Содержание к диссертации
Введение
1 . Системный анализ методов моделирования информационного взаимодействия объектов 12
1.1. Обзор основных проблем ГИС - технологий 12
1.2. Обзор основных проблем и методов пространственного анализа 28
1.3. Цель исследования и постановка задач 40
2 . Логический анализ процесса передачи информации 42
2.1. Доказательство, ход рассуждений и передача информации ." 42
2.2. Конструкция: наложение и стирание смыслов, рекурсия 46
2.3. Метод амплификации как способ обращения к предкаузальнои конструкции 56
2.4. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций 61
2.5. Определение геометрической информации и энтропии 69
2.5.1. Двойное отношение четырёх прямых 69
2.6. Основные результаты и выводы 82
3. Геометрический подход к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства 84
3.1. Новая математическая модель информационного пространства 84
3.2. Определение геометрического места точек в проблеме проектирования информационных сетей. Частный случай: Y=tc/2 91
3.3. Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек в проблеме проектирования информационных сетей 99
3.4. Основные результаты и выводы 115
4. Функциональное представление элементов информационного пространства 118
4.1. Определение функции углов. Случай у=я/2 119
4.2. Решение задачи в общем случае 127
4.3. Решение задачи в случаях, когда
Ч=\ гф^і у = я 134
4.4. Основные результаты и выводы 144
5. Дискриминантное представление и численный метод факторизации в геометрическом моделировании информационного пространства 146
5.1. Общий случай задачи о "наблюдателе1'. Полиномиальная форма задачи. Решения в специальных случаях 146
5.2. Соотношение между смешанными дискриминантами и совместным спектром матричных коэффициентов полиномиального пучка. 176
5.3. Основные результаты и выводы 188
6. Общее решение задачи конструирования геодезической модели информационного пространства 191
6.1, Факторизация в случае отрезков одинаковой длины и осевой симметрии расположения 191
6.2. Факторизация в случае двух параллельных центрированных отрезков 202
6.3. Общее решение задачи. Общее взаимное расположение отрезков 213
6.4. Определение углов, под которыми видны отрезки из точек кривой 229
6.5. Конструкция геодезической модели информационного пространства в общем случае 245
6.6. Основные результаты и выводы 252
Заключение 259
Список литературы
- Метод амплификации как способ обращения к предкаузальнои конструкции
- Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек в проблеме проектирования информационных сетей
- Соотношение между смешанными дискриминантами и совместным спектром матричных коэффициентов полиномиального пучка.
- Конструкция геодезической модели информационного пространства в общем случае
Введение к работе
Актуальность проблемы, В середине прошлого века была разработана и внедрена технология, позволяющая устанавливать кабельную связь между компьютерами, находящимися на большом географическом удалении друг от друга. Это обусловило начало интенсивного формирования информационного пространства. Исторические особенности указанного процесса привели к первоначальному развитию алгоритмического, а более общо- формально алгебраического подхода к решению возникающих здесь задач. Однако уже в середине 80-х годов стало понятно, что обмен информацией на компьютерном уровне приобретает широкомасштабный, всеохватывающий характер, что приводит к необходимости решать не только логические задачи компьютерного взаимодействия, но также проблемы, связанные с выбором места расположения крупных информационных узлов. Уровень развитости информационных технологий данного региона определяет, наряду с другими факторами, степень управляемости при решении широкого спектра жизненно важных социальных экономических и геополитических проблем, с другой стороны, многие принципиальные административные решения с необходимостью должны подкрепляться соответствующим развитием информационной инфраструктуры данного региона. Выполнение такого сравнительного анализа требует разработки специальных методик, в основе которых лежит, прежде всего, решение проблемы построения модели информационного пространства.
На эмпирическом уровне с проблемой отсутствия общего подхода к описанию процессов геоинформационного взаимодействия сталкиваются при разработке геоинформационных систем - ГИС-технологий, а также при создании базовых технологий перспективных средств радиоэлетронной борьбы. Таким образом, назрела необходимость создания абстрактной геометрической модели информационного пространства, направленной на увеличение эффективности взаимодействия информационных объектов в зависимости от их географического положения. Пространственный анализ компьютерных сетей важен не только с практической точки зрения, но также и с теоретичес-кой, так как геометрическое рассмотрение логических устройств естественно приводит к появлению геометрической теории логических структур. В дальнейшем такая теория сможет классифицировать утверждения по количеству различных доказательств, которыми они могут быть установлены. В этом смысле теорема К. Гёделя о неполноте арифметики будет на одном краю спектра, как теорема о существовании истинных утверждений с нулевым числом доказательств, а на другом краю будет теорема о существовании утверждений с континуальным количеством различных доказательств. Эта ситуация аналогична существованию бесконечного числа замкнутых геодезических на многообразии неотрицательной кривизны.
