Содержание к диссертации
Введение
Прикладные методы анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций 28
1.1. Выбор метода решения упруго-пластической задачи 28
1.2. Формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для расчета тонкостенных конструкций в упруго-пластической области 31
1.3. Выбор метода последовательной линеаризации задачи определения упруго-пластического состояния элементов тонкостенных конструкций 35
1.4. Выбор физических зависимостей для моделирования упруго-пластического состояния материала 41
1.5. Особенности определения упруго-пластического состояния тонкостенных разветвленных конструкций 53
1.6. Выводы по главе 69
Гибридные расчетные схемы и их применение к определению упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций 71
2.1. Основные особенности гибридной расчетной схемы 71
2.2. Формирование разрешающих уравнений гибридной расчетной схемы 75
2.3. Особенности формирования систем разрешающих уравнений высокого порядка 78
2.4. Аналитическое представление кинематических гипотез и формирование матриц преобразования в гибридных расчетных схемах 81
2.5. Численные эксперименты по оценке эффективности и точности гибридных расчетных схем при определении упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций 91
2.6. Выводы по главе 96
Физические зависимости, определяющие рассеяние энергии в материале при колебаниях конструкций 98
3.1. Основные характеристики демпфирования материалов 98
3.2. Неидеальная упругость конструкционных материалов при динамическом нагружении 101
3.3. Физические зависимости, определяющие амплитудно-зависимое рассеяние энергии в материале при стационарных режимах деформирования 108
3.4. Физические зависимости для учета демпфирующих свойств материала при произвольном законе деформирования 120
3.5. Идентификация демпфирующих свойств реологической модели упруго-пластического материала А. ІО. Ишлинского 135
3.6. Выводы по главе 141
Определение динамической реакции при стационарных колебаниях конструкций с учетом неидеальной упругости материала 143
4.1. Формирование систем разрешающих уравнений на основе конечно-элементных аппроксимаций 143
4.2. Приведение разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции к системе с симметричной ленточной матрицей 149
4.3. Выбор метода решения системы разрешающих уравнений 153
4.4. Построение итерационных алгоритмов решения систем разрешающих уравнений 155
4.5. Определение напряжений в конечных элементах 163
4.6. Формирование систем разрешающих уравнений с использованием внешних узлов аппроксимации 166
4.7. Выводы по главе 189
Формирование матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов 191
5.1. Матрицы демпфирования ферменного и балочного конечных элементов 191
5.2. Матрица демпфирования рамного конечного элемента 195
5.3. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии 198
5.4. Матрица демпфирования четырехугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии 200
5.5. Матрица демпфирования объемного конечного элемента 204
5.6. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при изгибе 207
5.7. Матрица демпфирования треугольного конечного элемента при плоском напряженном состоянии и изгибе 215
5.8. Апробации матриц демпфирования конечных элементов 219
5.9. Выводы по главе 230
Учет демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций 232
6.1. Выбор шагового метода интегрирования дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции 232
6.2. Анализ влияния параметров, определяющих безусловную устойчивость шаговых методов, на точность интегрирования 241
6.3. Численные эксперименты по учету демпфирования колебаний конструкций с использованием реологической модели упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского 243
6.4. Выводы по главе 257
7. Методы обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала 260
7.1. Выбор критериев оценки прочности и демпфирующих свойств конструкции 260
7.2. Синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным характеристикам демпфирования конструкции 262
7.3. Математическая модель демпфирующего сплава и принципы ее построения 274
7.4. Проектирование демпфирующего сплава по заданному комплексу его механических характеристик 280
7.5. Оптимизация комплекса механических характеристик демпфирующего сплава 287
7.6. Выводы по главе 293
Общие выводы 295
Литература
- Формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для расчета тонкостенных конструкций в упруго-пластической области
- Особенности формирования систем разрешающих уравнений высокого порядка
- Физические зависимости, определяющие амплитудно-зависимое рассеяние энергии в материале при стационарных режимах деформирования
- Приведение разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции к системе с симметричной ленточной матрицей
Введение к работе
0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы
Вследствие повышения напряженности элементов современных тонкостенных конструкций возникает необходимость разработки более совершенных расчетных моделей, в которых должны быть по возможности достаточно полно отражены реальные условия работы конструкции и механические свойства материала, из которого изготовлены ее элементы. Поэтому кроме традиционного свойства упругости материала в расчетах тонкостенных конструкций все большее значение приобретают его пластические и демпфирующие свойства. Особенно актуальным данный вопрос является в конструкциях летательных аппаратов, где противоречие между требованиями прочности и минимального веса проявляется наиболее остро.
Так, например, при проектировании многократно статически неопределимых тонкостенных конструкций, какими обычно бывают конструкции летательных аппаратов, может ставиться задача определения предельной (разрушающей) нагрузки, при которой материал значительной части элементов конструкции находится в упруго-пластическом состоянии. Такое состояние материала, не приводящее к нарушению функций конструкции и работы ее оборудования, допускается также в некоторых элементах конструкций летательных аппаратов кратковременного (одноразового) использования и при эксплуатационной нагрузке.
Демпфирующие свойства материала в существенной степени влияют на динамическую напряженность и виброактивность элементов тонкостенных конструкций, ограничивая амплитуды их колебаний. В первую очередь это следует отнести к резонансным колебаниям тонкостенных конструкций, при которых амплитуды перемещений и напряжений могут быть достаточно высокими. Особенно актуальным данный вопрос является при расчете тонкостенных судовых, авиационных и ракетных конструкций, в которых практически невозможно избежать резонанса вследствие густого спектра частот собственных колебаний и широкой полосы частот возмущающих сил. Работы в области исследования динамической устойчивости и стабилизации больших космических конструкций свидетельствуют о важности учета даже небольшого рассеяния энергии для эффективного управления такими конструкциями [211].
В механике твердого тела пластичность представляется, как свойство материала получать необратимые деформации, начиная с некоторого напряжения, называемого пределом текучести. Демпфирующие свойства материала трактуются, как способность его рассеивать энергию при циклическом деформировании, и объясняются в механике неидеалыюй упругостью материала. Таким образом, статический расчет конструкции за пределом упругости и определение ее динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала представляют две физически нелинейные задачи с различной степенью нелинейности.
Однако исторически сложилось так, что пути и методы решения упруго-пластических задач и задач рассеяния энергии в материале при колебаниях неидеально упругих тел практически не пересекались. Но с развитием численных методов и автоматизированных технологий расчета конструкций появились предпосылки к разработке достаточно общих подходов к решению отмеченных двух задач, основанных на использовании метода конечных элементов и итерационных или шаговых алгоритмов, сводящих данные задачи к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач. Это и определило тематику настоящей работы.
