде f(e, p,n) = pcl(e, p,n) -\кп п где к - неизвестный множитель Лагранжа. Тогда условие экстремума при учете соотношений (3.9) записывается в виде а/ т ( дР 18Q "С-сП . -кп = 0, S2 = рс\{й,(р,п)-М Зп v у Зп 2 Эп Умножая это уравнение скалярно на п, получаем K-(f-Qf[s, дР 1 dQ П дп 2 дп ) Отсюда следует условие экстремума (l nn)-(2S2dPIdn-dQ/dn) 0 Подставляя выражения (3.9) для величин PVLQ, приходим к уравнению (2).
Теорема о формах проявления реологической неустойчивости. Уравнение (2) при с2-»0 имеет три семейства решений: 1) при произвольных собственных числах тензора В нормаль п - собственный вектор тензора N(c). Потеря реологической устойчивости материала может проис ходить при значении параметра =2//и проявляться в виде поверхностей разры ва сдвиговой деформации, которые ориентированы перпендикулярно главным осям тензора N(e); 2) если равны два собственных числа тензора В (для определенности Bt=B2 В3), то нормаль н лежит в плоскости, проходящей через два собственных (1.4.3а) (1.4.36) вектора тензора N(e), В случае Nt N2 потеря устойчивости может происходить при значениях параметра если JVj %р/А =Г2{Л + 2/і + аЧсе), или =4/ (1 + //)/(2 /3 + ЗЩ2), если %м1 Щ % а нормаль имеет компоненты М N, 1 1 1 — MJl (1.4.4) (, АЩ-NJ) 2{ Л + р + а2/се-г/6 (N,-N2)J
Если Л = JV3, что возможно только для деформации, равной сумме шаровой и одноосной деформаций (е. - орты главных осей тензора N(e), знак плюс соответствует растяжению , минус - сжатию) е = ЄоІ + Єіс3е3; N(e) = ± e3+/v5(e1el+e2e2) (1.4.5) то потеря устойчивости может происходить при значении параметра = 2/л. Экстремальная нормаль п принадлежит плоскости п-е3=0 (1.4.6) 3) если тензор В - шаровой, что возможно только для деформации (5), потеря устойчивости может происходить при значении параметра 2//, т.ч. M + P-(P2-Q) A=Q, Q = y X9-m2), 2P = A+yng?(5 + m) М=М-С}/Ъ Л = Я + // + а2/се- 4)/6, т=М/А
Нормаль п принадлежит поверхности кругового конуса с осью ej. Угол Ч полураствора конуса определяется выражением =8111 = 1+-1 2+«2=cos2w (1.4.7)
На поверхностях локализации деформаций, соответствующих второму и третьему семейству решений, терпят разрыв как сдвиговая, так и нормальная компоненты тензора деформаций. Замечание 1.4.3. Сформулированные результаты справедливы для любой круговой перестановки индексов 1,2,3.
Доказательство. Воспользуемся системой координат, ортонормированный базис е; которой совпадает в рассматриваемой точке с главными осями тензора N(e). Тогда в силу замечания 1.4.2 о том, что собственные векторы тензора N являются также собственными векторами тензора В, уравнение (2) в этом базисе запишется в виде трех скалярных уравнений [(5,-5 +(5,-53) =0 [(5з-5Х+(Я3-52К2]«з=0 где 5, - собственные числа тензора В. Решением этой системы являются следующие семейства единичных нормалей:
1) совокупность единичных векторов п с одной отличной от нуля компонентой, т.е. п = (±1,0,0), n = (0,+1,0), п = (0,0,±1). Иными словами, п — собственный вектор тензора N, собственные числа тензора В произвольны;
2) совокупность единичных векторов п с двумя отличными от нуля компонентами. Эти векторы лежат в плоскости, натянутой на два собственных вектора тензора N. Для существования такого решения необходимо, чтобы два собственных числа тензора В совпадали между собой;
3) совокупность единичных векторов її с тремя отличными от нуля компонентами. Это возможно, если все собственные числа тензора В равны между собой, т.е. тензор В - шаровой.
