Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели макроэкономики 16
1.1. История развития моделей общественного производства 16
1.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 21
1.3. Модель Леонтьева-Форда 26
1.4. Динамическая модель Леонтьева 32
1.5. Двойственные задачи линейного программирования 34
1.6. Двойственная модель к модели Леонтьева 37
Выводы по главе 1 40
Глава 2. Обобщенная динамическая балансовая модель с дискретным временем, учитывающая выделение вредных отходов 41
2.1. Постановка задачи. Понятие решения модели 41
2.2. Свойства решения динамической модели с учетом экологического состояния окружающей среды 48
2.3. Условие разрешимости динамической модели 52
2.4. Динамическая модель, учитывающая возможность утилизации вредных отходов 56
2.5. Двойственная модель к динамической модели с дискретным временем 60
2.6. Обобщенная модель для двойственной модели с дискретным временем 65
Выводы по главе 2 69
Глава 3. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов, и математический аппарат ее исследования 70
3.1. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов ...70
3.2. Свойства динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов 73
3.3. Метод последовательных приближений для решения динамической межотраслевой балансовой модели 77
3.4. Двойственная модель для случая с непрерывным временем 83
3.5. Свойства двойственной модели с непрерывным временем 88
Выводы по главе 3 93
Глава 4. Априорные оценки решения динамической балансовой модели 94
4.1. Оценка решения динамической модели многоотраслевой экономики... 94
4.2. Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели 97
4.3. Метод ускорения сходимости векторных оценок к решению динамической балансовой модели 100
4.4. Метод ускорения сходимости уточненных двусторонних оценок к решению динамической модели 105
4.5. Метод построения двусторонних приближений к решению динамической балансовой модели с учетом утилизации вредных отходов 109
Выводы по главе 4 121
Заключение 122
Литература 123
Приложение 132
- Двойственные задачи линейного программирования
- Свойства решения динамической модели с учетом экологического состояния окружающей среды
- Свойства динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов
- Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели
Введение к работе
Актуальность темы исследования. На современном этапе экономического развития общества продолжают оставаться актуальными задачи эффективного прогнозирования, планирования и управления крупными экономическими системами. При построении математических моделей таких систем получают статические и динамические модели, по-разному учитывающие фактор времени. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту времени или периоду времени. Изменения параметров состояния изучаемых объектов во времени при этом не учитывается. В динамических моделях учитывается не только зависимость параметров и переменных от времени, но и изменение их взаимосвязей с течением времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что, в свою очередь, является важнейшим фактором изменения объема выпуска.
Исследования Леонтьева способствовали развитию новых направлений экономических исследований и активное развитие экономико-математических методов. Учет технологических особенностей производства, инвестиционной деятельности, экологической ситуации и ряда других особенностей производственной и социальной сфер требуют постоянного развития моделей многоотраслевой экономики. Такого рода исследованиям посвящены работы зарубежных и отечественных ученых: В.В. Леонтьева, Д. Форда, Дж. фон Неймана, П.А. Самуэльсона, P.M. Солоу, Дж. Р. Хикса, М. Моришима, В.Я. Стеценко, Е.В. Рюминой, Е.Л. Торопцева и др. [3; 12; 16; 19-21; 24; 32; 35; 46-49; 51-53; 58; 76; 88-90; 92].
Подавляющее большинство известных технологий производств связано с появлением в процессе их реализации побочных продуктов, в том числе приводящих к загрязнению окружающей среды. Учитывая объемы производства, масштабы загрязнения носят угрожающий характер. В этой связи правительствами стран принимаются все более жесткие меры по предотвращению деградации природы, переработке вредных отходов и сведению антропогенного влияния к минимуму.
Борьба с загрязнением окружающей среды требует постоянно возрастающих затрат. Это приводит к созданию новых производств по переработке и уничтожению вредных отходов. В результате расширяется сама сфера общественного производства: она включает не только создание материальных благ, но и разные виды деятельности, связанные с уменьшением загрязнения окружающей среды и возобновления природных ресурсов.
Приведенные модели являются статическими. Однако при изучении реальной экономики можно выделить такие ее элементы, в которых причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием [31-32]. Поэтому динамические модели, как правило, являются более адекватными изучаемым экономическим явлениям.
