Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели механики деформирования оболочек 28
1.1 Математическая модель механики деформирования слоистых оболочек Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко 28
1.1.1 Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для слоистых оболочек 39
1.1.2 Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для изотропных оболочек ~ 41
1.2 Математическая модель механики деформирования изотропных оболочек В.З.Власова 46
1.2.1 Разрешающая система уравнений общей моментной технической теории В.З.Власова 46
1.2.2 Матричная форма уравнений механики деформирования цилиндрической, канонических и сферических оболочек 50
1.3 Приведение разрешающих систем дифференциальных уравнений в перемещениях к канонической форме 53
Глава 2. Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в матричной форме 61
2.1 Матричный ряд Тейлора 61
2.2 Мультипликативный интеграл Вольтерра и матричный бином Ньютона 62
2.3Частное решение 63
Глава 3. Простейшие алгоритмы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным метом 65
3.1 Приведение краевых задач к начальным до счета 65
3.2 Приведение краевых задач к начальным с помощью ЭВМ 70
3.3 Математическое моделирование локальной нагрузки 75
3.4 Идеализация локальной нагрузки сосредоточенной 78
3.5 Вычислительные эксперименты 80
3.5.1 Определение относительной критической длины оболочки 80
3.5.2 Удвоение относительной критической длины оболочки 84
3.5.3 Параметрические исследования концентрации напряжений в цилиндрических и сферических оболочках 86
Глава 4. Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений мультипликативным методом ... 94
4.1 Теорема 95
4.2 Алгоритм формирования начальных условий 97
Глава 5. Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков оболочек 103
5.1 Теоретические основы алгоритма :: 103
5.2 Матричная форма уравнений механики деформирования шпангоута 106
5.3 Алгоритм вариантных расчетов при исследовании концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкцях 109
5.4 Простейшие алгоритмы приведения краевых задач к начальным 110
5.5 Вычислительный эксперимент 114
Глава 6. Исследование концентрации напряжений в транспортно-пусковых стаканах (ТПС) летательных аппаратов 119
6.1 Локальное воздействие на днище ТПС по круглым площадкам... 119
6.2 Локальное воздействие на днище ТПС по площадкам, очерченным линиями главных кривизн 140
6.3 ТПС под внутренним давлением 149
6.4 ТПС при запуске летательных аппаратов 150
О погрешностях 159
Заключение 161
Литература
- Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для слоистых оболочек
- Мультипликативный интеграл Вольтерра и матричный бином Ньютона
- Математическое моделирование локальной нагрузки
- Алгоритм формирования начальных условий
Введение к работе
Механика деформирования тонкостенных конструкций, в основании которой находится теория оболочек, пластин, тонкостенных шпангоутов и стрингеров, сформировалась как наука в трудах многих ученых, а в нашей стране, главным образом, на трудах В.Э. Власова, 100 лет со дня рождения которого широко отмечалось научной общественностью в 2006 году.
Проблемы прочности тонкостенных конструкций в широком смысле (прочности по напряженно-деформированному состоянию, устойчивости и определению собственных частот колебаний) постоянно возникают при проектировании, например, летательных аппаратов. Критические нагрузки устойчивости и собственные частоты - интегральные характеристики тонкостенных конструкций. Определяются они в задачах на собственные значения.
Проблемы прочности тонкостенных конструкций по напряженно-деформированному состоянию имеют ярко выраженную специфику. Весовое совершенство конструкций может быть достигнуто при равнопрочности всех их элементов. Однако задача такого совершенствования не может, иметь окончательного решения в виду бесконечного многообразия возможных конструкций одного, например, целевого назначения, условий изготовления, эксплуатации и бесконечного числа возможных, порой непредсказуемых, внешних воздействий.
0.1. Физическая постановка задачи.
Практика эксплуатации тонкостенных конструкций показывает, что разрушение начинается в местах концентрации напряжений в их элементах с образования и катастрофического развития трещин. Явление это не интегральное и носит ярко выраженный локальный характер для конструкции. Из опыта испытаний и эксплуатации тонкостенных конструкций места концен -6 трации напряжений, как правило, известны. Они обусловлены скачками же-сткостей, изломами геометрии тонкостенных элементов и, главным образом, локальными внешними воздействиями и локальной передачей усилий в конструкциях. Избежать локальных воздействий и локальной передачи нагрузок на тонкостенные элементы не удается. В таких случаях мы сталкивается с проблемой концентрации напряжений и определение их становиться неизбежным. Задача расчета сводится к определению размеров мест концентрации напряжений, характера распределения напряжений и, что часто бывает самым главным, к определению максимальных значений напряжений в этих местах.
A.M. Доценко, В.А. Коргопольцев, М.Н. Коган, А.Б. Корнилов, А.А. Орлов, В.Н. Семенов, Л.Л. Теперин, М.В. Устинов экспериментально в ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского показали, что использование нанотехноло-гий в местах концентрации напряжений для предотвращения появления и развития трещин увеличивает прочностной ресурс тонкостенных конструкций до 3-х раз.
Концентрация напряжений как физическое явление требует математического моделирования и анализа математических моделей в виде дифференциальных уравнений. Если в качестве математических моделей использовать линейные дифференциальные уравнения механики деформирования оболочек, то актуальной проблемой остается построение эффективной методики исследования линейных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек в местах концентрации напряжений с априори задаваемой погрешностью.
0.2. Математические модели.
Ограничимся исследованием замкнутых в окружном направлении оболочек, которые находят широкое применение в качестве элементов тонко -7-стенных конструкций, сооружений, машин и аппаратов. Это позволяет нам использовать метод Фурье разделения переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными механики деформирования оболочек и свести математическую модель к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача построения метода исследования такой математической модели упрощается.
Фундаментальные основы теории оболочек приводятся в работах В.З. Власова [84-87], СП. Тимошенко [239], А.Л. Гольденвейзера [96, 97], В.В. Новожилова [180-182], А.Н.Лурье, И. Геккелера и получили развитие в работах многих других авторов, приведенных в списке литературы. Изучение напряженно-деформированного состояния оболочек при силовых и температурных воздействий получило развитие в работах И.А. Биргера [23], В.Л. Бидермана [19-22], В.В. Болотина [24], И.Н. Векуа [41], ЯМ. Григорен-ко и А.Т. Василенко [107-112], А.Д. Коваленко, В.В. Мяченкова, [175, 176], К.Ф. Черных и многих других авторов, также приведенных в списке литературы.