Примеры реологической неустойчивости
Пусть теперь для определенности нормаль п равна орту et . Значение параметра , при котором наступает реологи ческая неустойчивость, в этом случае равно = 2р. При деформировании с постоянной скоростью материала с линейной кинетикой (показатель кинетического уравнения п=\) уравнение (4.16), из которого определяются моменты времени на ступления реологической неустойчивости, с учетом выражения (4) для параметра поврежденности записывается в виде где е0) = e(tw), С учетом соотношений х = t/ г = (е - es) / е0, 2/tt 2fi-a fb это уравнение приводится к виду - Ці-е- )+ + = 0 (1.5.4) 2pbк ju ец
При те0 =еа = eQd » es, то есть сдвиге с высокой скоростью слагаемым es/ea в уравнении (4) можно пренебречь. В результате приходим к простому уравнению 1-е =—Ч -х
Отсюда видно, что решение этого уравнения существует только при длительном модуле сдвига /І, 0, ТО есть при отрицательном асимптотическом наклоне зависимости 5(e). Если этот наклон мал, то есть \ju.\b/a] «1, то решение велико по сравнению с единицей. Приближенное значение корня х = a] /(2\/s.\b) соответствует моменту времени 4 и деформации еч, при которой наступает первая форма неустойчивости при высокоскоростном деформировании ІІ4 = та] /(2/ф), е» = еоиа] /(2/ф) (1.5.5)
В случае сдвига с малой скоростью, когда щ} «esiB уравнении (4) можно пренебречь первым слагаемым. В результате получим L!) = w (Но, 4 = е И (1-5.6)
Условием существования положительного корня уравнения (5.4) при медленном сдвиге с постоянной скоростью также является условие //+ 0 отрицательности асимптотического наклона кривой 5(e).
Сравнение деформаций е и е}, определенных формулами (5.5) и (5.6), показывает, что при выполнении соотношения /ibJ а] =0(1) переход материала в состояние реологической неустойчивости при высокоскоростном деформировании происходит при деформациях, которые существенно больше деформаций, достигаемых при медленном нагружении. Как следует из результатов раздела 1.4, в рассматриваемом случае вектор V0 =VU2e2 + Vn3e3 нормальной производной массовой скорости ортогонален нормали, так что V0 п = 0. Ему соответствует скачок тензора сдвиговой деформации [e] = A(V0l(ele1 + e2e1) + VOi(e}ei + c3e})) с нулевыми диагональными компонентами. Это означает, что в данном случае имеет место локализация деформации сдвига.
Вторая форма реологической неустойчивости материала соответствует обращению в нуль скорости звука в направлении, определяемом формулами М К ,г ( в, = 2 1- -— — , ri=\-n2, "3=0 (1.4.4)
Поскольку величина ЛГ3 для рассматриваемого деформированного состояния равна нулю, то это направление соответствует направлению максимального сдвига с компонентами нормали п2 =nl = ]/2. Значение критического параметра в соответствии с формулами (4.3) равно 2)=Г2(Л + 2М + а2/се)=Г2(К + а2/се) + 2М (1-5.7) Уравнение для момента времени, при которой наступает вторая форма реологической неустойчивости при сдвиге с постоянной скоростью, записывается в виде Отсюда получаем
При высокой скорости сдвига (г0 = е0 = ем » еЛ) следует, что скорость звука в направлениях, образующих угол 45 с главными осями тензора деформации, обращается в нуль в момент времени при деформации ed (2) _ емД, _ eM{fli.) & \%(К + а2/сє) + м, yAK+fi, Сравнение tf и г 1 показывает, что при условии %(ЛГ + а2/се) + //, /і4 момент времени t(p 4 }, то есть реализуется вторая форма потери реологической неустойчивости. Если же \%(K + a2/ce) + ju,\ \р,\, то потеря устойчивости происходит по первой форме.
