Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса. постановка задачи 12
1.1. Особениостиучёта пластического деформирования конструкционных материалов 12
1.2. Необходимость учёта пластического де формирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов 20
1.3. Математическая постановка задачи 27
1.4. Методы решения краевых задач теории пластичности 28
1.5. Вариационные принципы в термомеханике 34
1.6. Методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала 38
1.7. Выводы 43
2. Особенности математического описания неупругого деформирования 45
2.1. Упруго-пластическая модель материалахоффмана 45
2.2. Основные матричные соотношения метода конечных элементов в перемещенияхдля решения задач теории течения 54
2.3. Двойственная вариационная формулировка задачи деформациопгюй.теории . термопластичности анизотропных тел 57
2.4. Методика нахождения значения для встречного функционала для задачи деформационной теории пластичности 65
2.5. Выводы 71
3. Построение численных алгоритмов решения задач с учётом пластического деформирования материала 72
3.1. Численная реализация метода конечных элементов 72
3.2. Алгоритм коррекции параметров напряжённого состояния при постоянной температуре 74
3.3. Касательная матрица при постоянной температуре 97
3.4. Алгоритмы коррекции параметров напряжённого состояния и построения касательной матрицы в случае неравномерного нагрева материалахоффмана 105
3.5. Выводы 107
4. Результаты численного анализа с учётом пластического деформирования 108
4.1. Расчёты напряжённо-деформированного состояния конструкций, изготовленных из изотропного материала с критерием текучести мизеса 108
4.2. Расчеты напряжённо-деформированного состояния конструкций с учётом анизотропии и разносопротивляемости материала 142
4.3. Выводы 172
Выводы 173
Список литературы
- Необходимость учёта пластического де формирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов
- Методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала
- Основные матричные соотношения метода конечных элементов в перемещенияхдля решения задач теории течения
- Алгоритм коррекции параметров напряжённого состояния при постоянной температуре
Введение к работе
«Практическая реализация возможностей математического моделирования и вычислительного эксперимента существенно повышает эффективность инженерных, 'разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук» [39].
Вычислительный эксперимент позволяет оптимизировать ранние стадии проектных разработок, снизить стоимость продукции, сократить цикл разработіси, состоящий в изготовлении образцов-прототип об, их испытаниях и повторном изготовлении образцов, а также свести к минимуму дорогостоящий процесс доработки изделия. Таким образом, «математическое (шире -информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса» [102].
Использование математического моделирования обеспечивает современным инженерам конкурентное преимущество ещё' и потому, что позволяет улучшать существующие конструкции, в.том числе и за счет учёта существенных особенностей свойств конструкционных материалов.
Актуальность работы. Многие современные конструкционные материалы имеют анизотропные пластические свойства. Отдельным из них свойственны и различные пределы текучести при растяжении и сжатии. К подобным материалам относятся металло композиты (МКМ) и некоторые из таких традиционных конструкционных материалов, как металлы и сплавы.
Поскольку конструкции из указанных материалов работают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий, то в расчётах необходимо учитывать как неравномерный нагрев, так и зависимость механических характеристик материала от его температуры. Следовательно, разработка эффективных численных алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) для математического моделирования пластического течения материалов с учётом указанных эффектов является актуальной проблемой. Её решение, в частности, позволит оценить несущую способность элементов конструкций и подобрать рациональную схему армирования композиционных материалов.
Диссертационная работа посвящена разработке численных алгоритмов для расчёта пластического течения ортотропного материала с критерием текучести Хоффмана [145] при квазистатическом нагружении. Критерий применяется для учёта различных пределов текучести при растяжении и сжатии и представляет собой квадратичную форму относительно компонентов тензора напряжений, которая содержит и линєйбіьіє члены.
