Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Напряженно деформированное состояние и изгибные формы потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки в осесимметричном температурном поле, неоднородном по толщине
1.1. Постановка задачи и разрешающая система одномерных уравнений...27
1.2. Решение задачи для оболочки с неподвижными в осевом направлении торцами верхнего слоя 31
1.3. Анализ решений и результаты расчетов 40
1.4. Упрошенная постановка задачи о докритическом напряженно- деформированном состоянии (НДС) 45
1.5. Уравнения устойчивости и их приближенное решение 48
1.6. Анализ результатов исследования изгибной ФПУ : 55
Глава 2. Сдвиговые формы потери устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек при внешнем давлении, растяжении-сжатии несущих слоев не равными силами и неоднородном по толщине температурном воздействии
2.1. Уточненные уравнения для исследования сдвиговых ФПУ трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем 60
2.1.1. Постановка задачи и используемые предположения 60
2.1.2. Уточненные модели деформирования трансверсально-мягкого заполнителя в возмущенном состоянии 61
2.2. Уравнения нейтрального равновесия внешних слоев при их докритическом среднем изгибе 69
2.3. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем, описывающие их сдвиговые ФПУ 70
2.4. Чистое кручение 72
2.5. Осевое сжатие внешних слоев неравными усилиями 73
2.6. Действие на оболочку равномерного внешнего давления 77
2.7. Действие на оболочку температурного поля, неоднородного по толщине 79
2.7.1. Сдвиговая ФПУ в осевом направлении 80
2.7.2. Сдвиговая ФПУ в окружном направлении 80
Глава 3. Сдвиговая и изгибная формы потери устойчивости трехслойной сферической оболочки в центросимметричном температурном поле, неоднородном по толщине
Введение 83
3.1.Постановка задачи и разрешающая система геометрически нелинейных уравнений 84
3.2. Докритическое напряженно-деформированное состояние 88
3.3. Линеаризованные уравнения устойчивости 91
3.3.1. Линеаризованные уравнения равновесия для заполнителя и их редукция к двумерным уравнениям 91
3.3.2 Линеаризованные уравнения устойчивости для несущих слоев.. 94
3.4. Формы потери устойчивости и критические нагрузки изотропной трехслойной сферической оболочки 96
3.4.1. Исследование сдвиговой ФПУ. 99
3.4.2. Исследование смешанной изгибной ФПУ. 102
3.5. Числовые результаты и их анализ , 104
Основные результаты и выводы 109
Литература
- Решение задачи для оболочки с неподвижными в осевом направлении торцами верхнего слоя
- Анализ результатов исследования изгибной ФПУ
- Постановка задачи и используемые предположения
- Докритическое напряженно-деформированное состояние
Введение к работе
Создание изделий авиационной и космической техники, судостроения, строительства в настоящее время неразрывно связано с применением новых конструкционных материалов и элементов конструкций из них, обладающих высокими прочностными и жесткостными характеристиками. Таким требованиям отвечают слоистые элементы конструкций, в частности, трехслойные. Эти конструкции состоят из материалов с различными физико-механическими свойствами - несущие слои обычно изготавливаются из материалов с высокими механическими характеристиками и предназначены для восприятия основной нагрузки; связующий слой, служащий для образования монолитной конструкции, обеспечивает перераспределение усилий между несущими слоями, выполняет функции защиты от тепловых, химических, радиационных и других нежелательных воздействий. Применение в качестве заполнителя материалов с низкими массовыми характеристиками позволяет при сравнительно небольшом увеличении веса конструкции существенно повысить изгибную жесткость. Тем самым трехслойные конструкции нашли широкое применение в качестве несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов, обтекателей, теплозащитных и силовых экранов, разного рода панелей и других конструктивных элементов.
Теоретические и экспериментальные исследования по трехслойным конструкциям позволили выявить их основные преимущества по отношению к другим типам конструкций. Эти преимущества обусловлены тем, что несущие слои, подкрепленные заполнителем, могут воспринимать высокие напряжения сжатия. В результате эти конструкции оказываются оптимальными при работе на изгиб и возможно значительное повышение их критических нагрузок при минимальной массе. Их внедрение в различных отраслях техники повлекло за собой интенсивные исследования в области теории и методов их расчета. В результате за последние пятьдесят лет в механике деформируемого твердого тела сложилось отдельное направление, связанное с разработкой теории трехслойных пластин и оболочек. Большую роль в ее становлении сыграли основополагающие работы А.Я. Александрова, В.В. Болотина, Э.И. Григолюка, Л.М. Куршина, Х.М. Муштари,, А.П. Прусакова, П.П. Чулкова, и ряда других отечественных и зарубежных авторов.