Последняя модель стала классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Со времени своего появления модель Леонтьева претерпела значительное развитие и модификации. Здесь следует отметить работы таких авторов как Дж. фон Нейман, П.А. Самуэльсон, В.Я. Стеценко, Е.Л. Торопцев, А.С. Мараховский, Т.Г. Гурнович, М.В. Бойчук и др. [3; 12; 51-52; 55; 88-90].
Озабоченность экологической ситуацией заставляет правительство разных стран субсидировать новые достаточно «чистые» технологии, выделять дополнительные инвестиции на переработку вредных отходов и борьбу с загрязнением окружающей среды. Все это влияет на отдельные производства и экономическую ситуацию в целом. Поэтому при построении межотраслевой динамической модели, учитывающей экологическое состояние окружающей среды, необходимо внести коррективы как в балансовые уравнения выпуска полезного продукта, так и в уравнения, связанные с вектором вредных отходов. Основное отличие таких моделей состоит в том, что, используя новые современные технологии, в ряде случаев удается снизить выделение побочных продуктов до уровня ниже экологически допустимого. При этом уравнение, соответствующее второму уравнению модели (0.2) логичнее записать в виде неравенства, что влечет за собой множественность решения. В основе модели проведения прогнозных расчетов таких задач лежит принцип оптимальности, позволяющий при многовариантном прогнозировании выбрать решение поставленной задачи наилучшим образом, т.е. с наименьшими затратами трудовых ресурсов и средств производства. Эта идея реализована в построенной автором динамической модели, учитывающей экологическое состояние среды и возможную переработку выделяемых в эту среду в процессе производства вредных отходов с целью понижения уровня их содержания до экологически допустимого. Рассматриваемая модель и полученные при ее исследовании результаты являются развитием идей доктора физико-математических наук, профессора Стеценко В.Я.
Полученные в работе модели является дальнейшим развитием моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда. Принципиальное отличие предложенных моделей связано с введением в модель нового типа операторов Более того, модель (0.3 ) с непрерывным временем описывается системой дифференциальных уравнений-неравенств; проблема отыскания положительного решения модели (0.3 ) сводится к отысканию положительного решения операторного уравнения с дифференциальным оператором при наличии заданных неотрицательных и отрицательных величин.
Изучение динамической модели межотраслевого баланса с учетом экологического состояния окружающей среды проводится в двух интерпретациях, поскольку время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или как дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для модели с дискретным временем представляется возможность воспользоваться аппаратом разностных уравнений. Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, уровень сложности самих моделей примерно одинаков [25].
Объект исследования — математические модели макроэкономики.
Предмет диссертационной работы - динамические модели многоотраслевой экономики, учитывающие внесение инвестиций на развитие производства и утилизацию вредных отходов.
Цель диссертационной работы - построение и изучение математических моделей, описывающих балансовые соотношения производства с учетом выделения вредных отходов в окружающую среду, возможности их переработки и внесение инвестиций.
В соответствии с поставленной целью в ходе исследования решались следующие задачи:
- построить обобщенную динамическую балансовую модель с учетом-инвестиций и экологического состояния окружающей среды;
- построить двойственную модель, дать экономическую интерпретацию модели;
- изучить свойства построенных моделей;
- предложить методы решения рассмотренных моделей;
- указать способ выбора оптимального решения в случае многовариантности способов достижения заданного уровня производства и ограничений на загрязнение окружающей среды.
Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы классического функционального анализа и теории операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах, теория неотрицательных матриц, методы оптимизации, теория дифференциальных уравнений и численные методы вычислительной математики.
Научная новизна исследования состоит в построении и изучении математических моделей, описывающих многоотраслевое производство: 1. Разработана динамическая модель с дискретным и непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов на основе аппарата разностно-дифференциальных уравнений, отличающаяся от существующих введением дополнительных коэффициентов в уравнение образования вредных отходов, что увеличивает информативность модели и позволяет получить более точный прогноз о выбросах вредных отходов в окружающую среду при выборе данной технологии.
2. Построена двойственная модель для динамической модели с учетом выделения вредных отходов, позволяющая прогнозировать розничные цены на полезные продукты, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся прогнозом цен на производимую продукцию. Предложенные алгоритмы базируются на применении теории двойственности и операционного исчисления.
3. Предложен инструментарий исследования динамической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений, на основе теории операторов и функционального анализа, что позволяет, не решая системы, определить, является ли построенная модель продуктивной.