Для проведения численных расчетов в настоящей работе использован МКЭ в сочетании с методом последовательных нагружении. Система уравнений МКЭ решена методом Ньютона. Для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён метод разделения операторов и использован алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор», который позволяет оценить погрешность на шаге нагружения. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона. Поскольку композиционным ' материалам" "свойственна и упругая анизотропия, в работе исследованы особенности численной реализации этого алгоритма для анизотропно упругого материала.
В настоящее время помимо теории течения в расчётах используется и деформационная теория пластичности. В работе рассмотрен вопрос оценки погрешности приближённого решения задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред, который также является актуальным. Одним из методов получения апостериорных оценок погрешности является решение такой задачи в двойственной вариационной постановке, суть которой заключается в построении двух функционалов (прямого в перемещениях и встречного в напряжениях), которые достигают альтернативных, но равных по значению экстремумов на точном решении задачи [40, 43]. В работе построена двойственная вариационная формулировка для задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.
Разработка методики нахождения значения встречного функционала представляет практический интерес. Указанный подход требует решения нетривиальной задачи по- построению допустимого поля напряжений, удовлетворяющего как уравнениям равновесия, так и силовым граничным условиям.
Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов МКЭ для математического моделирования пластического состояния ортотропного материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию, и получении оценки погрешности полученного приближённого решения.
Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач; построение алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» и касательной матрицы, обеспечивающей квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ, в случае неравномерного нагрева материала с критерием текучести Хоффмана; исследование особенностей работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор», используемого для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения, в случае упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана; построение двойственной вариационной формулировки задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред; разработка методики нахождения значения функционала в напряжениях, входящего в двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Научная новизна. Методами математического моделирования изучено влияние упругой анизотропии на численные алгоритмы МКЭ по расчёту пластического течения материала с критерием текучести Хоффмана. Разработан алгоритм поиска начального приближения с целью получения физически достоверных результатов при решении нелинейного уравнения методом Ньютона на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор». Проанализировано влияние упругой анизотропии материала на точность этого алгоритма.
Разработан алгоритм «упругий-предиктор / пластический корректор» и получена касательная матрица в случае неравномерного нагрева.
Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях.
Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических подходов механики сплошных сред, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных результатов с известными решениями для предельных случаев.
Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчётов, анализа работоспособности и применения конструкций, материал которых проявляет свойства анизотропии и разно сопротивляемости при пластическом деформировании.. .............
На защиту выносятся следующие положения: алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона решения нелинейного уравнения, решаемого на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»; анализ влияния упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана на точность алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»; алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случая неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана; двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред; методика нахождения значения встречного функционала, составляющего двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.
Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Всероссийской конференции молодых учёных «Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века» в 2000 г.; XI Международной конференции по вычислительной математике и современным прикладным программным системам в 2001 г.; втором Международном конгрессе студентов, молодых учёных и специалистов «Молодёжь и наука - третье тысячелетие»/У5ТМ,02 в 2002 г.; Международном симпозиуме по двойственным вариационным принципам в нелинейной механике в 2002 г.; Первой международной научно-технической конференции, посвященной 90- летию со дня рождения академика В.Н. Челомея в 2004 г.; Научно- методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000-2005 г.г.
Публикации. Основное содержание работы изложено в статьях [41, 67, 72] и тезисах выступлений на конференциях [68, 69, 70].
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов. Работа изложена на 190 страницах, содержит 58 иллюстраций и 53 таблицы. Библиография включает 167 наименований.
В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации. Описаны предельные поверхности для материалов, обладающих свойствами анизотропии и разносопротивляемости. Представлена двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности изотропных сред. Приведён обзор методов приближённого решения краевых задач теории пластичности. Проанализированы методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала. Показана необходимость учёта пластического деформирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов.
Во второй главе описана модель материала Хоффмана ортотропных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию. Получено условие соответствия поверхности текучести постулату Друккера. Приведены основные матричные соотношения МКЭ. Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термо пластичности анизотропных сред и предложена методика нахождения значения встречного функционала.