К настоящему времени разработке методов расчета трехслойных оболочечных элементов конструкций, связанных с формулировкой тех или иных гипотез, построением математических моделей и разрешающих уравнений, их качественным анализом, а также созданием на их основе методов решения конкретных задач или задач отдельных классов, посвящен большой цикл исследований (работы АЛ. Александрова, И.А. Алфутова, С.А. Амбарцумяна, В.В. Болотина, Л.Э. Брюккера, Н.К. Галимова, А.И. Голованова, Я.М. Григоренко, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, В.Н. Кобелева, В.И. Королева, Л.М. Куршина, Х.М. Муштари, Ю.Н. Новичкова, Ю.В. Немировского, Б.Л. Пелеха, В.Н. Паймушина, В.В. Пикуля, А.П. Прусакова, А.В. Саченкова, С.Н. Сухинина, П.П. Чулкова, G.M. Folie, R.E. Fulton, G. Gegard, J.M. Hunter - Tod, A.K. Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert, J. Padowan, J. Lestingi, E. Reissner и многих других авторов). Обстоятельные обзоры по этим исследованиям содержатся в работах [4, 6, 10, 24, 39, 40, 59, 119, 120, 124,130,139,140,143,145].
В отличие от теории оболочек, выполненных из традиционных однородных материалов, созданная к настоящему времени теория трехслойных элементов конструкций характеризуется достаточно большим разнообразием построенных вариантов математических моделей и разрешающих уравнений. Это и неудивительно, и каждый из таких вариантов разработанных теорий имеет свою область применимости, поскольку они базируются на таких гипотезах и предположениях, которые с той или иной степенью точности отражают многообразие структуры пакета слоев трехслойных конструкций, особенности их геометрии и условий работы.
В обзорах Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [40], А.А. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [48], А.К. Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert [143] указаны основные пути построения таких теорий. Наиболее ранний и простейший из них заключается в сведении трехмерных задач теории упругости к двумерным на основе гипотез Кирхгофа - Лява для всего пакета слоев оболочки в целом. Он получил широкое распространение на практике и вполне корректен для тонких оболочек, у которых жесткостные параметры материалов слоев отличаются незначительно. Однако применение этой теории к расчету оболочек, обладающих низкой сдвиговой жесткостью слоев, может привести к значительным погрешностям. Поэтому за последние пятьдесят лет интенсивно развивались уточненные теории, учитывающие в слоях оболочки поперечные составляющие тензора деформаций.
Как указано в [40], существует два основных направления построения таких уточненных теорий. В соответствии с первым из них разрешающие уравнения строятся на основе гипотез, привлекаемых ко всему пакету слоев в целом и отличных от гипотез Кирхгофа - Лява. Порядок уравнений в этом случае не зависит от числа слоев. К данному направлению, в частности, следует отнести соотношения теории, основанные на привлечении к пакету слоев сдвиговой модели СП. Тимошенко [23].
К другому направлению относятся работы, в которых применяются кинематические и статические гипотезы для каждого отдельного слоя. При этом порядок разрешающих уравнений зависит от числа слоев, что делает задачу более сложной. В подавляющем большинстве публикаций, посвященных в рамках второго направления разработке теории трехслойных пластин и оболочек, приводятся соотношения, которые базируются на гипотезах Кирхгофа -Лява для несущих слоев и гипотезах, учитывающих влияние деформаций поперечных сдвигов в заполнителе. Учет влияния деформаций поперечного сдвига обычно производится или на основе задания распределения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине заполнителя (например, [28]), или на основе задания изменения касательных напряжений в заполнителе по его высоте (например, [66]).
В становлении указанного второго направления исследований особую роль сыграли работы Э.И. Григолюка. В [37, 38] им была сформулирована кинематическая модель "ломаной" линии, согласно которой к внешним слоям привлекаются гипотезы Кирхгофа - Лява, а к заполнителю- - гипотеза о постоянстве по его толщине поперечных сдвигов.
Последующие многочисленные исследования показали, что теория трехслойных оболочек, использующая гипотезу ломаной линии Э.И. Григолюка, имеет достаточно широкую область применения.
Более сложные законы изменения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине трехслойного пакета по сравнению с моделью ломаной линии при разработке уточненных вариантов теории трехслойных пластин и оболочек были предложены в работах Н.К. Галимова [28], Х.М. Муштари [65], А.П. Прусакова [122,123] и других авторов.