Таким образом, актуальность рассматриваемой в диссертации проблемы определяется необходимостью решения широкой совокупности задач по оптимальному расположению географически удаленных объектов в пространстве, с целью увеличения эффективности информационного взаимодействия.
Работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой ИТ-601 «Перспективные информационные технологии высшей школы», Межведомственной программой «Создание национальной сети компьютерных телекоммуникаций для науки и высшей школы» Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства науки и технологии России,
Цель исследования: разработать теорию математического моделирования информационного пространства как риманового многообразия ограниченной гауссовой кривизны, направленную на повышение эффективности информационного взаимодействия географически удалённых объектов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
провести системный анализ методов моделирования информационного взаимодействия географически удаленных объектов;
развить методы пространственного анализа применительно к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства;
построить функциональное представление элементов информационного пространства;
сконструировать геодезическую модель информационного пространства, адаптированную к основным положениям римановои геометрии;
разработать и внедрить численный метод, позволяющий эффективно решать задачи геометрического моделирования информационного взаимодействия объектов.
Методы исследования, В диссертации используется теория математического моделирования, методы римановои геометрии, алгебраическая геометрия, теория вещественных алгебраических многообразий, элементы функционального анализа и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:
математическая модель информационного пространства как двумерного риманова многообразия с метрическим тензором, определяемым уравнением Монжа - Ампера с гауссовой кривизной, зависящей от взаимного расположения источников информации, позволяющая формировать базовые элементы теории информационного поля;
интегральный оператор, обеспечивающий решение оптимизационных задач взаимного расположения объектов, имеющих информационную природу за счет матричного представления структуры информационного пространства;
метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной, обеспечивающий построение метрического тензора и определение кратчайшего расстояния между двумя заданными точками на построенной поверхности;
метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов;
метод энтропийной замены, отличающийся использованием энтропии в качестве параметра группы сдвигов по траекториям решений дифференциальных уравнений и позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме; обоснование корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости и позволяющее представить математическую модель информационного пространства в форме алгебраического многообразия; численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства основанный на установленной взаимосвязи между смешанными дискриминантами и совместным спектром семейства коммутирующих операторов, обеспечивающий увеличение скорости вычисления собственных значений полиномиального матричного пучка.
Основные положения, выносимые на зашиту:
1. Метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной.
2. Метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области7 за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов;
3. Метод энтропийной замены, позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме;
4. Доказательство корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости.
5. Численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на свойствах совместного спектра семейства коммутирующих операторов.
Практическая значимость результатов исследований. Полученные в диссертации результаты являются основой для разработки новых геоинформационных систем - ГИС-технологий, направленных на решение задач картографирования в сфере здравоохранения, а также для решения задач управления в социальных и экономических системах. Результаты могут быть использованы для решения задач пространственной локализации источников информации, в частности, для учета влияния рельефа местности на распространение УКВ радиоволн, а также для решения прямых и обратных задач конструирования в кузнечно-прессовом машиностроении.
Реализация работы. Результаты диссертации внедрены в проектные разработки архитектурной мастерской «Фонте Гайя» (г. Москва), а также используются в учебном процессе для студентов Воронежского института высоких технологий, обучающихся по специальности 071900 «Информационные системы», и для студентов Воронежского государственного технического университета, обучающихся по специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии».