В третьей главе описан алгоритм численной реализации основных матричных соотношений МКЭ. Приведены алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случаев равномерного и неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана.
В четвёртой главе приведены результаты применения разработанных методик и алгоритмов для математического моделирования пластического деформирования конструкций, испытывающих как механические (длинная цилиндрическая труба, нагруженная внутренним давлением), так и термомеханические воздействия (камера сгорания -жидкостного ракетного двигателя).
Необходимость учёта пластического де формирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов
Проблемы механики анизотропных и композиционных материалов и конструкций из них решали многие известные отечественные и зарубежные ученые: Д. Адаме, Н.А. Алфутов, С.А. Амбарцумян, Е.К. Ашкенази, В.Л. Бидерман, В.В. Болотин, Л. Браутман, Г.А.Ванин, В.В.Васильев, В.В. Воробей, Э.М By, И.И. Гольденблат, В.И.Горбачев, Ю.В.Захаров, П.А. Зиновьев, А.А. Ильюшин, В.Д. Клюшников, А.Ф. Крегерс, Р. Кристенсен, В.А. Копнов, Д.М. Карпинос, А.Ж. Лагздинь, С.Г. Лехницкий, А.К. Малмейстер, Ю.В. Немировский, В.В. Новожилов, В.Н. Паймушин, Б.Е. Победря, Б.Г. Попов, А.Л. Рабинович, Ю.Н. Работиов, Б.В. Розен, Б.С. Сарбаев, Л.И, Седов, Дж. Сендецки, В.П. Тамуж, Ю.М Тарнопольский, И.Г. Терегулов, Г.А; Тетере, Р. Хилл, О. Хоффман, Л. Ху, С. Цай, К. Чамис и многие другие.
Уже в 1978 г. КМ применялись в автомобильном и железнодорожном транспорте, гражданской и военной авиации, космических летательных аппаратах, судостроении, строительной и химической промышленности, электротехнике, приборостроении и ядерной технике [60].
С тех пор идёт непрерывный рост практического использования КМ, которые позволяют снизить массу конструкции путём локального изменения жёсткости и прочности за счёт изменения состава, числа слоев и направления ориентации волокон. Например, лопатка ротора компрессора ГТД, изготовленная из КМ, жёстче, долговечнее и на 50% легче сплошной и на 20% пустотелой титановой лопатки [66]. Соответственно, снижается и масса диска, к которому крепится лопатка. Повышенное отношение прочности к плотности позволяет допускать на композитных лопатках более высокие окружные скорости, увеличивая эффективность компрессора [61]. Повышение жёсткости лопаток приводит к уменьшению зазора между лопаткой и корпусом, а значит, и к повышению эффективности работы двигателя.
В целом, применение КМ в компрессоре, корпусе двигателей, дисках и корпусах редукторов может привести к снижению массы до 35% [60]. В конструкции вертолета КБ им. Камова использование новых материалов составило 53%, благодаря чему собственная масса машины снижена на 25-30%, ресурс увеличен в 2-3 раза, а трудоемкость изготовления деталей уменьшилась в 1.5-3 раза [14].
Применение КМ обеспечивают и экономический эффект. В частности, уменьшение массы гражданского самолёта на 1 кг позволяет сэкономить до 3000 л топлива в год [147].
В современной авиакосмической промышленности КМ применяются не только в качестве теплозащиты [36, 33, 14], но и для изготовления, в частности, следующих конструкций [36, 66, 21, 60,125, 7, 13]: деталей РДТТ (силовые оболочки корпуса, силовые бандажи, раструбы сопла, каркасы воспламенителей; из МКМ изготовляют закладные фланцы корпусов и законцовки соединительных отсеков); лопаток компрессоров и турбин (МКМ); деталей ЖРД (силовые рамы и бандажи - из МКМ и полимерных КМ; баки, трубопроводы - из полимерных КМ, неохлаждаемые раструбы, камеры сгорания двигателей малой тяги - из КМ углерод-углерод); воздухозаборников, обтекателей, деталей фюзеляжа, крыльев и хвостового оперения летательных аппаратов; лопастей и втулок несущего и рулевого винтов вертолёта; баллонов высокого давления; антенных рефлекторов.