4. Для динамической модели адаптированы методы построения двусторонних и векторных оценок решения, предложен метод улучшения двусторонних оценок. В отличие от методов поиска точного решения, применение метода двусторонних оценок способствует успешному решению задач с большой размерностью обрабатываемых моделей, не прибегая к непосредственному интегрированию.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы заключается в дальнейшем развитии математических моделей многоотраслевой экономики, позволяющих точнее описывать производственную, инвестиционную и природосберегающую деятельность.
Практическая ценность работы определяется возможностью применения полученных результатов исследования при решении конкретных задач математики, экономики, биологии и других задач, сводящихся к системе диффе 11 ренциальных уравнений, и заключается в применении обоснованного метода выбора оптимального решения в условиях его много вариантности. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.
Достоверность полученных результатов исследования вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем, учитывающая внесение инвестиций, выделение и переработку вредных отходов.
2. Модификация динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов в процессе производства.
3. Двойственная модель для динамической балансовой модели с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем.
4. Двусторонние и векторные оценки решения динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей выделение и переработку вредных отходов, метод улучшения двусторонних оценок.
Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2006); XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007); VIII и IX Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 и Кемерово, 2008); VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2008); IV научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2008); V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2008); IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, (Волгоград-Волжский, 2008); научно-методических конференциях преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука — региону» (Ставрополь, 2006, 2007, 2008, 2009) и неоднократно на научных семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из которых 2 в ведущих рецензируемых журналах. Часть результатов диссертации получена совместно с кандидатом физико-математических наук, доцентом Павловой М.Н., при этом в соответствующих результатах ей принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно методов ее решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.
Во введении кратко обоснована актуальность выбранной темы, изложены основные результаты исследования, показана их научная новизна, а также указывается место полученных в работе результатов в общей теории.
Первая глава посвящена краткому обзору известных ранее результатов, близких к теме исследования. Более подробно рассмотрены статические модели Леонтьева и Леонтьева-Форда, приведены их основные свойства, указаны условия продуктивности моделей. Динамическая модель Леонтьева рассмотрена в двух интерпретациях: с дискретным и непрерывным временем, для каждой модели указано условие разрешимости. Глава также содержит основные сведения из теории двойственности, приведена двойственная модель к модели Леонтьева, рассмотрены некоторые ее свойства.
В главе введены понятия плана и решения задачи, указаны условия продуктивности модели, отмечены некоторые свойства построенной модели. Результаты проведенного исследования показали, что решение рассматриваемой модели можно находить с помощью метода последовательных приближений.
Для модели (0.7), аналогично модели (0.5), введено понятие множества планов задачи и решения, сформулированы и доказаны некоторые свойства модели, указано условие разрешимости модели. Отмечена связь решений прямой и двойственной задачи:
Глава 4 посвящена получению оценок решения динамической модели.
Точное решение нелинейной динамической балансовой модели представляет некоторые трудности, связанные как с достаточно большим количеством данных, так и с методами решения таких моделей. Кроме того, в ряде случаев при построении и исследовании модели на начальном этапе не требуется знать точное решение, а достаточно иметь некоторую его оценку, позволяющую судить об адекватности модели и внести своевременную корректировку в ее построение. В этой связи представляют интерес легко реализуемые методы получения оценок решения нелинейной модели.
В главе получена оценка решения динамической балансовой модели, описаны методы ускорения сходимости двусторонних и векторных оценок к решению построенной модели, предложен метод построения двусторонних приближений к решению динамической модели с учетом утилизации вредных отходов, сходящийся к решению быстрее по сравнению с методом последовательных приближений.
Двойственные задачи линейного программирования
Условием разрешимости системы (1.11) относительно вектора x{t) является требование det(is - А - В) = 0. В данной модели предполагается, что прирост продукции в период времени (t,t +1) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде. Для коротких периодов это предположение нереально, так как существуют отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели, учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу динамических моделей межотраслевого баланса. Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (1.11) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых материальных затрат А = (а ) и коэффициентов капитальных затрат В = (b ) необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени / = О (х(0)) и закон изменения величин конечного продукта f(t) на отрезке [о,т].