Приемлемость и пределы применимости всех используемых гипотез и допущений к настоящему времени достаточно полно изучены [143] путем сопоставления и анализа уравнений и численных результатов, получаемых при решении различного класса задач по приближенным и более точным теориям, а также путем их сравнения с данными экспериментальных исследований. Следует отметить, что даже в наиболее простой постановке в рамках модели "ломаной" линии без учета поперечного обжатия заполнителя задачи механики трехслойных пластин и оболочек конечного прогиба сводятся к решению системы пяти дифференциальных уравнений в перемещениях или к системе четырех уравнений при введении функций усилий (для пластин и пологих оболочек). Поэтому в 60 - 80-е годы большой цикл исследований в теории трехслойных пластин и оболочек был связан с упрощением основных уравнений путем приведения их к меньшему числу и понижением порядка системы. Одним из наиболее эффективных приемов для таких упрощений явилось представление векторных полей, входящих в разрешающие уравнения, в виде суммы потенциальной и вихревой частей. Такое представление широко использовалось во многих работах Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [42, 43] и их учеников, Н.К. Галимова [26, 27] и некоторых других авторов. Преимуществом преобразованных таким образом уравнений является то, что в случае изотропных пластин и оболочек выделяется однородное независимое уравнение относительно вихревой функции, связанное с другими уравнениями системы в общем случае через граничные условия. При решении конкретных задач возможность пренебрежения этим уравнением целиком определяется тем, как сформулированы граничные условия, связанные со взаимным смещением слоев в касательном к контуру направлении. В ряде работ по исследованию возможности использования усеченной системы уравнений изотропных трехслойных пластин и оболочек установлено, что краевой эффект, описываемый уравнением относительно вихревой функции, является второстепенным для большинства задач по определению интегральных характеристик, таких как критическая нагрузка и первая частота свободных колебаний.
Отдельный цикл исследований, включающий и современные исследования в области механики трехслойных конструкций, состоит в расширении круга решенных задач на основе уже опробированных расчетных схем. Благодаря развитию вычислительной техники появилась возможность отказаться от ряда вводимых упрощений и решать более сложные задачи численными методами. Основные направления разработок включают исследования НДС и устойчивости трехслойных оболочек с неканоническим очертанием контура и (или) формой срединной поверхности заполнителя, элементов с переменными геометрическими и жесткостными характеристиками слоев пакета, составных трехслойных конструкций, изучение механизма потери устойчивости моментного невозмущенного равновесного состояния, осесимметричного и неосесимметричного НДС трехслойных оболочек вращения, вопросы определения критических нагрузок и форм потери устойчивости трехслойных конструкций со слоями из композитных материалов, обладающих значительной анизотропией свойств и некоторые другие направления, широкого класса динамических задач.
0.2. Характеристика современного состояния теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек. Отдельную группу исследований в области механики трехслойных элементов конструкций составляют задачи устойчивости, которым до настоящего времени было посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Необходимые сведения об этих исследованиях можно найти в работах А.Я. Александрова [4], Л.М. Куршина [60], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [42,43], В.Н. Кобелева [58], их монографиях и книгах справочного характера [21,115], а также обзорах (например, [127]).
Ключевыми в теории устойчивости трехслойных конструкций являются вопросы, связанные с выявлением и классификацией всех возможных форм потери устойчивости (ФПУ) и построением для их описания соответствующих математических моделей и разрешающих уравнений.
До последнего времени была общепринятой такая классификация задач устойчивости трехслойных конструкций, в рамках которой различали общую синфазную (кососимметричную), антифазную (симметричную) и местную формы потери устойчивости.
Первая из них характерна для относительно тонких трехслойных пластин и оболочек и связана с кососимметричным выпучиванием внешних слоев. Для выявления такой формы потери устойчивости в соответствующих уравнениях допустимо пренебрежение поперечным обжатием заполнителя [42,43].
Вторая форма потери устойчивости характерна для относительно толстых трехслойных плит и связана с волнообразованием внешних слоев, симметричным относительно срединной поверхности заполнителя, которая может быть выявлена только на основе использования уравнений, построенных с учетом поперечного обжатия заполнителя [20].
Описываемая в литературе местная форма потери устойчивости является чисто специфической и характерна для трехслойных элементов с заполнителем типа сот и с весьма тонкими внешними слоями. Она связана с их потерей устойчивости в пределах одной ячейки заполнителя [114,115] или гофра [5].
В рамках указанных ограничений на ФПУ многими исследователями проводился анализ возможности неучета деформации поперечного обжатия заполнителя, поперечных сдвигов во внешних слоях, моментности докритического состояния и ряда других факторов при постановке задач устойчивости. Однако, во всех этих работах преобладала классическая постановка задач устойчивости, в рамках которой в уравнениях вводились исследуемые уточнения или упрощения при описании лишь возмущенного состояния, а невозмущенное равновесное состояния конструкции полагалось недеформированным и безмоментным.
Поскольку одно из главных преимуществ трехслойных конструкций заключается в их оптимальности при работе на изгиб, то они используются там, где невозможно избежать моментности докритического напряжено-деформированного состояния.
Моментные зоны у оболочек, как правило, локализованы и возникают вблизи опорных закреплений, в местах приложения сосредоточенных нагрузок и ступенчатого изменения толщины и жесткости слоев, в областях быстрого изменения геометрических параметров и т.п. В подобных случаях существенно моментного состояния пакета слоев в целом в зонах, где невозмущенное состояние одного внешнего слоя значительно отличается от другого, возможна реализация смешанных ФПУ, которые в общем случае характеризуются различными формами потери устойчивости слоев и наибольшими амплитудами выпучиваний в местах преимущественно моментного докритического состояния. Однако, использование предположения о безмоментности докритического НДС пакета слоев в целом привело исследователей к формулировке ряда некорректных выводов, касающихся классификации форм потери устойчивости и построения для них соответствующих линеаризованных уравнений. Данное утверждение следует из анализа результатов исследований [30,86,87] , посвященных постановке и решению задач устойчивости трехслойных пластин при поперечном и продольно-поперечном изгибах, а в статье [83] была дана уточненная классификация ФІГУ трехслойных конструкций. В нее, кроме хорошо изученных в литературе синфазных и антифазных форм, была включена также и смешанная ФПУ внешних слоев. Для описания этой ФПУ в этой же статье построены уравнения, базирующиеся на использовании гипотез Кирхгофа - Лява для внешних слоев и модели трансверсально - мягкого слоя для заполнителя. В нем закон изменения тангенциальных и нормальных перемещений, как и во многих работах, посвященных разработке теории трехслойных и многослойных пластин и оболочек [15], принят линейным, что предполагает постоянство поперечных касательных напряжений и напряжения поперечного обжатия по толщине. Главное отличие этих уравнений от известных состоит в учете моментности докритического напряженно-деформированного состояния пакета слоев в целом, выражающийся различием в несущих слоях докритических тангенциальных усилий. Учет этого фактора и служит основой для выявления смешанных ФПУ в трехслойных конструкциях.
В статье [80] на базе выведенных в [83] уравнений решена задача об устойчивости бесконечно - широкой пластины симметричного строения, подверженной осевому сжатию через один несущий слой. Результаты этого решения показали, что критические нагрузки, соответствующие смешанной ФПУ, значительно ниже критических нагрузок синфазной и антифазной форм выпучивания, а для их определения необходимо использовать уравнения устойчивости, в которых наряду с поперечными сдвигами учитывается поперечное обжатие заполнителя при обязательном учете моментной работы внешних слоев и моментного характера докритического НДС.
Исследованию смешанных ФПУ бесконечно - широких трехслойных пластин в условиях продольно - поперечного изгиба, прямоугольных пластин при одностороннем и двустороннем сжатии одного несущего слоя, цилиндрических оболочек при осевом сжатии через один несущий слой, изучению влияния "деформационных" параметрических слагаемых на критические нагрузки посвящены работы [81,82 и др.]. Обобщение всех отмеченных выше результатов, полученных В.Н. Паймушиным и С.Н. Бобровым, на трехслойные оболочки вращения со слоями переменной толщины, находящихся в осесимметричном докритическом НДС, отражено в работе [70].
Решение задачи для оболочки с неподвижными в осевом направлении торцами верхнего слоя
Наиболее сложными и интересными в плане практических приложений являются задачи, описывающие НДС оболочки при первом способе конструктивного исполнения законцовок, когда для внешнего несущего слоя осевое перемещение ге2 = 0 при = ±4 0, а для внутреннего слоя усилие Т$ = 0. При таких граничных условиях интегралы первых двух уравнений системы (1.1.14) представимы в виде TxV = -S{k)[F(C)-F ]/p{k), (1.2.1) где F() - пока произвольная функция координаты , связанная с искомой функцией 7, зависимостью qx=R-xdFldtZ, (1.2.2) a F = F(0),FJ2 - произвольная постоянная. Используя (1.2.1), соотношения (1.1.6) преобразуем к виду [22 dC, P(k) rW = 2Е2%) w( ) Р(к) P(k) У НТЬ lf%} _ _ vfi)yg)RT )m {l23) После подстановки окружного усилия Т из (1.2.3) и ql из (1.2.2) во второе уравнение системы (1.1.14) приходим к системе двух уравнений для определения прогибов в несущих слоях, Л ) р(\) )- \)+(„(VMt))g ( =1 2), Р(к) "Ь решением которой будут функции (1 + Л + N - V 1 + FM+ FM + Р(1) Р(2) ЛЧ)+НЬ) + \гМ) + й d2F d? v« (l + J Лі) Л ) 0) + (1 + ) # + 3 + [#() + #(2) + Лф)(#(2) - /і )] (2) Vl cO) P(l) " P(2) d2F v,(1) У + У .Лі) P(2) (1.2.4) ГДЄ tf M = (a? - VPCPWRTM - ) / и -Л Л))" 2/20(г(1)-Г(2)) / ( ) Л ) ( )/0 2/ Р(к)Ег (k = 1, 2), Я = Лф) + 2) + ) 2). В соответствии с полученными выражениями (1.2.3), (1.2.4) для производных от осевых перемещений и- и прогибов мг уравнение (1.1.13) приводится к виду A -B + CF + Q-C{xfU-C{2)F ;2)=0, (1.2.5) где (О 1 21 = + 2( , + ( - 1 + 2 )-/.) - )( ) + /1) 13 \Р(2) Р{\)) Р{2) Р{ Oft .(2) + : (1.2.6) +4ol т 2) = (1) + 2 + Л2). ЧЛ0 Ла) ДО ,(2) E.DR 2= )+(1+Л2)) с _у ,у.»Ми)с _У v +vfvg С0) - Х(1) - + "2 С(2) - (2) _ _ + 72 Р(і)Лг) ЛО ЛоЛг) Р(2) Пользуясь произволом для FQ \ потребуем в уравнении (1.2.5) (2)J ад(,)+ед(2)=б (1.2.7) Одна из констант, входящих в (1.2.7), связана с искомой функцией F соотношением F( 0) = F , т.е. 7J = 0. Другую связь определим, потребуя выполнения на граничных срезах " = ±0 условий w2 = 0. Для этого проинтегрируем первое уравнение системы (1.2.3) при к - 2, что дает „»=,_ j +— (/га-я»)+ар г%. Р(2) Pltf \ Исключая из этого равенства постоянную U, для определения FQ получим уравнение Bi%u)wdC-)FdC о -Со = 0. (1.2.8) Проведем исследование видов решения уравнения (1.2.5) при условии (1.2.7). Они зависят от параметра //, определяемого из характеристического уравнения Afii4-Bju2+C = 0. (1.2.9) Анализ корней уравнения (1.2.9) показывает, что здесь возможны три вида решения уравнения (1.2.5). При 4АС В2 корнями уравнения (1.2.9) являются комплексно-сопряженные числа М = ±(м2±щ),{і = ), (1.2.10) где При 4 AC В2 и В О корнями уравнения (1.2.9) будут мнимые числа ju = ±щ и fj. = ±iju. (1.2.12) а при В О - вещественные числа H = ±Minju = ±M2 (1.2.13) причем в (1.2.12) и (1.2.13) //, и //2 определяются по формулам МІ=. В 2А + Л 4АС В2 М2 в 2А 1-Л 4АС В (1.2.14) (1.2.15) (1.2.16) (1.2.17) В соответствии с полученными решениями (1.2.10), (1.2.12), (1.2.13) при условии (1.2.7) и ql(-)=-ql(C) интегралами уравнения (1.2.5) являются, соответственно, функции: F() = Dl sin // sh// + D2 cos //j ch// , F() = Dl cos //j + Z 2 cos //2 ", F ch/z ch// , где ДиД - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий, накладываемых на функцию напряжения (1.2.2). Рассмотрим два вида этих условий. Первый вид характеризуется отсутствием на торцах заполнителя поперечных касательных напряжений т13, что эквивалентно заданию условий qi=dF/(Rd) = 0 при = ±0. (1.2.18) После подстановки соответствующих функций из (1.2.15) - (1.2.17) в (1.2.18) и (1.2.8) находим:
Анализ результатов исследования изгибной ФПУ
Расчеты по определению критического параметра t , связанного с температурой Г(2) формулой (1.5.7), были проведены при t0 = 10"2, v = 0.3 и варьировании параметрами г, x,cc3,T /T ,l = nR/2L,S = G3/E3 в пределах 2 г 10, 0.2 х Ю, 0 а3 1, -1 Т{1)/Т{2) 1,0.1 / 10,2.6G3 Е3 260G3. Здесь / - удлинение оболочки. Часть полученных результатов приведена в таблицах 1.1. и 1.2. при а3=0 (наиболее неблагоприятный случай), где принято t Kp=tKpjt , через т и п обозначены соответствующие числа полуволн, при которых реализуется минимум функционала (1.5.8). Кроме того, в таблицах для каждого значения / значения верхней строки отвечают параметрам потери устойчивости при использовании формул (1.5.10), а нижние - при использовании (2.5.11). Как показали расчеты, наиболее неблагоприятным с точки зрения потери устойчивости (наименьшее значение критического параметра t p) является случай7 = - (табл. 1.1.) при Т 0 (если Г(2) 0, то потери устойчивости исследуемой оболочки не происходит). Следует отметить, что при температурах Т = 7 форма потери устойчивости в основном близка к осесимметричной. Число полуволн по окружной координате (« ) здесь не превосходит двух (табл. 1.2) при = 0.6,/ = 1, в то время как при Т = -7 осесимметричная ФПУ зачастую не реализуется.
