Введение к работе
Актуальность работы. Обеспечение устойчивости конструкций, состоящих из тонкостенных элементов типа стержней, пластин и оболочек, является важным этапом расчета при проектировании сооружений, машин или оборудования. В настоящее время в теории устойчивости упругих систем под действием статических нагрузок имеются хорошо разработанные методы расчета и исследованы многие задачи. Задачи динамической устойчивости конструкций при ударных нагрузках, которые испытывают машина или сооружение в процессе эксплуатации или при возникновении «нештатной» ситуации разработаны в меньшей степени. Характер потери устойчивости при динамических и ударных нагрузках существенно отличаются от статической, появляются более высокие формы, конструкции могут выдержать нагрузки, в несколько раз превышающие их статическую критическую нагрузку.
Несмотря на относительно большое количество работ в этой области, проблема далека от завершения. Имеющиеся в литературе результаты относятся лишь к случаям мгновенного приложения продольной нагрузки. Недостаточно исследовано влияние граничных условий при потере устойчивости на малых временах (при «больших» ударных силах), не рассмотрены в литературе и нет в справочниках результатов по потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при часто встречающихся способах закрепления. Много проблем остается в задачах потери устойчивости при ударе с учетом упругопластических деформаций. Поэтому существующие математические модели требуют дальнейшего дополнения и уточнения. Отсюда вытекает актуальность разработки новых подходов к моделированию самого явления и адаптации математических методов в данном классе задач.
Целью работы является математическое моделирование и разработка комбинированных численно-аналитических методов для решения задач потери устойчивости тонкостенных элементов конструкций при продольном ударе с учетом неоднородности напряженного состояния по длине элементов, вызванного волновыми процессами распространения деформаций. Для достижения этой цели решены следующие задачи:
-
Построены новые математические модели в задачах о потере устойчивости упругих и упругопластических тонкостенных конструкций в виде стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.
-
Разработаны численно-аналитические методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами и переменной границей области определения решений, описывающих потерю устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.
-
Разработанные численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса программ.
-
На основе комплекса программ проведено математическое моделирование потери устойчивости стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе с применением уточненных моделей нагружения при упругих и упругопластических деформациях.
Научная новизна работы.
-
-
Математические модели потери устойчивости упругих и упругопластических стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе обобщены на случаи, учитывающие неоднородность напряженного состояния, вызванную конечностью скорости распространения упругих и упруго-пластических волн.
-
Разработаны численно-аналитические методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и решены новые задачи о потере устойчивости стержней и цилиндрических оболочек переменной длины при продольном ударе.
-
Разработана методика определения критических параметров (нагрузки, длины или времени) явления потери устойчивости для различных законов нагружения и граничных условий стержня и оболочки при первом прохождении продольной волны вдоль указанных элементов.
Практическая значимость. Результаты диссертационной работы используются на ЗАО «Казанский Гипронииавиапром» и ООО «ПРИС Меткон» при проектировании стальных конструкций на действие динамических нагрузок. На основе предложенных в работе методик и алгоритмов, разработан комплекс программ. Также полученные результаты могут быть использованы при проектировании конструкций в строительстве, машиностроении, в авиационной и горнодобывающей промышленности, подвергаемых ударным нагрузкам, для обеспечения работоспособности конструкций в «нештатных» ситуациях, в биомеханике для разработки методик безопасной деятельности человека при ударных воздействиях.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы: метод характеристик для решения волновых уравнений, метод разложения функций в ряды Фурье, метод Бубнова-Галеркина, методы решения линейных алгебраических уравнений бесконечного порядка, метод Гаусса для вычисления определителей.
Достоверность результатов исследования обеспечивается использованием при моделировании фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела; применением известных математических методов; математическим обоснованием сходимости примененных методов; численными экспериментами на сходимость решений; хорошим качественным и количественным согласованием с теоретическими и экспериментальными результатами, имеющимися в литературе.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных республиканских научно-технических конференциях КГАСУ (Казань, 2003 - 2012гг.); на городском семинаре кафедр теоретической механики г. Казани (2010г. и 2012г.); на VII - X Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Крым, Алушта, 2004, 2006, 2008, 2010гг.); на Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007); на Международном семинаре, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В. Саченкова (Казань, 2008); на Всероссийском семинаре, посвященного столетию проф. М.Ш. Аминова (Казань, 2008); на Всероссийском семинаре, посвященного столетию проф. П.А. Кузьмина (Казань, 2008), на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012г).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 2Q работ, из них 13 статей, 3 тезиса докладов, 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. В том числе, 3 статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
(1)
Здесь u(x, t), w(x, t) - продольное перемещение и прогиб сечения стержня; P(x) - функция распределения продольных усилий по длине стержня; J, F - минимальный момент инерции и площадь поперечного сечения стержня соответственно; р, E, G, k - плотность, модуль упругости, модуль и коэффициент сдвига материала стержня соответственно; wQ (x,0) - начальная погибь стержня; a0- скорость продольной волны в стержне (скорость звука в материале).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, из них 148 страницы основного текста, включая 25 таблиц и 5Q рисунков. Список литературы насчитывает 1QQ наименований.
Похожие диссертации на Математическое моделирование и численно-аналитические методы расчета устойчивости тонкостенных конструкций при продольном ударе
-
