Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное решение задач устойчивсти прямого стержня с малой сдвиговой жёсткостью при осевом сжатии с кручением 25
1.0. Вводные замечания 25
1.1. Постановка задачи 26
1.2. Численное решение задачи устойчивости стержня при осевом сжатии с кручением 28
1.3. Результаты численных решений задачи устойчивости прямолинейного стержня и их анализ 33
1.4. Интегрирующие матриц на основе интерполяции лагранжа и оценка их точности 36
1.5. Применение интегрирующих матриц на основе интерполяции лагранжа для решения задачи устойчивости прямолинейного стержня 38
Глава 2. Численное решение задач устойчивости плоских криволинейных стержней при произвольных видах нагружения 41
2.0. Вводные замечания 41
2.1. Нелинейные уравнения равновесия 42
2.2. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия криволинейного плоского стержня с учётом докритических перемещений и углов поворота 46
2.3. Численный алгоритм решения задач устойчивости криволинейного плоского стержня 51
2.4. Численное исследование устойчивости кругового кольца при внешнем давлении и обжатии 53
2.5. Устойчивость арки под действием сосредоточенной силы
Глава 3. Численно-аналитическое исследование неклассических форм потери устойчивости прямоугольной пластины, подкреплённой на контуре стержнем 67
3.0. Вводные замечания 67
3.1. Условия сопряжения торцевых сечений тонких ортотропных оболочек со стержнем при произвольных перемещениях 68
3.2. Линеаризованные уравнения статического равновесия оболочечно-стержневых конструкций с учетом докритических деформационных парамеров 74
3.3. Постановка задачи об устойчивости прямоугольной пластины, имеющей на одной из кромок подкрепление в виде прямолинейного Стержня 76
3.4. Построение алгебраического аналога уравнений нейтрального равновесия 82
3.5. Численный анализ критических нагрузок и фпу. Апробация численной методики 89
3.6. Численное исследование изгибно-крутильных фпу подкрепляющего стержня 93
Глава 4. Устойчивсть соединяемых через шпангоут оболочек вращения при различных видах нагружения 96
4.0. Вводные замечания 96
4.1. Постановка задачи 97
4.2. Редукция сформулированной задачи к системе интегро-алгебраических уравнений 103
4.3. Действие на пшангоут равномерного внешнего давления 110
4.4. Растяжение двух соосных цилиндрических оболочек, соединяемых через шпангоут 116
4.5. Учёт деформационных параметрических слагаемых в уравнениях устойчивости при действии на пшангоут равномерного внешнего давления 120
4.6. Учёт докритических деформационных параметров при растяжении двух соосных цилиндрических оболочек, соединённых через пшангоут 125
4.7. Устойчивость композитной конструкции, состоящей из Оболочек вращения, соединённых через пшангоут 129
4.8. Устойчивость конструкции «сферическая оболочка - кольцо -цилиндрическая оболочка» под действием внутреннего давления 134
4.9. Программный комплекс для реализации численного алгоритма 140
4.10. Формирование интегрирующих матриц 141
4.11. Построение алгебраического аналога линеаризованных уравнений равновесия 142
4.12. Ввод исходных данных 143
4.13. Формирование граничных условий 144
4.14. Формирование данных о действующих нагрузках 144
4.15. Нахождение минимального собственного значения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений 145
Основные результаты и выводы 147
Список литературы
- Численное решение задачи устойчивости стержня при осевом сжатии с кручением
- Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия криволинейного плоского стержня с учётом докритических перемещений и углов поворота
- Линеаризованные уравнения статического равновесия оболочечно-стержневых конструкций с учетом докритических деформационных парамеров
- Учёт деформационных параметрических слагаемых в уравнениях устойчивости при действии на пшангоут равномерного внешнего давления
Численное решение задачи устойчивости стержня при осевом сжатии с кручением
Как было показано в п. 1.3, невозможность получения численного решения задачи устойчивости прямолинейного стержня при некоторых сочетаниях сжимающей нагрузки и крутящего момента, по видимому, объясняется недостаточной степенью точности интегрирующих матриц М.Б.Вахитова [154], основанных на использовании при аппроксимации искомых неизвестных задачи скользящего интерполяционного полинома четвёртой степени. Одним из возможных способов уточнения численного решения рассматриваемой задачи является использование ИМ другого типа, приводящих к симметричной матрице разрешающей системы алгебраических уравнений. В рамках используемого метода конечных сумм к такой системе алгебраических уравнений приводят интегрирующие матрицы Р.З.Даутова [155], основанные на применении интерполяции Лагранжа на подходящей сетке узлов. Методика построения таких интегрирующих матриц, а также их применение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений подробно изложены в работе [155]. Здесь лишь следует указать, что алгоритм построения интегрирующих матриц является ненасыщенным и обеспечивает экспоненциальную точность.