Решением системы уравнений (1.13) будут значения вектор-функции x(t) на отрезке [О,г]. Условием разрешимости системы (1.13) является detB O. Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования [28; 43]. Как известно [43] для исходной задачи I: F = сххх + с2х2 +... + спхп — max при ограничениях и условии неотрицательности переменных необходимо составить такой план выпуска продукции х = [хх,х2,...,хп), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов; можно сформулировать двойственную задачу II: требуется найти такой набор цен (оценок) ресурсов р-(рх,р2,...рп), при котором общие затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки от реализации этой продукции). Цены ресурсоврх,р2,,,.,рт в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от внешних цен сх,с2,...,сп на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов р1,р2,...,рт являются внутренними, так как они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.
Прямая и двойственная задачи обладают следующими свойствами: 1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум. 2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой. 3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида « », а в задаче минимизации — вида « ». 4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг другу. 5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче. 6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах. Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанав ливаются с помощью теорем двойственности. Первая (основная) теорема двойственности [43]. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых функций равны: Экономический смысл первой (основной) теоремы двойственности [43]: план производства х =(х,\х ,...,х ) и набор цен (оценок) ресурсов р = {рІ,РІ,-- ,р „) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции, найденная при «внешних» (известных заранее) ценах ci,c2,...,cn равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам pvp2,.--,pm. Для всех же других планов х и р обеих задач в соответствии с основным неравенством теории двойственности или т.е. прибыль (выручка) от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы. Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану х = \х[,х 2,...,х п) и получить максимальную прибыль (выручку) Fmax, либо продавать ресурсы по оптимальным ценам р = (р ,р,2,...,рі) и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы Z . Вторая теорема двойственности [43]. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженных через неосновные переменные ее оптимального решения. Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными оценками) исходной задачи. Академик Л.В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками, разрешающими множителями.
Свойства решения динамической модели с учетом экологического состояния окружающей среды
Теорема 2.2. Пустьg O, ПФ0 и модель x = Cux + gl продуктивная. Тогда на решении [х,у) выполняются соотношения (2.7). Доказательство. Для каждой пары (х,у)єП в силу монотонности операторов Сц (/,7 = 1,2) имеем Отсюда на основании определения точной нижней грани следует Докажем, что первое из этих двух соотношений удовлетворяется со знаком равенства. Если бы это было неверно, т.е. если бы то, учитывая продуктивность модели Леонтьева x = Clxx + gx, которая эквивалентна положительной обратимости оператора (Е - Схх), мы имели бы, что а это означало бы, что (х, у ) є П, и, в то же время х х" (х Ф х"), что противоречит определению точной нижней грани (в силу определения (х ,/)=inf(x, ), (х,у)еП). Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. Рассмотрим экономический смысл модели х = Сих + g,. Эта модель позволяет определять вектор валового выпуска полезного продукта из совокупности произведенного полезного продукта с учетом внесенных инвестиций на развитие производства и вектора чистого полезного продукта без инвестиционных затрат на начало отчетного периода. Из общих соображений следует, что аналогичное свойство для второго соотношения модели (2.6) не выполняется. В самом деле, если выпуск g, достаточно «мал», a g2 достаточно «велик», то х будет соответственно мал, а в качестве у можно будет взять вектор у = 0.
Положим Тогда для \х\у) первое соотношение (2.7) будет выполняться со знаком равенства, а второе соотношение в (2.7), переписанное в виде , будет выполняться как неравенство при «большом» векторе g2. Тем самым решение модели (2.6) не сводится к решению системы двух уравнений вида Это заключение согласуется со «здравым смыслом»: если разрешено содержание высокого уровня вредных отходов в окружающей среде, то их можно не «подавлять». Введем обозначения: (СД = cf;,), (gk\=g, ,/ = 1,2. Доказательство. Допустим противное. Выберем є 0 настолько малым, чтобы для вектора \x\yl), где Отсюда следует, что [х , )є 77 и потому решение \х\у j модели (2.6), как точная нижняя грань множества планов, должно удовлетворять неравенству которое нарушается для компоненты і = i0. Теорема доказана. Экономический смысл утверждения теоремы заключается в том, что при выполнении строгого неравенства соответствуюгцая компонента у. вредных отходов не подавляется, поскольку содержание вредных отходов, соответствующих компоненте і0, не превосходит разрешенного уровня g(2). Следствие. Пусть (х\у) — решение модели (2.6), причем g, 0, у — внутренний элемент конуса Ку. Тогда \х,у) - единственное решение системы уравнений (2.8). Доказательство следует из того, что (х\у) удовлетворяет системе уравнений-неравенств (2.7), причем второе уравнение этой системы не может удовлетворяться со знаком неравенства, так как в противном случае те компоненты вектора у , для которых второе соотношение выполняется со знаком строгого неравенства, должны быть равны нулю, а это противоречит условию.
