Введение к работе
Актуальность темы. Сеточные методы (разностные и ко-эчноэлементные) широко применяются для решения задач меха-яки деформируемого твердого тела. К числу наиболее сложных здесь относятся задачи расчета пластин и оболочек с учетом юметрической нелинейности. Исследованию возникающих при гом краевых задач и разностных методов их решения посвяще-1 обширная литература (И.И. Ворович, Е.Г. Дьяконов, А.Д. яшко, М.М. Карчевский, С.Н. Волошановская и др.).Примене-іе классических вариантов МКЭ для этих задач предполагает пользование эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом ^ти алгоритмы оказываются весьма трудоемкими. Для линей-лх задач теории пластин и оболочек возможность применения эостейших элементов (класса С0) достигается за счет перехода смешанным методам конечных элементов (СМКЭ). При этом эедварительно снижается порядок уравнений при помощи вве-;ния вспомогательных неизвестных, что, обычно, осуществляйся за счет использования двойственной или смешанной вариа-гонной формулировки задачи.
В работах Е.Г. Дьяконова, Г.М. Кобелькова предложен и хледован метод сведения уравнений четвертого порядка к си-емам второго порядка типа Стокса.
Первые СМКЭ для задачи об изгибе пластины были пред->жены Германом, Хелланом, Виссером л обоснованы в работах жонсона, Мийоси. В работах Бреззи, Равьяра, Фалка, Осбор-i получены оптимальные оценки погрешности этих мето дон,
создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических ураї нений четвертого порядка. Л.В. Масловская исследовала схем. Германа-Джонсона и Германа-Мийоси для задач теории поле гих оболочек. Г.П. Астраханцевым предложена смешанная схем МКЭ для непологой оболочки произвольной геометрии. Получе ны оптимальные оценки точности, предложен и исследован мето простой итерации для решения соответствующей системы линек ных алгебраических уравнений. Важной особенностью применя емого им подхода является непосредственное использование ис ходпой вариационной формулировки задачи. В качестве вспо могательных неизвестных выступают вторые производные про гиба. Смешанные методы применялись также к нелинейным за дачам теории пластин: для уравнения упруго-пластического из гиба (Бреззи, Джонсон, Мерсье), для уравнений Кармана (Мий оси). Применение СМКЭ для геометрически нелинейных зада1 теории оболочек наталкивается на серьезные трудности. Объяс няется это, по-видимому, тем, что указанные задачи не являются выпуклыми, и для них не удается применить теорию двойствен ности при введении вспомогательных неизвестных.
Настоящая диссертация содержит исследование нового клас са смешанных схем конечных элементов для геометрически и фи зически нелинейных задач теории тонких оболочек. При построении схем используется подход Г.П. Астраханцева. Для нелиней; ных задач теории пластин аналогичные построения применялись М.М. Карчевским.
Цель работы состоит в построении и исследовании сме-
шанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек, а также итерационных методов численной реализации этих схем.
Методы исследования. Используется математический аппарат теории метода конечных элементов, теория интерполяции функций из пространств Соболева, методы нелинейного функционального анализа.
Научная новизна. Построены новые схемы конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Исследованы вопросы разрешимости и сходимости указанных схем, получены оценки точности метода. Предложены и исследованы итерационные методы для численной реализации СМКЭ.
Практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации,"могут быть использованы для численного решения конкретных задач нелинейной теории пластин и оболочек.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту 26 - 29 июня 1991 г.(Казань), Международной научной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева, 5-11 июня 1994 г. (Казань), 14-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности 25 сентября 1 октября 1995 г. (Волгоград), на отчетных конференциях Казанского государственного университета 1991 - 1994 гг., на семинаре кафедры математического моделирования Московского энергетического института (руководитель - Ю.Л. Дубинский),
на семинаре'кафедры вычислительной математики Казанское государственного университета (руководитель - А.Д. Ляшко).
Публикации. Основные результаты диссертации опублико ваны в 7 работах.
Объем и структура работы. Лиссертация состоит из вве депия, трех глав и списка литературы, содержащего 101 найме нование. Общий объем работы - 117 страниц.