Для оценки точности выполнения операции численного интегрирования с помощью интегрирующих матриц, построенных на основе интерполяции Лагранжа и имеющих в качестве узлов коллокации нули соответствующих полиномов Лежандра в сравнении с выполнением этой же операции с помощью двух других указанных типов интегрирующих матриц, проведем численное вычисление интеграла с переменным верхним пределу лом I = j y(x)dx от известных аналитических функций с различным харак а тером поведения [156] = /10; =smx; уъ = е/ъ, є[-3,3].
Точность численного вычисления указанных интегралов будем определять посредством подсчета величины среднеквадратичной ошибки вычислений = fci«n-U\ (1.4.2) где ITi - точные значения интеграла в узлах сетки интервала интегрирования; Іаі - значение интеграла в узлах сетки, вычисленные с использованием аппроксимаций подынтегральных функций. Результаты расчетов представим в виде зависимости lg а = lg а(и) логарифма среднеквадратичной ошибки вычислений от числа узлов сетки п на интервале интегрирования. На рис. 1.4.1 эта зависимость изображена для первой из указанных функции, на рис. 1.4.2 для второй и на рис. 1.4.3 для третьей. На всех графиках кривой с индексом «1» указана точность вычислений интегралов с помощью интегрирующих матриц, основанных на скользящей полиноминальной аппроксимации, индексом «2» - для интегрирующих матриц, базирующихся на сплайн-аппроксимации. Кривая с индексом «3» соответствует интерполяции Лагранжа, в качестве узлов коллокации которой приняты нули полиномов Лежандра.
Представленные результаты свидетельствуют о том, что точность операции численного интегрирования при использовании третьего типа интегрирующих матриц значительно превосходит ту же точность вычислений с использованием первых двух вариантов интегрирующих матриц и уже при числе сечений, большем п=15, приближается к машинной точности.
Во всех работах, выполненных за последние сорок лет и связанных с использованием интегрирующих матриц М.Б.Вахитова, отмечались хорошая точность и сходимость используемого численного метода. Однако, как показано выше, при их применении к рассматриваемой краевой задаче невозможно получить решения в некоторых расчётных случаях (п.1.3). В связи с этим для решения данной задачи был использован описанный выше модифицированный метод интегрирующих матриц [155], который использует интерполяцию Лагранжа при построении интегрирующих матриц. Решения задачи удалось получить для всех расчётных случаев при различных сочетаниях геометрических параметров стержня, сжимающей нагрузки и крутящего момента (Таблица 1.5.1).
В строках под №1 для сравнения приведены решения, соответствующие описанному выше аналитическому решению [138]. Численные же решения, которые удалось получить методом интегрирующих матриц М.Б.Вахитова при є = 0.5 и 5.0, совпадают с решениями, полученными с помощью ИМ Р.З.Даутова (Таблица 1.5.1).
Основываясь на полученных результатах, следует сформулировать вывод о том, что для получения численных решений рассматриваемых ниже задач при формировании алгебраического аналога системы дифференциальных уравнений задач устойчивости сложно-нагруженных стержней и оболочечно-стержневых конструкций следует использовать модифицированный аппарат интегрирующих матриц, основанный на интерполяции Ла-гранжа.
Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия криволинейного плоского стержня с учётом докритических перемещений и углов поворота
Целью данной главы является построение для плоских криволинейных стержней уточнённых линеаризованных уравнений теории устойчивости исходя из предложенных В.Н.Паймушиным геометрически нелинейных уравнений теории стержней [134, 125]. Такое уточнение заключается в сохранении в линеаризованных уравнениях параметрических слагаемых, учитывающих докритическое деформированное состояние стержня. В указанных работах на базе упрощенных уравнений, построенных с сохранением только «силовых» параметрических слагаемых, были найдены точные аналитические решения задач устойчивости кругового кольца при его, внешнем равномерном давлении и равномерном обжатии в радиальном направлении. Было показано, что при указанных видах нагружения в кольце возможна реализация неклассической изгибно-крутильной ФПУ.
При произвольных видах нагружения кольца в нём формируется в общем случае неоднородное по окружной координате начальное НДС. Одним из наиболее эффективных подходов к решению задач устойчивости элементов конструкций при изменяющихся параметрах НДС вдоль осевой координаты является применение численных методов. При этом применяемые численные методы в силу универсальности позволяют рассматривать различные классы задач с учётом переменности как жесткостных, так и параметров нагружения при различных вариантах закрепления.
В связи с этим для численного решения рассматриваемых ниже одномерных задач для их дискретизации используются модифицированные интегрирующие матрицы [155], в рамках которого исходная система уравнений устойчивости и формулируемые граничные условия сводятся к интегральному виду, включающему интегральные уравнения типа Вольтера 2 го рода. Их дискретный аналог строится путем замены интегральных опе раторов конечно-суммарными с использованием квадратурных формул относительно дискретных узловых значений искомых неизвестных, в качестве которых выбираются старшие производные кинематических функций (перемещений и углов поворота).
В рамках разработанного метода решение задач осуществляется в два этапа. На первом этапе определяются параметры невозмущенного напряженно-деформированного состояния, которые являются исходными данными для второго этапа решения задачи устойчивости. Разработанный численный метод реализован в виде пакета прикладных программ среды системы MATLAB, практическая сходимость и достоверность которого исследовалась при сравнении численного решения с рядом модельных задач.
Вывод геометрически нелинейных уравнений плоских криволинейных подробно изложен в работе [134]. Ниже приведены лишь основные соотношения этой работы, которые понадобятся в дальнейшем.
В работе [134] для определения деформаций удлинений єІ5є2,є3 и сдвигов Yi2,Yi3 Y23 через компоненты перемещений их,и2,иъ предлагается использовать кинематические соотношения, составленные в полном квадратичном приближении и не приводящие к появлению «ложных» бифуркационных решений
Считается, что стержень относится к классу тонких, у которого кривизна к и размеры поперечного сечения удовлетворяют условию \ук\ є, где є«1. В силу этого условия в знаменателях формул (2.1.3) с точностью 1 + є и 1 допустимо принять Нх и 1. Для вектора перемещений принято представление
При использовании выражений (2.1.3) и (2.1.4) формулы для Еар (а,р = 1,2,3) будут иметь вид Исходя из вариационного принципа Лагранжа и приведённых соотношений (2.1.4)-(2.1.9), при действии на стержень произвольной системы внешних сил, приведённых к осевой линии стержня, а в торцевых сечениях - к центру тяжести поперечного сечения, в работе [134], получена: система обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия (Xl,X2,X3,m,mz,mx,t2,t3- усилия и моменты внешних сил, приведённые к осевой линии L )
Исходя из приведённых выше соотношений (2.1.1)-(2.1.6), построим уточнённые линеаризованные уравнения нейтрального равновесия стержня с сохранением в них докритических как «силовых», так и «деформационных» параметрических слагаемых. С этой целью введём в рассмотрение вектор вектор, соответствующий новому возмущённому состоянию равновесия; }- вектор с ком понентами перемещений точек оси стержня и углов поворота поперечного сечения, которыми описьшается начальное невозмущённое равновесное состояние; all = {w,v,w,\/,x, p} - вектор дополнительных перемещений точек осевой линии стержня, которые они получают при переходе из начального невозмущённого состояния в новое возмущённое состояние равновесия.
В дальнейшем будем считать коэффициент а бесконечно малой величиной, не зависящей от координат. Тогда компоненты деформаций в возмущённом состоянии запишутся в виде, аналогичном (2.1.6) и вьше денным в [134]
Численный алгоритм решения задач устойчивости криволинейного плоского стержня Формирование алгебраического аналога дифференциальных уравнений (2.2.10) с учётом выражений (2.2.8), (2.2.9) выполняется с большим объёмом однотипных стандартных операций. Поэтому все преобразования для максимальной алгоритмизации и упрощения будем проводить в век-торно-матричной форме, которая максимально способствует упрощению преобразований и упрощает отладку численного алгоритма. Соотношения, (2.2.10), (2.2.8), (2.2.9) представляются в виде матричных выражений. Элементами матриц являются коэффициенты при соответствующих неизвестных функциях.
Линеаризованные уравнения статического равновесия оболочечно-стержневых конструкций с учетом докритических деформационных парамеров
Для апробации представленной выше численной методики решения уравнений устойчивости примем тот факт, что если геометрические и же-сткостные параметры конструкции лежат в пределах Е2 Jx »aD22 и сжатию подвержена только одна пластина, т.е. (р22 #0, Р = 0), то стержень можно считать абсолютно жёстким на изгиб в направлении оси z (в плоскости YOZ), а критическая сила должна стремиться к величине, соответствующей ФПУ пластины с шарнирно опёртыми кромками. Результаты рас четов параметра критической нагрузки для конструкций, удовлетворяющих описанным условиям, по приближенному аналитическому решению и численному методу сведены в Таблицу 3.5.1.
В таблицу внесены: значения коэффициента Ка, определяемого из известного аналитического решения задачи устойчивости указанной пластины без учёта поперечных свдиговых деформаций. Их величины для расчетных значений параметра L/a приведены в справочнике [18]; расчетный коэффициент , вычислялся по формуле „= А -, (3.5.1) где параметр критической нагрузки q4 определялся по результатам численных расчётов. Анализ данный, представленных в Таблице 3.5.1, показывает, что погрешность результатов численной методики также лежит в допустимых пределах.
При выполнении условий aD22 E2Jx, J0 «1 и нагрузке (р22 ФО, Р = 0) параметр критической нагрузки, как было показано, должен стремиться к величине, соответствующей ФПУ пластины с одной свободной и тремя шарнирно опёртыми кромками. Результаты расчетов для конструкций, удовлетворяющих приведенным условиям, в сравнении с известным аналитическим решением [18], сведены в Таблицу 3.5.2. Здесь, как и раньше, значения коэффициента Кч определяются по формуле (3.5.1)
. Величины расчетных параметров для стержня и пластины были приняты следующими: Я =0.1, 5 = 0.1, Я(1) = 0, t = \, Е2=2Л0Х\ ц = 0.25. Анализ Таблицы 3.5.2 показывает хорошее совпадение значений коэффициентов Ка и Кч, т.е. аналитического и численного решений.
Для конструкций с малыми значениями а0 = a/L, как показал качественный анализ их критических нагрузок, характерным является то, что такие конструкции теряют устойчивость по балочной изгибной форме как составной стержень, т.е. реализуется изгиб стержня в сторону наименьшей изгибной жесткости - оси х. Результаты расчетов по численной методике для таких конструкций представлены в Таблице 3.5.3. В столбце таблицы с заголовком "ФПУ" внесено наименование оси, в направлении которой происходит изгиб стержня. Анализ результатов вычислений показывает, что ФПУ и величина параметра критической нагрузки не зависят от вида закрепления левой кромки пластины, т.е. в случае шарнирного опирання или условия свободного края. Для наборов расчетных параметров в расчетах с номерами 1,2 и 9,10 в конструкции реализуется описанная выше изгибно-сдвиговая ФПУ в направлении оси z.
Приведенные выше результаты по апробации и оценке достоверности численной методики касались решения задач устойчивости конструкции, у которой срединная плоскость пластины и главная плоскость инерции XOY стержня лежат в одной плоскости, что характеризовалось значением параметра Н, = О. При этом реализующиеся и описанные выше
ФПУ характеризовались равенством нулю (или очень малым значением) угла закручивания стержневого элемента. Как показывают приведенные ниже вычисления, при сжатии подкрепляющего стержня и Н(у, Ф О в конструкции реализуются ФПУ, когда стержень теряет устойчивость по неклассической изгибно-крутильной форме [125]. В Таблице 3.6.1 приведены результаты расчетов для такой конструкции, левая кромка пластины которой шарнирно оперта, а расчетные параметры имеют значения плоской изгибно-крутильной ФПУ стержня, когда его деформированная ось представляет собой плоскую (или почти плоскую) кривую, лежащую в одной из главных плоскостей инерции стержня, совпадающей с одной из его координатных плоскостей (плоскостью XOY - обозначение в таблицах "ик-х" или с плоскостью ZOY - обозначение "ик- z") с величиной угла закручивания ср, имеющей тот же порядок, что и другие функции перемещений и углов поворота стержня; - пространственной изгибно-крутильной ФПУ стержня, когда его деформированная ось представляет собой пространственную кривую (обозначение в таблице "ик-zx") с порядком величины угла закручивания, соизмеримым с функциями перемещений точек осевой линии стержня или его углов поворота.
Следует отметить, что наряду с указанными формами в конструкции при различных сочетаниях расчетных параметров и вариантов нагружения реализуются ФПУ, характеризующиеся малой величиной угла закручивания стержня (на порядок или два меньшей, чем величины других кинематических функций стержня), но имеющие тот же качественный характер. Такие ФПУ будем называть малыми изгибно-крутильными и обозначать в таблицах, как "мик-z", "мик-х" или "мик-zx".
Учёт деформационных параметрических слагаемых в уравнениях устойчивости при действии на пшангоут равномерного внешнего давления
Статические или кинематические граничные условия (4.1.13)-(4.1.14) задаются на торцах оболочек в комбинированной форме (Приложение 1.8, 1.9). Для этого граничные условия представляются в матричной форме (4.2.11), где Г- ) (mFBound Shell) - матрица с диагональными элементами, принимающими нулевое или единичное значение, в зависимости от того, какие (кинематические или статические) граничные условия заданы;
Внешняя нагрузка задаётся на оболочки и шпангоут в подпрограммах GetForceShellColumn и GetvLoads (Приложение 1.10, 1.11): в первой подпрограмме задаются нагрузки на оболочки и шпангоут, во второй -формируется вектор-столбец для правой части матричного аналога уравнений равновесия. на торцах оболочек. Все полученные усилия вносятся в матрицу mForceShellColumn, на основе которой в подпрограмме GetvLoads формируется вектор-столбец vLoadsF правой части численного аналога уравнений статического равновесия (3.1.11 )-(3.1.12).
Нахождение минимального собственного значения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений
После решения линейной задачи о докритическом НДС, в которой находятся «силовые» и «деформационные» докритическое параметры из блочных матриц, сформированных в подпрограммах GetZYSShell, GetlDE 2 Couple, GetCKCouple, GetFBoundSt, GetLRSt Shelly составляются итоговые разрешающие матрицы mASt, mBSt (содержит докритические параметрические коэффициенты усилий и компоненты вектора перемещений), mCSt (содержит квадратичные значения компонент вектора перемещений). Применяя методологию изложенную в п.4.2, система дифференциальных уравнений сводится к решению матричной системы вида (4.5.2), решение которой находится итеративным методом, реализованном в п.4.5.
