Содержание к диссертации
Введение
1 Классическая и квантовая модель нелинейной гамильтоновой системы с потенциалом Барбаниса 19
Введение 19
1.1 Анализ поверхности потенциальной энергии 20
1.2 Метод сечений Пуанкаре 24
1.3 Интегрируемая модель системы Барбаниса в приближении классических нормальных форм Биркгофа-Густавсона 31
1.4 Квантовая модель системы Барбаниса и ее энергетический спектр 35
2 Алгоритм нормализации автономных нелинейных гамильтоновых систем в подходе Депри-Хори 41
Введение 41
2.1 Основы метода Депри-Хори в канонической теории возмущений 43
2.2 Решение основного уравнения 45
2.3 Описание программы нормализации LINA 48
2.4 Примеры выполнения нормализации автономных гам ил ь-тоновых систем полиномиального типа 52
3 Численно-аналитический метод решения двумерного стационарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе 56
3.1 Описание метода 56
3.1.1 Введение 56
3.1.2 Постановка задачи 57
3.2 Применение численно-аналитического метода 60
3.2.1 Асимптотическое поведение вблизи нуля 64
3.2.2 Ортогональность и сингулярное разложение 82
Список литературы 93
Приложение А 103
Приложение В 105
Приложение С 115
- Интегрируемая модель системы Барбаниса в приближении классических нормальных форм Биркгофа-Густавсона
- Квантовая модель системы Барбаниса и ее энергетический спектр
- Примеры выполнения нормализации автономных гам ил ь-тоновых систем полиномиального типа
- Ортогональность и сингулярное разложение
Введение к работе
Введение
г*
Физика в своем современном виде начиналась с нелинейных законов движения частиц. Это видно уже на примере задачи Кеплера, которая содержит типичные свойства нелинейных систем: периодические орбиты с большим числом гармоник и зависимость периода колебаний от амплитуды. А знаменитая проблема трех тел не только не отрази-
У-
ла наиболее общие особенности нелинейной динамики, но и позволила
^ раскрыть такие ее сложные и трудноразрешимые свойства, как неин-
тегрируемость и появление малых знаменателей в рядах теории возму
щений. Более того, стало ясно, что для типичных нелинейных ситуа
ций нельзя предсказать на сколь угодно большое время динамические
свойства даже слабо возмущаемых систем. Сложившееся положение
дел закрыло перед физиками возможность получить ответы на мно
гие важные вопросы, среди которых достаточно упомянуть проблему
«вечной» (т.е. неограниченной во времени) устойчивости динамичс-
ских систем. Несмотря на многочисленные усилия в области анализа
нелинейных систем, с создавшейся ситуацией пришлось мириться в те
чение многих лет, закрывая глаза на ограниченность, а в некоторых
случаях и на возможную несостоятельность наших представлений о
динамике того или иного физического процесса. Состояние нелинейно-
* го анализа усугублялось существованием значительно более сложных
физических объектов - уравнений динамики сплошной среды, уравне-ний гравитации Эйнштейна [1] и др. Своеобразной областью компенсации явились чисто линейные физические теории - теория электромагнитного поля и квантовая механика. Успехи, достигнутые здесь, в определенной степени ослабили внимание к «нелинейным» трудно-стям. Кроме того, методы квантовой теории удалось весьма удачно
Введение
применить к многочисленным классическим задачам, используя линеаризацию исходных уравнений и построение удобных рядов теории возмущений для нелинейных задач на основе результатов линеаризации [2].
Понадобилось некоторое время для того, чтобы стало ясно, что старые проблемы остались на том же уровне и что их преодоление не связано с идеями линеаризации. Одновременно с этим все области физики начали приобретать свои собственные «нелинейные проблемы». Появились нелинейная оптика, нелинейная акустика, нелинейная радиофизика.
Приблизительно в тот же период произошли радикальные изменения и в исследовании нелинейных систем строгими методами. Появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем [3] (метод Крылова-Боголюбова-Митропольского [4]), была доказана теорема о сохранении инвариантов (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера [5,6]) и, наконец, возникло определение нового свойства нелинейных систем - динамическая энтропия Колмогорова-Синая [7-9]. Эта энтропия, будучи новым инвариантом системы, отразила в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием - свойство, которое еще ранее исследовалось в работах Е. Хопфа и Н.С. Крылова. Сейчас известно, что перемешивание, или хаос, может возникать даже в системе с двумя степенями свободы и появление его или отсутствие зависит от значений параметров или начальных условий задачи [10].
Довольно большой вклад в основание науки эффективных вычислений внес А. Пуанкаре [11], получивший множество интересных результатов в этой области. Столетие спустя после его великих работ мы вновь возвращаемся к полученным им результатам. Настоящая работа посвящена отдельным аспектам как символических (аналити-
Введение
ческих) [12 14], так и численных эффективных вычислений [15,16].
В структуре исследований динамики ключевую роль играют инвариантные объекты фазового потока: периодические орбиты, инвариантные торы, инвариантные устойчивые и неустойчивые многообразия, центральные многообразия и т.д. Они дают ключ к предсказанию или интерпретации поведения большинства точек в фазовом пространстве, следуя идее А. Пуанкаре о том, что лучше изучать все множество орбит, чем следить за какой-то конкретной.
Эти инвариантные объекты могут быть получены при комбинировании символических вычислений и численного продолжения по параметрам. Существенно также знать динамические свойства в окрестности этих объектов для создания надежных алгоритмов. Для проблем, которые превышают наши аналитические возможности, существуют методы анализа результатов приближенного моделирования, позволяющие судить о наличии инвариантных объектов.
Использование компьютера как средства для понимания поведения динамических систем, кажется теперь не вызывает вопросов. Многие явления были первоначально открыты при помощи компьютерного моделирования, а затем получили теоретическое объяснение. Следует помнить, что на компьютере сложно увидеть некоторые очень мелкие детали динамики. Однако произведя вычисления с арифметикой высокой точности, можно все-таки увидеть очень мелкие детали. С другой стороны, нелинейные явления, возникающие вдали от «любого хорошо известного эталонного объекта или задачи», могут оказаться сложными для изучения чисто аналитическими методами. На основе компьютерных результатов возникают гипотезы, требующие доказательства. Также они могут использоваться для проверки (по крайней мере частично) гипотез, возникающих из теоретических построений. Можно сказать, что для средних размерностей и до среднего уров-
Введение
ни детализации имеет смысл опираться на компьютерные результаты. Значение слова «средний» зависит от текущего уровня как аппаратного оборудования, так и алгоритмов. Кроме того, существует взаимосвязь между алгоритмами, используемыми в доказательствах, и алгоритмами, созданными для эффективных вычислений, В некоторых случаях первые могут быть успешно и эффективно запрограммированы, а вторые, созданные для получения результата, преобразованы в теоретические доказательства.
В большинстве экспериментальных наук в настоящее время технологии позволяют исследователю получить большое количество информации о задаче при ее экспериментальном изучении вместо простого размышления о ее возможном поведении. Разумеется, исследователь должен предоставить и проверить всеми возможными способами некоторое последовательное описание собранных экспериментальных данных и должен очень тщательно выбирать, какие свойства следует изучать экспериментально.
Текущее состояние компьютерной технологии позволяет проводить с разумными усилиями большой объем вычислений. Узким местом вычислений являются большой объем данных, используемых в символьных вычислениях и при хранении результатов символьных или численных экспериментов, а также визуализация и интерпретация результатов даже для небольших размерностей (например, в пределах от 4 до 10).
Доступный «пониманию» компьютера вычислительный алгоритм, т.е. последовательность операций (арифметических, логических и т.д.), в результате выполнения которых находится решение, должен удовлетворять весьма жестким и подчас противоречивым требованиям. К ним относятся, прежде всего, необходимость получить решение с заданной точностью за разумное и по возможности минимальное число
Введение
действий, поскольку время одного расчета должно измеряться минутами и j[ишь в уникальных случаях - часами. Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать возможностей емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших (малых) чисел, структура алгоритма должна быть достаточно простой и учитывать архитектуру вычислительной системы и т.д.
Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы, позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. В настоящее время классические нелинейные гамильтоновы системы [17] и их квантовые аналоги [18-23] играют важную роль при описании современных математических моделей физики, таких как модель квадрупольных колебаний сферической поверхности атомного ядра (система Хенона-Хейлеса) [24], комбинационного рассеяния света [25], двумерного атома водорода [26-31], движения небесных тел [32-34] и т.д. Особенностью динамики таких си-стем являются сингулярности, аттракторы, хаотические режимы [35]. Одним из наиболее загадочных и, возможно, сложных явлений в со-
Введение
временной динамике является одновременное существование регулярных и хаотических движений в гамильтоновых динамических системах [36-39]. Если число степеней свободы превышает 1, оба типа движения возникают в фазовом пространстве большинства известных примеров, таких как стандартное отображение [7], двойной маятник [40], система Хеноиа-Хейлеса [41]. задача трех тел [42] и т.д. Для исследования подобных нелинейных математических моделей применяются канонические преобразования, аналитические и численные методы. Знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) позволяет получить много информации о регулярных движениях, и то же почти ничего неизвестно о структуре хаотических движений. Важную роль при изучении систем допускающих хаотический режим движения сыграли работы Я.Б. Лесина [43], А. Джиорджилли [42], В.Ф. Лазуткина, К. Симо [44] и др. Было показано, что для таких систем характерно наличие гиперболической структуры. Для выявления этого свойства нелинейных динамических систем часто используют отображения сохраняющие площадь (симплектические отображения), например, метод поверхности сечения Пуанкаре. При изучении нелинейных гамильтоновых систем в последнее время актуальной проблемой является проблема так называемого квантового хаоса. Термин «квантовый хаос» нужно понимать как квантовые проявления динамического хаоса [45-47], т.е. построение квантовых аналогов классических нелинейных гамильтоновых систем, допускающих хаотический режим движения, и вычисление их квантовых характеристик. Детальное рассмотрение этого феномена можно найти в книге Ю. Штокмана «Квантовый хаос». Неоценимую роль для изучения динамики нелинейных гамильтоновых систем, а также для построения их квантовых аналогов и вычисления квантовых характеристик играет применение численных методов [16] и компьютеров [48], Их использование для анализа пели-
Введение
нейных систем было начато работами Э. Ферми и С. Улама и сейчас достигло такого уровня, что характер процесса трудно представить себе в полной мере без просмотра его на дисплее даже в тех случаях, где могут быть получены формальные результаты. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем и вычисления их квантовых характеристик при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Для анализа некоторой системы дифференциальных уравнений, описывающих реальную систему, компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Систематическое развитие компьютерных исследований является одной из фундаментальных задач этого столетия.
Следовательно, разработка дискретных моделей, эффективных методов аналитических, численных, а также их синтез (численно-аналитических), и реализация этих методов в виде быстродействующих и «дешевых» программных средств, является актуальной проблемой математического моделирования нелинейной динамики.
Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ для анализа динамики нелинейных гамильтоновых систем, аналитических и численных расчетов их квантовых характеристик, а также разработка эффективного численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера и его реализация в виде программы.
В диссертационной работе поставлена и решена актуальная научная задача разработать комплекс программ для анализа динамики нелинейных многомерных гамильтоновых систем полиномиального типа и их квантовых аналогов, а также разработать и реализовать в
Введение
виде программы численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для нелинейного двумерного уравнения Шре-дингера.
Для решения этой задачи были поставлены и решены следующие задачи:
анализ модели нелинейной гамильтоновой системы типа Барба-ниса
нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов
реализация алгоритма построения классической нормальной формы в подходе Депри-Хори и сравнение его с другими способами нормализации
разработка и реализация численно-аналитического метода решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера
визуализация физических характеристик изучаемых процессов
Научная новизна. Составлена и отлажена новая программа нормализации полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов. Исследована динамика нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса численно методом сечений Пуанкаре и аналитически методом нормальных форм, на основе классической нормальной формы построен ее квантовый аналог и рассчитан энергетический спектр. Для сравнения полученных результатов методом квантовой нормальной формы был вычислен при конкретных параметрах гамильтониана Барбаниса его точный квантовый спектр методом диагонализации с базисными функциями двумерного осциллятора и рассчитан приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений. Показано, что результаты вычислений
Введение
энергетического спектра на основе метода квантовой нормальной формы дают удовлетворительное приближение при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции. Разработан новый численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера. С помощью нового метода исследована квантовая модель квадрупольных колебаний поверхности ядра, а также рассчитаны и визуализированы ее физические характеристики.
Практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при исследовании динамики нелинейных га-мильтоиовых систем. Полученные программные средства могут быть применены для построения классических нормальных форм нелинейных гамильтоиовых систем полиномиального типа. Разработанный численно-аналитический метод может использоваться при решении задач на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера
Положения выносимые на защиту.
1. Проведен анализ динамики нелинейной гамильтоновой системы типа Барбаниса. При помощи критерия отрицательной гауссовой кривизны и прямых численных расчетов сечений Пуанкаре показана неинтегрируемость исследуемой системы. На основе метода классической нормальной формы при помощи правила квантования Вейля для этой системы получен энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической формулы, который, при умеренной величине нелинейности в гамильтоновой функции дает удовлетворительное приближение к точному квантовому спектру, вычисленному методом диагонализации.
Введение
Составлена и отлажена программа нормализации нелинейных га-мильтоновых систем полиномиального типа, реализованная в рамках теории возмущений гамильтоновых систем на основе метода Депри-Хори.
Разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 11 международных конференциях: International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics (Dubna, June 28-30, 2001г.); международная молодежная научная конференция «XXVII Гагаринские чтения» (Москва, 2-7 апреля 2001 г.); International Conference Modern Problems of Theoretical Physics, MPTP-2002 dedicated to the 90th anniversary of A.S. Davydov (г. Киев, 9-15 декабря, 2002 г.); международной научно-практическая конференция «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Львов. 2003); 6-тая Международная конференция по математическому моделированию, «МКММ'ОЗ» (г. Херсон, 9-14 сент. 2003 г.); 6-th Session V.A. Fock School on Quantum and Computational Chemistry, (12 -16 May 2003, Novgorod the Great, RUSSIA); 6th Workshop on Computer Algebra in Sientific Computing, (September 20-26, Passau, Germany, 2003); LIV международное совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. (Белгород, 22-25 июня, 2004); Bogolyubov Conference «Problems of Theoretical and Mathematical Physics»
(Moscow - Dubna, 2-6 September, 2004); VIII International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics (September 21-24, Saratov, 2004), VIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование» (5-8 октября 2004
Введение
г., г. С аров)
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях в виде статей и докладов, в трудах международных конференций, а также зарегистрирована программа нормализации нелинейных гамильтоновых систем в отраслевом фонде алгоритмов и программ.
Личный вклад соискателя в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка и 3-х приложений. Объем диссертации - 120 страниц. Библиографический список содержит 100 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.
В главе 1 Проводится анализ динамики классической нелинейной гамильтоиовой системы с потенциалом типа Барбаниса. Показано, что система неинтегрируема, а, следовательно, допускает хаотический режим движения. Данная система исследуется численно с помощью метода сечения Пуанкаре и аналитически методом классической нормальной формы. На основе классической нормальной формы мри помощи правила квантования Вейля построен приближенный энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической
Введение
формулы. Для сравнения результатов, полученных методом нормальных форм, при определенных параметрах гамильтониана Барбаииса был вычислен точный квантовый спектр методом диагонализации. Показано, что при умеренной величине нелинейности полуклассический спектр достаточно хорошо согласуется с точным квантовым спектром.
В разделе 1.1 для консервативной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с потенциалом Барбаииса исследуется поверхность потенциальной энергии (ППЭ). Показано, что поверхность имеет три особые точки: минимум и две седловые точки. Поверхность имеет неограниченную область с отрицательной гауссовой кривизной. Показано, что для данной системы критерий отрицательной гауссовой кривизны дает достаточно надежное предсказание критической энергии перехода от регулярного движения к хаотическому.
В разделе 1.2 описан метод поверхности сечения Пуанкаре. Этот метод удобен для анализа динамики нелинейных двумерных гамиль-тоновых систем. Показано, что рассматриваемая поверхность сечения является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется
С помощью математического пакета Maple численно построены сечения Пуанкаре, которые свидетельствуют о том, что с ростом энергии доля хаоса увеличивается, но не заполняет все пространство. Наряду с хаотическими траекториями существуют и регулярные даже для энергии системы близкой к значению потенциальной энергии в седловых точках.
В разделе 1,3 изложена процедура приведения нелинейной гамильтоновой системы полиномиального типа к нормальной форме Биркгофа-
Введение
Густавсона. На основе метода нормализации Биркгофа-Густавсона для системы Барбаниса получена приближенная интегрируемая классическая гамильтонова система, для которой канонические уравнения Гамильтона решаются тривиальным образом. Для исследуемого гамильтониана при помощи программы GITA на REDUCE была вычислена классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона до членов степени smax = 8 включительно, которая представляет интегрируемое приближение к исходному неинтегрируемому гамильтониану.
В разделе 1.4 при помощи правила соответствия Вейля, получена квантовая модель приближенной нелинейной гамильтоновой системы, полученной методом нормальных форм. Для этой модели построен энергетический спектр в полуклассическом приближении. Записав исходный гамильтониан в матричном виде, и решая задачу на собственные значения, при помощи пакета Maple найден точный энергетический спектр исследуемой системы. Для этой же системы найден приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений.
Показано, что нолуклассический спектр, вычисленный квантованием гамильтоновой функции методом нормальных форм, удовлетворительно воспроизводит точный квантовый спектр при умеренной степени нелинейности.
В главе 2 на основе рядов Ли изложен метод канонической замены переменных в подходе Депри-Хори [86-88], при помощи которого, разработан и реализован алгоритм нормализации полиномиальных гамильтонианов.
В разделе 2.1 изложены основы метода Депри-Хори в канонической теории возмущений гамильтоновых систем. Указаны преимущества этого метода от метода Цейпеля и Биркгофа.
В разделе 2.2 описан алгоритм приведения нелинейного полиноми-
Введение
ального гамильтониана с произвольным числом степеней свободы к нормальной форме и представлена программа LINA на REDUCE нормализации полиномиальных гамильтонианов в виде универсального псевдокода.
В разделе 2.3 в качестве примера, при помощи программы нормализации LINA получены нормальные формы для одномерного, двумерного и трехмерного гамильтонианов. Получены формулы прямого и обратного канонического преобразования переменных, на основе которых можно построить приближенные интегралы движения в аналитическом виде. А также, на основе полученных результатов, проведено сравнение метода нормализации в подходе Депри-Хори с методом нормализации Биркгофа-Густа.всона. Показано, что алгоритм Депри-Хори более эффективен по сравнению с алгоритмом Биркгофа-Густавсона для гамильтонианов с числом степеней свободы больше 2.
В главе 3 разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе (ССБ).
В разделе 3.1 описан новый метод решения двумерного уравнения Шредингера, в котором вместо диагонализации гамильтоновой матрицы нужно решать, в общем, бесконечную систему дифференциальных уравнений от одной переменной, к которой всегда можно свести уравнение Шредингера. В отличие от метода диагонализации в предлагаемом методе «обрезание» базисной системы функций происходит по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется точное численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций с видом гамильтониана, а, следовательно, к уменьшению вычислительных затрат.
В разделе 3.2 используя метод ССБ решена задача на собственные
Введение
значения для квантовой модели, описывающей квадрупольные колебания сферической поверхности. Показано, что точность числовых значений энергии полученных методом диагонализации гамильтоновой матрицы размерностью 495 х 495, в нашем подходе достигнута решением системы из только восьми дифференциальных уравнений, что приводит к уменьшению затрат машинных ресурсов (памяти и времени счета).
Интегрируемая модель системы Барбаниса в приближении классических нормальных форм Биркгофа-Густавсона
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.
В главе 1 Проводится анализ динамики классической нелинейной гамильтоиовой системы с потенциалом типа Барбаниса. Показано, что система неинтегрируема, а, следовательно, допускает хаотический режим движения. Данная система исследуется численно с помощью метода сечения Пуанкаре и аналитически методом классической нормальной формы. На основе классической нормальной формы мри помощи правила квантования Вейля построен приближенный энергетический спектр в полуклассическом приближении в виде аналитической формулы. Для сравнения результатов, полученных методом нормальных форм, при определенных параметрах гамильтониана Барбаииса был вычислен точный квантовый спектр методом диагонализации. Показано, что при умеренной величине нелинейности полуклассический спектр достаточно хорошо согласуется с точным квантовым спектром.
В разделе 1.1 для консервативной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с потенциалом Барбаииса исследуется поверхность потенциальной энергии (ППЭ). Показано, что поверхность имеет три особые точки: минимум и две седловые точки. Поверхность имеет неограниченную область с отрицательной гауссовой кривизной. Показано, что для данной системы критерий отрицательной гауссовой кривизны дает достаточно надежное предсказание критической энергии перехода от регулярного движения к хаотическому.
В разделе 1.2 описан метод поверхности сечения Пуанкаре. Этот метод удобен для анализа динамики нелинейных двумерных гамиль-тоновых систем. Показано, что рассматриваемая поверхность сечения является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется
С помощью математического пакета Maple численно построены сечения Пуанкаре, которые свидетельствуют о том, что с ростом энергии доля хаоса увеличивается, но не заполняет все пространство. Наряду с хаотическими траекториями существуют и регулярные даже для энергии системы близкой к значению потенциальной энергии в седловых точках.
В разделе 1,3 изложена процедура приведения нелинейной гамильтоновой системы полиномиального типа к нормальной форме Биркгофа-Густавсона. На основе метода нормализации Биркгофа-Густавсона для системы Барбаниса получена приближенная интегрируемая классическая гамильтонова система, для которой канонические уравнения Гамильтона решаются тривиальным образом. Для исследуемого гамильтониана при помощи программы GITA на REDUCE была вычислена классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона до членов степени smax = 8 включительно, которая представляет интегрируемое приближение к исходному неинтегрируемому гамильтониану.
В разделе 1.4 при помощи правила соответствия Вейля, получена квантовая модель приближенной нелинейной гамильтоновой системы, полученной методом нормальных форм. Для этой модели построен энергетический спектр в полуклассическом приближении. Записав исходный гамильтониан в матричном виде, и решая задачу на собственные значения, при помощи пакета Maple найден точный энергетический спектр исследуемой системы. Для этой же системы найден приближенный энергетический спектр в рамках стандартной теории возмущений.
Показано, что нолуклассический спектр, вычисленный квантованием гамильтоновой функции методом нормальных форм, удовлетворительно воспроизводит точный квантовый спектр при умеренной степени нелинейности.
В главе 2 на основе рядов Ли изложен метод канонической замены переменных в подходе Депри-Хори [86-88], при помощи которого, разработан и реализован алгоритм нормализации полиномиальных гамильтонианов.
В разделе 2.1 изложены основы метода Депри-Хори в канонической теории возмущений гамильтоновых систем. Указаны преимущества этого метода от метода Цейпеля и Биркгофа. ального гамильтониана с произвольным числом степеней свободы к нормальной форме и представлена программа LINA на REDUCE нормализации полиномиальных гамильтонианов в виде универсального псевдокода.
В разделе 2.3 в качестве примера, при помощи программы нормализации LINA получены нормальные формы для одномерного, двумерного и трехмерного гамильтонианов. Получены формулы прямого и обратного канонического преобразования переменных, на основе которых можно построить приближенные интегралы движения в аналитическом виде. А также, на основе полученных результатов, проведено сравнение метода нормализации в подходе Депри-Хори с методом нормализации Биркгофа-Густа.всона. Показано, что алгоритм Депри-Хори более эффективен по сравнению с алгоритмом Биркгофа-Густавсона для гамильтонианов с числом степеней свободы больше 2.
В главе 3 разработан и реализован численно-аналитический метод решения задачи на собственные значения для двумерного нелинейного стационарного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе (ССБ).
В разделе 3.1 описан новый метод решения двумерного уравнения Шредингера, в котором вместо диагонализации гамильтоновой матрицы нужно решать, в общем, бесконечную систему дифференциальных уравнений от одной переменной, к которой всегда можно свести уравнение Шредингера. В отличие от метода диагонализации в предлагаемом методе «обрезание» базисной системы функций происходит по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется точное численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций с видом гамильтониана, а, следовательно, к уменьшению вычислительных затрат. значения для квантовой модели, описывающей квадрупольные колебания сферической поверхности. Показано, что точность числовых значений энергии полученных методом диагонализации гамильтоновой матрицы размерностью 495 х 495, в нашем подходе достигнута решением системы из только восьми дифференциальных уравнений, что приводит к уменьшению затрат машинных ресурсов (памяти и времени счета).
Квантовая модель системы Барбаниса и ее энергетический спектр
Многие динамические системы являются гамильтоновыми [76,77] и описываются функцией Гамильтона Н = Я(д,р, ), где q (qi,..., qn), Р — (р15 -,Рп) - соответственно канонически сопряженные координаты и импульсы, at- время. Классические уравнения движения в общем являются нелинейными и неинтегрируемыми и не допускают решения в явном виде, поэтому для их решения разработаны различные приближенные методы, включая прямые численные [16,40,78-81]. Одним из универсальных методов является метод, широко используемый Дж. Биркгофом [33,52] и далее развитый Ф. Густавсоном [53]. Существо этого метода заключается в том, что в окрестности точки равновесия ищется такая каноническая замена переменных (q, р) -+ (, ту), которая приводит исходную функцию Гамильтона Н = H(q,p,t) к более простому виду, называемому нормальной формой, а сама процедура приведения к нормальной форме называется нормализацией. Каноническое преобразование (д, р) - (, г/) может быть найдено при помощи производящей функции F зависящей от смешанных (новых и старых) переменных: Имеется ряд программ (см., например, [53,59,82-85]), которые приводят исходный гамильтониан к нормальной форме по методу Биркгофа-Густавсона. Отметим следующие свойства процедуры нормализации Биркгофа-Густасона. Во-первых, нахождение преобразования (д, р) — (; "п) требует очень громоздких вычислений. В самом деле, для выражения переменных (q,p) через (,rj) надо сначала обратить первое нелинейное уравнение из системы (2.0.1), чтобы выразить вектор координат q через новые переменные (, т/), а потом результат обращения подставить в правую часть второго уравнения из системы (2.0.1), чтобы явно выразить вектор импульсов р через новые переменные (,т?). С практической точки зрения упомянутые операции обращения и подстановки являются весьма трудоемкими. Во-вторых, для получения обратного преобразования (, rj) — (g, р) нужно выполнить такой же объем вычислений, как и при нахождении прямого преобразования. В-третьих, неявные соотношения (2.0.1) не дают рекуррентного алгоритма преобразования достаточно произвольной функции f(q,p) первоначальных фазовых переменных (д,р) в функцию новых переменных (,7}).
Начиная с работ [86-88] для нормализации гамильтониана в окрестности точек равновесия разработан новый метод построения канонического преобразования (д, р) — (, rf), в котором 1) формулы замены переменных (д, р) — (, ту) получаются в явной форме, 2) формулы преобразования пригодны не только для координат и импульсов, но и для любой функции от них, в частности для гамильтониана и 3) формулы метода задаются рекуррентно, так что необходимые вычисления могут быть достаточно просто реализованы па ЭВМ.
Этот метод основывается на простой идее, использующей тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое при помощи движений гамильтоновой системы, является каноническим. Практическое осуществление канонических преобразований в работах [86-88] опирается на использование теории преобразований Ли.
Примеры выполнения нормализации автономных гам ил ь-тоновых систем полиномиального типа
Сингулярное разложение SVD является мощным вычислительным средством для анализа матриц и задач, связанных с матрицами, которое имеет приложения во многих областях. В последующих параграфах этой главы будет определено SVD, описаны некоторые другие его применения и дан алгоритм для его вычисления. Этот алгоритм - типичный представитель используемых в настоящее время алгоритмов для решения различных матричных задач на собственные значения и может служить одновременно введением в численные методы для этих задач. Малоизвестно, что сингулярное разложение имеет довольно давнюю историю. Основополагающими в большой мере были работы Голуба и его коллег Кахана, Бизингера и Райнша. Наше обсуждениє будет построено главным образом на статье Голуб, Райнш (1971)1. Авторы используемых алгоритмов для матричных собственных значений - Фрэнсис, Рутисхаузер и Уилкинсон: эти алгоритмы описаны в книге Уилкинсон [72]. Сравнительно недавно изданные книги Лоусон, Хэнсон [99] и Стыоарт [100] содержат SVD и ряд примыкающих сюда вопросов. В элементарной линейной алгебре множество векторов называется линейно независимым, если ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации других. В вычислительной линейной алгебре очень полезно иметь количественную оценку «степени» независимости. Мы хотели бы определить величину, которая бы отражала тот факт, что, например, векторы
Поскольку два вектора зависимы, если они параллельны, то разумно считать их очень независимыми, если они перпендикулярны или ортогональны. Используем индекс Т чтобы обозначать транспонирование вектора или матрицы. Два вектора и и v называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если Квадратная матрица называется ортогональной, если ее столбцы суть попарно ортогональные векторы длины 1. Таким образом, матрица U ортогональная, если где / — единичная матрица. Заметим, что ортогональная матрица автоматически не вырождена, поскольку U l = UT. Вскоре мы придадим точный смысл представлению о том, что ортогональная матрица очень не вырождена, а ее столбцы — очень независимы. Для любой матрицы и любых двух ортогональных матриц U и V рассмотрим матрицу , определяемую соотношением Если щ и Vj суть столбцы матриц U и V соответственно, то отдельные компоненты матрицы равны За сингулярным разложением скрывается та идея, что надлежащим выбором матриц U и V можно обратить большинство элементов а в нули; более того, можно даже сделать диагональной с неотрицательными диагональными элементами. Поэтому дадим такое определение. Сингулярным разложением действительной m х m-матрицы называется всякая ее факторизация вида где U — ортогональная mxm- матрица, V — ортогональная m х m -матрица, а — диагональная mxm - матрица, у которой ац — 0 при і Ф j и (Гц. Величины ОІ называются сингулярными числами матрицы ,а столбцы матриц U и V — левыми и правыми сингулярными векторами. Можно отметить, что ненулевые собственные значения у матриц ЛЛ1 и АТА одни и те же и что сингулярные числа А суть положительные квадратные корни из этих собственных значений. Кроме того, левые и правые сингулярные векторы суть частные выборы собственных векторов для А А и Ат А соответственно.