Апробация работы. Основные положения и научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г. Куйбышеве, 1988 г.; на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи математической физики" в г, Черновцы, 1989 г.; на IX Всесоюзном симпозиуме «Эффективность: качество и надежность систем "человек - техника"» в г. Воронеже, 1990 г.; на Всесоюзном совещании - семинаре "Интерактивное проектирование устройств и автоматизированных систем на персональных ЭВМ" в г. Воронеже, 1991 г.: на семинарах в Воронежском лесотехническом институте; на семинаре в Воронежском госуниверситете (руководитель; на конференции профессорско-преподавательского состава Воронежского политехнического института, 1991 г.; Всероссийском совещании - семинаре "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1994Д997); научно-методической конференции "Проблемы качества образования" (Уфа, 1996); Республиканской электронной научной конференции "Современные проблемы информатизации" (Воронеж, 1997); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000); IV Международной научно-практической конференции "Экономика, экология и общество России в 21-м столетии" (Санкт-Петербург, 2002); IV Workshop of Partial Differential Equations; Theory, Computations and Applications. Rio de Janeiro, 1995(Brazil); Gesellschaft fur Ange-wandte Mathematik und Mechanik, Regensburg, 1997(Germany): International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii, Moscow, 2001 (Russia), Международной конференции "Современные сложные системы управления (Воронеж, 2003), XVI международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ростов-на-Дону, 2003), 35-43 ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава ВГТУ (Воронеж, 1995-2003), а также на научных семинарах кафедры автоматизированных и вычислительных систем ВГТУ.
Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано более 60 работ, в том числе монография. 9 статей опубликовано в журналах указанных в перечне ВАК. Основные публикации представлены в конце автореферата. 14 работ опубликовано без соавторов. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [1, 2, 10, 12, 16] - получение неравенств выражающих априорные оценки; в [3] — алгебраическая модель системы; в [4] - разработка численного метода факторизации полиномов; в [6] - приложение теории полугрупп операторов к анализу динамики нелинейных механических систем; в [9] - исследование некорректной динамической системы; в [39] - вычисление асимптотических разложений; в [18, 24, 26, 29, 32] - качественный анализ дифференциальных уравнений; в [5, 33, 34, 35, 36, 37, 41] - постановка задачи моделирования информационного пространства и метод её решения; в [25] - метод энтропийной замены; в [17, 20, 22, 28] - постановка задачи разработки численного метода для операторов с доминирующей диагональю.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 124 наименований и трёх приложений. Работа изложена на 310 страницах и содержит 35 рисунков.
Метод амплификации как способ обращения к предкаузальнои конструкции
Для достижения основной цели исследования нам необходимо разработать теоретическую основу и метод системного анализа, позволяющий формализовать категорию информационного пространства для постановки и решения задач оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.
Сейчас для этого нам необходимо выработать понимание того, что есть доказательство и понять, что являет собой его противоположность, отрицание, не - доказательство. Первая категория давняя, на столько давняя, что сейчас даже невозможно установить её возраст - будем, поэтому, ориентироваться на имя Фалеса Милетского, который известен как первый математик, требующий доказательств для геометрически очевидных фактов. По-видимому, с этого момента доказательства стали органической частью математики и, следовательно, история математических доказательств продолжается не менее двух с половиной тысяч лет. Отрицание доказательства или не-доказательство, как самостоятельный объект исследования, как отдельно существующая категория, возможно, рассматривается впервые здесь.
Если попытаться сформулировать задачу этой главы, например, так: «доказать, что не доказательство существует», или «доказать, что не доказательство есть», то каждому, читающему этот текст, будет очевидна некоторая логическая "странность", чтобы не сказать ошибка или непонятность. Возможно, для такой категории как не - доказательство требуется не - доказать ее существование. В самом деле, если есть доказательство существования не- доказательства, то это доказательство как нельзя лучше докажет отсутствие не - доказательства. Если, наоборот, предположить, что не возможно доказать его существование, то именно эта невозможность прекрасно докажет существование не - доказательства. Так неожиданно просто конструируются логические парадоксы.
Может быть легче выяснить, что есть доказательство? Чем оно доказывает началом или окончанием, правой стороной листа или левой, плотностью упаковки силлогизмов или плотностью интонаций и разнообразием жестикуляции?
Формальный ответ можно легко получить. Например, так: доказательство это все, что принадлежит логике, а не - доказательство - все, что находится вне логики. Однако такие ответы всего лишь перекладывают вопросы с одних терминов на другие, еще менее понятные. Такие переходы могут только испортить все дело. Ведь если доказательство отвечает за истинность утверждения, то не - доказательство вовсе не отвечает за ложность. Здесь соотношение совсем другое: не - доказательство также отвечает за истинность, но истинность какого-то другого не логического порядка. Но вопрос о не- логике по существу и есть вопрос о недоказательстве.
Здесь задача состоит в том, чтобы распознать некоторый новый смысл, присутствие которого априорно не предполагалось. Основное предположение, на котором основан предлагаемый метод следующее: мы будем предполагать, что искомый смысл всегда существует, сколько бы раз мы не обращались к методу. Понятно, что мы тем самым постулируем существование потенциально бесконечного множества смыслов. Все действия или операции, излагаемые в этой главе, не требуют использования сразу всего бесконечного множества смыслов, нам каждый раз потребуется лишь некоторое конечное подмножество этого множества.
Метод амплификации состоит в выполнении следующей последовательности действий: 1. Рассмотрим известную предметную область и классифицируем условия её существования на а) достаточные, б) эквивалентные, в) необходимые. 2. Классифицируем необходимые условия, полученные на шаге 1 по степени их необходимости, так, чтобы выделить самое менее необходимое условие. Для этого можно использовать метод логического анализа, изложенный в п.2.1: построим граф отражающий доказательство необходимости каждого из необходимых условий на шаге 1; наиболее "удалённое" в смысле этальной топологии, т. е. по количеству звеньев графа, необходимое условие объявляется наименее необходимым. Если таких условий более одного, то далее действуем с каждым из них независимо. 3.Рассматриваем теперь найденное условие в двух вариантах а) как необходимое и достаточное условие; б) полное логическое отрицание этого условия как необходимое и достаточное условие. В результате мы получаем два различных, даже, в некотором смысле, противоположных смысла, каждый из которых можно накладывать на исходную предметную область.
Приведем сначала самый простой и хорошо известный пример - это зажигалки "Zippo". Наименее необходимое условие существования этих бензиновых зажигалок состоит, как известно, в щелчке при открывании крышки. Амплификация (усиление) этого условия превращает щелчок в ярко выраженный музыкальный звук гарантированного качества - теперь это фирменный знак. Однако расширенная предметная область, конечно, включает не только зажигалки, но, например, шариковые ручки и дверные замки, в которых различным изготовителям удалось добиться высокой музыкальности соответствующего звука, либо полного отсутствия этого звука: телескопический механизм выдвижения стержня при бесшумном повороте одной части шариковой ручки относительно другой или бесшумно открывающиеся двери. Понятно, что примеры здесь не ограничиваются технической или технологической областью. В литературе известен роман, состоящий всего из двух предложений и занимающий более 50 страниц машинописного текста, причем, второе предложение состоит всего из четырех слов и добавлено лишь для того, чтобы удовлетворить формальному определению романа, где речь идет о фразах именно во множественном числе, из чего следует, что фраз в романе должно быть не менее двух. Известны также партитуры для фортепьяно, исполнение которых держит руки пианиста в максимально развернутом состоянии, а иногда и этого бывает не достаточно. Можно привести пример анализа математических доказательств предпринятого Д. Гильбертом и приведший к появлению новой предметной области - метаматематики, в рамках которой К.Гёдель получил знаменитую теорему о недоказуемости некоторых истинных утверждений в исходной предметной области.
Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек в проблеме проектирования информационных сетей
Проблемы линейного программирования рассматриваются в исходном, выпуклом компакте имеющем, как правило, естественную географическую привязку и соответствующую метрику. Наиболее изученными здесь являются модели, построенные на виртуальных графах с весовыми функциями на дугах. Таким образом, понятна двойственная структура рассматриваемых теорий: информатика рассматривает задачи в пространстве сопряженном к пространству непрерывных на компакте функций, т.е, там, где рассматриваются задачи линейного программирования. Проблема согласования постановок задач, где условия формулируются в терминах мер, а решение ищется на метрическом компакте была решена Канторовичем и Рубинштейном, которые построили третье пространство, элементами которого являются меры, а норма, известная теперь как норма Канторовича-Рубинштейна определяется как компакта М, (t,s) MM,(s,t) это совокупность мер из выделенного подпространства пространства борелевских мер на компакте М. Тем не менее, по справедливому замечанию Канторовича сильная норма в пространстве мер плохо согласована с естественными представлениями о близости функций. Пространство мер с нормой Канторовича-Рубинштейна([86], [87]) можно понимать, как естественное экономическое пространство соответствующее заданной системе предприятий. Вопрос об относительном размещении предприятий в рамках этой теории не естественный, т.к. на их местоположение влияют не только экономические условия, но и ряд других факторов, например, близость сырьевой базы. Однако, интересно другое, выбирая в качестве исходного компакта М, географическую территорию области, региона, края или республики и рассматривая соответствующее пространство борелевых мер с нормой Канторовича-Рубинштейна, мы получим метрическое пространство, которое естественно называть экономическим пространством области, региона, края или республики соответственно. Рассматривая функции времени со значениями в указанном экономическом пространстве, мы можем исследовать экономическую динамику соответствующей административной единицы. Таким образом, здесь мы имеем разумное определение экономического пространства. Следует также отметить, что это определение имеет смысл для любых форм собственности. На самом деле, последний тезис нуждается в серьезном обосновании, но здесь мы не будем на этом останавливаться.
