Содержание к диссертации
Введение
1. Методы и проблемы изучения солнечно-земных связей 10
1.1. Виды математических моделей и методы их построения 10
1.2. Обзор программного обеспечения для моделирования динамики ВР.. 20
1.3. Проблемы математического моделирования динамики гелио- и геофизических характеристик 27
1.3.1. Координаты Северного полюса 27
1.3.2. Скорость вращения Земли 30
1.3.3. Длительность земных суток 32
1.3.4. Числа Вольфа. 35
1.3.5. Поток радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см 41
1.4. Постановка задач исследования 42
2. Адаптивное динамическое регрессионное моделирование (ДРМ) 45
2.1. Адаптивное регрессионное моделирование (АРМ) 45
2.1.1. Задача статистического моделирования 45
2.1.2. Основные предположения 46
2.1.3. Методология АРМ-подхода 48
2.2. Модели и методы динамической регрессии 49
2.2.1. Введение 49
2.2.2. Автокорреляция 54
2.2.3. Проверка стационарности ряда 55
2.2.4. Спектральный анализ 59
2.2.5. Вейвлет анализ 59
2.2.6. Трендовые модели 62
2.2.7. Тригонометрические тренды 62
2.2.8. Авторегрессионые модели 64
2.2.9. Методы мартингалъной аппроксимации 67
2.3. Динамическое регрессионное моделирование 69
2.3.1. Методология ДРМ 69
2.3.2. Алгоритм структурно-параметрической идентификации 70
2.2.3. Методика применения АРМ-подхода к решению линейных задач МНК. 74
3. Программное обеспечение «автоматизированная система динамического регрессионного моделирования» (АС ДРМ) 75
3.1. Структура АС ДРМ 75
3.2. Функциональное наполнение АС ДРМ 80
3.2.1. Общее описание 80
3.2.2. Модули анализа ВР 81
3.2.3. Вейвлет-анализ 84
3.2.4. Моделирование ВР 84
3.2.5. Случайный поиск с адаптацией (СПА) 87
3.2.6. Фильтрация на входе 90
3.2.7. Модели авторегрессии и скользящего среднего 93
3.2.8. Сценарии обработки ВР 98
3.2.9. Библиотека проверки качества модели 100
3.2.10. Библиотека анализа соблюдения предположений МНК. 104
3.2.11. Многооткликовая задача (совместная обработка рядов) 106
4. Статистический анализ временных рядов гелио- и геофизических характеристик 111
4.1. Описание исходных данных 111
4.2. Моделирование динамики координат Северного полюса 111
4.2.1. Модель по координате X 111
4.2.2. Модель по координате Y 118
4.3. Анализ динамики земных суток 123
4.4. Модели для описания ряда чисел Вольфа 132
4.4.1. Ряд чисел Вольфа за 1994-2004 гг 132
4.4.2. Ряд чисел Вольфа за 1749-2005 гг 136
4.5. Моделирование плотности потока радиоизлучения Солнца
на длине волны 10,7 см 139
4.6. Кросс-анализ временных рядов 143
Заключение 153
Список литературы
- Координаты Северного полюса
- Методы мартингалъной аппроксимации
- Случайный поиск с адаптацией (СПА)
- Модели для описания ряда чисел Вольфа
Введение к работе
Актуальность темы
Среди прецизионных задач астрометрии, небесной механики и геофизики особое место занимают задачи моделирования динамики гелио- и геофизических характеристик, а также задачи выявления статистических зависимостей между временными рядами (ВР). Для ВР такого типа актуальными являются вопросы постулирования модели, выбора алгоритма обработки, совмещения требований к точности результатов и возможностей, обеспечиваемых выборкой данных, методами прикладной математической статистики и компьютерными технологиями.