Число обусловленности матрицы Mbord вблизи корня равно 2 1048. Поэтому можно сказать, что строки матрицы очень зависимы. Другими словами, матрица Мьт-d является почти вырожденной. Но тем не менее, получить ненулевое решение системы (3.2.18) с матрицей (3,2.24) при помощи стандартной процедуры решения не представляется возможным и поэтому мы используем сингулярное разложение матрицы Mbord, а именно, находим множество векторов С, каждый из которых переводит матрицу M rd в нуль.
Это множество векторов и будет удовлетворять ненулевому решению однородной системы (3,2.18). Затем, мы выбираем из С тот вектор, который при подстановке в систему (3.2.18) приводит к наименьшему результату, и подставляя его в систему (3.2.17) находим неизвестные функции Ai(r) и Bj(r) и тем самым получаем искомую функцию (3.2.5) в полярных координатах. На рис. 3.12—3.14 изображены волновые функции и(г, ір) в полярных координатах при различных значениях энергии как в трехмерном изображении так и на плоскости.
Ортогональность и сингулярное разложение
Легко показать, что эти модгомы являются собственными функциями оператора D, т.е. Линейный оператор D имеет вышеуказанное разложение так как любой член разложения в области Т является линейной комбинацией мономов (2.2.22) и каждое Ф3 есть нулевое (ненулевое) множество оператора D если выражение (]Г wy{mv — 1»)) равно (неравно) нулю соответственно. Тогда мы можем выразить производящую функцию WH И правую часть уравнения (2.2.21) в виде.
Используя это представление, решение основного уравнения (2.2.21) сводится к алгебраической задаче, которая записывается в виде: і) если J2V wv{mv - lv) Ф 0, товида nvwv = 0 (пи — целые числа). В последнем случае, структура нормальной формы G становится более сложной. Делая обратное преобразование от комплексных переменных (х, у) к переменным {,1)) мы находим нормальную форму гамильтониана Gs((,rj) и производящую функцию Ws в 5 + 2 порядке приближения.
В этом разделе представим структуру программы LINA [92J на REDUCE, которая состоит из главной программы и набора процедур. Главная программа содержится в файле LINA.RED, а процедуры находятся в файле LINAPROC.RED. Прежде чем запустить программу, пользователь должен подготовить файл ввода начальных данных LINAIN. Затем нужно вызвать систему REDUCE из командной строки операционной системы DOS или из среды MS WINDOWS, а потом выполнить команду IN "LINA.RED";. Возможности системы описаны в REDUCE USER S MANUAL [60]. Результатом работы программы является файл LINAOUT. Пользовательские наборы начальных данных представлены в виде последовательности операторов присвоения системы REDUCE, другими словами файл LINAIN состоит из строк вида :
Число степеней свободы, v, исследуемого гамильтониана присваивается переменной N. Чтобы вычислить производящую функцию и нормальную форму до s + 2 порядка, пользователь должен установить значение s переменной SMAX, значения Vj(q,p), j = 2,3, ...j max переменной V(J) соответственно, и значение jmax переменной J МАХ в соответсвии с уравнением (2.1.2). Если значение Vo(q,p) не находится в нормальной форме (т.е. частоты UJV умножены только на координаты qv) то нужно установить 1 переключателю NF.
В этом случае программа запишет в файл LINAOUT значения производящей функции W(S) и гамильтониана G(S), S = 0,..., SMAX в виде: После завершения вычисления нормальной формы, программа записывает время вычисления (в милисекундах) в файл LINAOUT.
Наконец, возможна проверка вычислений. Если пользователь присвоит переменной TEST значение 1, то программа должна записать в файл вывода LINAOUT результат TEST := 0. Если пользователь присвоит значение 1 переменной SUB и значение SMAX+1 в операторе let(z(SMAX+1 0, то программа должна найти прямое и обратное преобразование координат и записать в файл LINAOUT1 начальные данные, преобразования, нормальную форму, полученную прямым преобразованием и исходный гамильтониан (2.1.2) полученный из нормальной формы обратным преобразованием.
Главная программа состоит из нескольких этапов. Первый - стадия инициализации. На первом этапе устанавливаются переключатели и определяются переменные в виде операторов. Также пользователь может переприсвоить значения переменных, используемых по умолчанию в файле LINAIN. Начальные данные перезаписываются в файл LINAOUT.