Методы, применяемые в настоящее время для решения упруго-пластических задач, можно условно разделить на две группы: аналитические и численные. Аналитические приемы решения упруго-пластических задач опираются в основном на методы теории функций комплексного переменного [77] и метод малого параметра [6, 37, 56, 58]. Из численных методов наибольшее применение в последнее время находит метод конечных элементов [11, 50, 51, 97, 98,104-106,123,124,140, 223, 235]. В подавляющем большинстве работ, посвященных решению упруго-пластических задач, используются аналитические методы при частных видах напряженного состояния и геометрии физической области решаемой задачи. Привести обзор данных работ в виду их чрезвычайной многочисленности крайне затруднительно. Отметим лишь некоторые основные работы, разделяя их по типу напряженного состояния рассматриваемой физической области.
В 1946 г. Л. А. Галин дал точное решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформированного твердого тела, к контуру которого приложены нормальные усилия, а напряжения на бесконечности постоянны [39]. Решение удалось найти благодаря бигармо-ничности функции напряжений в пластической области. Перемещения в пластической области для этой задачи были определены методом малого параметра Д. Д. Ивлевым [55]. Б. Д. Аннин [5] и Н. И. Остросаблпн [108] дали приближенное решение упруго-пластической задачи для плоскости, ослабленной системой круговых отверстий.
В 1963 г. Г. П. Черепанов дал точное решение задачи о распределении напряжений вблизи кругового отверстия для плосконапряженного твердого тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а поле напряжений на бесконечности однородно [172]. Указанная задача приближенно решалась ранее А. П. Соколовым [145] и И. И. Файербергом [155].
Метод малого параметра оказался полезным и в некоторых пространственных задачах: с его помощью Л. В. Ершов [49] и Т. Д. Семыкина [142] решили задачи для полостей, близких к сферическим. Были рассмотрены также некоторые осесимметричные задачи [38]. Точные решения пространственных задач идеальной пластичности получены Р. Хиллом [159], В. Прагером [125], Д. Д. Ивлевым [57].
В задачах кручения были предложены полуобратные методы: задавались заранее некоторые характеристики искомого решения, по которым восстанавливались само решение и соответствующая форма границ тела. Здесь следует, прежде всего, отметить точное решение В. В. Соколовского для стержня овального сечения, близкого к эллипсу [146]. Л. М. Качанов вариационным методом получил решение для стержня квадратного сечения [64]. Р. Саусвелл релаксационным методом решал упруго-пластические задачи для уголкового, квадратного и треугольного профилей [230]. Задачи для других типов профилей тем же способом решены Д. Кристоферсоном [218].
Численные методы, для решения упруго-пластических задач применяются еще не достаточно широко. В работах [6, 50] рассмотрена контактная задача о вдавливании жесткого штампа в идеальную упруго-пластическую среду, решенная методом конечных элементов. В работе Д. Айреса [214] метод конечных элементов применялся для анализа напряженно-деформированного состояния в окрестности щели трехмерного упруго-пластического твердого тела. Ряд упруго-пластических задач для конечных оболочек вращения решены численно в работах [21, 35, 36]. Следует отметить так же интересную книгу Е. М. Морозова, Г. П. Никишкова [98], большая часть которой посвящена численным экспериментам по эволюции пластических зон в окрестности трещин и щелей.
Расчет тонкостенных конструкций, работающих за пределом упругости, представляет отдельную категорию упруго-пластических задач. Аналитические методы решения здесь возможны только для простейших конструкций, которые вписываются в рамки классических расчетных схем (гладкие пластины и оболочки простой формы). Анализ упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций произвольной геометрии при произвольных условиях закрепления и нагружения, по всей видимости, может быть выполнен только методом конечных элементов с привлечением приближенных алгоритмов решения физически нелинейных задач. Достаточно полное представление об этих алгоритмах можно получить из работ [7, 50, 98,106,124,169].
Метод конечных элементов (МКЭ) изначально возник, как численный метод решения задач теории упругости и линейных задач строительной механики. Начало истории МКЭ следует отнести к середине 50-х годов прошлого века. Понятие конечного элемента было впервые введено М. Тернером, Р. Клафом, X. Мартином и Л. Топом [232] в 1956 г. Интенсивное развитие метода конечных элементов и применение его к расчету реальных конструкций началось в 60-х, 70-х годах прошлого столетия. Проведенные многочисленные исследования возможностей метода конечных элементов показали, что результаты расчетов, близкие к действительным, в задачах общей прочности конструкций удается получить лишь при числе неизвестных порядка 103...104. Это потребовало разработки методов формирования и решения больших систем разрешающих уравнений [45, 139], а так же способов подготовки и задания исходной информации [1, 23, 68, 141, 224]. Применение МКЭ для автоматизации расчетов конструкций привело к разработке мощных вычислительных комплексов ASKA, SESAM, SAP [1], NASTRAN [224], СИСТЕМА-4 [75], КАС-КАД-2 [95], ССП МКЭ [53], ОТСЕК-0 [48], СУМРАК-80 [22], СПРИНТ [174], позволяющих вести расчеты с указанным числом неизвестных. Такой интерес к МКЭ обусловлен, прежде всего, его исключительной универсальностью вследствие появившейся возможности набором соответствующих конечных элементов смоделировать сколь угодно сложную, как по геометрии, так и по силовой схеме конструкцию, а также вследствие простоты алгоритма формирования систем разрешающих уравнений.
Известно, что конечно-элементное решение задачи определения упруго-пластического состояния конструкции, обычно, осуществляется итерационными или шаговыми методами, сводящими данную задачу к последовательности соответствующих линейных задач. Для этого в основном используются три метода: метод переменной жесткости (переменных параметров упругости) [88]; метод последовательного шагового нагружения (метод касательной жесткости) [124] и метод упругих решений (метод А. А. Ильюшина) [59, 65]. В первых двух методах матрица жесткости обновляется каждый раз в соответствии с достигнутым напряженно-деформированным состоянием конструкции. В методе упругих решений матрица жесткости формируется на начальном шаге и в процессе итераций остается постоянной, а пластические деформации учитываются в правой части уравнений. Преимущество данного метода состоит в том, что матрицу жесткости необходимо формировать и инвертировать только один раз. Однако данный метод, так же как и метод переменной жесткости, не позволяет отследить историю нагружения конструкции, так как расчет в этом случае ведется сразу при полной нагрузке. Кроме того, исключается возможность учета упругой разгрузки, которая может иметь место в некоторых элементах конструкции за счет перераспределения напряжений в процессе активного нагружения. Метод последовательного шагового нагружения позволяет отслеживать всю историю нагружения, что удобно, например, при определении несущей способности конструкций.