В настоящее время в практике сложился определенный подход к решению задач обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов (ГВР), при котором возникают две основные проблемы: 1) применение для ГВР только трендовой и полигармонической составляющих, используемых для описания физики процесса, приводит к постулированию модели, обладающей невысокой точностью прогнозирования; остатки после нее обременены заметными систематическими ошибками и не распределены нормально; 2) в большинстве случаев полигармоническая компонента ГВР, принятая исследователем, содержит шумовые и коррелирующие гармоники, а также «эхо» основных гармоник; для нестационарных ГВР периоды и амплитуды гармоник - нестационарны. Во втором случае снижается не только точность прогноза, но искажается в определенной мере физическое описание процесса.
Обе проблемы по сути формируют одну общую - проблему постулирования модели ГВР, с которой непосредственно связана проблема выбора критерия оптимальности модели. Применяемые в настоящее время критерии не всегда соответствуют назначению модели ГВР.
Вторая группа проблем возникает на этапе оценивания параметров модели методом наименьших квадратов (МНК). Моделирование динамики временных рядов на классических схемах МНК не всегда осуществимо с достаточной точностью из-за нарушения условий их применения, таких как, например, высокая степень автокорреляционной зависимости остатков є, ненормальность их распределения из-за наличия систематического смещения и непостоянной дисперсии процесса и др.
В итоге при использовании стандартного подхода к обработке ГВР возникает ряд ограничений: 1) отсутствует комплексная модель динамики ГВР, позволяющая достаточно полно выявить физику процесса и с высокой точностью прогнозировать поведение ГВР; 2) не в полной мере используются соответствующие критерии качества модели; 3) не учитывается возможность нарушения предположений МНК; 4) существующее программное обеспечение не дает возможности комплексно проанализировать тенденции ВР и построить соответствующее математическое описание.
В силу сказанного решаемые в диссертационной работе задачи прецизионной обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов на основе подхода динамического регрессионного моделирования (ДРМ-подхода), предложенного Валеевым С.Г., являются актуальными.
Цель и задачи исследования
Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи прецизионного математического описания гелио- и геофизических временных рядов на основе применения адаптивного динамического регрессионного моделирования путем создания предметно-ориентированного программного комплекса.
Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:
Анализ результатов, полученных другими исследователями по моделям, методам и программному обеспечению для обработки ГВР.
Обоснование применимости ДРМ-подхода для моделирования поведения ГВР.
Разработка алгоритма структурно-параметрической идентификации при построении комплексной модели ГВР.
Разработка методики применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР.
Разработка функционального наполнения и оболочки специализированной программной системы, обеспечивающей построение, комплексный анализ и поиск оптимальной структуры ГВР.
Получение статистических моделей динамики временных рядов на основе динамического регрессионного моделирования.
Статистический анализ солнечно-земных связей.
Диссертационная работа выполняется в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии». Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных исследований № 04 - 02 - 16633 в 2004 - 2006 годах.
Методы исследования
В диссертационной работе используются методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, численные методы, а также объектно-ориентированного программирования.
Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций подтверждена результатами вычислительных экспериментов, корректным применением методов математического моделирования, а также результатами использования материалов диссертации и программного обеспечения при внедрении.
Научная новизна положений, выносимых на защиту
Впервые
1. разработаны:
-алгоритм структурно-параметрической идентификации модели ГВР, -методика применения АРМ-подхода к задачам МНК для составляющих ГВР, -пакет прикладных программ для построения комплексных моделей временных рядов гелио- и геофизических характеристик на основе ДРМ-подхода, - комплексные модели, позволяющие осуществлять прецизионное моделирование ГВР;
2. применены:
-«внешние» меры качества для компонент и комплексной модели ГВР в целом, позволяющие оценивать их точность прогнозирования за пределами временного ряда,
-методы структурной идентификации для фильтрации шумов и «эховых» гармоник в полигармонических компонентах, мартингал для описания случайного процесса;
получены и исследованы комплексные модели характеристик солнечной активности (чисел Вольфа и потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см), координат X и Y Северного полюса Земли, вариации длительности суток и скорости вращения Земли, применение которых позволяет с более высокой точностью прогнозировать их динамику;
Выявлен ряд новых особенностей в солнечно-земных связях, учет которых в случае подтверждения на более обширном материале может помочь уточнить причинно-следственный механизм взаимосвязей.
Практическая значимость работы
Разработанный информационно-математический комплекс, созданный на основе ДРМ-подхода и предложенных алгоритма и методики обработки временных рядов, практически используется в научно-практической деятельности для моделирования гелио- и геофизических характеристик во времени, позволяя получать с высокой степенью адекватности математические описания их динамики и с более высокой по сравнению со стандартными подходами точностью прогноз их значений.
Внедрение результатов
Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в Институте астрономии РАН в рамках темы по гранту РФФИ, в Гидрометцентре РФ, а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика».
Личный вклад автора
Автором выполнен обзор по методам и проблемам изучения солнечно-земных связей. С учетом выявленных недостатков существующих подходов к обработке ГВР сделаны выводы относительно актуальных вопросов анализа гелио- и геофизических характеристик. Обоснована применимость ДРМ-подхода для моделирования поведения ГВР. Разработан алгоритм структурно-параметрической идентификации при построении комплексной модели ГВР. Разработана методика применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР. Разработан пакет прикладных программ автоматизированная система динамического регрессионного моделирования (АС ДРМ 2.0) на основе первой версии АС ДРМ 1.0, позволяющий проводить анализ ГВР, определение оптимальной структуры модели и оценивать ее параметры. Получены и исследованы комплексные модели гелио- и геофизических характеристик на основе разработанных алгоритма СПИ и методики. Проведен сравнительный анализ полученных комплексных моделей в АС ДРМ по точности с моделями в пакете STATISTICA. Проанализированы некоторые взаимосвязи ГВР.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:
42nd Vernadsky-Brown Mycrosymposium (Москва, 2005г.);
международный симпозиум «Астрономия-2005: Состояние и перспективы развития» (Москва);
международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.);
конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.);
Публикации
По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 5 статей.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Основное содержание изложено на 168 страницах, включая 82 рисунка и 12 таблиц. Список литературы включает 150 наименований использованных литературных источников.
Координаты Северного полюса
Вращение Земли происходит неравномерно. Меняется скорость вращения, перемещаются географические полюсы, ось вращения колеблется в пространстве. Являясь совокупным отражением различных процессов, нестабильность вращения несет ценную информацию об этих процессах и может быть использована для разработки и проверки различных геофизических моделей [91].
Наблюдения на станциях Международной службы движения полюсов Земли и измерения с помощью приборов на специальных геодезических спутниках показывают, что тело планеты отклоняется от оси ее вращения со скоростью около 10 см/год. Движение географических полюсов Земли вызвано сезонными перемещениями масс воздуха и воды и влиянием упругих и вязких свойств литосферы [92].
Движение полюсов Земли имеет периодический характер. Основными периодами являются 14-месячный период Чандлера и 12-месячный (годовой) период. Последний период явно связан с сезонными изменениями в распределении воздушных масс, с переносом масс воды в виде снега с одного полушария Земли на другое и т.п. Период Чандлера - естественный период колебаний Земли [93].
Математическое описание чандлеровской компоненты координат полюса Земли представлено в [94]. Авторы рассматривают идеализированную модель колебаний в системе Земля-Луна. Выделены два известных периода - драконический год (Л=346.62 дни) и Р2=433.6 ± 5. В качестве периода естественных колебаний Земли выбрана величина свободного движения полюса, полученная экспериментально Р=403Л ± 5 дней.
В работе [95] проведено сравнение различных методов СА в применении их к рядам параметров вращения Земли (ПВЗ). Проведен вейвлет-анализ рядов движения полюса. С использованием различных методов получены краткосрочные прогнозы ПВЗ. Предложен метод прогноза с использованием сингулярного спектрального анализа и нейронных сетей. Получен прогноз траектории движения полюса с использованием предложенного метода прогнозирования для возбуждающей функции и фильтра Калмана.
Изучены вынужденные вращательные/колебательные движения Земли при действии гравитационных сил Солнца и Луны. При этом Земля рассматривается как линейное вязкоупругое тело [96].
Было установлено, что возбуждение колебаний полюсов (более точно, вектора угловой скорости Земли в земной системе отсчета) имеет приливно-отливный характер и может быть объяснено в соответствии с движением барицентра система Земля-Луна относительно Солнца [97,98]. Показано, что основные характеристики этих колебаний довольно устойчивы и не изменяются в течение временных интервалов, которые существенно превышают период прецессии земной оси. На основе методов небесной механики построена простая математическая модель управления этими колебаниями. Эта модель включает две частоты (частоту естественного колебания (Чандлера) и годовую частоту) и обеспечивает прогноз, совпадающий с астрометрическими данными IERS. Параметры этой модели были идентифицированы на основе спектрального анализа данных IERS и метода наименьших квадратов. По этой модели получены статистически надежные интерполирующие данные (эфемериды) для временных интервалов от нескольких месяцев до 15-20 лет. Впервые представлен прогноз высокой точности движения полюсов для срока 0.5 - 3 года. G.V. Kiryan и D.G. Kiryan [99] обнаружили, что траектория полюса вращения Земли, исправленная за нутацию и прецессию, отражает движение центра массы Земли.
Наблюдаемое движение центра массы Земли является частичным решением проблемы гравитационного взаимодействия N тел. Показана физика изменений координат наблюдений. Получены формулы, которые могут использоваться для вычисления исправленного движения центра масс Земли.
На основе исследования динамических уравнений вращения Земли в [100] показано, что некоторая составляющая движения полюса может быть обусловлена динамической связью между мантией Земли и ее жидким ядром. На длительных интервалах времени это может привести к систематическим эффектам, затрудняющим предсказание движения полюса.
Методы мартингалъной аппроксимации
Пусть (Q,/ F, Р) - стохастический базис, на котором задан некоторый процесс, наблюдаемый в дискретные промежутки времени [145]. Можно выделить три компоненты процесса: «медленный» тренд A = (At)t 0, «колебательную», с большим периодом, F - (Ft)t о и стационарный быстроосциллирующий шум Y= (Yt)t o . Rt = At+Xt + Yt. (2.2.41)
Опишем Yt в терминах теории стохастической фильтрации. Yt можно рассматривать как процесс Орнштейна - Уленбека = /o - X \&s + a2 \dW , (2.2.42) o to где =[i)t0 t T независимые случайные величины, W =\ VQ), i \ винеровский процесс.
В диффузионном описании Y dYt = y(Yt)dt + adWt(2.2A3) функция у существенно нелинейна. Коэффициент а здесь определяется формулой: Ef4W2 а = \\ (2.2.44) гоЪ где tob- общее число наблюдений (временной интервал).
Определить вид функции /позволяет следующая теорема: Теорема. Для непрерывных функций у и /, обеспечивающих стационарное распределение процессов Y - решений уравнения (2.2A3), для функционалов І ЛГ-1Г (г) = -Т. Nj=o (Yt+x-Yt)-y(Yt)X-п имеет место сходимость Фы:(у) - -E\\y(Ys)-y(Yt )]2ds + a2t + of-) n 0 \n) при N— x .
Фактически эта теорема позволяет использовать МНК при дискретизации непрерывных диффузионных процессов. Поиск у осуществляется асимптотической минимизацией функционалов Ф; условная запись процедуры выглядит как (arg(minr- (Пт Л (у)))), (2.2.44) где равенство подразумевает предел в смысле L функций у-?п, минимизирующих \\т _ Фт{у).
Результатом применения такой процедуры оказалась функция [145], обеспечивающая положительную обратную связь в (3.2.1) при малых значениях п. Данная функция имеет следующий вид: ax{l-b\x\c), (2.2.45) где а,Ь,с- некоторые коэффициенты.
На практике установлено, что наилучший результат данная модель дает при условии, что а є [0, 2], с є [0, 2] и ищутся с шагом 0.01, а Ъ имеет произвольное значение, так как особого влияния на результат исхода не имеет.
Рассмотрим идею обобщения АРМ-подхода к обработке временных рядов, очень часто встречающихся как в ряде разделов астрономии (астрометрии, астрофизике и т.д.), так и в экономических задачах [146]. Задачу оценивания параметров регрессии по временным рядам (ВР) иногда называют задачей динамической регрессии [144].
Обобщая в целом ситуацию, сложившуюся в практике применения современной методологии обработки временных рядов, можно отметить основные причины неполной адекватности разрабатываемых динамических моделей: использование для оценки адекватности "внутренних" критериев качества, применение вычислительных схем обработки без анализа соблюдения условий нормальной схемы Гаусса-Маркова и адаптации к их нарушениям, использование упрощенных схем обработки ВР, одномерность решаемых задач [16].
Сравнение методологий обработки ВР и регрессионного моделирования приводит к заключению о том, что системный РМ-подход включает в себя технологию обработки ВР. В случае использования последней так, как и в РМ, постулируется модель обработки данных. Комбинированный характер этой модели, включающей при описании колебательных процессов, возможно, фильтр Калмана, а при представлении st - мартингал или другие описания, тем не менее не помешает формированию банка функций при обработке данных. Наибольшее сходство фиксируется на этапе оценивания параметров модели, точнее, ее регулярной и нерегулярной частей.
Отметим принципиальные отличия ВР от случайной выборки, обрабатываемой при РМ-подходе: члены ВР не являются статистически независимыми и одинаково распределенными, т.е. не все приемы статистического анализа выборки могут быть распространены на ВР.
Отмеченные трудности построения адекватных моделей ВР могут быть решены применением подхода регрессионного моделирования. Учитывая, что постулируемыми моделями могут быть как статистические зависимости, так и случайные процессы в виде временных рядов, предлагаемую методологию можно назвать методологией динамического регрессионного моделирования (ДРМ) [16].
Случайный поиск с адаптацией (СПА)
Предполагаемые периоды/частоты для включения в модель можно оценить с помощью набора процедур: спектральный анализ, вейвлет анализ, метод включения с исключением; при этом пользователь может задать нужные периоды/частоты вручную. В модуль встроены процедуры нахождения корреляционных матриц для коэффициентов гармоник, как окончательных, так и на момент разложения на составляющие.
Комплексная модель. Новый модуль предназначен для моделирования, анализа и прогнозированию по комплексной модели. В модуле выбирается фактор для исследования, строятся для него модели или выбираются построенные. Для прогноза необходимо выбрать интервал прогнозирования. В случае выбора для включения в комплексную модель еще не построенную структуру для данного ряда, выходит окно сообщения об ошибке и предлагается построить эту модель либо отменить действие (рис. 3.11).
Часто при обработке наблюдений и данных необходимо выявить наиболее информативные признаки, которые оказывают влияние на отклик. Специально для случаев большого числа регрессоров было предложено несколько методов, например, метод включения, метод исключения, метод включения с исключением или пошаговый метод, метод ветвей и границ. Одним из наиболее перспективных является также метод случайного поиска с адаптацией (СПА) и различные его модификации.
Актуальность применения методов случайного поиска к обработке временных рядов обусловлена тем, что выделяемые спектральным анализом гармоники часто оказываются «смазанными», то есть плотность гармоники, действительно присутствующей в процессе, «расщепляется» на соседние гармоники. Это обусловлено использованием дискретного преобразования Фурье и несовпадением делителей длины наблюдаемого ряда и наиболее значимых гармоник. В отличие от других методов СПА не «привязан» к оцениваемым параметрам, что и обуславливает характерные для него преимущества и недостатки.
Задачу поиска оптимального набора регрессоров можно рассматривать как задачу оптимизации функционалов с булевыми переменными [148], если ввести булевы переменные Zj(j = 0,р - 1), принимающие значения 0 или 1. Пусть обычная модель РА представляется в виде. у=о Если ввести булев вектор Z с компонентами z,, равными 0 или 1, то (3.1) перепишется в виде y. fijXyZj+s,. (3.2.2)
При всех Zj =1, очевидно, (3.2.1) и (3.2.2) совпадают; если же предполагать, что коэффициенты Zj могут принять значения 0 или 1, то количество различных векторов Z будет равно 2Р, т.е. количеству всех возможных структур, формируемых на основе исходной модели. Перепишем (3.2.2) несколько иначе, имея в виду, что член /?0 в соответствии с предположением 2.3 входит в модель: y fio + fyjXiZj+e,. (3.2.3) у=о Тогда количество перебираемых структур равно 2P_I. В дополнение к постановке задачи непрерывной оптимизации для оценивания параметров п ( Р-\ у тіп5,где S = X Уі-ZPjXij , fieCeR =1V 7=0 J сформулируем задачу дискретной оптимизации для структурной идентификации в виде задачи оптимизации функционала с булевыми переменными: min 5" , где S = f(Z,S) - принятая мера качества.
Метод СПА не является универсальным способом структурной идентификации в РА, так как в нем предполагается заданной размерность оптимальной модели /. На практике. параметр ро неизвестен. Отмечается, р-\ что при р0 -— происходит заметное ухудшение алгоритма, а при р0, близком к (р-1), вообще не получается удовлетворительного решения [149]. Все же в ряде случаев можно принять в РА р0 неизвестным, полагая pQ . Рассмотрим соответствующую постановку и этапы алгоритма в применении к задаче РА. Найти min S (Z), (3.2.4) Г p-i ZeG = Z:zj = Qv\;j = l,p-l;lZj=p0;p0 t— Иначе, нужно найти подмножество, состоящее из ро регрессоров, при котором значение S будет минимальным. В алгоритме СПА выполняются следующие операции: 1. Формируется начальный вектор вероятностей р =(р\ /?2 Pp-l ) , где Pj -p(zj=\) - вероятность того, что у -я компонента вектора Z примет значение, равное единице. Если нет принудительного включения какого-нибудь регрессора, то /г — r_i \ i_Y Vp-lp-1 р-\)
2. На (к-\)-м этапе выбираются г векторов решения z (i= 1,г); выбор осуществляется случайно в соответствии с вектором вероятностей выбора регрессоров /г {к = 0,R — 1). Здесь R - количество этапов; г - количество векторов Z на каждом этапе, содержащих ро единичных компонент.
Модели для описания ряда чисел Вольфа
Зависимость вариации земных суток от скорости вращения Земли. Выявлена отрицательная функциональная зависимость между изменением средних суток и изменением средней скорости вращения Земли. При сопоставлении графиков временных рядов изменения продолжительности суток и скорости вращения прослеживается тенденция увеличения скорости вращения Земли и уменьшения продолжительности средних суток (рис. 4.53).
Видно, что за рассматриваемый промежуток времени скорость вращения Земли увеличивается. Хорошо видны сезонные колебания скорости вращения и вариации длительности земных суток.
Для анализа взаимного влияния характеристик при условии сдвига временных серий друг относительно друга на некоторый временной промежуток применялся метод кросс-корреляции.