В целом, «перспективы развития ракетной, авиационной и космической техники в XXI веке в значительной мере связано с использованием прогрессивных КМ» [15]. Важнейшим достоинством КМ является возможность создавать из них элементы конструкций с заранее заданными свойствами [62].
В настоящее время всё активнее применяются МКМ, так как они сочетают достоинства металлов с преимуществами КМ. Для МКМ характерны высокие значения удельных прочностных характеристик и модулей упругости, низкие коэффициенты теплового расширения, высокие вязкость разрушения и ударная вязкость; широкий диапазон рабочих температур; они также обладают высокой тепло- и электропроводностью, малой чувствительностью к тепловым ударам и поверхностным дефектам, повышенной жесткостью и прочностью однонаправленных материалов в поперечном направления и при сдвиге, а также влагоустойчивостью и высоким сопротивлением износу. МКМ применяют в тех областях техники, где необходимо обеспечить работу при низких, высоких и сверхвысоких температурах, в агрессивных средах, при статических, циклических, ударных, вибрационных и других нагрузках. Они позволяют применять наиболее простую одноосную схему армирования [62, 147, 61, 15]. В работе [14] отмечена тенденция к замене полимерного связующего металлами с целью устранения разрушения связующего в процессе деформирования КМ и увеличения пластичности материала.
В качестве армирующих элементов при создании КМ на основе металлических матриц применяются волокна из углерода, бора, стали, вольфрама, бериллия, титана, ниобия, а в качестве матричных составляющих применяются алюминий, титан, сплавы на основе этих металлов, а также магниевые и медные сплавы [62, 60].
Методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала
Одним из способов избежать необходимости построения статически допустимых полей напряжений является использование общего решения однородных уравнений равновесия, т.е. выражение напряжений через вторые производные от функций напряжений [40, 19]. Тогда вариационная постановка Кастилияно, выраженная через функции напряжений, становится безусловно экстремальной задачей.
Для плоской задачи теории упругости при отсутствии объёмных сил Эри.в,.,. 1862 г. ввёл функцию F, которую позже назвали функцией напряжений Эри. При выражении напряжений через неё уравнения равновесия выполняются автоматически, а сами напряжения в декартовой прямоугольной системе координат принимают вид _d2F. _d2F. d2F (1.13) дх22 дх2 &с,&;2
Действительным из множества решений уравнения равновесия будет то, которое также удовлетворяет как уравнению совместности деформаций д4- jr сА jz д4 гр —т + —5—г+—г = 0 так и граничным условиям. В случае наличия объёмных сЦ их, дх2 дх2 сил выражения для напряжений усложняются:
Выражения напряжений через функции напряжений для различных систем координат приведены в работе [12]. В трёхмерном случае общее решение уравнений равновесия можно представить, в частности, в виде [1] cr CTo+Vx xV, где а0 - частное решение неоднородного уравнения равновесия; ср - произвольный симметричный тензор второго ранга с б независимыми компонентами; V х р - ротор (вихрь) тензора р (координатная запись выражения а = V х 7 х V в ДИСК имеет вид тч = e/VtV(1p/ffl, где ет - символы Леви-Чивита).
В качестве примера использования функций напряжений можно упомянуть решение методом Ритца задачи Ламе по исследованию НДС упругого параллелепипеда [121]. М.М. Филоненко-Бородич предложил представить допустимое поле напряжений в виде суммы основного и корректирующего тензоров. Основной тензор точно удовлетворяет уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Корректирующий тензор удовлетворяет однородным граничным условиям и уравнениям равновесия. Для построения корректирующего тензора использованы функции напряжений Максвелла. Разлагая их в ряд М.М. Филоненко-Бородич получил из принципа Кастилияно систему алгебраических уравнений для коэффициентов ряда.