Полученные результаты позволяют сводить отыскание решения модели (2.6) к решению линейной алгебраической системы (2.8), если это решение \х ,у) существует, причем х 0, у 0. Однако это имеет место далеко не всегда. Еще раз подчеркнем, что под решением модели (2.6) понимается решение, определяемое по формулам (2.5). Лемма. Для того чтобы решение [х\у ) модели (2.6) с неразложимым оператором С„ и с g, 0 удовлетворяло условию х" 0 необходимо, чтобы спектральный радиус оператора Сп был строго меньше единицы: р(Сп) 1. Доказательство. Пусть [х ,у) - решение модели (2.6). Так как по определению у О, то
Свойства динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов
Таким образом, построенная двойственная модель продуктивна. Дадим экономическую интерпретацию двойственной модели. Рассмотрим частный случай модели, когда EX=R", Еу= Rm и, следовательно,
Будем интерпретировать вектор p как вектор цен полезных продуктов, т.е. і-я (і / п) компонента вектора р равна цене одной единицы z -ro полезного продукта. Аналогично пусть к-я (\ к т) компонента вектора q равна плате за выброс в окружающую среду одной единицы к-то вредного продукта (загрязнения), являющегося побочным результатом производственной деятельности. Вектор v, е R" представляет собой вектор добавленных стоимостей, т.е. компонента (v,)( этого вектора указывает стоимость труда, затраченного на создание одной единицы /-го полезного продукта (і / п). Аналогично вектор v2 є Rm представляет собой вектор, к-я компонента которого равна уменьшению платы за загрязнение одной единицей А го вредного продукта окружающей среды, в силу которой сама среда «борется» с загрязнением. Вектор С ир = рСп - часть стоимости затрат по созданию единичного вектора полезного продукта, полученная за счет использования в производстве полезных продуктов всех отраслей в соответствующих количествах. Вектор C2\q = qC2l — часть стоимости затрат при создании единичного вектора полезного продукта, связанная с мероприятиями по охране окружающей среды. Вектор С\2р = рСп - часть затрат, направленных на борьбу с загрязнением окружающей среды, равная стоимости затраченных полезных продуктов при уничтожении единицы вредного продукта. Наконец, C 22q = qC22 -часть затрат на борьбу с загрязнением, равная плате за побочный (вредный) результат этой деятельности, связанный с дополнительными выбросами в ок ружающую среду вредных продуктов при уничтожении единицы этого продукта (например, выброс в воздух вредных соединений при сжигании мусора), т.е. создание новых групп вредных продуктов при уничтожении вредных отходов.
При такой интерпретации составных элементов модели (2.22) первое уравнение этой модели означает, что цена полезного продукта является справедливой, так как она состоит из стоимости затраченных полезных продуктов (как в процессе производства, так и в процессе борьбы с загрязнением окружающей среды) и добавленной стоимости, т.е. стоимости затраченного труда. Второе соотношение (неравенство) модели (2.22) означает, что плата за создание одной единицы загрязнения не превосходит суммы стоимости затраченного на борьбу с загрязнением полезного продукта и стоимости затрат на уничтожение воспроизводимого загрязнения. В случае, когда второе соотношение модели (2.22) будет выполнено со знаком равенства, это будет означать, что назначенная плата за загрязнение является справедливой. Если же второе соотношение будет выполнено со знаком неравенства, то это будет говорить о том, что назначенная плата за загрязнение является убыточной для общества в целом. Именно поэтому неразумно любой вектор из множества Р (а совокупность Р, если она не пуста, содержит, как правило, бесконечное множество векторов) называть вектором цен производства.
Из приводимых ниже результатов следует, что при естественных предположениях относительно производства, решение \р",q) модели (2.22) существует и единственно. При этом вектор (//, удовлетворяет второму соотношению модели со знаком равенства, т.е. цена \р ,q ) справедливая. Более того, вектор \jp\q.) связан с решением {х\у j модели (2.7) простым соотношением, имеющим важный экономический смысл, обобщающий- один из основных результатов теории Леонтьева, утверждающего о том, что национальный продукт равен национальному доходу.
Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели
На современном этапе экономического развития общества продолжают оставаться актуальными задачи эффективного прогнозирования, планирования и управления крупными экономическими системами. При построении математических моделей таких систем получают статические и динамические модели, по-разному учитывающие фактор времени. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту времени или периоду времени. Изменения параметров состояния изучаемых объектов во времени при этом не учитывается. В динамических моделях учитывается не только зависимость параметров и переменных от времени, но и изменение их взаимосвязей с течением времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что, в свою очередь, является важнейшим фактором изменения объема выпуска.
Большинство современных моделей, имеющих практическую направленность и предназначенных для прогноза основных показателей экономики, построены на расширенных моделях межотраслевого баланса. Наиболее важной и интересной из первых таких моделей является модель Леонтьева где А - технологическая (неотрицательная) матрица, х - валовой выпуск полезного продукта (неизвестный элемент), / - вектор чистого выпуска полезного продукта (заданный элемент). При неотрицательном векторе/экономический смысл имеют только неотрицательные решения х модели (0.1).
Исследования Леонтьева способствовали развитию новых направлений экономических исследований и активное развитие экономико-математических методов. Учет технологических особенностей производства, инвестиционной деятельности, экологической ситуации и ряда других особенностей производственной и социальной сфер требуют постоянного развития моделей многоотраслевой экономики. Такого рода исследованиям посвящены работы зарубежных и отечественных ученых: В.В. Леонтьева, Д.
Форда, Дж. фон Неймана, П.А. Самуэльсона, P.M. Солоу, Дж. Р. Хикса, М. Моришима, В.Я. Стеценко, Е.В. Рюминой, Е.Л. Торопцева и др. [3; 12; 16; 19-21; 24; 32; 35; 46-49; 51-53; 58; 76; 88-90; 92].
Подавляющее большинство известных технологий производств связано с появлением в процессе их реализации побочных продуктов, в том числе приводящих к загрязнению окружающей среды. Учитывая объемы производства, масштабы загрязнения носят угрожающий характер. В этой связи правительствами стран принимаются все более жесткие меры по предотвращению деградации природы, переработке вредных отходов и сведению антропогенного влияния к минимуму.
Борьба с загрязнением окружающей среды требует постоянно возрастающих затрат. Это приводит к созданию новых производств по переработке и уничтожению вредных отходов. В результате расширяется сама сфера общественного производства: она включает не только создание материальных благ, но и разные виды деятельности, связанные с уменьшением загрязнения окружающей среды и возобновления природных ресурсов.
Первая межотраслевая модель, охватывающая взаимосвязи экономики и окружающей среды предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом [49]: где х - вектор валового выпуска полезного продукта; у - вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих, в частности, в процессе производства и подлежащих уничтожению; /х - вектор чистого выпуска полезного продукта; /2 - вектор остаточного уровня вредных отходов; Ап — технологическая матрица; Ап - матрица, характеризующая затраты полезного продукта; А2Х — матрица, соответствующая количеству вредных отходов, создаваемых при выпуске полезного продукта; Д,2 - матрица, характеризующая уровень вредных отходов в окружающей среде при уничтожении других вредных отходов.
По сравнению с моделью (0.1) модель Леонтьева-Форда охватывает не только две группы отраслей (отрасли материального производства и отрасли, которые уничтожают вредные отходы), но и обладает некоторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств модели межотраслевого баланса. Это связано, в первую очередь, с тем, что модель (0.2) содержит величины, измеренные в натуральных единицах (отходы производства по каждому виду загрязнения) наряду с величинами, выраженными в стоимостной форме (векторы валового и конечного продукта, технологическая матрица и т.д.).
Приведенные модели являются статическими. Однако при изучении реальной экономики можно выделить такие ее элементы, в которых причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием [31-32]. Поэтому динамические модели, как правило, являются более адекватными изучаемым экономическим явлениям. В работе [47] для модели Леонтьева построена динамическая модель с дискретным и непрерывным временем
Последняя модель стала классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Со времени своего появления модель Леонтьева претерпела значительное развитие и модификации. Здесь следует отметить работы таких авторов как Дж. фон Нейман, П.А. Самуэльсон, В.Я. Стеценко, Е.Л. Торопцев, А.С. Мараховский, Т.Г. Гурнович, М.В. Бойчук и др. [3; 12; 51-52; 55; 88-90].