В последнем случае возможна реализация ФПУ с образованием большего числа полуволн по окружной координате, чем в продольном направлении (см. табл. 1). Кроме того, следует отметить, что использование как формул (1.4.8), так и (1.4.10) приводит к практически одинаковым значениям параметра критических температур t . Это свидетельствует о том, что основной причиной потери устойчивости оболочки в целом по смешанной изгибной форме является формирование в верхнем несущем слое с неподвижными в осевом направлении торцевыми сечениями сжимающих усилий Г„2 при его нагревании. Критическое значение температуры в этом слое снижается, если одновременно происходит охлаждение нижнего слоя с соблюдением равенства Гл) = -Т . В этом можно убедиться путем сравнения результатов табл. 1.1 и 1.2.
Если освободить верхний несущий слой от условия UQ( = ±0) = 0 И обеспечить выполнение условия 7Ji ( = ± 0) = 0, то соответствующая задача об устойчивости оболочки практически сводится к задаче об устойчивости трехслойного кольца со свободными торцевыми сечениями, детально исследованной в работе [103].
В рассмотренном диапазоне изменения параметра х форма потери устойчивости несущих слоев оболочки является смешанной изгибной, о чем свидетельствует значительная разница значений t при различных значениях параметра %
Для трехслойных оболочек с нетонким трансверсально-мягким заполнителем в линиях кривизны срединной поверхности заполнителя построены такие уточненные линеаризованные уравнения устойчивости, которые предназначены для описания форм потери устойчивости как с нулевой (чисто сдвиговые), так и большой (смешанные изгибные) изменяемостью параметров возмущенного напряженно-деформированного состояния в тангенциальных направлениях. Исходя из них составлены уравнения, позволяющие в корректной постановке и с необходимой для практических целей точностью описывать сдвиговые формы потери устойчивости (ФПУ) трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины. На их основе получены решения ряда задач о потере устойчивости оболочки по сдвиговым формам при некоторых видах силового и теплового нагружений. Установлено, что эти ФПУ реализуются в оболочке как в окружном, так и осевом направлениях, если в докритическом состоянии в заполнителе формируется нормальное напряжение сжатия в поперечном направлении. Показано, что данное условие выполняется в следующих рассмотренных ниже случаях: при растяжении оболочки неравными силами, приложенными на торцах к несущим слоям (параметр критической нагрузки максимальный, если к несущим слоям приложены равные по величине растягивающие силы); при внешнем (внутреннем) давлении; при охлаждении верхнего и нагревании внутреннего. несущих слоев.
Постановка задачи и используемые предположения
Достоинством модели, построенных в работах [50, 51, 52, 72, 74, 84, 98, 99], является возможность описания ими как статических, так и динамических процессов деформирования заполнителя при больших показателях изменяемости параметров НДС в тангенциальных направлениях за счет введения в рассмотрение лишь двух двумерных функций в дополнение к шести двумерным неизвестным, имеющим место в модели В.В. Болотина [15]. Эти две функции, представляющие собой характеристики поперечных касательных напряжений в заполнителе, появляются естественным путем в процессе интегрирования по поперечной координате линейных уравнений теории упругости, предварительно упрощенных за счет пренебрежения тангенциальными компонентами тензора напряжений (модель трансверсально-мягкого слоя [15]).
Описание заполнителя такими линейными уравнениями, как отмечалось в [50], возможно лишь при среднем изгибе несущих слоев и трехслойной оболочки в целом, когда и деформации поперечных сдвигов заполнителя являются малыми. Но введение предположения о малости деформаций поперечных сдвигов, как показано в [102], сразу же влечет за собой потерю содержательности разрешающих уравнений в отношении возможности корректного выявления и исследования на их основе чисто сдвиговых ФПУ, а описание НДС заполнителя геометрически нелинейными уравнениями равновесия, учитывающими конечность деформаций поперечных сдвигов, не позволяет найти их интегралы по поперечной координате с приемлемой точностью и в аналитическом виде, подобно тому, как это сделано в цитированных выше работах.