В [19] приведены граничные условия на функцию Эри для плоской задачи ЯЕ" Л/Г теории упругости в ДПСК. В этой работе показано, что P (s) =— ; &2 в дХгл 8F 6F -P2(s) =— , где P s), / = 1,2 - компоненты главного вектора внешней дххв дх]А нагрузки на участке контура от А до В. Для односвязной области вдоль ненагруженной границы значения первых производных остаются постоянными. Значения же производных в точке А можно взять произвольными, например, равными 0. Про саму функцию напряжений известно, что FB - FA - g{s), где g(s) - момент внешних сил, действующих на участке контура от А до В, относительно вертикальной оси, проходящей через точку В. Для многосвязной области значение функции напряжений и её производных на ненагруженном контуре уже нельзя выбирать произвольно; их выбирают из условия равновесия контура - равенство нулю главного вектора и главного момента.
К равновесным КЭ для функции Эри предъявляются те же самые требования, что и к совместным КЭ для расчёта изгиба тонких пластин. В [47] дан обзор равновесных КЭ, к которым относятся треугольные элементы Зенкевича и Клафа-Точера с девятью степенями свободы, треугольный элемент Айронса с 18 степенями свободы, прямоугольник Богнера-Фокса-Шмидта, прямоугольник с функциями Биркгофа-Гарабедяна, полученный Н.Н. Шапошниковым, четырехугольник де Вебеке. К перечисленным стоит добавить треугольный элемент пятого порядка с 21 степенью свободы [45].
В [47] процитирована работа Галлагера, который указывает на то, что основным затруднением, из-за которого равновесная модель не получила распространения, является трудность учета граничных условий. Чтобы избежать этого, Галлагер предложил использовать специальные КЭ, примыкающие к контуру, в которых задаются полиномы более высокого порядка, чем в основных элементах. Специальные элементы полностью сопрягаются с основными, а на контуре значения коэффициентов полиномов находятся по значениям интенсивностей распределенных нагрузок на границах, которые равны вторым производным функции напряжений. Такая возможность достигается за счет повышения порядка полиномов и за счет того, что для нагрузки на каждой стороне вводится отдельная матрица податливости. Для прямоугольного КЭ, рассматриваемого Галлагером, число таких элементов равно девяти.
В работе [47] построен алгоритм реализации равновесной модели МКЭ в функциях напряжений для односаязной или многосвязной плоской области при силовых и кинематических граничных условиях. Такая возможность обеспечивается с помощью фиктивных элементов контура.
В целом, недостатками функции напряжений являются; 1) сложность учёта граничных условий особенно в углах области расчёта и в случае многосвязных областей; 2) необходимость использования достаточно сложных КЭ, обеспечивающих непрерывность как самой функции, так и ее первых производных; 3) использование функции напряжений не снимает необходимости численного дифференцирования для определения напряжений, что может приводить к понижению или потере точности [95]; 4) необходимость в некоторых случаях (например, при наличии объёмных сил) построения частных решений уравнений равновесия; 5) отсутствие непосредственной информации о перемещениях.
Указанные трудности привели к тому, что решение практических задач
МКЭ с использованием функций напряжений ограничивается областями простой геометрической формы (как правило, прямоугольной) с ограниченным набором типов граничных условий и нагрузок [77].
В целом, способов построения полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия для двумерных и трёхмерных задач линейной теории упругости, в литературе приведено достаточно много. При этом методика удовлетворения статическим граничным условиям подробно обсуждается в основном для способа решения линейных двумерных задач с применением функции напряжений Эри. Вместе с тем, одним из существенных недостатков функции Эри также является трудность учёта граничных условий.