Упруго-пластическое состояние реализуется обычно не во всей конструкции, а лишь в некоторых ее областях, где имеются значительные напряжения. Такими областями, как правило, являются места, где имеются различного рода особенности (узлы крепления и сочленения агрегатов конструкции, области существенного изменения ее геометрии, вырезы, места приложения значительных сосредоточенных сил). Именно в этих областях напряженное состояние конструкции должно определяться наиболее точно. Поэтому идеализация конструкции в таких областях должна иметь наименьшее число допущений. В остальных областях конструкции с целью уменьшения общего числа независимых расчетных параметров могут быть введены какие-либо упрощающие гипотезы. Соединение возможностей МКЭ, позволяющего вести расчет с учетом всех особенностей в одной части конструкции, с применением упрощенных теорий (гипотез) в других частях дает возможность существенно уменьшить общее число неизвестных без заметного снижения точности расчета.
В связи с этим в работах [32, 78, 84, 176] предлагается использовать новый тип расчетной схемы, названной гибридной, которая строится на сочетании в пределах одной конструкции различных гипотез: более слабых там, где имеются различного рода особенности, и более сильных - в остальной части конструкции. Применяемое здесь понятие "слабая гипотеза" соответствует использованию меньшего числа допущений и большего числа параметров для описания напряженного состояния конструкции. Понятие "сильная гипотеза" соответствует введению большего числа допущений и, следовательно, меньшего числа расчетных параметров. Для устранения возмущений напряженного состояния при переходе от одних гипотез к другим вводится некоторая переходная зона или переходная область. Наличие переходной области в конструкции, обеспечивающей плавное изменение гипотез, является характерной особенностью гибридной расчетной схемы (ГРС). Основное назначение такой области - сделать ГРС единой для всей конструкции. Таким образом, ГРС приводит к одной общей системе разрешающих уравнений для определения неизвестных параметров сразу по всем областям конструкции. При этом она не требует при формировании уравнений разбиения конструкции на отдельные части, как это делается, например, в методе суперэлементов [23, 95].
В отмеченных выше работах [32, 78, 84, 176] гибридные расчетные схемы использовались для решения линейных задач статики конструкций. В таких задачах система разрешающих уравнений, как известно, формируется и решается только один раз. При решении нелинейных задач данные системы, как правило, приходится формировать и решать многократно. В этом случае эффект от применения ГРС существенно возрастает [188, 190].
Столь же важным оказывается число неизвестных и для систем автоматизированного проектирования конструкций, где в процессе проектирования приходится многократно обращаться к модулю "Прочность". По этой причине при решении указанных задач обычно используются упрощенные расчетные схемы [15,41, 66].
Выше рассматривались задачи, значительная нелинейность которых определялась пластическими свойствами материала. При решении задач динамики конструкций важное место имеет физическая нелинейность, обусловленная неидеальной упругостью или, иначе, демпфирующей способностью материала. Основы учета неидеальной упругости материала при колебаниях механических систем заложены в работах Г. С. Писаренко [115-117], Н. Н. Давиденкова [43], Я. Г. Пановко [112,113], Е. С. Сорокина [147,148], В. В. Хильчевского [160, 161]. Позднее данное направление интенсивно развивалось в работах Н. В. Василенко [26, 27, 30], В. В. Матвеева [89, 90, 92, 93], В. А. Пальмова [109-111], С. И. Мешкова [96], А. П. Яковлева [212], а также в работах [150, 151, 163-167, 222, 231]. О значительном интересе к отмеченной проблеме свидетельствуют регулярные конференции по рассеянию энергии при механических колебаниях, проводимые в Киеве с 1956 г., по материалам которых [129-135] можно составить достаточно полное представление о состоянии проблемы. Однако существенного прогресса в области динамического анализа реальных конструкций с учетом рассеяния энергии в материале пока не достигнуто. Применяемые для этой цели расчетные модели в основном ограничиваются рамками классических расчетных схем (балками, пластинами и оболочками простой формы).
Многочисленные работы по динамике сложных инженерных конструкций посвящены в основном изучению спектра частот и форм собственных колебаний. Значительно меньше внимания уделяется определению напряжений и перемещений при действии внешних переменных сил. Это связано, по-видимому, с тем, что для нахождения форм и частот собственных колебаний конструкций в большинстве случаев можно не принимать во внимание рассеяние энергии в их элементах. При оценке динамической напряженности элементов конструкций учет рассеяния энергии в них обязателен [170, 217].
Все имеющиеся на сегодняшний день теории, учитывающие рассеяние энергии в материале при колебаниях механических систем, в первую очередь связаны с построением уравнений связи между напряжениями и деформациями для неидеально упругого материала. Эти уравнения обычно разделяют на уравнения вязкоупругих тел и уравнения гистерезисного типа.
В первом случае утверждается, что нелинейная часть напряжений зависит от скорости (частоты) деформирования материала, во втором - от амплитуды деформации. Многочисленные опыты с металлами и их сплавами [4, 16, 121, 122] показали, что в области напряжений, возникающих при циклическом на-гружении конструкций, наиболее существенна амплитудная зависимость, исключая область малых амплитуд, представляющих интерес для акустики [148]. Задачи математического моделирования диссипативных процессов для изотропных материалов рассматривались в работах Г. С. Писаренко [115, 117, 118], который предложил физически обоснованные уравнения для описания неидеалыюй упругости материала в виде так называемых гистерезисных, т.е. неоднозначных при нагрузке и разгрузке зависимостей между напряжениями и деформациями. Это направление, ведущее начало от работы Н. Н. Давиденко-ва [43], получило дальнейшее развитие в работах [92, 156, 161, 213]. Существенный вклад в развитие теории рассеяния энергии внес Я. Г. Пановко [112], указавший в частности на возможность неучета при этом формы петли гистерезиса, важность понятия площади петли и положивший начало использованию энергетических концепций при построении алгоритмов расчета диссипативных систем.
Параллельно развивалось направление, использующее понятие комплексного модуля упругости для моделирования рассеяния энергии в материале при гармонических колебаниях диссипативных систем [122]. Попытка распространить комплексные зависимости на процессы, отличные от гармонических, приводили к построению некорректных уравнений, на что указывалось в работах [152, 217]. Вместе с этим идея использования комплексного модуля упругости, учитывая ее наглядность и простоту, остается привлекательной для анализа упруго-гистерезисных систем. В четвертой и пятой главах настоящей работы концепция комплексного модуля упругости используется для формирования систем разрешающих уравнений и матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов при установившихся резонансных колебаниях конструкций.
Подавляющее большинство работ, посвященных учету рассеяния энергии при циклическом деформировании материала, рассматривают одноосное напряженное состояние. Работы, в которых анализируется рассеяние энергии при сложном напряженном состоянии, можно разделить на два направления. В одних авторы рассматривали задачу получения зависимости рассеянной энергии от компонент тензора напряжений, в других - стремились получить определяющие уравнения "напряжение-деформация".