При сдвиге смолой скоростью (щ, =е„ =e0j, « es) можно пренебречь первым слагаемым в уравнении (8). В результате получим при = (2) - a] lb О Ф = Ч/ 0, Ф = &V (1-5-9)
Условием существования положительного корня уравнения (9) при медленном сдвиге с постоянной скоростью также является условие у4(К + а2/се) /л- Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости неравенства Мш %(К + аг1с,) + р
Это означает, что величина $ч то есть при медленном сдвиге всегда реализуется первая форма потери реологической устойчивости, которая соответствует обращению в нуль скорости звука в направлении оси е: растяжения материального элемента. Одноосная деформация е = e(Oei ei При такой деформации N(e) = f c1e1--Le2e2-J=e3e3j = - (3elel-l) (1.5.10) /, (е) = e(t), deve = к 2/3 e(/)N(e), к = sign(e), Де) = к їїь e(f)
Знак плюс соответствует одноосному растяжению, минус - сжатию. Пороговая деформация ef, при которой начипается накопление поврежденности, определяется уравнением (1.15) границы упругой области и равна e =(g-a8S)/a±, v=a„±e,V2/3 Уравнение (1.13) эволюции тензора поврежденности для рассматриваемого процесса при \е\ L ] приводится к виду Р + "= (е(0- ) (1.5.11) При показателе «=1 решение уравнения (11) может быть выписано в явном виде При деформировании с постоянной скоростью е( ) = е ±„(, є0 = const 0, получаем «0 { - -П} = { -( - - )\ (1-5-12)
Подстановка выражения (12) в первое из соотношений (1.7) приводит к зависимости напряжения от деформаций и параметра поврежденности о = (тие]е] +0-2г(Є2Є2 + Є3Єз) (Гц =(Д + 2//)е(і1)-а19-а±р, аг2 = Xe(t)-a3-(ap-icas/sj6\ Р где Я = K 2fi/3. Используя (12), выражения для компонент тензора напряжений можно записать следующим образом
Изгиб и растяжение при наличии поврежденности
Будем предполагать, что при наличии в теле области поврежденное компоненты вектора перемещения определены выражениями u(x,y,t) = xX(y,t), w(x,y,t) = Q . v(x,y,t) = -)w(s,t)ds- y[X(y,i)-y2yV-(,l)]-y2x2V(t) (2,ЗЛ) о . ло которые отличаются от перемещений (2.1) в упругом материале наличием инте у грального слагаемою CW(s,t)Us в выражении для перемещения v(x,y,t) матери 0 альной частицы но координате у. Перемещениям 1) соответствуют компоненты тензора деформации е„ = Х(уЛ еуу = -W{y,t)- -X{y,t), еху = ех: = = е„ = 0 (2.3.2) Здесь, как и ранее, X(y,t) = U(t) + yV{t), Л( = Л + Ifi.
Пусть, для определенности, область упругости -/tsys;y.(t), где y,(t) - неизвестная заранее граница между упругим и поврежденным материалом. Тогда напряжения, соответствующие перемещениям (1) и деформациям (2), в этой области вычисляются по закону Гука и имеют вид =4M rEX(y,t)- W(y,t), о„ =-AaW(y,t) Ло 2/t/i c::=-XW{ytt) + - -X{y,t), av = о _ =ar = 0 о
Принимая во внимание уравнение равновесия d ryy(y,t)/dy = 0, получаем 3W(y,t)/dy = Вместе с условием (1.7) отсутствия нормальных напряжений на нижней границе плиты у = -h это приводит к тому, что в области упругости h .y . y.(t) функция W(y,t) = 0. Таким образом, на отрезке -h ys.y%{i) напряжения выражаются формулами (Т„=4р- Х(у,0, j==2v—X(y,t) К \ (2.3.3)
Поврежденный материал плиты занимает область y, ysh. Будем считать, что в этой области перемещения и деформации также выражаются формулами (1), (2), в которых функция W(y,t) не равна тождественно нулю. Инварианты 1Ъ J и де-виатор тензора деформаций вычисляются по формулам ( Е = deve ) 1,= -X{y,t)-W{y,t) j2=i2x2(y,t)+t-W{y,t)X(y,t)+%w2(y,t) ЗЛ0 3 Єуу —г-ХІУА-тІГМ - (2.3.5) ЗЛа 3 где, как и ранее ;2 2 / л Л 3lAS л, 7 - (т2 + л"+11 л і=;1+2//
Из соотношений (4), (5) следует, что правая часть кинетического уравнения (1.3) является функцией только (y,t), зависимость от координаты х отсутствует. Тогда при однородных начальных значениях (q (x,y,0) =0) параметр поврежденно-сти также не зависит от переменной х, то есть р = p(y,t).