Итерационный метод решения реализуется в подпрограмме Get-SolveSt (Приложение 1.12), где для нахождения вектора собственных значений используется встроенная процедура eig. Результатом работы данной процедуры является диагональная матрица с собственными значениями тРОтах и матрица соответствующих собственных векторов mVSZ. Далее из матрицы тРОтах выделяется диагональ и из неё с помощью построенного алгоритма выбирается максимальное собственное значение, после обращения которого получается наименьшее - являющиеся минимальным параметром критической нагрузки.
Результатом работы подпрограммы GetSolveSt является минимальный параметр критической нагрузки cPmin и соответствующий ему собственный вектор vVSZ, который содержит производные от перемещений и углов поворота оболочек и шпангоута в возмущённом состоянии. Процедура поиска минимального собственного значения выполняется для каждого волнового числа / = 0,1,2,..., после чего из всех полученных решений выбирается минимальное.
1. Исходя из уточнённых геометрически нелинейных уравнений теории стержней, оболочек и оболочечно-стержневых конструкций, предложенных В.Н.Паймушиным, построены линеаризованные уравнения для исследования всех возможных «классических» и «неклассических» ФПУ упругих стержней и оболочечно-стержневых конструкций с учётом параметров их докритического деформирования.
2. Сформулирована задача о неклассических ФПУ прямолинейного стержня при действии на него сжимающей силы совместно с крутящим моментом и разработан алгоритм её численного решения методом конечных сумм. Показано, что из трёх используемых вариантов ИМ, лежащих в основе метода конечных сумм (ИМ М.Б.Вахитова, ИМ В.А.Фирсова, ИМ Р.З.Даутова), к устойчивым численным решениям задач рассматриваемого класса приводит использование интегрирующих матриц Р.З.Даутова.
3. Исходя из выведенных линеаризованных уравнений общего вида и метода конечных сумм в варианте ИМ Р.З.Даутова разработан численный метод исследования плоского криволинейного стержня (кольца и арки) с учётом деформационных параметрических слагаемых при действии произвольной системы внешних сил. На его основе выявлена неклассическая пространственная изгибно-крутильная ФПУ кольца или арки при действии на них внешнего давления или обжатия в радиальном направлении. Показано, что учёт деформационных параметрических слагаемых в исходных уравнениях слабо влияет на величину параметра критической нагрузки.
4. Исходя из нелинейных уравнений, соответствующих контактной постановки задач механики оболочек, соединённых по торцевых сечениям плоским криволинейным стержнем, выведены линеаризованные уравнения упругой устойчивости пластины, подкреплённой на одно торцов прямолинейным стержнем. Для такой пластины, находящейся в условиях одноосного сжатия силами, приложенными к двум противоположным шарнирно опёртым кромкам, на основе метода конечных сумм в варианте ИМ Р.З.Даутова разработан численный метод решения соответствующей задачи устойчивости. На основе него выявлены и исследованы все возможные ФПУ (в том числе неклассическая изгибно-крутильная ФПУ) стержня, реализующиеся в составе рассматриваемой конструкции. 5. На основе линеаризованных уравнений устойчивости оболочечно-стержневой конструкции общего вида разработан численный метод решения задач устойчивости конструкций, представляющих собой две оболочки вращения с произвольными формами меридианов, соединяемых по торцевым сечениям посредством кругового шпангоута и находящихся в условиях осесимметричного нагружения. На его основе выявлены и всесторонне исследованы все возможные «классические» и «неклассические» ФПУ оболочечно-стержневых конструкций в виде:
- двух цилиндрических оболочек с различными радиусами срединных поверхностей, соединённых посредством кольцевого шпангоута и подвергающихся растяжению в осевом направлении;
- цилиндрической и сферической оболочек с различными радиусами срединных поверхностей, соединённых посредством кольцевого шпангоута и подвергающихся внутреннему давлению. При указанных видах нагружения, даже при включении в «работу» примыкающих оболочек, в кольцевом шпангоуте реализуется пространственная изгибно-крутильная ФПУ (глава 2). Показано, что учёт деформационных параметрических слагаемых в исходных уравнениях нейтрального равновесия приводит к многократному снижению величины критической нагрузки.
