Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Прямая и обратная задачи рассеяния . 13
1.1. Краевая задача теории рассеяния. Вспомогательные предложения 13
1.2. Решения f(x,k)n <р(х,к). Существование, связь 20
1.3. Фазовое уравнение 24
1.4. Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение N = 0, N > 0 27
1.5. Обратная задача рассеяния. Классическая постановка. Обзор основных результатов 31
1.6. ОЗР в терминах фазовых функций. ОЗР как нелинейное операторное уравнение 34
ГЛАВА 2. Непрерывный аналог метода ньютона в обратной задаче рассеяния 44
2.1. Описание метода 44
2.2. Построение решения обратной задачи рассеяния 47
2.3. Решение интегрального уравнения. 53
2.4. Наличие дискретного спектра. Вычисление собственных значений 58
ГЛАВА 3. Численные алгоритмы и эксперименты 61
3.1. Вычисление потенциала без собственных значений 61
3.2. Вычисление потенциала с собственными значениями 72
Заключение 82
Литература
- Решения f(x,k)n <р(х,к). Существование, связь
- Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение N = 0, N > 0
- Построение решения обратной задачи рассеяния
- Вычисление потенциала с собственными значениями
Введение к работе
Моделирование квантовых и ядерных взаимодействий на протяжении многих лет является актуальной задачей, связанной как с решением фундаментальных проблем современной физики, так и с прикладными исследованиями структуры квантовых и ядерных рассеевающихся центров. Тема диссертации относится к моделированию процессов рассеяния микрочастиц на квантовых потенциалах, как дальнодействующих, так и короткодействующих, как в случае отсутствия связанных состояний, так и в случаи их присутствия. К настоящему времени очень много результатов обратной задачи рассеяния (ОЗР) получено в области квантомеханических потенциалов, а также в области ядерных потенциалов в случае отсутствия связанных состояний. Нами предпринята попытка построить и реализовать устойчивый метод решения обратной задачи рассеяния для случаев короткодействующих потенциалов при наличии связанных состояний.
Обратной задаче рассеяния, задаче восстановления потенциала в уравнении Шредингера по тем или иным известным асимптотическим свойствам его решений (известна спектральная функция или предельная фаза) посвящено большое количество работ. Основные достижения в этой области принадлежат И.М.Гельфанду-Б.М.Левитану [24,80], М.Г.Крейну [74] и В.А.Марченко [87]. Обзор результатов по обратной задаче теории рассеяния можно найти в монографии З.С.Аграновича, В.А.Марченко [13], в статье Л.Д.Фадеева [99], а также в книгах В.де Альфаро [25], Р.Ньютона [91], Ф.Калоджеро [71]. При определенных условиях были доказаны теоремы существования и единственности, разработаны методы,
позволяющие фактически строить потенциал по предельной фазе как решение некоторого нелинейного уравнения.
Использование этих результатов для решения задачи математической обработки экспериментальных данных по рассеянию связано с определенными трудностями. Математический аппарат, применяемый в этих работах довольно сложен, что затрудняет проведение численных расчетов на основе этих работ. Кроме того, обратная задача рассеяния является неустойчивой к погрешности входных данных, то есть некорректно поставленной. Это делает необходимым применение методов регуляризации при приближенном решении нелинейных уравнений первого рода и построение регуляризирующих алгоритмов [96,69].
Наибольшую эффективность при численном решении задач этого круга показал непрерывный аналог метода Ньютона[41], применявшийся в случае отсутствия связанных состояния. В практических задачах связанные состояния, как правило присутствуют. Поэтому весьма актуальна задача разработки численных методов решения задачи в этом случае.
Актуальность проблематики подтверждает также интерес к обратной задаче рассеяния математиков и физиков из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической печати. На языке обратных задач формулируется описание многих реальных явлений. В настоящее время издается журнал, специально посвященный проблемам обратных задач «Inverse Problems».