В работах первой группы [92, 161, 226] предлагаются критерии, ответственные за рассеяние энергии в материале, аналогичные тем, которые используются в теории прочности. При этом критерии формируются как инварианты тензора напряжений, выраженные через главные напряжения. Есть ряд работ, подтверждающих, что рассеяние энергии в изотропном материале определяется величиной 2-го инварианта тензора напряжений [92,109,161, 231].
Во втором случае использовались функциональные зависимости, коэффициенты которых являются инвариантными величинами - либо комплексными, либо неоднозначными, зависящими от знака скорости изменения 2-го инварианта девиатора деформаций [10, 24, 27,117,144,153,156, 161 и др.].
Отдельно можно отметить работы В. А. Пальмова [110, 111], в которых используется система тензорных уравнений реологической модели упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского, естественным образом обобщающая теорию рассеяния энергии на сложное напряженное состояние. Существенным преимуществом данных уравнений является возможность использованиях их для анализа нестационарных динамических процессов [178,179,187, 201].
Второй основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при колебаниях конструкций состоит в способе формирования разрешающих уравнений, определяющих динамическую реакцию конструкции. На сегодняшний день эти уравнения в основном получаются аналитически путем представления состояния конструкции через некоторую разрешающую функцию. Для осуществления такого представления обычно используются гипотезы тонких стержней и пластин, а также тонкостенных оболочек. В силу особенностей используемых физических зависимостей, в частности нелинейности и малости диссипативных сил, основным методом решения разрешающих уравнений с учетом рассеяния энергии остается асимптотический метод Кры-лова-Боголюбова-Митропольского [17]. Причем ограничиваются обычно первым приближением данного метода. Возможности аналитических методов, как уже отмечалось выше, обычно исчерпываются простейшими конструкциями и простейшими конструктивными элементами. Метод конечных элементов для учета рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций, несмотря на его перспективность, используется пока на чисто теоретическом уровне [29, 30, 47, 61]. Уместно заметить, что в свете современных требований оценка эффективности той или иной расчетной модели зависит от того, насколько пригодной является эта модель для анализа конструкции в целом. Модели и методы, применяемые для анализа только определенным образом закрепленных частных элементов, не допускающие обобщений и не вписывающиеся в общий процесс проектирования сложной неоднородной конструкции, не могут считаться эффективными. Наиболее подходящим методом автоматизации расчетов конструкций с учетом демпфирующих свойств материала является, по мнению автора [199, 202], метод конечных элементов.
При динамическом расчете конструкций обычно ставится задача синтеза упругих, инерционных и демпфирующих сил. Если проблема получения матриц жесткости и матриц масс конечных элементов, определяющих упругие и инерционные силы в конструкции, может считаться достаточно разработанной [11, 50, 51, 81-83, 123, 138, 184], то для получения матриц гистерезисного демпфирования сложных инженерных конструкций по существу нет физически обоснованных методов. Применяемые часто на практике предположения о возможности взаимосвязи матриц масс, жесткости и демпфирования (концепция пропорционального демпфирования) [67] имеют своей целью скорее добиться удобства расчета, чем достоверности получаемых результатов.
Наиболее реальный подход к получению разрешающих уравнений метода конечных элементов в задачах теории рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций состоит в использовании концепции комплексного модуля упругости [28, 76]. Это позволяет, как показано в работах автора [180, 192, 195], перейти от дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции к системе квазилинейных алгебраических уравнений, содержащих синфазные и несинфазные (относительно вектора нагрузки) составляющие амплитуд ее узловых перемещений. Нелинейность данных уравнений обусловлена тем, что матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов формируются с учетом характеристик демпфирования материала (логарифмического декремента колебаний д или демпфирующей способности у/ = 25), а последние зависят от амплитуд деформаций этих элементов, определяемых после решения системы разрешающих уравнений. Таким образом, возникает типичный при решении нелинейных задач замкнутый круг причины и следствия.
В связи с этим в работе Н. В. Василенко [29] матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов предлагается формировать, определяя характеристики демпфирования материала по справочным данным [121] в соответствии с предполагаемым в них уровнем напряжений (деформаций). Однако даже при небольшом отклонении демпфирующей способности материала от ее действительного значения амплитуды напряжений в элементах конструкции могут существенно меняться. В работах автора [182, 195, 202, 209] показано, что корректный учет амплитудной зависимости демпфирующей способности материала при формировании и решении системы разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции возможен только с использованием соответствующих итерационных алгоритмов. Причем возможность реализации данных алгоритмов должна быть обеспечена уже на этапе формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов, что учтено в главе 5 настоящей работы.
Традиционные методы аппроксимации полей перемещений конечных элементов используют узловые параметры, относящиеся к одному конечному элементу. Поэтому для повышения точности расчета необходимо либо увеличивать число конечных элементов, либо применять элементы высокого порядка, что в любом случае приводит к увеличению общего числа неизвестных узловых параметров. В связи с этим в работах автора [81, 83, 186] предлагается новый тип представления полей перемещений конечных элементов, названный скользящей аппроксимацией, основанный на использовании узловых параметров смежных с ними элементов. Такая аппроксимация позволяет повысить по 17 рядок полей перемещений, не увеличивая число узловых точек в пределах каждого конечного элемента, а в элементах, у которых в качестве узловых параметров используются не только перемещения, но и производные от них, дает возможность отказаться от введения последних, и тем самым существенно снизить число неизвестных узловых параметров конструкции. Эффект, получаемый от введения скользящей аппроксимации, существенно возрастает при решении нелинейных задач динамики конструкций, в которых разрешающие уравнения приходится формировать и решать многократно.
В подавляющем большинстве работ, посвященных учету гистерезисных потерь в материале при колебаниях механических систем (конструкций), рассматривается единственный вид движения этих систем - установившиеся гармонические (стационарные) колебания. При этом расчетным случаем считается режим резонанса. Не менее важной является задача определения динамической реакции конструкции в различного рода переходных процессах, а также при действии непериодической нагрузки (ударной, полигармонической, случайной и т.д.). В некоторых случаях переходные процессы сопровождаются кратковременным переходом через резонанс. Такие режимы могут возникать в конструкциях, например, при пусках и остановках установленного на них оборудования.
Основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций, по-прежнему состоит в построении подходящих зависимостей между напряжениями и деформациями. Наиболее реальный и физически обоснованный подход к построению таких зависимостей состоит в использовании реологических моделей материала, отражающих его основные свойства [122,177, 178, 201]. Например, для материала с релаксационным внутренним трением часто используется реологическая модель Фойгта [122,150], состоящая из двух параллельно соединенных элементов - упругого и вязкого. В гистерезисных материалах механизмы внутреннего трения более разнообразны: микро - или макропластические деформации; магнитный эффект; диффузионные процессы и т.д. [52]. В настоящее время общепризнанным считается факт [43, 110, 111], что амплитудно-зависимое (гистерезисное) внутреннее трение в металлах и их сплавах в области средних и значительных напряжений, представляющих интерес для расчета конструкций, в основном обусловлено микропластическими деформациями. Под микропластическими деформациями понимаются деформации, происходящие в микрообъемах материала при любом уровне напряжений, в том числе и при напряжениях, меньших макроскопического предела текучести. Такое поведение материала можно представить моделью, состоящей из бесконечного множества упруго-пластических элементов с непрерывным распределением их пределов текучести, определяющим демпфирующие свойства данной модели. В литературе отмеченная модель известна как реологическая модель упруго-пластического материала А. Ю. Ишлинского [3, 46, 62, 93, ПО]. Физические зависимости, основанные на данной модели, пригодны для использования их при произвольном законе деформирования, как для одноосного, так и сложного напряженного состояния. Остается добавить, что для эффективного использования модели А. Ю. Ишлинского в расчетах инженерных конструкций необходимо разработать методы идентификации ее демпфирующих свойств по общепринятым характеристикам демпфирования материала. Данный вопрос подробно рассмотрен в параграфе 3.8 настоящей работы.
Второй основной вопрос в проблеме учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций состоит в выборе способа решения дифференциальных уравнений их движения. Получить аналитическое решение этих уравнений при модельных представлениях демпфирующих свойств материала в большинстве случаев не удается. Единственным общим методом анализа произвольных неупругих систем, как отмечено в работе [11], является численный метод шагового интегрирования уравнений движения таких систем. При этом анализ неупругой системы рассматривается как последовательность непрерывно меняющихся упругих систем.
Существует достаточно много методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Рунге-Кутта; метод Адамса 19
Башфорта; метод Хемминга и др. [11, 87, 210]. Однако они мало пригодны для интегрирования систем высокого порядка, так как, будучи условно устойчивыми, требуют, тем не менее, большого числа арифметических операций на каждом шаге. Для интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем более подходящими являются специальные методы, основанные на предположении о линейном изменении ускорения на каждом шаге интегрирования: метод линейного ускорения; 0-метод Вильсона [11, 67]; метод Ныомарка [И, 105]. Данные методы позволяют перейти от дифференциальных уравнений к сменяемым на каждом шаге линейным алгебраическим уравнениям [85, 191]. Таким образом, нелинейная задача сводится к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач.
Однако, численные эксперименты, проведенные в работах [191, 193], показали, что достичь удовлетворительного результата при обычной форме записи дифференциальных уравнений движения конструкций, когда силы упругого и неупругого сопротивления материала учитываются в левой части этих уравнений, при использовании отмеченных выше трех методов, не удается. Причина этого, по-видимому, кроется в малости неупругих (гистерезисных) сил. В главе 6 настоящей работы показано, что корректный способ учета неупругих сил при шаговом интегрировании уравнений движения механических систем состоит в представлении этих сил в правой части уравнений, как вектора внешних псевдосил, обусловленных непрерывным изменением состояния системы. Положительным моментом такого представления гистерезисных сил является также то, что матрица системы алгебраических уравнений, к которым сводится система дифференциальных уравнений, в процессе шагового интегрирования остается постоянной. Поэтому данную матрицу можно сформировать и преобразовать в соответствии с используемым методом решения системы до начала шаговой процедуры. Нетрудно заметить, что описанный выше прием представления гистерезисных сил аналогичен методу упругих решений А. А. Ильюшина [59, 65] для приближенного решения упруго-пластических задач. Традиционные методы расчета и проектирования конструкций учитывают рассеяние энергии лишь на последнем этапе и, как правило, в интегральном виде. Это не позволяет использовать характеристики демпфирования материала как равноправные параметры проектирования и приводит либо к необходимости замены материала (полностью или частично) при неудовлетворительных демпфирующих свойствах конструкции, либо к принятию дополнительных мер, направленных на снижение динамической напряженности и виброактивности ее элементов (установке виброгасителей, нанесению демпфирующих покрытий и пр.). Отсюда вытекает актуальная необходимость разработки таких математических методов, которые позволяли бы целенаправленно влиять на демпфирующие свойства конструкции путем выбора соответствующего материала. Для решения данной задачи необходимо разработать критерии оценки демпфирующих свойств конструкции. При стационарных колебаниях такими критериями могут быть либо значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний конструкции, либо приведенный коэффициент поглощения энергии для этих же форм колебаний. Предпочтительно брать коэффициент динамичности, так как он непосредственно связан с нагружением конструкции [69, 194 206]. Наличие таких критериев позволяет разработать методы и алгоритмы, определяющие связь между характеристиками демпфирования конструкции и демпфирующими свойствами материала. Таким образом, появляется возможность создания конструкций с заданными демпфирующими свойствами путем выбора или изготовления соответствующего материала, и сократить за счет этого сроки их проектирования.
Анализ возможностей, которыми располагает техника для создания конструкций с высокой стабильной и, что весьма существенно, контролируемой на этапе проектирования демпфирующей способностью, указывает на некоторые принципиально новые направления. Одно из них - создание сплавов с высокими демпфирующими свойствами. На кафедре металловедения и технологии материалов Вятского государственного университета и проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами создана и исследована большая группа сплавов с высокими демпфирующими свойствами. Однако практическое применение их сдерживается низкими физико-механическими и технологическими характеристиками. Улучшить эти характеристики можно внесением в сплав тех или иных легирующих элементов. В настоящее время эта задача решается в основном путем проведения длительных и дорогостоящих экспериментов. Поэтому актуальным является вопрос разработки расчетных методов определения химического состава и режимов термической обработки сплава, сочетающего в себе высокие демпфирующие, прочностные и пластические свойства. Наличие таких методов позволяет целенаправленно влиять на комплекс механических характеристик сплава и тем самым свести к минимуму число необходимых экспериментов.
Второй путь к решению проблемы создания конструкций с высокими демпфирующими и прочностными свойствами состоит в использовании слоистых и композиционных материалов. Это направление представляет отдельную и большую задачу, которая в настоящей работе не рассматривается. Однако стоит заметить, что методы учета рассеяния энерши в таких материалах, так же как и в обычных, разработаны опять же только применительно к колебаниям простейших конструктивных элементов. Достаточно полное представление о состоянии отмеченной проблемы можно получить по библиографическому обзору, приведенному в работе [47].
Формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для расчета тонкостенных конструкций в упруго-пластической области
Рассмотрим отдельный конечный элемент т конструкции (рис. 1.1) с 1 "/" /\ Wl , А /\ Г 1 \ / "/- \ / V 5 Ъ V / у узловыми перемещениями {r}m = {iii vi wi lln vn wn } (форма и поле перемещений элемента не конкретизируются). Представим перемещения и, v, w в пределах элемента в виде и " V W = W{r}m, (1.2.1) где [N] - матрица, содержащая функции О Рис. 1.1. Конечный элемент 111 распределения Nt (/ = 1, п), зависящие от типа элемента. Будем считать перемещения и, v, w и деформации {є} малыми. Тогда х будет справедлива геометрическая зависимость где [А] - матричный оператор дифференцирования. В общем случае деформированного состояния оператор [А ] имеет вид М д д д 0 0 дх ду "dz д д д 0 0 ду дх dz д д д 0 0 0 dz ду дх -. т (1.2.3)
Подставляя (1.2.1) в зависимость (1.2.2), получаем связь между деформациями и узловыми перемещениями конечного элемента {eMA][N]{r}m-[B]ir}m. (1.2.4)
Связь между напряжениями { т} и деформациями {є} для элемента, находящегося в упруго-пластическом состоянии, символически представим в виде, аналогичном закону линейной упругости: М-[Д М (1.2.5)
Здесь [ ] - матрица, зависящая от текущего напряженно-деформированного состояния элемента (при упругом состоянии [D \ = [О]). Подставляя в (1.2.5) соотношение (1.2.4), получаем связь напряжений с узловыми перемещениями конечного элемента: {cr} = [D ][B]{r}m. (1.2.6)
Независимо от состояния элемента (упругого или упруго-пластического) напряжения {сг} внутри элемента и поверхностные силы {р} должны удовлетворять условию равновесия, которое можно записать в виде принципа Ла-гранжа -f{Se}T{ T}dV + f{SuSvSwf {p}dS = 0. (1.2.7) V S С учетом выражений (1.2.1), (1.2.4) и (1.2.6) уравнение (1.2.7) примет вид \Т /.ГгЛГГт 1ГгЛ ілті ) . Го )71 Л ътЛТ -{SrYmm[D ][B]dV{r}m+{5r}Tmi[N}T{P}dS=0. (1.2.8)
Отсюда с учетом независимости вариаций узловых перемещений {Sr}т получаем уравнения равновесия внутренних и внешних узловых сил конечного элемента Р]ИНИ=(4. (1-2.9) где [K ]m-![B]T[D ][B]dV, (1.2.10) v {P}m=j[Nf{p}dS (1.2.11) s представляют соответственно упруго-пластическую матрицу жесткости и вектор нагрузки конечного элемента. Для элемента, находящегося в упругом состоянии матрица [ ]те переходит в обычную матрицу жесткости [К].
Объединяя уравнения (1.2.9) по всем конечным элементам методом "прямой жесткости" [124,140], приходим к системе разрешающих уравнений, (1-2.12) где [." ],{/ }, {Р} - соответственно упруго-пластическая матрица жесткости, вектор узловых перемещений и вектор нагрузки конструкции.
Выражение (1.2.9) с учетом зависимости (1.2.6) и формулы (1.2.10) можно представить в виде v Допустим, что состояние {а} и {Р}т конечного элемента в выражении (1.2.13) соответствует некоторому уровню нагрузки {Р}. Зададим нагрузке {Р} бесконечно малое приращение {dP}. Тогда для нового уровня нагрузки {Р + dP] выражение (1.2.13) запишется в виде {P + dP}m =f[B]T{a + da}dV. (1.2.14) v При этом предполагается, что дополнительные напряжения {da} не изменяют значения матрицы [В\. Из выражения (1.2.14) с учетом (1.2.13) получаем соотношение, связывающее векторы {dP}m и {da}: {dP}m=f[B]T{da}dV. (1.2.15) v При нелинейной зависимости напряжений {а} от деформаций {є} связь между их приращениями будет отличаться от зависимости (1.2.5). Представим эту связь в виде {da} = [D ]{ds}, (1.2.16) где [) ] - матрица мгновенных упруго-пластических модулей материала, зависящая от текущего напряженного состояния элемента (способы получения матрицы [D \ будут рассмотрены в параграфе 1.4). С учетом того, что матрица [В] в соотношении (1.2.4) не зависит от деформаций {є}, выражение (1.2.16) принимает вид {d r}-[D ][B]{dr}m. (1.2.17) Подставляя затем (1.2.17) в выражение (1.2.15), получаем матричное уравнение равновесия конечного элемента, записанное в приращениях: [K ]m{dr}m={dP}m, (1.2.18) где [K ]m=f[B]T[D ][B]dV (1.2.19) v - мгновенная матрица жесткости конечного элемента относительно вектора приращений его узловых перемещений. Для конечных малых приращений вместо (1.2.18) приходим к системе уравнений [К ]т{Лг}т={АР}т. (1.2.20) Аналогичные уравнения можно записать для всей конструкции [К ]{Аг} = {АР}. (1.2.21)
В работе [124] рассматривается метод построения уравнений (1.2.21) непосредственно на основе уравнений (1.2.12), записанных относительно конечных значений перемещений {г}, без использования физической зависимости
(1.2.16). Суть данного метода состоит в представлении матрицы [К ] в уравнениях (1.2.12) как сложной функции узловых перемещений {г}. Матрица относительно приращений узловых перемещений {Лг} определяется как приращение матрицы [ ] при разложении последней в ряд Тейлора в малой окрестности {г}. По оценкам автора теоретически данный метод возможен, но практическая реализация его связана с серьезными вычислительными трудностями, связанными с необходимостью определения частных производных матрицы [К ] по компонентам вектора узловых перемещений {г}. При отсутствии явной зависимости [ ] от {г} эти производные можно найти только численно, задавая малые приращения Дг- каждой компоненте вектора {г} и определяя соответствующие изменения элементов матрицы [-К ], что ведет к весьма высокой трудоемкости данного метода.
Уравнения (1.2.21) удобно использовать при определении несущей способности конструкций, когда конечная нагрузка {Р} не задана. При заданном уровне нагрузки можно рекомендовать разрешающие уравнения, записанные как в форме (1.2.21), так и в форме (1.2.12).