Напряжения в поврежденном материале, занимающем область у. =s у , h, задаются выражениями (1.2). Из этих соотношений с учетом выражений (5) для компонент тензора деформаций следует (2.3.6) На границе у = y,{t), разделяющей ооласти упругого и поврежденного материала, выполняются условия сопряжения: равен нулю параметр поврежденности и непрерывны перемещение и вектор напряжений. Используя формулы (1), (3), (6), условия сопряжения можно свести к двум соотношениям xiy.(t\t) = 2fia +1Л0аг W(y.(0,t) = (2.3.7)
Здесь предполагается, что X(y.(t),t) 0, и учитывается, что условие непрерывности вектора напряжений сводится к непрерывности нормального напряжения а , так как касательное напряжение и тождественно равно нулю.
Пусть нормальное напряжение а =0 при всех y.(t) y&h. Тогда функция W(y,t) в области y,(t)sy h, занятой поврежденным материалом, определяется уравнением, которое следует из второй формулы (6) К { J-%as(p)W= а—Х-а/\р (2.3.8) где функция p(y,t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.1.13), а инвариант J(y,t) задан выражением (4). При таком задании функции W(y,t) граничное условие a (h,i) = 0 и условия сопряжения (8) выполняются тождественно.
Входящие в выражения (1)-(8) функции U{t) и V(r) связаны с растягивающей силой и изгибающим моментом соотношениями N(t) = %juh Л + /Л ЩО- ) M )L я+I V+ +ltp. dy Mz{t) = %fiH + ju 3An V{t)-] У L X + lAw + a + - X ydy Таким образом, если считать функции U{i) и V(t) заданными, решение об изгибе и растяжении сводится к совместному решению кинетического уравнения (1.1.13) с нулевыми начальными данными (р(у,0) = 0 и алгебраического нелинейного соотношения (8).
Характеристики и критерий прочности поврежденного материала
Критерий длительной прочности, используемый в рассматриваемой модели, представляет собой условие Адамара, в силу которого характеристики динамической системы уравнений (поверхности слабого разрыва, акустические возмущения) распространяются с вещественными скоростями. При вырождении, когда скорость одной из нестационарных характеристических поверхностей стремится к нулю, слабый разрыв, на котором рвутся производные вектора решения, превращается в разрыв самого вектора решения, то есть в сильный разрыв. В частности, на такой поверхности имеет место скачок тензора деформации, то есть происходит локализация деформации.
Динамика начально-пористой повреждающейся среды в адиабатическом приближении (вектор теплового потока q=0 и плотность распределенных источников тепла г=0) описывается системой уравнений 2e-Vv (Vv)r=0 (-33.1) zb p = (ap{Ix)l,+asJ-g-b(p) замыкаемой выражением о(е,(р) (А71(е)-ЙД/ )1+ 2//-- Uve (1.1.8) \ -Де) у для тензора напряжений.
Обозначим, как и ранее, N(e)=deveiJ - нормированный девиатор тензора деформаций, такой что N(e):N(e)=l, N(e):I=0, Sik - символ Кронекера, L - четвертого ранга тензор упругих коэффициентов, т.ч. L-p- -(A- (/1) + X )lI + (2 - )l+ N(e)N(e) Поскольку функция оД/j) - кусочно-постоянная, ее производная равна нулю. Поэтому выражение для тензора L формально совпадает4 с тензором упругих
4 С точностью до слагаемого а /се, связанного с тепловым расширением и теплоемкостью среды, входящего в коэффициент!. коэффициентов сплошной, не обладающей начальной пористостью среды, рассмотренной в главе 1. Отсюда следует, что акустический тензор эффективной начально-пористой среды определяется выражением А(е, а ,п) = Mi +Ln n + m 0 m Mg)-/i-4/2, L(Z) = A + juJ6, 4(b, p)-at plJ(t\ m = N(e)-n
Собственные числа акустического тензора А, то есть скорости распространения поверхностей слабого разрыва решения, определяются формулами pcl2(c, p,n) = M + P±(P2-Qf, рс\{ , р) = М 2/ =a + /i + (n-N2(e)-n-X), g = #L(n-N2(e)-n-(n-N(e)-n):)
Доказательство этого утверждения дословно повторяет рассуждения, которые использовались при выводе формул (1.3.8), (1.3.9).
Аналогично тому, как это сделано в главе 1, для начально-пористой среды можно ввести понятие реологически неустойчивого состояния и показать, что такого рода неустойчивость проявляется в виде поверхностей локализации деформации.
Уравнение для единичного вектора п, доставляющего экстремум величине pcl(e, p,n), для рассматриваемого материала имеет вид (I-nn) B-n = 0, B = (A + M-/?c2)N2(e)-2A(n-N(e)-n)N(e) (3.3.3) Уравнение (3) при с2- 0 имеет три семейства решений: 1) нормаль п - собственный вектор тензора N(e). Потеря реологической устой чивости происходит при 4 = 2ju и проявляется в виде поверхностей разрыва сдви говой деформации, ориентированных перпендикулярно главным осям тензора N(e). 2) если равны два собственных числа тензора В (для определенности В{=В2 Ву), то при N1 N2 потеря устойчивости происходит при значениях пара метра ,2) = ( + 2/ ), если N\ ,%p/L или э = Afi{X + р)/{2/1/3 + 3KN1), если %p/L N % а компоненты нормали равны — и2_1(, M-U2 N.: Л + М-&6 (JV.-iVa), «?=!- , п3 = 0 (3.3.4)
Если А і = А 2, что возможно только для деформации є = е()І + Є;Є3е3, равной сумме шаровой и одноосной деформаций, то устойчивость теряется при первом значении критического параметра = 2р. Нормаль п принадлежит плоскости п е3 =0.
3) если тензор В - шаровой, что возможно только для указанной деформации ё = е01 + Є]Є3 е3, то экстремальная нормаль й принадлежит поверхности кругового конуса с углом полураствора Р, т.ч. nj ssm2x = y2(\ + M/3L), %+n2}=cos24? (3.3.5) а потеря устойчивости происходит при значении критического параметра (г4) 2р., являющегося корнем уравнения рс\(ё,(г4),п) = 0.
На поверхностях локализации деформаций, соответствующих второму и третьему семейству решений, терпят разрыв как сдвиговая, так и нормальная компоненты тензора деформаций.
Аналогично изложенному в главе 1 будем считать, что реализуется та форма неустойчивости, которая соответствует наименьшему значению момента времени /,, когда параметр {t), p{t)) на заданной траектории деформирования e(z), zs.t, достигает своего критического значения 4 \N = 1,2,3,4. Это означает, что (, = miiu(i , где значения г(0 определяются уравнением Ф[Ф) 0)]Т = ( П) (3-3.6) где ф - параметрически зависящее от t решение кинетического уравнения.