Целью диссертационной работы является разработка алгоритма и эффективной численной схемы решения обратной задачи рассеяния при наличии собственных функций и собственных значений. Достижение цели осуществляется решением следующих задач: выбор и обоснование метода решения обратной задачи рассеяния в случае отсутствия связанных состояний;
построение и реализация численного решения обратной задачи рассеяния в случае со связанными состояниями;
построение решения вспомогательной задачи на собственные значения;
применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач.
Научная новизна и значимость. В рамках достижения поставленной цели в диссертационной работе получены следующие новые результаты:
В отличии от изестных результатов других авторов в диссертации обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и процедуры дифференцирования «фазовой функции» при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.
Впервые собраны в единый алгоритм процедуры решения частичных задач, на которые распадается процесс решения обратной задачи рассеяния с собственными значениями и собственными функциями, а именно:
построение приведенных параметров в процедуре сведения
общей обратной задачи рассеяния к частной обратной задачи
рассеяния без собственных значений;
построение промежуточного потенциала приведенной обратной
задачи рассеяния (без собственных значений);
решение вспомогательной задачи на собственные значения и
собственные функции для восстановления искомого потенциала
исходной общей обратной задачи рассеяния (с собственными
значениями).
3. Вспомогательная задача на собственные значения и собственные
функции решается на основе непрерывного аналога метода Ньютона,
т.е. методом согласованным с методом решения других этапов общей задачи. Практическая ценность работы.
Разработанные в диссертации алгоритмы могут применяться в задачах квантовой механики, мезомолекулярной физики и теории ядра. Использование метода введения непрерывного параметра и метода регуляризации, развитых в диссертации, для решения обратной задачи теории рассеяния позволяет при определении радиальной зависимости потенциала избежать предположений о конкретной аналитической зависимости потенциала от расстояния между взаимодействующими частицами. Это дает возможность использовать этот факт при решении задачи упругого рассеяния нуклонов нуклонами (и решать задачу о нахождении потенциала системы двух нуклонов в более общем виде), в теории солитонов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований. В ней имеется 23 рисунка и 6 таблиц. Общий объем диссертации составляет 102 страницы.
Основное содержание диссертации
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы.
В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе. Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов обратной задачи теории рассеяния.
В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния: фаза рассеяния, амплитуда рассеяния. Приведены рассуждения, помогающие понять основные особенности спектра сформулированной задачи.
В квантовой механике стационарное состояние системы, состоящей
из двух частиц с массами Щ и т2 и энергией к2 =Е можно описать волновой функцией удовлетворяющей уравнению Шредингера [91]:
- №(х)+у(х)(х) = к2Ч*(х),
где v(x) - потенциал взаимодействия, |*| - расстояние между частицами. Разложение Ч'ООпо сферическим гармоникам приводит к краевой задаче:
и" + [к2 -1(1 + 1)jc~2 - v(x)]u = О, 0 < х < со,
т ^^ n (0.1)-(0.2)
/ - значение орбитального момента.
При достаточно быстром убывании v(x) при д;->оо
\у(х)=О(х'1~є),є>0), и вещественных к решение задачи и{(х,к) имеет асимптотику:
и, (х, к) я А, (к) sm(kx + (я/2)і - St (к)), х -> <х>,
(0.3) At(k) называется амплитудой, а /(&) - фазой рассеяния или сдвигом
фазы.
Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале. В работе рассматривается задача для случая / = 0.
u" + [k2-v(x)]u = 0, 0<:Х<ъ
и(0,к) = 0
с так называемыми, короткодействующими потенциалами и предполагается, что v(x) вещественная измеримая функция, удовлетворяющая условию
jx\v(x)\dx
Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в
работе считаем выполненым.
Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (0.4)-(0.5), введены определения функции рассеяния, данных рассеяния, функции Йоста.
Приведены результаты Марченко В.А. [87], который доказал что даные рссеяния определяют однозначно задачу (0.4)-(0.5). Им были найдены необходимые и достаточные условия.
В третьем параграфе наряду с описанной классической постановкой - рассматривается постановка с использованием фазового уравнения
у'(х, к) = -v(x) sin2 [кх+у(х, к)]I к {к- параметр). (0.7)
Начальные условия (0.5) при этом переходят в начальное условие
у(0,к) = 0 (0.8)
для уравнения (0.7).