Особенности формирования систем разрешающих уравнений высокого порядка
Непосредственное использование соотношений (2.2.5) для формирования системы уравнений ГРС может быть осуществлено только для матриц [/C],[L] И {Р} сравнительно небольших размеров (порядка 150 ... 200). При расчете конструкций преобразования типа (2.2.3) можно использовать не для всей конструкции, а лишь для отдельных ее частей. С этой целью разделим конструкцию по длине на части сечениями, совпадающими с расположением поперечного силового набора. Назовем часть конструкции, находящуюся между двумя последовательными сечениями і и / +1 отсеком т (рис. 2.2). Принцип возможных перемещений для упругой конструкции теперь можно записать в виде (2.3.1) т SA--l{Sr}Tm[K]m{r}m+2{Sr}TJP}m = 0, т где [/С]т, {г}т { }т - соответственно матрица жесткости, вектор узловых перемещений и вектор нагрузки отсека т базовой модели. Упорядочим вектор {г}от следующим образом: М (2.3.2) W = {гм}
Здесь {г,}, {ri+l} представляют векторы узловых перемещений соответственно сечений і и / + 1. С учетом выражения (2.3.2) матрицы [К]т и векторы {Р} в уравнении (2.3.1) можно представить в виде К.] ІАи+і] /и т [к]т {PL - (2.3.3) L i+i.iJm L /+i,i+i JJ
Будем считать, что гипотезы, используемые при построении ГРС, позволяют выразить узловые перемещения в любом поперечном сечении базовой модели только через обобщенные перемещения ГРС в этом же сечении. Тогда для отсека т, расположенного между двумя последовательными сечениями і и / +1, можно записать соотношение М„ ы 0 0 К.]. Mm (2.3.4) где матрицы \Li\ и [- ,-+1 J зависят от гипотез в сечениях /, / + 1, a {q\m = = {{ЧІ } І {Чі+і}} представляет вектор обобщенных перемещений отсека т . Описанный в данном параграфе метод получения систем уравнений ГРС высокого порядка можно использовать для конструкций, находящихся, как в упругом, так и упруго-пластическом состояниях.
Аналитическое представление кинематических гипотез включает рассмотрение методов перехода от множества параметров, соответствующих наименьшему числу допущений, используемых при построении базовой модели, к параметрам, соответствующим дополнительному наложению связей при построении гибридной расчетной схемы. Такой переход в каждом расчетном сечении і осуществляется, как было показано в предыдущем параграфе, введением матриц преобразования \Li].
Математические соотношения для получения матриц систем разрешающих уравнений ГРС, соответствующие той или иной кинематической гипотезе, можно было получить непосредственно, не прибегая к матрицам Однако это удается сделать лишь для частных видов геометрии конструкции и распределения ее силового набора. Матрицы [Ьг] позволяют весьма просто получать отмеченные соотношения для любой кинематической гипотезы. Так как введение данной гипотезы связывает определенные степени свободы узлов поперечных сечений конструкции, то число столбцов матрицы [JL/J всегда меньше числа ее строк, в чем и заключается смысл перехода к новым параметрам.
Учет краевых условий (условий закрепления конструкции) при использовании матриц \Li J выполняется, обычно, на этапе формирования разрешающих уравнений базовой модели. Это оказывается значительно проще, нежели выполнение данных условий с использованием обобщенных перемещений ГРС.
Конкретный вид и структура матриц преобразования [L;] зависят от кинематических гипотез, принимаемых в сечениях /. Ниже рассмотрены некоторые из таких гипотез, используемых в практике расчета конструкций летательных аппаратов, и методы формирования матриц [.,], учитывающих эти гипотезы.
Гипотеза неизменяемости формы поперечного сечения {ГНФПС) Согласно данной гипотезе считается, что поперечные сечения тонкостенной конструкции (для примера взято крыло) перемещаются в своей плоскости как абсолютно твердые тела. При таком предположении перемещения uk , vk узлов сечения в направлениях его локальных осей Ох и Оу можно определить через перемещения и0, v0 некоторой точки (полюса) и угол поворота (pz сечения в его плоскости относительно этой точки (рис. 2.4). В качестве полюса можно взять любую точку се п чения, например, начало локальной , системы координат. Локальная ось Ох проходит через точки А и В , располо Рис. 2.4. К определению перемещений женные соответственно в серединах Прц введении гипотезы неизменяемости л формы поперечного сечения сторон 1 - п и р - q сечения, локальная ось Оу проходит через середину отрезка АВ перпендикулярно оси Ох .
Физические зависимости, определяющие амплитудно-зависимое рассеяние энергии в материале при стационарных режимах деформирования
Зависимость относительного рассеяния энергии от амплитуды деформации имеет место практически для всех конструкционных материалов [121]. Определяющие уравнения, описывающие амплитудно-зависимое рассеяние энергии, часто называют гистерезисными, так как они получаются в результате аппроксимации наблюдаемых экспериментально неоднозначных зависимостей сг(є), имеющих при установившихся циклических процессах форму замкнутой петли гистерезиса.
Зависимость сг(є) при циклическом деформировании материала можно представить в виде суммы трех слагаемых, представляющих линейно-упругую, нелинейно-упругую и неоднозначную часть напряжения. Нелинейность кривой ст(є) приводит к зависимости частоты колебаний от амплитуды, неоднозначность - к рассеянию энергии. Поскольку проявление неупругости, связанное с наличием петли гистерезиса, уже свидетельствует о нелинейном поведении материала, можно было бы считать нелинейность (дефект модуля) просто следствием неупругости. Однако можно получить петлю гистерезиса и без дефекта модуля.
В качестве исходных зависимостей возьмем известные уравнения Н. Н. Давиденкова [43] а = Е{є + т] п-1[(є±є0)-2п-1є]}, (3.3.1) где Т],п - параметры петли гистерезиса; є0 - амплитуда деформации; Е - модуль упругости. Найдем срединную кривую петли гистерезиса, определяющую эффективный модуль упругости a = ±i = -2[(o+)"-(o-f)"]. (3.3.2) 2 2п
Если из уравнений (3.3.1) вычтем (3.3.2), то получим отрезки, которые необходимо отложить вверх и вниз от кривой сгс , чтобы получить точки петли гистерезиса: Да = ACT = -—[Оо + є)" + (єо - є)" -2"4]- (3-3-3) 2 и
С учетом (3.3.3) уравнения (3.3.1) можно представить в виде а = Еє+ [(є0+є)" -(є0-є)"]? [(є0 +єу +(о -є)п "2"eg], (3.3.4) 2п 2п где первое слагаемое дает линейную часть напряжения, второе - нелинейную и третье - неупругую или гистерезисную часть. Как видим, нелинейные и неупругие свойства связаны между собой, т.е. дефект модуля зависит от величины рассеяния энергии и наоборот. Такая жесткая связь при неточной аппроксимации экспериментальных данных может привести к большим погрешностям при построении кривых резонансных колебаний системы ввиду известной произвольности выбора аппроксимирующих функций. Как показано в работах [119, 162] параметры гистерезисных уравнений целесообразно определять по двум различным испытаниям, например, по зависимости рассеяния энергии от амплитуды колебаний и зависимости собственной частоты колебаний испытуемого образца от амплитуды.