В качестве математической1 модели механики деформирования оболочек нами принимаются дифференциальные уравнения, полученные для анизотропных слоистых оболочек Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [108]. Они обладают в сравнении с многими другими известными тем свойством, что позволяют исследовать концентрацию напряжений в анизотропных, орто-тропных и изотропных оболочках классических форм. Важным является и то, что эти уравнения уточнены повторным выводом Ю.А. Гусевым [114]. Им обнаружено и исправлено более 10 существенных опечаток.
На различие математических моделей и, следовательно, коэффициентов в соответствующих характеристических уравнениях обратил внимание, вероятно впервые, в 1964 году Д.А. Рояк [220]. Однако анализ различных математических моделей с целью установления наиболее совершенной, адекватной реальному объекту, нам представляется непродуктивным. Более результативным и менее трудоемким представляется сравнительный количественный вычислительный эксперимент. Ожидается, что количественные параметрические исследования, обязательно с контролируемой погрешностью, дадут количественно мало отличающие результаты. Отличия, как показали наши некоторые решения для цилиндрической оболочки, не превышали 5%, что и предсказывал В.З. Власов [84]. Очевидно, что вычислительный эксперимент сталкивается с проблемой контроля погрешностей в результатах.
Требуется ответ и на другие вопросы, связанные с математическими моделями. Один из вопросов связан с правомерностью использования теории оболочек для исследования в них концентрации напряжений. Такой вопрос возникает при локальном воздействии на оболочки. Ответ дали В.И. Леонов и Х.С. Хазанов [153]. Они показали, что математические модели теории оболочек могут использоваться при исследовании в них напряжений, если радиус круглой площадки внешнего воздействия более половины толщины оболочки. Если площадка воздействия меньше, то концентрацию напряжений под ней и в малой её окрестности, не превышающей толщины оболочки, необходимо исследовать, решая трехмерную задачу.
Возникает вопрос о правомерности математических моделей при исследовании концентрации напряжений у мест крепления, скачков жесткости или изломов поверхностей оболочек. Если учесть, что определению напряжений у мест заделки края оболочки или сопряжения цилиндрической оболочки со сферическим днищем с использованием дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек учат студентов [244], то становится ясно, что вопрос решен давно и положительно.
-10 Справедливости ради, необходимо вспомнить принцип Сен-Венана. Согласно принципа, проблемным является погранслой оболочки, размер которого не превышает толщины оболочки, где напряженное состояние трехмерное. Однако, из теории и практики известно, что место концентрации напряжений, где есть опасность возникновения микротрещин и развития магистральных, часто превышает десятки толщин оболочки. Поэтому погранс-лоями справедливо пренебрегают.
Отметим, что математические модели известных авторов использовались в исследованиях без каких либо изменений.
Необходимо обратить внимание еще на то, что в диссертации используется понятие концентрации напряжений, а не их локализации или понятие краевого эффекта:
- концентрироваться - собираться, скапливаться в каком-нибудь месте;
- локализоваться — сосредотачиваться в каком-нибудь, определенном месте, не выходя за его пределы.
Очевидно, что эти понятия синонимичны. Однако понятие "концентрироваться" у механиков ассоциируется не только с ограничением места, но и с определенными по величине напряжениями, значительно превышающими те, которые находятся за пределами этих мест. По этой причине мы используем понятие "концентрироваться", включая в него знание не только места, но и значений больших напряжений.
0.3. Методы анализа.
Для научно обоснованного выбора метода анализа выбранной математической модели механики деформирования оболочек выполняется сравнение тех из них, которые получили широкое распространение при решении прикладных задач или являются новейшими и наиболее эффективными для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек и тонкостенных конструкций.
Метод Ритца-Тгьмошенко. Предложен В. Ритцем и распространён СП. Тимошенко на задачи строительной механики. Он позволяет получить приближенное решение в перемещениях на основе вариационного принципа Лагранжа. Идея метода, определяющая его приближенный характер, связана с тем, что искомые перемещения отыскиваются в классе заранее заданных функций, которые выбираются на основе опыта, интуитивно или на основе решений более простых задач. Для построения приближенного решения перемещения" представляются в виде рядов заданных функций, коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений, полученной по принципу Лагранжа. При этом необходимо помнить требования к задаваемым функциям. Они должны быть дифференцируемыми и удовлетворять геометрическим граничным условиям задач. Возникает и чисто математический вопрос, связанный с полнотой заданных функций и сходимостью рядов к точному решению. Метод Ритца излагается в работе [215]. Свое развитие он получил в работе [239], посвященной изучению устойчивости упругих систем. Прочностной расчет многослойных пластин с помощью метода Ритца выполнялся в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [24]. Здесь же определяются частоты собственных колебаний многослойных плит.
Метод Бубнова-Галеркина. Метод был построен И.Г. Бубновым и широко использовался при решении различных задач строительной механики Б. Г. Галеркиным. Метод основан на принципе возможных перемещений и сведении задач к решению систем алгебраических уравнений. Искомые перемещения, как и в методе Ритца-Тимошенко, ищутся в форме рядов в классе заданных функции. Заданные функции должны удовлетворять геометрическим граничным условиям и быть непрерывными. Если приравнять нулю возможную работу на каждом из заданных перемещений, то получаем метод, принятый называть обобщенным методом Бубнова-Галеркина. Если же при выборе заданных функций потребовать, чтобы они удовлетворяли и статическим граничным условиям, то полученный таким образом метод называется методом Бубнова-Галеркина. При этом коэффициенты рядов решений могут определяться в соответствии с методом Ритца-Тимошенко или в соответствии с методом Бубнова-Галеркина. Теоретические основы и определение области применения метода Бубнова-Галеркина изложены в монографиях [143, 211, 232, 248]. Метод получил широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Этим методом решались краевые задачи в работах [10, 143]. Необходимо отметить, что в задачах определения напряженно-деформированного состояния при нестационарном нагружении методы Ритца-Тимошенко и Бубнова-Галеркина, базирующиеся на глобальных базисных функцях, обладают существенными недостатками. Решения, полученные с помощью этих методов, сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения.