При проведении взаимного анализа рядов выявлена тесная отрицательная зависимость скорости вращения Земли V{t) от длительности земных суток LOD{t). При увеличении V(i) уменьшение LOD(i) происходит в течение примерно 7 суток, причем наибольшее изменение в ряде LOD{t) наблюдается в первые сутки, далее коэффициенты кросс-корреляции этих рядов постепенно снижаются от -0.98 до -0.8 (рис. 4.54). -0,8--002--0,84--0,86 -0,88 -0,9 -0,92--0,94 --0,96--0,58 0 Рис. 4.54 Сдвиг ряда изменения скорости вращения Земли относительно ряда изменения длительности суток на 7 дней.
Проведен взаимный спектральный анализ двух рядов.
По данным, представленным в табл. 9 и на рис. 4.55 можно заключить, что компоненты двух рядов на периодах 365.2, 182.6, 27.5, 13.7 взаимосвязаны, причем наибольшая кросс-амплитуда характерна для компонент с периодами 1 год и полгода. В спектре этих рядов, возможно, присутствуют компоненты с периодами больше 10 лет.
Зависимость длительности земных суток от скорости вращения Земли и координат Северного полюса. Результаты исследования взаимной кросс-корреляции рядов: средней продолжительности суток и координат полюса; средней продолжительности суток и изменением средней скорости вращения представлены на рис. 4.56.
Как следует из рис. 4.56а, влияние изменения земных суток на координату X продолжается примерно 30 суток; далее зависимость ослабевает, тогда как коррелированность рядов изменения земных суток и координаты Y примерно через 24 дня полностью исчезает (г = 0). К аналогичным выводам в силу сильной корреляционной зависимости рядов изменения суток и скорости вращения Земли приходим при сдвиге ряда скорости вращения Земли относительно данных по координатам Северного полюса.
Земли. Изменение длительности суток и скорость вращения Земли. Сдвиг ряда чисел Вольфа/индекса Fl0,7 на 30 дней относительно ряда LOD(f) выявляет небольшие пики кросс-коррелеляционной функции (рис. 4.58), повторяющиеся через 14-18 дней. Это указывает на то, что влияние рядов носит периодический характер и присутствует умеренная кросс-корреляционная связь в диапазоне от -0.43 до -0.6.
Построенная матрица коэффициентов корреляции между рядами чисел Вольфа, потоком радиоизлучения на длине волны 10,7 см и вариации земных суток, скорости вращения Земли показывает существенную взаимозависимость этих данных. Проведенная процедура кросс-корреляции указывает на возможные зависимости при сдвиге рядов относительно друг друга.
Регрессионные модели зависимости LOD от чисел Вольфа или от индекса F 10.7, включающие также время в качестве регрессора, имеют вид: LOD = 0,0023288 - 3,223Е(-6)-(Числа Вольфа) - 5,762Е(-7)-ґ с коэффициентом множественной корреляции R = 0,81, СКО модели 0,000499; LOD = 0,00245 - 2,477E(-7 (F10,7) - 5,826E(-7)-f с коэффициентом множественной корреляции R = 0,80, СКО модели 0,000507.
Сдвиг ряда чисел Вольфа относительно ряда LOD на 200 дней; б) Сдвиг ряда F 10,7 относительно ряда земных суток на 200 дней Отмечается убывающая отрицательная зависимость характеристик по мере увеличения временного интервала (рис. 4.59). Подобная картина отмечается и при сдвиге временного ряда данных скорости вращения относительности ряда чисел Вольфа. Этот факт указывает на достаточно сильное влияние числа солнечных пятен на параметры вращения Земли; причем это влияние продолжается в течение не менее полугода после изменения солнечной активности. По графикам динамики этих рядов отчетливо видно, что при увеличении числа пятен на Солнце скорость вращения Земли увеличивается, длительность суток - снижается.
Как видно из рис. 4.60 и табл. 11, существует зависимость компонент рядов солнечной активности и параметров вращения Земли на периодах примерно 10 лет, 5 лет и 1 год.