Используя приведенные соображения, можно построить уравнения, описывающие нелинейные и неупругие свойства материала раздельно. При всей искусственности такого предложения это позволяет сосредоточить внимание на наилучшей аппроксимации опытных данных и описать форму петли гистерезиса с достаточной точностью.
Если предположить, что динамический модуль упругости реальных материалов - функция деформации, и зависит от знака скорости деформирования, то достаточно общим его выражением будет ряд [47] = Е (3.3.5) 1+2(1+1) ( 7,-+ -signe) да дє где слагаемые с коэффициентом rji определяют нелинейность, а с коэффициентом y igns - неоднозначность при нагрузке и разгрузке материала. Интегрируя (3.3.5), получим п i+i а = Е + C. (3.3.6) i-0
Для установившихся циклических деформаций постоянные интегрирования С находим из условий симметрии и замкнутости петли: (Т = -В при є = 0; ст = а при = ±0. (3.3.7) Подставляя условия (3.3.7) в уравнения (3.3.6), получаем С--ІГІ4+1 с-2г 4+1. (3.3.8) і=0 і=0 С учетом (3.3.8) уравнения (3.3.6) принимают вид e = EL+2[rjiSi+l+ri signf( l+1 -4+1)]. (3-3.9)
Из уравнений (3.3.9) можно получить некоторые из предложенных ранее вариантов описания петли гистерезиса. Так, используя метод гармонической линеаризации [ПО], получаем линеаризованный вариант уравнений (3.3.9), обобщающий известные варианты условной вязкоупругой схемы описания гистерезиса [112]. ds & = /о+ 2о(-о) + г0 — , (3.3.10) at где /0 = Еє + — J 6-s0(l + cosy/)dy/, 2/Т о \ 2/г 70 = j оє0(\ + cos\i/)cosy/dy/, 7ГЄ0 о J 2л- _ r0 = J 7oO + cos у) siny/dy/, я Q О = 0(l + costftf), ds/dt = -0cosincot. (3.3.11)
Рассматривая, de/codt как некоторый оператор, приводящий к отставанию по фазе гистерезисной части напряжений от линейной составляющей на угол 7г/2, легко увидеть аналогию с оператором ±-yjl — e /0 в уравнениях Е. С. Сорокина при гармоническом законе деформирования [166]
Приведение разрешающих уравнений стационарных колебаний конструкции к системе с симметричной ленточной матрицей
Уравнения (4.1.24), полученные в предыдущем параграфе, содержат квадратные матрицы [/,, j (i ,j = 1;2) порядка п, где п - число неизвестных узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции. Для реальных конструкций это число может быть достаточно большим. А если учесть, что полная матрица системы (4.1.24) имеет порядок In, то весьма актуальной становится проблема ограниченности оперативной памяти ЭВМ, необходимой для размещения данной системы.
Общепринятым подходом к решению этой проблемы является разложение вектора узловых перемещений конструкции по собственным формам колебаний Н = [Ф]{ 1}, (4.2.1) где [ф] - прямоугольная матрица, столбцами которой являются первые т собственных форм, определяемых из уравнений свободных колебаний конструкции без демпфирования [M]{r} + W{r} = 0 (4.2.2) путем подстановки в них выражения (4.2.1) при {q} = {qQ }elC0t. Аналогичные разложения можно записать для векторов {га } и {гь }, входящих в систему (4.1.24): кЬИЫ; М=[Ф]Ш- (4.2.3) 150 Компоненты векторов {qa } и {qb } определяются выражениями Яа,к тйо,к cos Яь,к -Яо,к s m Pk- (4.2.4) Подставляя (4.2.3) в систему (4.1.24) и используя процедуру метода Бубнова-Галеркина, приходим к системе уравнений [Вп] [В12] [52l] [#22 ] о (4.2.5) с числом неизвестных 2т « 2п . Матрицы [5,- ] (/; j = 1;2) и вектор {Q0 } в (4.2.5) определяются выражениями {Вц ] - [Ф]Т [Ktj ][Ф], {Qo } - [Ф]т {Ро} (4.2.6)
Из системы (4.2.5) определяются векторы {qa }, {qb }, а затем с помощью разложений (4.2.3) вычисляются векторы {га } и {гь }.
Однако следует отметить, что задача определения собственных форм и частот колебаний сложных конструкций (даже не полностью, а лишь частично) представляет достаточно сложную проблему [67, 114], и также требует большого объема оперативной памяти, необходимой для размещения матриц [К] И [М]. Кроме того, возникает проблема выбора числа собственных форм и оценки точности полученного решения [80].
Второй путь к сокращению необходимого объема оперативной памяти ЭВМ и времени решения системы (4.1.24) состоит в учете симметрии и разреженности матриц [- ,-,-] (/;у=1;2), составляющих полную матрицу данной системы. Если расчетные сечения, совпадающие с одним из семейств делительной сетки конечно-элементной модели конструкции, располагаются последовательно, то при определенной нумерации узлов ненулевые элементы матриц \Kij ] получаются расположенными вблизи их главных диагоналей.
Часть симметричной матрицы, включающая главную диагональ и ненулевые диагонали, расположенные выше и ниже ее, представляет ленту, а число диагоналей в ней с вычетом единицы называется шириной ленты. Симметрия и ленточная структура систем разрешающих уравнений широко используются при решении задач статики конструкций. Экономия необходимого объема оперативной памяти, а также сокращения времени решения системы достигаются формированием не всей матрицы, а только ее части в виде прямоугольного массива, столбцами которого являются соответствующие диагонали ленты.
Математическая запись преобразования системы (4.1.24) к системе с симметричной ленточной матрицей имеет вид [180,192] Со} 0 [L]{s} = [L]T\ [Lf (4.2.7) [Кц] [К12] .[ 2l] fez] где {s} = {rha г1Ь r2 а г2Ь ... rnarnb}; [b] - матрица упаковки, определяемая из выражения \-[L]{s]. (4.2.8) Элементами матрицы [L], как видно из (4.2.8), являются нули и единицы.
Однако практическая реализация преобразования (4.2.7) требует еще большего объема оперативной памяти, чем необходимо для формирования и решения системы (4.1.24). Поэтому преобразование типа (4.2.7) имеет смысл выполнять не для всей конструкции, а на уровне конечных элементов, что приводит к уравнениям [Ks]m{s}m={Ps}m, (4.2.9) где [K.L-M IXuL 1кп] YK2\ L [ 22 ] [L]m, {Ps)m=[L]Tm о (4.2.10) Матрицы [ ;;]m (i ,j = l ,2) конечного элемента т формируются аналогично матрицам \К \ для всей конструкции, как показано в выражениях (4.1.25). Для определения матрицы [Ь]т преобразование (4.2.8) следует записать на уровне конечного элемента:
