Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ударные системы. проблемы анализа ударных процессов
1.1. Ударные технологии в технических системах 11
1.2. Стержни с изменяющейся продольной жесткостью в силовых импульсных системах 15
1.3. Модели продольного удара 22
1.4. Обзор исследований продольного удара стержней на основе волновой модели 36
Глава 2. Методы решения волновых уравнений движения стержня на базе модели плоского удара Сен-Венана
2.1. Метод Даламбера 41
2.2. Метод характеристик 42
2.3. Метод, основанный на использовании теоремы об изменении количества движения механической системы 43
2.4. Графоаналитический метод Луи Бержерона 46
2.5. Метод суперпозиции волн 49
2.6. Метод Фурье 51
2.7 Метод операционного исчисления 54
2.8 Постановка задач исследований 59
Глава 3. Разработка модели продольного удара стержней с изменяющейся продольной жесткостью при неудерживающих связях
3.1 Конечноэлементная модель стержня с изменяющейся продольной жесткостью 61
3.2. Преобразование продольной волны деформации на границе сопряжения разнородных участков стержня 66
3.3 Модель разрыва неудерживающей связи и возможность повторного удара в стержневой системе 69
3.4 Поле волновых состояний участков стержневой системы и его моделирование 73
3.5. Экспериментальные исследования волновых процессов при продольном ударе по стержню 79
Глава 4. Моделирование волновых процессов на этапе разгона стержня для нанесения удара
4.1 Моделирование волновых процессов на этапе разгона однородного стержня под действием постоянного давления на торце 83
4.2 Моделирование волновых процессов при разгоне ступенчатого стержня при действии постоянного давления на торце и последующим ударом о жёсткую преграду 89
4.3. Моделирование волновых процессов на этапе разгона Конического стержня под действием постоянного давления на торце 97
Глава 5. Моделирование волновых процессов при продольном ударе стержней различной конфигурации о жесткую преграду
5.1 Моделирование волновых процессов при продольном ударе однородного стержня о жёсткую преграду 113
5.2. Моделирование волновых процессов при продольном ударе ступенчатого стержня о жесткую преграду 117
5.2. Моделирование волновых процессов при продольномударе конического стержня о жесткую преграду 125
5.4. Моделирование волновых процессов при продольном ударе по системе стержней с неудерживающими связями и жесткой преградой 138
Глава 6. Моделирование волновых процессов при продольном ударе стержней различной конфигурации о полу ограниченный стержень
6.1. Моделирование волновых процессов при продольном ударе однородного стержня о полуограниченный стержень 157
6.2. Моделирование волновых процессов при продольном ударе ступенчатого стержня о полуограниченный стержень 162
6.3. Моделирование волновых процессов при продольном ударе конического стержня о полуограниченный стержень. 173
Глава 7. Моделирование восстановления скорости при продольном ударе стержней различной конфигурации о жёсткую преграду
7.1. Моделирование восстановления скорости при продольном ударе однородного стержня о жёсткую преграду 182
7.2. Моделирование движения и восстановления скорости ступенчатого стержня при ударе о жёсткую преграду 183
7.3. Результаты расчёта коэффициента восстановления для ступенчатых стержней при ударе о жёсткую преграду 188
Глава 8. Моделирование волновых процессов при продольном ударе ступенчатого стержня о стержень, взаимодействующий с технологической средой
8.1. Волновая модель продольного удара ступенчатого стержня о стержень, взаимодействующий с технологической средой 193
8.2. Модели характеристик сопротивления технологической среды 196
8.3. Моделирование ударного нагружения рабочего инструмента гидромолота «Импульс-600» 200
Заключение 226
Библиографический список 228
Приложение 245
- Стержни с изменяющейся продольной жесткостью в силовых импульсных системах
- Метод, основанный на использовании теоремы об изменении количества движения механической системы
- Модель разрыва неудерживающей связи и возможность повторного удара в стержневой системе
- Моделирование волновых процессов при разгоне ступенчатого стержня при действии постоянного давления на торце и последующим ударом о жёсткую преграду
Введение к работе
Актуальность работы. Удар — физический процесс, который широко используется в практической деятельности. Технологии с использованием удара перспективны, они позволяют воздействовать на обрабатываемый объект с огромными усилиями. Эффективность применения таких технологий во многом обусловлена тем, что разрушение материала или его деформирование во многих технологических процессах определяется уровнем возникающих сил.
В ударной системе можно реализовать еще одно преимущество: тело, наносящее удар, и обрабатываемый объект могут быть расположены на различных участках технологического пространства. Передача механической энергии для совершения работы при продольном ударе осуществляется с использованием стержневых систем. Естественно, что их эффективность может быть достигнута, если располагать достаточными знаниями и представлениями о происходящих динамических процессах.
Исследования отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам продольного удара в стержневых системах, показали, что наиболее адекватно описывает динамику процесса волновая модель продольного удара. Направления исследований, как правило, ориентированы либо на поиск аналитических решений тех или иных моделей продольного удара, либо на построение вычислительных процедур и моделирование.
В данном исследовании ставится и решается проблема моделирования волновых процессов при продольном ударе в стержневых системах неоднородной структуры на основе волновой модели плоского удара.
Целью работы является повышение эффективности анализа напряженно-деформированного состояния элементов стержневых систем и выбора перспективных схем путём разработки моделей, алгоритмов и про-
граммного обеспечения для моделирования динамических процессов при продольном ударе в стержневых системах неоднородной структуры. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
Анализ существующих подходов к исследованию проблемы продольного удара с целью обоснования модели, адекватно описывающей физические процессы при ударе.
Анализ методов решения волновых уравнений, описывающих продольный удар, с целью обоснования и выбора схемы решения, обеспечивающей разработку эффективного алгоритма расчета и математического моделирования процесса продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры.
Разработка элементной модели стержневой системы, обеспечивающей возможность математического моделирования волновых процессов при продольном ударе в стержневых системах неоднородной структуры.
Разработка эффективных алгоритмов расчета и моделирования волновых процессов при продольном ударе в стержневых системах неоднородной структуры с учетом формирования и распространения волн деформаций, неудерживающих связей, возникновения повторных ударов.
Разработка комплекса программ для ЭВМ, реализующих предложенные алгоритмы.
Математическое моделирование продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры; анализ напряженно-деформированного состояния элементов системы, направленный на повышение их эффективности.
Методы исследования. При решении поставленных задач в диссертационной работе использованы методы аналитических и численных решений дифференциальных уравнений (метод Даламбера, метод характеристик; методы, основанные на использовании теоремы об изменении коли-
7 чества движения механической системы; метод суперпозиции волн), методы математического моделирования.
Научная новизна результатов, выносимых на защиту
Модель продольного удара стержневой системы, представленной совокупностью сопряженных конечных элементов, с учётом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей в системе.
Алгоритмы расчета и моделирования волновых процессов в стержнях различной конфигурации на этапах разгона перед нанесением удара, непосредственно в процессе удара, в процессе движения системы после завершения удара с возможностью возникновения повторных ударов.
Программное обеспечение, позволяющее моделировать процессы формирования и распространения волн деформаций в стержневых системах неоднородной структуры, осуществлять автоматизированное построение поля волновых состояний с возможностью активировать информацию о волновых состояниях в произвольных областях этого ПОЛЯ.
Результаты моделирования волновых процессов при движении стержней различной конфигурации перед нанесением удара, позволившие дать новые представления о состоянии стержней в момент нанесения удара, определить границы применимости существующих подходов при описании начальных условий в дифференциальных уравнениях для задач продольного удара.
Результаты моделирования продольного удара стержней различной конфигурации, позволившие построить картину об их напряженно-деформированном состоянии, выявить наиболее опасные зоны, дать предложения для построения более эффективных ударных систем.
6. Результаты моделирования продольного удара о жесткую преграду
стержней различной конфигурации, позволившие дать новые представ-
8 ления о состоянии стержней после завершения удара, определять важный в теории удара параметр — коэффициент восстановления скорости стержня в зависимости от его формы.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов обеспечивается применением законов механики, одномерной волновой теории удара, результатами экспериментов о волновом характере протекающих процессов при продольном ударе, строгими математическими выкладками при решении краевых задач для волнового дифференциального уравнения, соответствием результатов численного и аналитического расчетов.
Практическая ценность
Программный комплекс позволяет в десятки раз сократить процесс расчета и моделирования при проектировании различных технических систем, использующих технологии продольного удара.
В результате моделирования соударений двух- и трехступенчатого стержней установлено существование зоны нечувствительности, свойством которой является практически отсутствие влияния положения сопряженного сечения ступеней на значение максимальных продольных деформаций, формируемых в опасном сечении в процессе удара. Существование такой зоны расширяет технические возможности построения более рационального расположения силовых каналов, обеспечивающих силовое воздействие на ударник при организации его периодического движения.
Осуществлено моделирование и анализ напряженно-деформированного состояния рабочего инструмента (пики) гидравлического молота «Им-пульс-600» при продольном ударе и взаимодействии рабочего инструмента с технологической средой.
9 Реализация результатов работы
Результаты диссертационной работы использованы в научно-проектной деятельности лабораторий «Силовых импульсных систем» и «Камнедобы-вающих комплексов» Института машиноведения Национальной Академии Наук Кыргызской Республики (ИМАШ НАН КР, г. Бишкек), а также в проектной деятельности ФНЦП ОАО НПО «МАРС» (г. Ульяновск), что подтверждается соответствующими актами внедрения.
Разработанная процедура моделирования рекомендована для использования в учебном процессе в разделах учебных дисциплин по теоретической механике (восстановление скорости твердого тела при прямом ударе), по сопротивлению материалов (расчет стержней при ударном нагруже-нии).
Работа выполнялась по г/б НИР «Моделирование продольного удара в стержневых системах сложной структуры», номер гос. per. №01200706601.
Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», ГК № П 1122.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2007); международной конференции «Проблемы динамики и прочности исполнительных механизмов и машин» (Астрахань, 2007); 19-й международной интернет-конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2007); седьмой международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2009); международной научно-практической конференции «Наука и производство - 2009» (Брянск, 2009), международной научной конференции
10 «Актуальные проблемы механики и горного машиноведения, развития науки и интеграции вузов» (Республика Кыргызстан, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа, в том числе 3 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, и 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Стержни с изменяющейся продольной жесткостью в силовых импульсных системах
Виброударпые механизмы для генерирования силовых импульсов создают в инструменте, взаимодействующем с обрабатываемой средой, периодические ударные нагрузки, которые в виде ударных воли достигают технологической среды, разрушают или деформируют ее. Возбуждение ударных нагрузок осуществляется в результате возвратно-поступательного движения ударной массы и ее периодических соударений с рабочим инструментом.
Возвратно поступательное движение ударника можно осуществить с помощью различных механизмов: пневматических, гидравлических, электромагнитных, рычажных, кулачковых и других. Такие схемы ударных механизмов широко реализованы в практике.
Широкое применение в практике получили системы пневматических виброударных механизмов, структура которых представлена на рис. 1.6.
Поршень-ударник 4 представляет собой ступенчатый стержень. Такая конфигурация стержня обусловлена его технологическими задачами: иметь как можно большую площадь для обеспечения большей силы давления сжатого воздуха при разгоне ударника и меньшую площадь для обеспечения меньшей силы давления при возврате ударника в исходное положение.
Рабочий инструмент 2 также представляет собой ступенчатый стержень. Его конфигурация обусловлена наличием упорного участка большего диаметра, чем остальная часть стержня. Этот участок ограничивает взаимные перемещения корпуса 3 ударного механизма и рабочего инструмента 2. Характерная схема ударника пневматического ударного механизма показана па рис. 1.7.
На рис. 1.8. показаны конструктивная схема и принцип действия пневматических ударных механизмов серии L финской фирмы «Тамрок».
Рабочий ход бойка в пневматических ударных механизмах осуществляется под действием силы, обусловленной давлением воздуха на поршень. Перемещая боек, эта сила совершает работу, которая затрачивается па увеличение кинетической энергии бойка. Отсюда следует, что энергия удара пневматического ударного механизма зависит от давления воздуха и полезной площади поршня. Отличительной особенностью конструкций бойков пневматических ударных механизмов является большая величина диаметра поршня. Например, в бойках пневматических механизмов серии L поршни имеют диаметр 125—130 мм при диаметре штока бойка порядка 45—60 мм.
Из анализа схем, приведенных на рис. 1.9, видно, что штоковый участок бойка 2 не связан с рабочим процессом в механизме. Поэтому его размеры могут определяться из условия формирования в буровой штанге рациональных волн деформаций. Изменяя длину этого участка, можно мепять массу бойка, а следовательно, и энергию удара без изменения остальных конструктивных параметров механизма.
Аналогичную структуру имеют и гидравлические виброударные системы, один из вариантов исполнения которых показан на рис. 1.9.
В этих системах виброударные движения поршня-ударника 4 возбуждаются за счет возникновения в рабочих камерах (камеры К1 и К2 на рис. 1.9) импульсов давления рабочей жидкости при се поочередном соединении с напорной и сливной магистралями гидросистемы с помощью распределителя 5.
Известен ряд конструктивных схем гидравлических ударных машин с силовыми сие темами переменной структуры. Одна из схем данной группы реализована в конструкции гидравлических молотов типа Г1ІМ (рис. 1.10).
В этих молотах имеются две подвижных детали: поршень-ударник и иоршень-клаиан. Связь между ними периодически разрывается и восстанавливается, и они движутся то совместно, то независимо. В период совместного движения клапана и поршня-ударника при холостом ходе имеется гидравлическая связь между насосом и исполнительным устройством (рис. 1.10, а), а в период их независимого движения при рабочем ходе (рис. 1.10, б) эта связь разрывается и движение поршня происходит иод действием давления газа в пневмоаккумуляторе, т. е. упругой связи. В этой необычной для гидравлических ударных машин схеме имеется период в рабочем цикле, когда насос соединяется непосредственно со сливной магистралью и происходит силовое замыкание кинематической цепи клапан -поршень-ударник (рис. 1.10, в).
В системах прямого действия (рис. 1.11, а) управляемой является камера Kt рабочего хода, в системах обратного действия (рис. 1.11,6)- камера К_ холостого хода, а в системах двойного действия - обе камеры исполнительного устройства.
Статическая стабилизация воздействия ударного механизма на опору может быть реализована при создании силовых систем гидравлических ударных машин, в частности систем обратного действия (см. рис. 1.11), при обеспечении воздействия силы холостого хода на ударную массу и непосредственно на инструмент. В этом системы обратного действия имеют определенные преимущества перед другими системами прямого и двойного действия.
Исследователи длительное время пытаются реализовать способы стабилизации воздействия ударных механизмов, на опору, основанные на использовании динамических эффектов.
В ряде работ обоснована схема динамической стабилизации, предполагающая использование с этой целью колебаний корпуса ударного механизма (рис. 1.12).
Показано [14], что устойчивая работа системы масс может быть достигнута при постоянном силовом воздействии ударного механизма на опору. Указана возможность снижения этого воздействия за счет уменьшения ударной массы и увеличения се скорости. Ударные машины, обеспечивающие постоянное воздействие на опору, принято называть «идеальными вибробезопасными машинами ударного действия» [14].
Схема естественной двухмассовой динамической стабилизации взаимодействия ударных механизмов с опорой (рис. 1.12) является объектом исследований в области виброзащиты установочных приспособлений за счет выбора рациональных характеристик упругих элементов и формирования рациональных силовых диаграмм.
Эта схема успешно применяется и при создании гидравлических отбойных машин-гидромолотов в отечественной (гидромолоты типа ГПМ-120) и в зарубежной практике (гидромолоты фирм Моптаберт, Франция, Коне и Роксон, Финляндия). Схема отличается простотой в конструктивной реализации; в ней выгодно используется обычно достаточно значительная масса корпуса, что позволяет достичь необходимого эффекта при его относительно малых колебаниях. Данная схема является перспективной для применения в сиЛовых системах гидравлических ударных машин различного назначения.
Метод, основанный на использовании теоремы об изменении количества движения механической системы
Данный подход изложен Александровым Е. В. и Соколинским В. Б. в работе [11]. Решение волновых уравнений в частных производных точными методами лишает его должной наглядности. Поэтому авторы сочли целесообразным изложить решения, используя лишь основные законы динамики и исходное положение волновой теории удара, утверждающей конечность и определенность скорости распространения напряжений и деформаций в теле.