В связи с изложенным ниже используется другой подход к решению сформулированной задачи, основанный на использовании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости для заполнителя и двумерных линеаризованных уравнений теории оболочек для внешних слоев.
Как и в главе 1, будем рассматривать трехслойную оболочку с толщинами несущих слоев 2ЇІЩ и заполнителя 2й, отнесенную к триортогональной системе координат xl,x2,z, нормально связанной со срединной поверхностью заполнителя а. Пусть Ht-A l + k z - параметры Ляме в произвольной точке заполнителя, отстоящей от а на уровне z\ Ai,ki - параметры Ляме на поверхности а и ее главные кривизны; r,p = r + zrn - радиус-векторы точек на о- с координатами х, ,хг и произвольной точки заполнителя с координатами xl ,x2,z; /, ,/2,/3 =т - единичные векторы принятой системы координат, в проекциях на которые определяется вектор перемещений заполнителя U = l/Ji + U3m .
Если оставаться в рамках точности сформулированных в [102] требований в отношении возможности описания чисто сдвиговых ФПУ и воспользоваться непротиворечивым вариантом соотношении нелинейной теории упругости, предложенным в работе [106], то для трансверсально-мягкого заполнителя можно записать следующую систему уравнений равновесия в проекциях на оси /,, /2, m (2.1.1) # ) + = 0,1,2, oz oz — (НхН2агг) + (Нгап)+ (Нхст2Ъ) = ), oz дхх ох2 в которых (здесь и в дальнейшем а = 1,2,3; символы 1,2 означают, что неприведенные формулы следуют из приведенных путем перестановки индексов 1и2) (2.1.2) dU, dz T3J. = сг.3 + т33 - тангенциальные компоненты вектора напряжений т3, действующего на площадке z = const в деформированном состоянии заполнителя, в проекциях на недеформированные оси /15/2; о"і3,сг23, т33 - поперечные касательные и нормальные напряжения (проекции вектора аг на деформированные оси), которые с деформациями поперечных сдвигов 25-,3 и обжатия є33 в соответствии с сформулированными в [102] требованиями связаны зависимостями аГс/Л диъ Я. (2.1.3) 7п = т3(. = 2Gnsn = Gr & V i У Hfe + 733 — zS333 — xi3 8U, 1 dz \dz j fdU, l, dz (2.1.4) Здесь Gi3, Ег - модули поперечных сдвигов и поперечного обжатия заполнителя. В кинематическом соотношении для є а _дУг , 1 33 — -1 (2.1.5) и уравнениях равновесия (2.1.1) нами сохранены все нелинейные слагаемые, связанные с dUjdz, что не позволяет провести их последовательное (2.1.6) (2.1.7) интегрирование по z по аналогии с работами, проанализированными выше. В связи с этим, проведя линеаризацию составленных уравнений в окрестности некоторого НДС, считая при этом заполнитель напряженным, но недеформированным, и сохраняя принятые выше обозначения для параметров возмущенного НДС, приходим к тем же уравнениям (2.1.1), в которых .о dUt dz 3/= /3+ 33 ,u33 — съ dz «A dz тіг = G(3 + Hjbx, KHtJ dU, В (2.1.6) через сгзз обозначено поперечное нормальное напряжение, определяемое из решения задачи о докритическом НДС оболочки. Легко убедиться, что интегралами первых двух уравнений равновесия из (2.1.1) являются функции 73, = СТ,.3 = g (1+М) dz \+ktZj (2.1.8) в которых (2.1.9) g = (l + VXl + V) а через qi = q((xx, х2), #3 = ql(хх, х2) обозначены две неизвестные (q{) и известная ( 7з) функции интегрирования, равные, в частности, qi = J3 (z = 0), ql = r%(z = 0). При подстановке (2.1.8) в третье уравнение системы (2.1.1) приходим к уравнению вида dAxq2 A [(1+ 1+ ) 1+- 7 dz АХА2 ЯІ dxx dx. АХА dz \ + kxZj 1 дМ\ (l + kxz) dxx (\ + k2z) dx2 ( ATT \ = 0. AU2 l + k2Z; (2.1.10) К этому уравнению необходимо присоединить равенство dz (2.1.11) следующее из (2.1.6), (2.1.7), которое совместно с (2.1.10) позволяет записать уравнение относительно dUjdz. Его интегрирование по z позволяет определить первообразную для характеристики перемещения U3. Однако, точное решение этой задачи приводит к весьма громоздкому и трудно анализируемому выражению для U3 из-за функции g. Эта функция монотонно убывающая при ki 0 и достигает бесконечности при толщинах kjt = 1, что возможно лишь в случае, когда трехслойная оболочка переходит в двухслойную со сплошным заполнителем. В реальных конструкциях kji 1, что позволяет с точностью 0(kfh2) считать g»l.