При выполнении условия (0.6) решение задачи (0.7)-(0.8) обладает
свойством
\шу{х,к) = 8{к). (0.9)
В четвертом параграфе сформулирована прямая задача рассеяния, как нелинейное операторное уравнение, введены нормы в пространствах потенциалов и данных рассеяния.
Соответствие v->S (к), относящее каждому потенциалу V его
данные рассеяния S (к) позволяет определить отображение P:X->Y из
пространства потенциалов X в пространство данных рассеяния Y.
Sv(k) = P(y). (0.10)
В пространствах X и Y вводятся нормы, показано, что отображение P:X-*Y, с введенными нормами, определяет непрерывный оператор. В параграфе приведены основные дифференциальные свойства оператора Р.
В пятом параграфе дан обзор результатов по обратной задаче рассеяния. Приведены интегральные уравнения: Крейна, Марченко, Гельфанда-Левитана. Дан обзор литературы по этой теме.
В шестом праграфе в рамках модели (0.7)-(0.9) ставится обратная задача рассеяния в териминах фазовых функций: по заданной; функции
найти такую функцию v(x) (0<х<оо)5 чтобы решение
у(х,к) задачи Коши (0.7)-(0.8) с потенциалом v(x), давало заданную предельную фазу 5{к) в силу соотношения (0.9).
После чего, в рамках терминов и понятий прямой задачи рассеяния (см. соотношение (0.10)) обратная задача рассеяния сформулирована как нелинейное операторное уравнение:
P(v) = S(k). (0.11)
В такой постановке обратной задачи рассеяния в дальнейшем в работе будет использован метод введения непрерывного параметра.
Во второй главе развита идея применения непрерывного аналога метода Ньютона решения обратной задачи теории рассеяния без собственных значений и собственных функций на случай обратной задачи
рассеяния с их наличием. Показано, каким образом собственные значения, если они существуют, входят в процедуру вычисления потенциала.
В первом параграфе приведен обзор метода введения непрерывного параметра.
Во втором параграфе построено устойчивое решение нелинейного операторного уравнения (0.11) обратной задачи рассеяния , которое в случае отсутствия собственных значений принимает вид
P(v) = S(k). (0.12)
Для ОЗР с собственными значениями приведены расчетные формулы для вычисления вспомогательной фазы рассеяния и вспомогательного потенциала. Далее задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. Обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и процедуры дифференцирования «фазовой» функции при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.
Задача о решении интегрального уравнения Фредгольма I рода является некорректной задачей. Для ее решения в работе мы применяем метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода, разработанный А.Н.Тихоновым.
Решение задачи минимизации функционала Тихонова рассмотрено в третьем параграфе.
Алгоритм вычисления собственных значений в случае наличия связанных сотояний в задаче приведен в четвертом параграфе главы.
В третьей главе приведены результаты численных экспериментов, на основе расчетных формул, полученных в третьей главе.
В первом параграфе для модельных исходных потенциалов [46], не допускающих связанных состояний, решена прямая задача вычисления предельной фазы. После этого решалась обратная задача рассеяния с несколькими вариантами входных данных и стабилизирующих функционалов в методе тихоновской регуляризации построения сглаживающего функционала.
Во втором параграфе для потенциалов допускающих связанные состояния [19] решена прямая задача вычисления предельной фазы. Вычисленная фаза принимается за экспериментальную. Количество собственных значений, соответствующее экспериментальной фазе, проверяется из условия теоремы Марченко для фазы рассеяния. По приведенным в диссертации формулам, строится новая фаза, для которой собственные значения отсутствуют. Для новой фазы решается обратная задача рассеяния > (без собственных значений). Построенный таким образом «промежуточный» потенциал обратной задачи рассеяния (без . собственных значений) сравнивается с исходным.
Приведенные численные результаты подтверждают правильность и . эффективность разработанного алгоритма и созданного комплекса программ.
В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.