Метод Власова-Канторовича. Метод был сформулирован В.З. Власовым для построения приближенного расчета тонкостенных пространственных систем и в те же годы Л.В. Канторовичем применительно к расчету изгиба пластики. Метод позволяет свести решение задачи не к системе алгебраических уравнений, а к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Трудоемкость расчета при этом возрастает, а точность увеличивается. По методу неизвестные перемещения (как правило, для двух функций) задаются в виде суммы произведений двух функций. Одно из семейств функций зависит только от одной координаты, а второе, зависящее от другой координаты, определяется в результате счета. Полная энергия при этом превращается в функционал. Минимум функционала в соответствии с принципом Лагранжа реализовывается уравнениями Эйлера-Лагранжа, а естественные граничные условия определяют обобщенные статические граничные условия. Метод Власова-Канторовича часто называется еще методом
-13-приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Метод позволяет свести трехмерную задачу к системе двумерных уравнений.
Методы Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина и Власова-Канторовича обладают общими существенными признаками, которые определяют их приближенный характер: искомые перемещения ищутся в классе заранее заданных (аппроксимирующих) функций в виде рядов, постоянные коэффициенты которых определяются при решении системы алгебраических уравнений. Методы континуальные и при решении краевых задач определяют решения на всей области деформирования пластин, оболочек или тонкостенных конструкций, что не соответствует задачам исследования напряжений только в местах их концентрации.
Метод Папковича-Треффца. - метод решения задач в напряжениях. Компоненты напряжений представляются в виде рядов с неизвестными постоянными коэффициентами, которые определяются из системы алгебраических уравнений, составленной с использованием принципа наименьшей работы. Пометоду функции аппроксимирующие напряжения выбираются виде частных интегралов уравнении равновесия, удовлетворяющих условиям- на поверхности. Для этого достаточно ввести три функции напряжений. Коэффициенты рядов решений согласно принципу наименьшей работы определяются из условия минимума дополнительной потенциальной энергии, которое приводит к системе алгебраических уравнений.
Приближенное решение задачи в напряжениях может быть построено и методом приведения к обыкновенных дифференциальным уравнениям, аналогично методу Власова-Канторовича. На основании принципа наименьшей работы из условия минимума дополнительной энергии можно записать систему дифференциальных уравнений типа Эйлера-Лагранжа-Острограцкого. Если аппроксимирующие функции для напряжений будут выбираться зависящими от двух координат, то уравнения Эйлера-Лагранжа будут обыкно -14-венными, а если функции будут одномерными, то соответствующие уравнения будут включать две независимые переменные.
Дифференциально-разностный метод (метод прямых или полос). Вероятно впервые метод сформулирован М.Г. Слободянским [234] и развивался С.Г. Михлиным [172, 173], И.С. Березиным, Н.П. Жидковым [17, 18], АЛ. Филиным [245, 246] и др [ПО]. По методу по одной из независимых переменных в двумерных задачах и по двум независимым переменным в трехмерных задачах производные заменяются разностными выражениями. Такая процедура обеспечивает замену краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных краевой задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируются пошаговыми методами [6], чаще всего методом- Рунге-Кутта четвертого порядка. Краевые условия по направлениям аппроксимации про-изводных конечными разностями реализуются с использованием разностных аппроксимаций производных в краевых условиях. По направлению .численного интегрирования используются алгоритмы переноса краевых условий методом Копій, например, в произвольную точку краевого интервала встреч-ной прогонкой. При этом преодолевается проблема устойчивости счета, например ортонормированием [94].
Дифференциально-разностный метод Виноградова. Впервые идея метода изложена в работе [66] и развивалась в работах [56]. Идея метода сводит дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным, а далее устойчивость счета по независимой переменной в обыкновенных дифференциальных уравнениях достигается делением заданного интервала на участки устойчивого счета, определением решений на каждом из участков по формулам, сопряжением участков устойчивого счета и сведением решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. На систему алгебраических уравнений накладываются граничные условия. Решение алгебраических уравнений приводит к определению искомых величин, харак -15-теризующих напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций.
Вариационно-разностный метод. Авторов установить не удалось. Метод представляет собой сочетание вариационного и конечно-разностного методов и применяется для решения как одномерных, так и двумерных задач. По методу производные искомой функции, входящие в подынтегральное выражение функционала полной энергии, записываются в форме конечных разностей, а соответствующий интеграл заменяется суммой. Далее на основании соответствующего вариационного принципа определяются значения искомой функции в узлах сетки, соответствующие экстремуму дискретного аналога функционала. Алгебраические уравнения, из которых определяются эти значения, получаются из минимума дискретного аналога функционала полной энергии по значениям искомых функций в узлах сетки. Так как дискретный аналог функционала полной энергии зависит квадратично от значения искомой функции в узлах сетки, то условия минимума обеспечивают линейность алгебраических уравнений.
Метод коллокаций. Автора метода установить не удалось. Метод отно-сится к численным, так как его применение связано с сеточной аппроксимацией упругого тела. Решение задач этим методом дает результат в виде некоторых функций, удовлетворяющих заданным уравнениям в узловых сетках (точках коллокаций) и граничным условиям. Таким образом метод коллокаций является методом приближенного решения дифференциальных уравнений и заключается в сведении этого решения к решению систем алгебраических уравнений.
Метод "прогонки " Гельфанда - Локуциевского. Впервые изложен в виде дополнения к книге [95]. Метод относится к методам переноса краевых условий, в основе которых лежат численные пошаговые методы интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [6] отмечают, что при интегрировании жестких дифференциальных уравнений, к которым относятся и уравнения механики деформирования тонкостенных конструкций, возникают вычислительные трудности, связанные с неустойчивостью счета. Метод не всегда обеспечивает устойчивость счета. Особенно это проявляется при решении задач устойчивости и колебаний оболочек [21]. Метод Гельфанда-Локуциевского развивается в работах [47]: строятся его модификации, а также дискретный аналог, по существу алгоритма - новый метод.
Метод Абрамова переноса граничных условий. Метод предложен А.А. Абрамовым [2]. Всегда обеспечивает устойчивость счета при решении краевых задач механики деформирования.оболочек. Недостатком метода является увеличение в два раза порядка разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений с появлением сложных математических функций в преобразованных правых частях уравнений и, следовательно, неоправданный рост времени счета и необходимой оперативной памяти ЭВМ. При этом также теряется простой и понятный физический, смысл входящих в разрешаю ущую систему уравнений неизвестных. В работе [49] показано, что устойчивость счета обеспечивается пошаговым ортонормированием в процессе интегрирования дифференциальных уравнений. - Метод Годунова. Метод численного решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые предложен С.К. Годуновым [94]. Он получил развитие применительно к решению задач прочности, устойчивости и колебаний пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах В.Л. Бидермана [19-22], В.В Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [24], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой [111], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева, В.П. Мальцева [175, 176] и др. На основании метода созданы и опубликованы пакеты прикладных программ для решения краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций. Устойчивость счета при решении краевых задач обеспечивается предложенной С.К. Годуновым процедурой ортогонализации и нормиро вания решений в. процессе интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.