Докритическое напряженно-деформированное состояние
Рассматриваются задачи о формах потери устойчивости (ФПУ) трехслойной сферической оболочки, которая состоит из тонких изотропных внешних слоев, трансверсально-мягкого заполнителя произвольной толщины и находится в центросимметричном температурном поле, неоднородном по толщине оболочки. Для их постановки используются двумерные уравнения теории среднего изгиба тонких оболочек Кирхгофа-Лява, составленные для внешних слоев с учетом их взаимодействия с заполнителем, а для заполнителя -максимально упрощенные геометрически нелинейные уравнения теории термоупругости, в которых сохранено минимальное количество нелинейных слагаемых с целью сохранения возможности корректного описания чисто сдвиговой ФПУ в заполнителе. Найдено точное аналитическое решение сформулированной задачи о начальном центросимметричном деформировании оболочки, у которой приращения температур во внешних слоях считаются постоянными по их толщинам. Показано, что линеаризованные в окрестности этого решения трехмерные уравнения для заполнителя допускают интегрирование по радиальной координате и сводятся к двум двумерным дифференциальным уравнениям в дополнение к шести уравнениям, которыми описывается нейтральное равновесие внешних слоев.
Установлено, что составленная система восьми дифференциальных уравнений устойчивости при введении новых неизвестных в виде скалярных и вихревых потенциалов распадается на две несвязанные системы уравнений. Первая из них имеет два вида решений, которыми описывается чисто сдвиговая ФПУ при одинаковом значении параметра критической температуры. Второй системой описывается смешанная изгибная ФПУ, реализация которой при определенных комбинациях определяющих параметров оболочки и в широких диапазонах их изменения возможна при таких значениях параметра критической температуры, которые на порядки превосходят значения аналогичного параметра сдвиговой ФПУ.
Как было отмечено в предыдущих главах и установлено в работе [104], при действии равномерного внешнего давления в трехслойном кольце, кроме смешанной изгибной ФПУ [105], при определенных комбинациях некоторых определяющих параметров возможна реализация и чисто сдвиговой ФПУ. Начало этого процесса связано с поворотом одного несущего слоя относительно другого за счет только деформации поперечного сдвига, постоянной в окружном направлении. Более детальное изучение этой задачи, проведенное в [22] в геометрически нелинейной постановке, показало, что после прохождения сдвиговой точки ветвления, находящейся на начальном линейном участке решения об осесимметричном деформировании, при дальнейшем увеличении внешнего давления процесс деформирования кольца, оставаясь осесимметричным, сопровождается дальнейшим взаимным сближением внешних слоев за счет увеличивающейся деформации поперечного обжатия заполнителя с одновременным их взаимным поворотом. Окончательная потеря устойчивости кольца в силу отмеченной особенности НДС на сдвиговой ветви решения, по-видимому, может произойти лишь по смешанной изгибно - сдвиговой ФПУ [71, 77].
Выше так же было отмечено, что принципиально важными по исследованию задач о сдвиговых ФПУ трехслойных конструкций оказались результаты статьи [102]. В ней было установлено, что выведенные в [51, 52, 72, 84] и им подобные уравнения устойчивости, содержат лишь второстепенные параметрические слагаемые для описания и выявления сдвиговых ФПУ. Главной же причиной реализации этих ФПУ при отсутствии докритических поперечных касательных напряжений в заполнителе является появление в нем докритических напряжений сжатия в поперечном направлении, а для корректного описания этих ФПУ в невозмущенном состоянии поперечные сдвиги в заполнителе необходимо считать конечными. Для этого достаточно сохранить в выражении для деформации поперечного обжатия заполнителя нелинейные слагаемые относительно тангенциальных компонент перемещений.
В связи с изложенным изучаемые в данной главе задачи о ФПУ трехслойной сферической оболочки при действии неоднородного по толщине температурного поля основаны на использовании таких уточненных уравнений, которые по точности и содержательности полностью отвечают как отмеченным выше требованиям, так и требованиям, сформулированным в статье [102]. Кроме того, в отличие от главы 2, используемые уравнения трехмерной теории упругости для заполнителя, составленные в сферической системе координат, удается проинтегрировать по радиальной координате при введении менее сильных ограничений на толщину заполнителя.