Полученные в диссертации результаты опубликованы в 9 работах [58-66], в том числе в трех работах опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2002,2003,2004,2005,2006); на
международной конференции «Тихонов и современная математика» (2006); на научных семинарах под руководством профессора Е.ШКидкова, профессора Л.А.Севастьянова, профессора Е.Б.Ланеева в РУДН, на семинаре МИЭМ под руководством доктора технических наук, профессора Афанасьева В.Н.
Решения f(x,k)n <р(х,к). Существование, связь
Моделирование квантовых и ядерных взаимодействий на протяжении многих лет является актуальной задачей, связанной как с решением фундаментальных проблем современной физики, так и с прикладными исследованиями структуры квантовых и ядерных рассеевающихся центров. Тема диссертации относится к моделированию процессов рассеяния микрочастиц на квантовых потенциалах, как дальнодействующих, так и короткодействующих, как в случае отсутствия связанных состояний, так и в случаи их присутствия. К настоящему времени очень много результатов обратной задачи рассеяния (ОЗР) получено в области квантомеханических потенциалов, а также в области ядерных потенциалов в случае отсутствия связанных состояний. Нами предпринята попытка построить и реализовать устойчивый метод решения обратной задачи рассеяния для случаев короткодействующих потенциалов при наличии связанных состояний.
Обратной задаче рассеяния, задаче восстановления потенциала в уравнении Шредингера по тем или иным известным асимптотическим свойствам его решений (известна спектральная функция или предельная фаза) посвящено большое количество работ. Основные достижения в этой области принадлежат И.М.Гельфанду-Б.М.Левитану [24,80], М.Г.Крейну [74] и В.А.Марченко [87]. Обзор результатов по обратной задаче теории рассеяния можно найти в монографии З.С.Аграновича, В.А.Марченко [13], в статье Л.Д.Фадеева [99], а также в книгах В.де Альфаро [25], Р.Ньютона [91], Ф.Калоджеро [71]. При определенных условиях были доказаны теоремы существования и единственности, разработаны методы, позволяющие фактически строить потенциал по предельной фазе как решение некоторого нелинейного уравнения.
Использование этих результатов для решения задачи математической обработки экспериментальных данных по рассеянию связано с определенными трудностями. Математический аппарат, применяемый в этих работах довольно сложен, что затрудняет проведение численных расчетов на основе этих работ. Кроме того, обратная задача рассеяния является неустойчивой к погрешности входных данных, то есть некорректно поставленной. Это делает необходимым применение методов регуляризации при приближенном решении нелинейных уравнений первого рода и построение регуляризирующих алгоритмов [96,69].
Наибольшую эффективность при численном решении задач этого круга показал непрерывный аналог метода Ньютона[41], применявшийся в случае отсутствия связанных состояния. В практических задачах связанные состояния, как правило присутствуют. Поэтому весьма актуальна задача разработки численных методов решения задачи в этом случае.
Актуальность проблематики подтверждает также интерес к обратной задаче рассеяния математиков и физиков из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической печати. На языке обратных задач формулируется описание многих реальных явлений. В настоящее время издается журнал, специально посвященный проблемам обратных задач «Inverse Problems».
Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение N = 0, N > 0
Научная новизна и значимость. В рамках достижения поставленной цели в диссертационной работе получены следующие новые результаты:
1. В отличии от изестных результатов других авторов в диссертации обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и процедуры дифференцирования «фазовой функции» при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.
2. Впервые собраны в единый алгоритм процедуры решения частичных задач, на которые распадается процесс решения обратной задачи рассеяния с собственными значениями и собственными функциями, а именно:
построение приведенных параметров в процедуре сведения общей обратной задачи рассеяния к частной обратной задачи рассеяния без собственных значений;
построение промежуточного потенциала приведенной обратной задачи рассеяния (без собственных значений);
решение вспомогательной задачи на собственные значения и собственные функции для восстановления искомого потенциала исходной общей обратной задачи рассеяния (с собственными значениями).
3. Вспомогательная задача на собственные значения и собственные функции решается на основе непрерывного аналога метода Ньютона, т.е. методом согласованным с методом решения других этапов общей задачи. Практическая ценность работы.
Разработанные в диссертации алгоритмы могут применяться в задачах квантовой механики, мезомолекулярной физики и теории ядра. Использование метода введения непрерывного параметра и метода регуляризации, развитых в диссертации, для решения обратной задачи теории рассеяния позволяет при определении радиальной зависимости потенциала избежать предположений о конкретной аналитической зависимости потенциала от расстояния между взаимодействующими частицами. Это дает возможность использовать этот факт при решении задачи упругого рассеяния нуклонов нуклонами (и решать задачу о нахождении потенциала системы двух нуклонов в более общем виде), в теории солитонов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований. В ней имеется 23 рисунка и 6 таблиц. Общий объем диссертации составляет 102 страницы.
Основное содержание диссертации
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы.
В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе. Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов обратной задачи теории рассеяния. В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния: фаза рассеяния, амплитуда рассеяния. Приведены рассуждения, помогающие понять основные особенности спектра сформулированной задачи.
Построение решения обратной задачи рассеяния
Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на решение радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения Шредингера vV(x) = x iul(x,k)Yl m. Функции Ч іх) должны быть непрерывными в-Л3 и либо квадратично интегрируемыми, либо ограниченными во. всем пространстве. В первом случае они являются собственными функциями в обычном смысле слова, а во втором - с их помощью может быть описан непрерывный спектр.
Из непрерывности Ч С ) следует и(0) = 0. Поэтому интерес представляет только такое решение радиального уравнения, которое при х- 0 ведет себя как Схм. Это условие определяет и(х)с точностью до численного множителя. Далее при Е 0 мы должны найти такое решение и(х), которое при х- оо ведет себя, как Се (в противном случае решение будет неограниченным). При произвольном отрицательном Е эти условия оказываются несовместимыми. Те значения Е, для которых удается построить решение, имеющее правильное поведение в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения.
При любом Е 0 решение и(х) является ограниченным, поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение в нуле. Спектр при Е 0 - непрерывный. Собственные функции дискретного спектра радиального уравнения обозначим через иы{х), где индексом к нумеруются собственные значения
Еи уравнения при данном /,
Собственные функции непрерывного спектра, соответствующи энергии Е, будем обозначать через иЕ1{х)
Н1иЕ1 = ЬыиЕ1. Доказана полнота системы функций {uri,uEl} для каждого / = 0,1,2,... Это означает, что для произвольной функции и(х) є L2 (0,а ) справедливо представление: и(х) = с4ии( )+С()«д(х) Е, о где . 00 00 Ск = Ги(х)иы(x)dx, С(Е)= \u(x)uEl(x)dx. о о
Полнота систем решений уравнения Шредингера в интервале -оо оо является очень важным фактом в решении задачи рассеяния. Известно, что когда собственных значений нет, система состояний рассеяния, соответствующих значениям Е 0, оказывается полной. При наличии собственных функций, чтобы обеспечить полноту системы, необходимо добавить волновые функции, соответствующие этим собственным значениям к набору состояний рассеяния.
Уточним формулировку задачи для случая / = 0, которому посвящена наша работа, т.е. для задачи, определяемой радиальным уравнением Шредингера: u" + [k2-v(x)]u = 0, 0 х оо (1.1.4) и начальным условием и(0, ) = 0. (1.1.5) Всюду в дальнешем будем считать, что потенциал v(x) удовлетворяет условию jx\v(x)\dx n. (1.1.6) о Назовем это основным условием. Случай / 0, сводится к простейшему случаю 1 = 0 при помощи операторов преобразования [13]. Согласно рассуждениям выше при условии (1.1.6) спектр оператора (1.1.4)-(1.1.5) непрерывен на полуоси і 0 и может состоять из конечного числа отрицательных собственных чисел Cm jm=l т Хт Хт
Решения краевой задачи, соответствующие непрерывному и дискретному спектру удовлетворяют при х-»» асимптотическим формулам и(х,к) = e-ikx - s(k)eikx + о(1) (о к2 оо), "(ЗД) = Сте- " (\ + 0(1)) (т = \,2,...N),
Вычисление потенциала с собственными значениями
Разложим потенциал v(x) в сумму v( ) = v+(x)+v_(x)} где v+(x) = max(v(x),0), v_(x) = min(v(x),0), и обозначим через N_ -число отрицательных собственных значений оператора Н.