Метод Виноградова-Клюева. Метод численного и аналитического решения краевых задач механики деформирования тонкостенных конструкций сопряжением участков устойчивого счета. Метод предложен Ю.И. Виноградовым и развит Ю:И. Клюевым для решения задач устойчивости и колебаний оболочек и тонкостенных конструкций [57-65, .67,.68]. Метод можно считать численным, если решения» линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами определяются с помощью матричного бинома Ньютона, а с переменными коэффициентами- с помощью» мультипликативного интеграла Вольтерра, аналога- интеграла как суммы бесконечно малых [92]. Метод можно считать аналитическим., если решение:линейных; обыкновенных дифференциальных уравнению определяется? с помощью матричного рядя: Тейлора. Сопряжение участков устойчивого счета приводит к системе алгебраических уравнений. При решении системы алгебраических уравнений4учитываются;• заданные краевые условия и нагрузка: на оболочку илитонкостенную конструкцию. Таким образом; вариантные крае-вые задачи при различных внешних воздействиях решаются при повторном решении алгебраических уравнений; в результате которых определяются искомые величины задач с априори назначенной погрешностью.
Мультипликативный метод Виноградова. Метод предложен Ю.И; Виноградовым [51]. Эффективные алгоритмы строились в работах А.Ю. Виноградова [45, 54, 55] и работах Ю.А. Гусева [114]. Идея метода состоит в переносе краевых условий- в произвольную точку краевого интервала с помощью решений линейных обыкновенных дифференциальныхуравнений механики деформирования оболочек, записанных в канонической форме. Решения дифференциальных уравнений определяются, с помощью матричного бинома Ньютона, определения мультипликативного интеграла Вольтерра или матричного ряда Тейлора. При этом определяются значения функций Коши -18-Крылова, которые удовлетворяют произвольным начальным условиям задач и обладают мультипликативными свойствами. Устойчивость счета достигается построчным ортонормиронием краевых условий при значениях аргумента превышающих критические. В отличие от ортонормирования предложенного С.К. Годуновым ортонормирование по Ю.И. Виноградову не касается искомых величин задачи, что принципиально упрощает алгоритм метода и повышает его эффективность, сокращая затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ и позволяют получать результаты с априори назначенной погрешностью.
Метод Виноградова А.Ю. и Виноградова Ю.И. Метод разработан Ю.И. Виноградовым и А.Ю. Виноградовым для решения краевых задач на основе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только чётные производные [42]. Многие прикладные задачи изгиба балок,"изотропных, ортотропных, трехслойных пластин, круговых цилиндрических оболочек с уравнениями механики их деформирования Власова, Гольденвейзера, Новожилова, Флюгге, Бейларда, Даревского, Тимошенко-Лява, Доннелла-Власова-Лурье и также варианты полубезмоментных теорий, задачи механики деформирования оболочек на основе моментной технической теории; общей моментной теории, теории пологих оболочек математически моделируются после разделения переменных линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими только четные производные [21, 177, 184]. Метод решения таких задач построен на идее сведения разрешающего дифференциального уравнения, содержащего только четные производные, к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых второго порядка, и записи её в матричной форме. Решение такого матричного однородного уравнения определяется по известным [92] формулам через матричные синусы и косинусы, если дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты. Если коэффициенты переменные, то они осредняются на участках и строятся соответствующие алгоритмы решения краевых задач. Построено несколько модификаций метода, предлагаются рекуррентные формулы для сокращения затрат машинного времени на построение общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых предусматривают сведение дифференциальных уравнений с частными производными механики деформирования замкнутых в окружном направлении оболочек методом Фурье разделения переменных к обыкновенным, записи их в виде системы уравнений, каждое из которых первого или второго порядка и представлении системы в матричной форме. Методы строились и развивались, преодолевая проблему устойчивости счета и добиваясь повышения их эффективности (простоты реализации, сокращения затрат машинного времени и необходимого объема. оперативной памяти ЭВМ и, что особенно важно, контроля за погрешностями счета).
Методы Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова при решении задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций использовали, главным образом, метод Рунге-Кутта четвертого порядка численного интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине их относят к численным методам, погрешности которых определяется погрешностями численного интегрирования и контролю не поддаются.
Сравнивая метод Гельфанда-Локуциевского с методами Абрамова и: Годунова, замечаем, что в методе Гельфанда-Локуциевского, как и в методе Абрамова, переносится известное матричное уравнение условий на краю, в противоположность тому, что в методе Годунова переносится уравнения условий, которые известны и не известны на краю. В методах переносятся разные уравнения краевых условий. Следовательно, по смыслу переноса краевых условий метод Гельфанда-Локуциевского ближе к методу Абрамова, чем к методу Годунова.
Однако метод Гельфанда-Локуциевского и Годунова объединяет тот факт, что для начала вычислений они требуют начальные значения прого-ночной матрицы и вектора. Для метода Абрамова этого не требуется.
Устойчивость счета в методе Годунова достигается ортогонализацией и нормированием векторов фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений после их определения численным интегрированием в конце каждого участка критической длины. Такая дискретная ортогонализация и нормирование увеличивают затраты машинного времени и требования к оперативной памяти ЭВМ, естественно, усложняя составление программ решения краевых задач.
В работе [49] показано, что в методе Абрамова элементы прогоночной матрицы гарантированы от неограниченного роста. Показано, что при изменении аргумента векторы-строки прогоночной матрицы поворачиваютсячв пространстве, не изменяя своей длины и взаимонаправленности. Таким образом, в методе Абрамова при численном интегрировании происходит фактически пошаговое ортонормирование.
Анализ численных методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова показывает, что их алгоритмы решения краевых задач разработаны для определения напряженно-деформированного состояния во всей области тонкостенных конструкций, что не соответствует требованиям задач определения напряжений в местах их концентрации.
Методы Виноградова-Клюева, Виноградова и Виноградовых принципиально отличаются от других тем, что для дифференциальных уравнений решения определяются по формулам без учета краевых условий. Общим существенным признаком этих формул является то, что с их помощью определяются значения функций Коши-Крылова, удовлетворяющих произвольным начальным условиям задач. Если в основе алгоритмов используется матричный бином Ньютона и интеграл Вольтерра для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к чис -21-ленным, так как при этом нет возможностей определения погрешностей методов. Если в основе тех же алгоритмов используются матричный ряд Тейлора или матричные сходящиеся ряды для определения матричных синусов и косинусов для определения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, то методы будут относиться к аналитическим, т.к. при этом решения дифференциальных уравнений определяются с помощью сходящихся рядов с контролируемой погрешностью. Эффективность, этих методов в сравнении с методами Гельфанда-Локуциевского, Абрамова и Годунова по программной реализации очевидно проще, затраты» машинного времени сокращаются при решении одних и тех же задач на один-два порядка, значительно сокращаются требованиям оперативной памяти ЭВМ и, что принципиально важно, эти методы позволяют решать задачи механики деформирования тонкостенных конструкций с априоризаданной погрешностью. Однако их алгоритмы построены для определения напряженно-деформированного состояния во всей области краевогоинтервала.
Метод граничных элементов (МГЭ). Широко используется при решении задач теории упругости. Основой МГЭ является интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Впервые такое представление в теории потенциала было получено А.Г.Грином [103]. Применительно к задачам теории упругости В.Д .Купрадзе [150] ввел некоторые интегральные уравнения на основе упругих потенциалов простого и двойного слоя, доказал существование решений этих уравнений и предложил приближенный метод решения статических задач для однородных упругих тел. Развитие метод получил в работах В.З. Партона, П.И. Перлина на основе упругих потенциалов. Прикладное значение решения задач статики теории упругости определено в работах Cruse Т.А., Rizzo F.Y. [147, 148]. В монографях [16, 28, 144, 168] суммируется опыт применения МГЭ в самых различных разделах механики. Достоинством МГЭ являются понижение размерности решаемой задачи за счет поиска неизвестных только на границе исследуемой области и возможность определения параметров напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела, а не в местах их концентрации.
Метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Универсальные численные методы. Используются при создании программных комплексов для решения многомерных задач параметрического анализа. В основе МКР - разностная аппроксимация производных с образованием разностных сеток при решении краевых и начально-краевых заач. В основе МКЭ, широко распространенном при исследовании механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций, - аппроксимация искомых величин с помощью конечного числа выбранных локализованных функций, чаще всего полиномов. Теоретическое обоснование МКР дано в работах С.К. Годунова, B.C. Рябенького [95], Л.В. Канторовича, В.Г. Крылова [135], А.А Самарского [226-231]. Этим методом решались краевые задачи статики, устойчивости и колебания пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах Э.И. Григолюка, В.М. Толкачева [106], В.А. Иванова, Б.В. Гулина [132], В.П. Баженова и др. [7-9, 32, 36; 216, 217]. Фундаментальные результа-ты теории МКЭ получены в работах О.Зенкевича [127-129], С.Г.Михлйна [172, 173], К.Ректориса [213], J.T. Oden [188, 189], Стренг, Фикс Дж. [235]. Этим методом решались задачи механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций в работах А.И. Голованова [98-100], М.С. Корниши-на [141], Бате К., Вилсон Е. [11], Постнов В.А.[202-206], Р.Б. Рикардса [214] и др. [195, 219, 237]. Список таких работ велик и продолжает быстро увеличиваться. Развитие универсальных МКР и МКЭ идет по пути решения многомерных задач в автоматическом режиме путем распараллеливания алгоритма и организации вычислительного процесса в диалоговом режиме с использованием многопроцессорной техники, с обработкой многомерных массивов данных и визуализацией результатов счета. Программные комплексы совершенствуются в направлении расширения их возможностей и упрощения
-23-использования. В то же время мало внимания уделяется проблеме контроля за погрешностями счета [25, 26, 34, 102, 118, 121, 130; 131, 139, 159, 190, 221, 222, 253]. Универсальные МКР и МКЭ, как и выше описанные, которые можно отнести к специализированным, реализованные в программных комплексах, аппроксимируют оболочки или тонкостенные конструкции во всех их элементах, что не требуется при исследовании напряжений в местах их концентрации. Они особенно не надежны при повышенных требованиях к точности исследования концентрации напряжений и определении их максимальных значений.
Конечно»разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений используют конечно-разностные аппроксимации производных. В основе других, например, метода конечных элементов, метода Ритца-Тимошенко, метода Бубнова-Галеркина и метода . Власова-Канторовича лежат попытки аппроксимировать решения дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями1 заданных функций: поли-номов, тригонометрических функций, и т.п.
В каждом из этих случаев центральной! вычислительной проблемой является решении системы линейных алгебраических уравнений. Хотя для них системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, природа решений этих систем совершенно различная. В конечно-разностных методах это - приближения к значениям решения дифференциальных уравнений в точках сетки. В других же — это коэффициент представления приближенного решения.
В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных методах Слободянского и Виноградова, численно-аналитических, таких как методы граничных элементов, и других используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций.
Группа методов Гельфанда-Локуциевского, Абрамова, Годунова, Виноградова и Виноградовых, алгоритмы решения краевых задач которых связаны с переносом краевых условий в произвольную точку краевого интервала, по своей сути основаны на замене краевой задачи для одномерного процесса решением ряда задач с начальными условиями, то есть, решением ряда задач методом Коши. Идея решения, краевых задач методом начальных параметров весьма простая: известные краевые условия или условия, дополненные в символическом виде неизвестными начальными параметрами, переносятся в произвольную точку краевого интервала. Совокупность начальных условий позволяет определить напряженно-деформированное состояние в произвольной- точке. Метод начальных параметров используется в строительной механике тонкостенных конструкций в виде различных модификаций, предложенных в разное время/Коши, Клебшем, П.Ф. Папковичем [192], Ш.Е.Микеладзе [169], В.З. Власовым [84-87] и другими. Метод начальных параметров при замене краевой задачи совокупностью задач Коши не обес-печивает устойчивости счета для жестких дифференциальных уравнений механики деформирования тонкостенных элементов конструкции. При этом добиться удовлетворительной точности численных расчетов становится весьма затруднительным.
Выполненный обзор численных и аналитических методов решения краевых задач по их научной основе и сравнительный анализ по эффективности позволяет выбрать мультипликативный метод Виноградова и метод Виноградова-Клюева для решения краевых задач с целью их развития для исследования концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных конструкциях.
Таким образом, из краткого обзора литературы по теме исследования следует, что математические модели механики деформирования оболочек для исследования в них концентрации напряжений разработаны.