Основные матричные соотношения метода конечных элементов в перемещенияхдля решения задач теории течения
Для задачи (1.6)-(1.10) помимо дифференциальной существует и интегральная формулировка - принцип виртуальной работы. Этот принцип утверждает, что твёрдое тело будет в равновесии тогда и только тогда, когда поле напряжений удовлетворяет уравнению I г (дл дПі Л г г (2.22) z.Q yvxj их, j n Si для любых векторов виртуальных перемещений 7, которые не нарушают кинематических граничных условий, т.е. щ{=0 на S1 = S;si. Уравнение (2.22) означает, что виртуальная работа, совершаемая внутренними силами, равна виртуальной работе, совершаемой внешними силами на виртуальных перемещениях. Для достаточно гладкого поля напряжений (2.22) эквивалентно уравнениям равновесия (1.6) и силовым граничным условиям (1.9) [19].
При решении задач теории течения для учёта программы нагружения рассматриваются нагружения тела последовательными приращениями нагрузки. В качестве параметра нагружения примем «псевдо-время» t. В этом случае процесс конечно-элементной дискретизации состоит из двух частей: 1) дискретизация по параметру нагружения t. 2) стандартная конечно-элементная дискретизация выражения (2.22).
После применения таких дискретизаций задача теории пластичности трансформируется в набор систем нелинейных уравнений, каждая из которых однозначно соответствует концу одного из промежутков [ „Л+,].
Определим массив узловых перемещений как «r = fc .«L .«."-.-«Г Г где "dim размерность задачи (которая равна 1, 2 или 3); проіп - число узлов сетки; и/ - / -я компонента вектора перемещений в узле сетки с номером j. Вектор перемещении и1 [х)ъ точке х тела может быть представлен как uh(jc) = Ne(r)uf N (x)u\ + ...+ 5 (х) " dim ""dim";t n где N (x) - глобальная функция формы, соответствующая узлу сетки / Соответственно, матрица функций формы принимает вид NB (х) = (diag[N (х)], diag[N ( )]) где О О (N О 0 N diag[Nf(x)} = - диагональная матрица размера nim xndim. о о ... ЛГ . Аналогичным способом можно определить и вектор виртуальных перемещений ту1 (х) в точке х телакак T]h(ir) = NB(x:)rf, где ,.=(77/,... , 7fpV %!")
Поскольку в выражении (2.22) используются производные виртуальных перемещений по пространственным координатам, то необходимо построить и соответствующий дифференциальный оператор. Например, в случае плоского деформированного состояния он имеет вид (для ос ее имметричн ого случая этот оператор приведён в [45]) Поскольку равенство (2.24) справедливо для любого допустимого гг, то выражение в квадратных скобках равно нулю в каждой точке тела.
Рассмотрим промежуток [t„,tn+1]. Предположим, что-известны внутренние параметры состояния ап в момент t„ и тензор деформации еп+1 в момент /и+]. Тогда определяющие соотношения для напряжений в момент сл+1 могут быть записаны как ал+1 =5(аги,єл+1). При бесконечно малых приращениях деформаций значение этой функции должно давать точное значение компонент тензора напряжений. Поскольку внутренние параметры состояния неявно зависят от напряжений стл+1, то они определяются совместно с ними и могут быть получены из соотношения an+l = а(ая)єл+і).
В момент гл+, выражение (2.24) принимает вид (индекс «л» соответствует моменту tn, а индекс «л +1» - моменту /и+1) ЛГ = 0, (2.25) Определим векторы внутренних и внешних сил соответственно: Эти векторы ансамблируются из векторов, соответствующих каждому КЭ. Таким образом, уравнение (2,25) может быть переформулировано следующим образом: найти такой вектор узловых перемещений иг л+,, что f" (",..)-С =. (2-26) Для решения уравнения (2.26) применен МН, описанный в 3.1.
Алгоритм коррекции параметров напряжённого состояния при постоянной температуре
Процедура КПНС учитывает особенности модели материала. Входными данными для неё являются деформации (получены в п. 5 алгоритма решения уравнения (2.26)) и внутренние параметры состояния материала в точке интегрирования Гаусса. Результаты - скорректированные напряжения и внутренние параметры состояния в конце шага нагружения используются в п. 7 указанного алгоритма для построения вектора внутренних сил КЭ.