Допущениям плоской теории продольного удара в наибольшей степени отвечает совершенно соосное соударение стержней одинакового или близкого сечения, имеющих идеально плоские торцы, абсолютно перпендикулярные осям стержней. В этом случае (рис. 2.1) удар произойдет одновременно по всей плоскости торца. Следовательно, все точки, лежащие на поверхности контакта, с самого начала окажутся в одинаковых или почти одинаковых условиях. Вследствие этого они получают одинаковые перемещения, скорости, напряжения и, таким образом, полностью удовлетворяют основным допущениям плоского продольного удара.
На рис. 2.1, а изображено положение стержней до удара; на рис. 2.1, б - эти же стержни во время удара. Указаны также принятые положительные направления сил и скоростей.
Приняты следующие условные обозначения: А1 и А2 - площади поперечных сечений стержней; pi и р2 — плотности материалов, из которых изготовлены стержни; Nx и N2 - начальные силы, сжимающие стержни до удара; У0[ и V02- начальные скорости стержней (они могут быть направлены и навстречу друг другу); ах и а2 - скорости распространения продольной волны по стержням; V— мгновенная скорость контактной площадки; N - сила ударного взаимодействия между стержнями или сила удара.
Приравнивая изменение количества движения импульсу сил, находим для первого стержня Для второго стержня
Входящие в выражения (2.3.1) и (2.3.2) произведения плотности тела на скорость продольной волны (ра) называют акустической жесткостью материала, или его импедансом, или его волновым сопротивлением.
Произведение акустической жесткости на площадь поперечного сечения тела (р,Да, = Сх,р2А2а2 = С2), входящее в выражения волновой теории удара, называют ударной жесткостью тела. Тогда выражения (2.3.1) и (2.3.2) примут вид
Из этих выражений видно, что приращение силы удара пропорционально ударной жесткости тела и потере начальной скорости. Заметим также, что выражения (2.3.3) и (2.3.4) аналогичны выражениям, полученных ранее по методу характеристик.
Метод расчета ударных систем, разработанный Луи Бержероиом [45], аналогичен рассмотренному выше методу характеристик. Применение этого метода можно найти во многих работах, посвященных проблемам расчета динамических нагрузок при ударе [13, 19, 23, 29, 94, 96, 220]. Рассмотрим его особенности на примере соударения двух стержней различной ударной жесткости (схема соударения представлена на рис. 2.2, а).
Предположим, что по стержню 1 к ударному сечению подходит в виде прямой волны начальное волновое состояние, имеющее параметры V = Vm и N = Nol. По стержню 2 к ударному сечению подходит начальное волновое состояние с параметрами V = V02 и N = NQ2. При ударе в результате взаимодействия начальных состояний в контактном сечении возникает волновое состояние 1 (продольная сила Л и скорость контактного сечения Vx).
Это волновое состояние распространяется в виде обратной волны по стержню 1 и в виде прямой волны по стержню 2. Через время dt от начала его возникновения этим состоянием будут охвачены участки длиной axdt (в стержне 1) и a2dt (в стержне 2).Массы этих участков будут соответственно равны dmx — pxAxaxdt и dm2 = p2A2a2dt, где Ах, Л2 -площади поперечных сечений соударяемых стержней; рх, р2— плотность материала стержней;яр а2— скорости распространения волновых состояний.
Модель разрыва неудерживающей связи и возможность повторного удара в стержневой системе
Таким образом, деформация в сечении с пеудерживающеи связью, а значит и условия разрыва пеудерживающеи связи целиком зависят от значения прямой волны fiat - L), падающей на ударное сечение. Подставив (3.3.7) в (3.3.5) и получим условие, при котором не происходит разрыва связи в ударном сечении
Из (3.3.8) следует, что взаимодействие стержня с абсолютно жёсткой преградой продолжается до тех пор, пока падающая прямая волна f {at - х) положительна.
В определённый момент времени к ударному сечению подходит отрицательная прямая волна и происходит разрыв. С учётом (3.3.4) сечение x-L стержня начинает двигаться с отрицательной скоростью, то есть в направлении от преграды.
Однако, переместившись на определённое расстояние u(L,t) 0, могут возникать ситуации, когда в сечении х = L снова начнёт действовать положительная прямая волна f (at —х), и сечении начнёт сближение с преградой. Когда расстояние между торцом стержня и преградой станет равным нулю, произойдёт повторный удар. Длительность повторного ударного взаимодействия определяется длительностью положительной прямой волны, падающей на ударное сечение.
При практической реализации модели движения неоднородного стержня, стержень представляется конечным множеством последовательно сопряжённых участков, длина которых А/ одинакова для всех участков. Это обеспечивает одинаковое время распространения волн по участкам стержня At = — и позволяет оптимальным образом осуществить дискрсатизацию времени моделирования. Каждый участок однороден в пределах своих границ.
Поскольку в процессе распространения волны на однородном конечном участке её параметры не меняются. А изменения, процессы прохождения волн через границу и отражения волн, происходят в моменты времени, когда волна достигает границы сопряжения участков. То за интервал моде дирования принимается величина At = —. 1 о есть расчет значении волн происходит в моменты времени, кратные А/, в моменты формирования на границах сопряжения новых прямых и обратных волн. Исходя из этого, можно заключить, что разрыв неудерживающеи связи происходит именно в момент времени кратный At, когда сформированная на границе сопряжения участка с ударным торцом и предшествующего ему, достигает ударного сечения. Далее, ударный торец на интервалах времени At движется равномерно и под действием отрицательных прямых волн удаляется от преграды па расстояние u(L,t). Предположим, что ударное сечение снова начинает двигаться в сторону жёсткой преграды. Однако, скорость с которой происходит движение, отличается от той, с которой стержень удалялся от преграды и на определённом интервале At может произойти ситуация, когда u(L,t) 0. Это означает что на данном интервале моделирования произошёл повторный удар. В большинстве случаев при расчетах оказывается, что u(L,t) 0 (чего не может быть при столкновении с абсолютно жёсткой преградой), и необходимо вычислить время начала повторного удара (не кратное At), когда u(L,t) = О. Вычисление производится следующим образом
Моделирование волновых процессов при разгоне ступенчатого стержня при действии постоянного давления на торце и последующим ударом о жёсткую преграду
В работе рассмотрен процесс формирования и распространения воли деформаций в ступенчатом стержне, когда на один торец действует постоянное давление, а другим торцом стержень наносит удар по абсолютно жёсткой преграде.
Схема ударной системы показана на рис. 4.13. Ступенчатый стержень состоит из 2-х участков. Площадь поперечных сечений участков соответственно Ах и А2. Длина первого участка равна /,, длина второго - L—/,. Общая длина стержня L. В момент времени t0 = О стержень неподвижен и не деформирован, на левый торец стержня начинает действовать давление р0. Сечения стержня начинают двигаться к жесткой преграде. В момент времени ts правый торец, преодолев расстояние s, наносит удар по абсолютно жёсткой преіраде. В этот же момент действие давления р0 прекращается.
Движение поперечных сечений стержня описывается волновыми уравнениями вида при соответствующих начальных где ux{x,t) и u2(x,t) - перемещение поперечных сечений стержня, положение которых определяется координатой х, для соответствующих участков стержня; а - скорость распространения звука в материале стержня; Е -модуль упругости 1-го рода материала стержня; А{ и Аг - площади поперечных сечений соответствующих участков стержня; t - время; ts - время разгона; P(t) = p0(t)Ai - сила, причём на интервале времени t0 t ts Pit) = A{Po(t) = AiPo = P, а при t ts P{t) = AiPo(t) = 0.
Решение уравнений (4.2.1) по методу Даламбера представим в виде суммы двух функций где ft(at - х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси х (назовём сё прямой волной); (pt{cit + х)- функция, описывающая параметры волны, распространяющейся в обратном направлении (назовём её обратной волной).
Величина относительной продольной деформации в произвольном сечении участка стержня равна
Скорости сечений могут быть определены как Начальные значения функций определяются из начальных условий (4.2.2) с учётом (4.2.12) для всех сечений стержней: Откуда следует, что
В сечении х = 0 формируется прямая волна / (я - х) . Параметры этой волны определяются из граничного условия (4.2.4), откуда с учётом (4.2.11) Для момента времени t0+ = 0 обратная волна При дальнейшем рассмотрении на интервале времени t0 t t функцию P(t) будем обозначать как Р. Перейдём к относительным единицам. Прямые и обратные волны будем представлять как