Целью работы является приведениекраевых задач к начальными построение эффективнойЇметодики исследования концентрации напряжений в; элементах тонкостенных конструкций: мультипликативным методом с: кон-тролируемойпогрешностью.
Научную новизну, работы.составляют:
- простейшие алгоритмы приведения краевых задач1 к начальным и исследование: концентрации напряжений в оболочках мультипликативным- методом? с априориконтролируемойшогрешностью,
- перенос краевых условий; к местам концентрации напряжений мультипликативным методом, (доказана,теорема); формирование: соответствующих начальных условий и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных, конструкций- мультипликативным- методом с: априори?: контро-лируемойшогрешностью,.
- перенос краевых условийк.местам концентрации напряжений сопряжением: участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций: мультипликативным: методом с априори
- простейшие алгоритмы приведения краевых задач кначальным: для оболочек из одного: или двух участков устойчивого счета и исследование концентрации напряжений мультипликативным методом с априори контролируемой погрешностью.
- исследование концентрации напряжений в тонкостенных элементах транспортно пусковых стаканов летательных аппаратов:
Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгостью математических выкладок, доказательством теоремы о возможности приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений, решением тестовых задач и сравнительными вычислительными экспериментами.
Прикладная ценность работы состоит в:
- построенных программно реализованных алгоритмах приведения краевых задач к начальным у места концентрации напряжений в оболочках и тонкостенных элементах конструкций,
- построенном для использования на практике мультипликативном методе исследования напряжений в местах их концентрации,
- построенных и программно реализованных простейших алгоритмах приведения краевых задач к начальным и исследовании концентрации напряжений в тонкостенных элементах конструкций мультипликативным методом,
- возможности априори определять погрешности исследования концентрации напряжений,
- программно реализованных алгоритмах исследования концентрации- напряжений в транспортно пусковых стаканах для летательных аппаратов,
- в результатах параметрического исследования концентрации напряжений в транспортно пусковых стаканах.
Основные положения, выносимые на защиту.
- Простейшие методы исследования концентрации напряжений в оболочках мультипликативным методом.
- Приведение краевых задач к начальным у места концентрации напряжений мультипликативным методом.
- Приведение краевых задач к начальным у мест концентрации напряжений сопряжением участков устойчивого счета.
- Методика исследования концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях на примере воздействия на транспортно пусковые стаканы локальных сил и моментов, внутреннего давления и давления при запуске летательных аппаратов.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-й, 4-й, 5-й и 6-й Международных конференциях "Авиация и космонавтика - 2004, 2005, 2006 и 2007" (Москва, 2004, 2005, 2006, 2007 г.г.); Первой международной научно-технической конфе-ренции "Аэрокосмические технологии" (Москва - Реутов, 2004 г.); Международной конференции "DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (Киев, 2005 г.); XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005 и 2007 г.г.); Международном симпозиуме "Образование через науку" (Москва 2005 г.); XII и XIII Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2006 и 2007 г.г.); 3-й Международной конференции "Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы" (Москва, 2007), кафедре "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
По теме диссертации опубликовано 17 работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и краткого обзора литературы, 6-ти глав, заключения, списка литературы, включающего 263 наименования. Объем работы составляет 167 страниц машинописного текста и 38 страниц рисунков.
Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для слоистых оболочек
Так как рассматриваются замкнутые в окружном направлении оболочки вращения, то все факторы нагрузки, напряженно - деформированного состояния - периодические функции угла (9, что позволяет представить их в виде рядов Фурье. Поскольку соотношения упругости не позволяют разделить все факторы на две группы, соответствующие симметричному (без штрихов) и антисимметричному (со штрихами) случаям, то разложение всех факторов для каждого номера гармоник п имеет вид -40 Чх = Чх,п О) cos "в + Ях,п О) sin пв qz=4z,n(s)cosn0 + 4z,n(s sinn0 ?0 = 4,п № sin пв + 4&,п COS пв ms =ms n(s)cosn6 + m s n(s)smn9, їПг\ = тг\ (s)smne + m n. (s)cosn6, Nx=Nx n(s)cosn9 + Nx,n(s)sinne, (1.7) -Wz = NZi„ (s) cos и# + N z n (s) sin пв, = Sn (s) sin и#+Sn (s) cos и#, My = Ms n{s)cosnB + M sn(s)smn9, ux = ux n(s)cosпв+и xn(s)sin пв, uz = uz n{s)cosnd + u z n{s)smne, v =vn{s)s\nnG+vn(s)cosne, Ss = Ssn(s)cosne + «9 s n(s)sinne.
Разделяя переменные в дифференциальных уравнениях (1.5) с помощью разложений (1.7), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в канонической форме шестнадцатого порядка. В матричной форме эти уравнения принимают вид Y(s) = A(s)Y(s) + F(s), ( ) d( ) ds s l, (1.8) где ) = p1( )»-» 16( ) = Nx,Nz,S,Ms,ux,uz,v,Ss,Nx,Nz,S , T ,Ms,ux,uz,v ,&s (1.9) Y(s) - вектор состояния сечения оболочки, состоящий из кинематических и силовых параметров, A(s) = а. hj матрица размерности 16x16, элементами -41-а. ;=a; -(з) которой являются коэффициенты разрешающей системы диф Т ференциальных уравнений краевой задачи, F(s)= fAs),...,f,As) - вектор функций внешнего воздействия на оболочку, / - длина меридиана оболочки. Элементы матрицы A (s) определяются через элементы матрицы В следующим образом aiJ = aW =bU- b$+n4b$ ПРИ bJ = W,5,6, ) {іJ = 3,7) \j=nb?J-n? bu] При 0 = 1.2,4,5,6,8;7=3,7) ai,j=-nbUj+n3 bLj ПРИ 0 = 3,7;у = 1,2,4,5,6,8) ai+8J+S=-nbU+n3bi?J ПрИ 0 = l»2,4,5,6,8;j=3,7) (1.10) aMJ =nbU-" bU при 0 = 3,7;у = 1,2,4,5,6,8) fl/j48=-G/+8j=w41] "4y при (U = 1,2,4,5,6,8) %-+s=-ai+sj = -nlbU+n3bU при = 3 7) aij =aW = bV- bV+n4bV ПрИ 0- = ,4,5,6,8;j=3,7), (/ = 3,7;у = 1,2,4,5,6,8). Компоненты вектора F(s) имеют вид /, = gf)+ngm_n2g(2)t /м = g(0) _ng _„2g(2)! (, = 1;2 8). 1.1.2. Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений для изотропных оболочек.
Рассмотрим получение матрицы A(s) коэффициентов системы дифференциальных уравнений (1.8) в задачах неосесимметричного изгиба изотропных оболочек. Оставляя в разложениях (1.7) лишь члены без штрихов, вектор состояния сечения оболочки запишем в виде -42 T (1.11) Y(s) = \ux,v,uz,3s,Nx,S,Nz,Ms\ В этом случае система дифференциальных уравнений (1.8) значительно упрощается. Так как для изотропного материала его механические характеристики не зависят от направлений, то Е =Е =Е, W2=v,2l=v Модуль сдвига в плоскости, параллельной координатной поверхности G, обозначим /г .... С7 = — -. Коэффициенты т?і2і»г1\2 2 и 112 212 обнуляются. В этом слу чае коэффициенты а, принимают вид V 1 _2(1 + у) я = х,,- =0. Л22 "" jg; Л12 a66 G "16 "26 Входящие в коэффициенты Cmp,Kmp,Dmp, функции Втр в случае изотропных оболочек определяются через упругие постоянные материала следующим образом ,2 =2 , ВЛ,=В„ = vE 512 = 11—22- В16=В26=0 Е " i-V За координатную поверхность выберем срединную поверхность оболочки. Этим мы добиваемся тождественного равенства нулю коэффициента Ктр. Коэффициенты Стр и Dmp принимают вид
Мультипликативный интеграл Вольтерра и матричный бином Ньютона
Мультипликативный интеграл Вольтерра представляет собой интегральное произведение и является аналогом интегральной суммы для обычного интеграла. Вольтерра ввел его впервые в 1887 году [92]. пх К$»{А(х)) = J [E + A(x)ck]=Yim [Е + А(тп)Ахп]...[Е + А(т2)Ах2].
Приближенно решение однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами определяется по формуле (Дх)) = [ +Д )Ах„]..(Е+ДгрАх ]...[Е + Дг1)Ах1], (2.4) где т, є[х,_рЛ\], k = l,2,...,n; а произвольно выбранный интервал [х0,хп], промежуточными точками х,х2,...,х _, делится на участки [х,,,х,].
Если дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, а произвольно выбранный интервал [x0,xw] делится на п одинаковых интервалов Ах,, то решение однородного дифференциального уравнения определяется, как следует из (2.4), матричным бином Ньютона К%(А) = (Е+ААхпГ, Дх„= 0, (2.5)
Формулы (2.4) и (2.5) не позволяют контролировать результаты решений однородных дифференциальных уравнений ничем, кроме как численным сравнением результатов при повторном счете с увеличением числа промежуточных точек х, . По этой причине построенные на их основе методы являются численными.
Функции или их значения, полученные по формулам (2.2) - (2.5), называют функциями Коши-Крылова или их значениями на том основании, что они при х = х вырождаются в единичную матрицу. Такие функции методом
Коши впервые получил Крылов для расчета балок, лежащим на упругом основании [145]. Такие функции обладают очень важным для построения алгоритмов решения краевых задач свойством удовлетворять произвольным начальным условиям.
Вероятно впервые предлагается алгоритм сведения краевой задачи к задаче Копій в книге [136]. Алгоритм предусматривает определение постоянных для начальной задачи из граничных условий решением системы алгебраических уравнений. Алгоритм строиться на примере изгиба шарнирно опертой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением. Разрешающее уравнение этой задачи и его решение известны. Исследуя решение уравнения, авторы приходят к выводу, что устойчивость счета можно обеспечить только для ограниченных значений параметров цилиндрической оболочки. На этом основании делается вывод о неперспективности алгоритма. Задачи более сложные для цилиндрических, а также конических и сферических, оболочек не рассматривались. Других подобных работ нами обнаружено не было.
Допустим, что нами найдено решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) аналитически или численно. Представим решение в матричной форме
При исследовании концентрации напряжений по формуле (3.4) решение К(х) для различных значений аргумента х определяются по одной из фор мул (2.2), (2.3), (2.4) или (2.5), а 7 по формулам (2.7) или (2.8) .
Начальные условия задачи Коши для других краевых условий легко определяются с помощью системы уравнений (3.3). Действительно, если т Y(0)k=Bv Y(l)k=B2,ToY(0)=Bv K- B2-KUBX) —L Y n-k=BV П0к=В2, то Y(0)= К- -К Вх (3.5) nO)n_k = Bv Y(l)n_k=B2,TO Y(0)= K-l(B2-K22Bl), Bx
Используя мультипликативное свойство (2.10) матрицы функций Ко-ши-Крылова или их значений, решение задачи Коши для исследования концентрации напряжений представим в виде удобном для вычислений.
Число промежуточных точек х,,...,Х;,х„,х.,...,х _i,xn,x,...,x_., на которые делится краевой интервал Гх0,х„1, выбирается из условия, необходимого для осреднения внешнего воздействия на оболочку, осреднения переменных коэффициентов дифференциального уравнения, то есть элементов матрицы А{х), и при вычислении частного решения Y на интервале х0,х„ внешнего воздействия на оболочку.
Математическое моделирование локальной нагрузки
На рис. 3.5, а), б), в) и г) показаны расчетная схема задачи и полученные результаты. На рис. 3.5, а) показана расчетная схема механики деформирования защемленной по краям цилиндрической оболочки локально нагруженной давлением р по площадке, очерченной линиями главных кривизн. Площадка расположена по середине длины образующей оболочки. Показано, что левые краевые условия переносятся на правый край, где формируются начальные условия. Мультипликативный алгоритм решения задачи Коши реализуется справа налево. Определяются критические параметры оболочки, до которых счет остается устойчивым.
На рис. 3.5, б), в), г) в виде графиков показано изменение безразмерных _.+ максимальных напряжений —, возникающих в оболочке вдоль её нулевой образующей, проходящей через центр площадки нагружения. Здесь s - координата вдоль образующей оболочки с началом на левом краю. На графиках рис. 3.5, б), в), г) вертикальной линией показана граница устойчивого счета. При локальном воздействии на оболочку давлением р по квадратной в развертке площадке с относительной стороной — = 0.1 и относительной тол R щиной оболочки — = 100, 200, 300 определялась её относительная критиче h I кр. екая длина -- , до которой счет оставался устойчивым. Результаты приведені R R R ны графически на рис. 3.5, б) при — = 100, в) при — = 200, г) при — = 300. Вычислительный алгоритм, приводящий к увеличению относительной критической длины - - оболочки, отличается тем, что краевые условия, на пример защемление оболочки по краям, переносятся в центр площадки нагружения, где формируются соответствующие начальные условия для исследования концентрации напряжений мультипликативным методом.