Алгоритм КПНС определяет функцию в пределах промежутка [/я,/и+1]: где п - номер итерации МН решения уравнения (2.26); ап множество внутренних параметров состояния в момент tn; n+I - тензор деформации в момент tMl; С7и+і - тензор напряжений в момент tn+1. Функция (3.1) может быть также представлена в эквивалентной форме 4= r(«z„,ten+l)t (3.2) где Аея+] s єп+1 єп приращение тензора деформации на шаге нагружения. Процедура КПНС определяет и внутренние параметры состояния
Разделение тензора деформации на упругую и пластическую составляющие делает алгоритмы, основанные на методе разделения оператора, приемлемыми для численного интегрирования определяющих соотношений задач теории течения. Основная идея такого метода видна из приведённого ниже примера (цитируется по работам [160, 138]).
Пусть А — линейный оператор в векторном пространстве Rm . Представим, что оператор А может быть представлен в виде суммы А = В + С. Исходная задача А выглядит следующим образом:
Задача А. Найти векторную функцию x(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению i(/) = Ax(t) и начальным условиям х (r0) = х0.
Аналитическое решение задачи А имеет вид x(t) = exp[(t0)A]x0, где для тензора S функция ехр[.У] обозначает тензорную экспоненту, определяемую как ехр[.У] = —-»УЯ [144]. Для двух коммутирующих тензоров N и М эта функция обладает свойством exp[N + M] exp[N]txp[M] = ехр[Л/]ехр[іУ]. Таким образом, в момент t = t0+At точное решение задачи А имеет вид x(t0+At) = ехр [ AtA] х0 = ехр [At (В + С)] л:0. (3.4) Приближённое решение x(t0+At) в точке t = t0+At может быть получено путём разделения задачи А на 2 подзадачи В и С.
Задача В. Найти векторную функцию y(t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению y{t) = By{t) и начальным условиям y(t0) = xa. Точное решение задачи В в момент /0 + At имеет вид у [tQ + At) = exp [AtB] xa,
Задача С. Найти векторную функцию г(/), удовлетворяющую дифференциальному уравнению i(t) = Cz{t) и начальным условиям z(i0)=y(to +Д/). Решение задачи В используется как начальное условие для задачи С; точное решение последней имеет вид Z (t0 + Аї) = exp [АґС] exp [AtB] x0. (3.5)
Формула (3.5) является приближением первого порядка для (3.4) При этом выражение (3.5) является точным, если тензоры В и С коммутируют.
Таким образом, алгоритм первого порядка точности для численного решения задачи Л может быть получен путём разделения исходной задачи на последовательность двух подзадач В и С. Такой алгоритм состоит из следующих этапов. 1. Решение задачи В, начальными условиями которой являются начальные условия задачи А. 2. Решение задачи С, начальными условиями которой является решение задачи В. Полученное решение задачи С является аппроксимацией решения задачи А.
Идея разделения оператора может применяться и в случае нелинейного оператора А. Однако для обеспечения первого порядка точности необходимо, чтобы приближенные решения связанных подзадач В и С также обеспечивали первый порядок точности.
Этот алгоритм получен на основе использования приведённой в 3.2.1 методики разделения оператора, и описан следуя [138]. Основное допущение стадии «упругий предиктор» заключается в том, что полученная в п. 5 алгоритма МН решения уравнения (2.26) величина приращения тензора деформации Лгг І, соответствующая итерации с номером k на промежутке K CJ]. является упругой. Следовательно, пластическое течение в промежутке не возникает. Тогда упругая деформация равна є {к) = є п+ Де] и соответствующее скорректированное состояние можно получить непосредственно (оно обозначается с применением надстрочных индексов «(к)» и «trial», а также подстрочного индекса « n +1»):