Теорема 1.1.1 [18]. Пусть потенциал v(x) удовлетворяет условию v( ) -C0, 0 оо, и функция v_(x) непрерывна на [о,оо]. Тогда имеет место оценка: N_zfx\v_(x)\dx. (1.1.7) о В частности N_ конечно, если интеграл в правой части конечен, и N_=0, если v(x) 0. Набор величин Sv(k) = Uv;k), Оїк«о; Xn(v);. C.(v); m = l,...tfj, (1.1.8) где СМ(У) = ] (У,Х, ИЦ (1.1.9) нормирующие множители для собственных функций ф(у,х,іхт), называется данными рассеяния краевой задачи (1.1.4)-(1.1.5). Каждой задаче (1.1.4)-(1.1.5) с потенциалом v(x) соответствует свой набор данных рассеяния.
В этом параграфе собраны основные характеристики решений уравнения (1.1.4), которые будут использованы в дальнейшем изложении. При выполнении условия (1.1.6) уравнение (1.1.4) имеет основные решения fr(x,k) и р,(х,к), определяемые соответственно условиями: [108] /v(x,):lim/v(x,)exp(-/br) = l, lm 0, (1.2.1) ру(х,к): р,(0, ) = 0, px(v;0,k) = 1. (1.2.2)
Уравнение (1.1.4) с условиями (1.2.1) и (1.2.2) эквивалентно следующим интегральным уравнениям: /,( , ) = e k{l-x)v{t)f{Uk)dt f х k р,{х,к) = —г-+ J 1—lv(t) p(t,k)dt, /с 0 К которые могут быть получены методом вариации произвольных постоянных. Основное решение fv(x,k) принято называть решением Йоста. Функцией Йоста называется fv{k) и /,( ) = ДО, ), lm 0. (1.2.3) Функция sv(k) = fv(-k)/fv(k) = exp{-2iS(k)}, -оо оо (1.2.4) называется функцией рассеяния, где д{к) уже введенная с помощью (1.1.3) фаза рассеяния. В следующих леммах приведем основные свойства решений fv(x,k), pv(x,k) и свойства функции рассеяния s(k) [80,99]. Лемма 1.2.1. Решение р(х,к) при каждом 0 является целой функцией от к и справедлива оценка гдг ХЄ1 х к) Ктщ;- (L2-5)
Кроме того, p(x,k) - четная функция к при вещественных к. Лемма 1.2.2. Решение f{x,k) при каждом х 0 аналитично по к в верхней полуплоскости г 0 и непрерывно вплоть до вещественной оси, причем имеет место оценка: \Дх,к)\ Ке-а,т 0. (1.2.6) Лемма 1.2.3. Для f(x,k) справедлива оценка: f (X k)-ikeih,\ Ke-ap(t)\dt, г 0. (1.2.7) Из леммы 1.1.3 следует: \imxf (x,k) = 0. (1.2.8) Лемма 1.2.4. Функция f(x,k) при любом х непрерывно дифференцируема по к вплоть до прямой г = 0, за исключением, может быть точки к = 0. Лемма 1.2.5. При больших \к\ ( №\ р{х,к) = " """ + 0 sinkx е \к\ » (L2-9) Jkx ЛдгД) = е,Лг + о(е"а), r 0 (1.2.10) равномерно по всем х 0. Лемма 1.2.6. Решение f(x,k) является аналитической функцией от к в верхней полуплоскости и непрерывной на вещественной оси.
Связанные состояния рассматриваемой системы определяются как стационарные состояния с целочисленным угловым моментом /, описываемые квадратично интегрируемыми решениями уравнения Шредингера (1.1.1). Если Е>0 или к вещественно, связанные состояния невозможны, поскольку все решения при больших X осцилируют и, интегралы расходятся.