На рис. 3.6, а), б), в) и г) показана расчетная схема и результаты решения начальной задачи мультипликативным методом.
На рис. 3.6, а) показана расчетная схема оболочки, аналогичная представленной на рис. 3.5, а). Отличие состоит только в графическом изображении алгоритма формирования начальных условий в центре площадки нагружения и исследовании концентрации напряжений в оболочке мультипликативным методом в направлениях от точки формирования соответствующих начальных условий к краям оболочки. На рис. 3.6, б), в) и г) показано распределение максимальных относи тельных напряжений вдоль нулевой образующей оболочки.
Сравнение полученных графиков с аналогичными на рис. 3.5, б), в) и г) показывает, что они практически не отличаются. Из этого следует практически важный для исследования концентрации напряжений вывод, что краевые условия даже для оболочек с длиной, приближающейся к критической для устойчивого счета, почти не влияют на концентрацию напряжений в них. Такой вывод придает предложенным простейшим алгоритмам практическую значимость.
Исследуется влияние на концентрацию напряжений в цилиндрических и сферических оболочках их параметров, краевых условий, размеров и формы площадок локального воздействия.
На рис. 3.7., а), б), в), г) показаны расчетная схема, краевой задачи, аналогичная показанной на рис. 3.6., схема реализации вычислительного алгоритма и в виде графиков концентрация напряжений в оболочке. На рис. 3.7, б), в) и г) показано изменение максимального относительного значения напряжения вдоль нулевой образующей цилиндрической обо Р лочки. Оболочка по краям защемлена. Параметры оболочки на рис. 3.7, б) - = 100 и -Щ- = 2А\ в) = 200 и - - = 1.8; г) = 300 и - - = 1,72. На графи h R пк пк ках цифрами 1 и 2 отмечены кривые, полученные при воздействии на оболочку нормального локального давления по квадратным площадкам, очерченным линиями главных кривизн с относительными размерами сторон в h h развертке — = 0.025 и — = 0.1 соответственно. Из графиков следует, что на R R пряжения в оболочке концентрируется под площадкой нагружения.
Алгоритм формирования начальных условий
Теорема показывает, что следуя определенному ею алгоритму, мы мо жем в численном виде перенести краевые условия в произвольную точку Х краевого интервала и сформировать соответствующие начальные условия, то есть привести краевую задачу к начальной.
Если строго следовать определенному теоремой алгоритму, мы, очевидно, сталкиваемся с необходимостью обращения матриц решений дифференциальных уравнений.
Используя замечательные свойства полученных решений дифференциальных уравнений, мы можем избежать обращения матриц.
Решение дифференциального уравнения (4.1) мы можем записать в виде 7( м ) = К (A(x))Y(Xi) + F -i, (4.6) где обозначение ( )хм указывает на то, что значения функций х- Коши Х Крылова матрицы Кх[ 1(Л(х)) решения однородного дифференциального уравнения и частного решения Yx./_1 вычисляются в направлении от произвольно выбранной точки краевого интервала, то есть от точки хі в направлении к точке х._.. Для интервалов Г л Л и Г и_р « 1, прилегающих к левому и правому краям оболочки соответственно решение (4.6) принимает вид Y(0) = Kx\Y(x,) + Y X ! (4.7) Y(l) = Kxn Y(x ,)+Y x" V У Xn-\ V П-V xn-\ Пусть краевые условия для левого и правого краев заданы в матричной форме
Матрицы Я, (0) и Нг (/) - прямоугольные матрицы, ненулевые единичные элементы которых заносятся для выбора величин из столбцов 7X=Q X_J = [у,,j 2,...,_y„ x=0,x=l искомых величин, на которые накладываются известные краевые условия. 7(0) и Y(L) - столбцы искомых величин на краях; ЯД0) и Rr{l) - столбцы, ненулевыми элементами которых являются известные значения физических величин на краях.
Исключая из краевых условий (4.8) 7(0) и 7(/) с помощью решений (4.7), переносим краевые условия соответственно в точки х, и х _.. Я/(х1)7(х1) = і?/(х1), (4.9) где Я/Ц) = Я/(0) о, Rl(xl) = Rl(0)-Hl(0)Y ; где Яг( _]) = Яг(/) _1, Rr(xn_1) = Rr(l)-Hr(l)Y «i. Аналогичными рекуррентными процедурами краевые условия перено сятся в точку х . (4.10) ще я7(Л/)=я/ц_1)л: «, /?/Ц)=і?/(х._1)-Я/(х._1) -і. -99 Нг{х.)(х.) = Яг(х.)г (4.11) .x., где Hr(xi) = Hr(xi+l)K;«K Rr(xi) = Rr(xi+l)-Hr(xM)Y .
Допустим, что точка . является центром площадки локального воздействия на оболочку, рис. 4.1. Рис. 4.1 Большими стрелками показан перенос краевых условий; малыми - исследование концентрации напряжений. На рисунке большими стрелками показан перенос краевых условий в центр xi площадки локального воздействия. Интервалы Г 0,х, ,...,Гх i,xn] не превышают критической длины, при которой счет становится неустойчивым. Величина интервалов (критическая длина оболочки) в зависимости от параметров оболочек установлена в предыдущей главе диссертации.
После переноса краевых условий в точку xi из них формируются соответствующие начальные условия. Краевые условия (4.10) и (4.11) объединяются D( .)y( f) = ( ,), ( ,-) = Hr(x.) , Д( ,) = Rr(xf) (4.12) и определяются соответствующие начальные условия У(дС/) = [Дх1.)]"1Л(х/) (4.13) Однако, реализовать изложенный алгоритм без ортонормирования невозможно, так как счет не устойчивый.
Краевые условия, перенесенные в точки XpX2,...,x _2,х _, последовательно ортонормируются, обеспечивая устойчивость счета. Ортонормированию подвергаются строки матриц краевых условий Н и соответствующим образом изменяются элементы столбца правых частей R. Ортонормирован-ные матрицы не запоминаются, как это делается в методе Годунова. В методе
Годунова ортонормированию подвергаются столбцы матрицы фундаментальных решений. При этом запоминаются треугольные матрицы преобразований, которые необходимы для определения постоянных интегрирования при обратном ходе. В этом фундаментальная разница методов Виноградова и Годунова.