Столь длинный экскурс в историю математических работ по решению транспортной задачи потребовался для того, чтобы напомнить читателю ранние исследования Рубинштейна, основой которых является анализ задачи Штейнера (по другой терминологии задачи Ламе). В монографии эта задача формулируется следующим образом: задана конечная совокупность точек плоскости или конечномерного пространства, требуется построить дерево (связный граф без циклов) с наименьшей суммой длин ребер, множество концевых точек совпадает с совокупностью заданных. В этой задаче немедленно просматривается абстрактный вариант проблемы проектирования информационной сети. Теперь мы можем приступить к обсуждению предлагаемой нами математической модели информационного пространства. По существу, речь пойдет о некоторой модернизации конструкции Канторовича-Рубинштейна разработанной для понимания экономического пространства. На наш взгляд этому не следует удивляться, т.к, по словам Беллмана [60] «...передача информации используется для целей принятия решения». Предположим, далее, что физические каналы реализуются посредством кабеля (как правило - оптоволокно). Таким образом, в качестве компакта мы будем рассматривать гладкое (С), двумерное, линейно связное многообразие М, с краем М, М не обязательно связно: некоторые компоненты М могут соответствовать препятствиям при использовании радиосвязи или теням при использовании спутниковой связи. Предполагается тем самым, что задан топологический атлас; метрику на картах считаем евклидовой. Под кратчайшим расстоянием между двумя точками t и s будем понимать длину геодезической g(t,s). В общем случае предполагается, что принятое представление топологического атласа посредством карт отражает сложившиеся в рассматриваемом регионе географические, социальные и административные условия. Пусть зафиксирована система хостов {t;}"=i е - , которые необходимо подключить к провайдерскому хосту . Каждому хосту {tf}"=x сопоставим стационарный случайный процесс с к состояниями (предполагается одинаковый для всех хостов алфавит с к различными символами), т,е. инвариантную относительно сдвига меру в пространстве двусторонних последовательностей из к символов. Таким образом, каждой паре точек ставится в соответствие пространство Ц xD0 . Введем здесь матрицу: пусть m - минимальное целое число, для которого совпадает m символов расположенных на соответствующих местах для элементов J, є,гЯ? J0 e j т.е. , и , , ; вместо метрики Хэмминга положим , где - среднее время задержки при передаче одного символа. Применяя конструкцию Канторовича-Рубинштейна к метрике мы придем к метрическому пространству, где расстояние между последовательностями разбиений определяется как 1 у я JTVM U/ __ Здесь нижняя грань берется по всем нормированным мерам на , для которых , , , у - нормированная. борелевская мера на . По существу мы получили пространство, в котором пара элементов тем ближе, чем больший объем неискаженных сигналов с большей скоростью передается. Перейдем теперь к построению требуемого весового пространства. В соответствии с задачей проектирования оптимальной информационной сети, естественно в качестве веса взять отношение расходов по установлению физического канала между точками tj и to q(tj, to) к величине геодезического расстояния g(t;,to). Тем самым, мы получаем весовое метрическое пространство с метрикой определяемой выражением.
Соотношение между смешанными дискриминантами и совместным спектром матричных коэффициентов полиномиального пучка.,
Приведем сначала некоторые простейшие сведения из теории числовых колец. Известно, что существуют кольца, в которых справедлива теорема о разложении на простые сомножители, но такое разложение может быть не единственным - это существенное отличие от известной теоремы Эйлера. Примером такого кольца является совокупность всех четных чисел: здесь числа 2,6,10,14,18 и т.д. — простые, однако единственности разложения на простые сомножители нет, в самом деле, число 60 можно представить как 60 = 2-30 и 60 = 6-10, где все сомножители простые, В кольце полиномов над полем комплексных чисел дело обстоит еще сложнее: в силу основной теоремы алгебры, полином степени п разлагается в произведение полиномов первой степени, что делает разложение на полиномы более высоких степеней не однозначным, т.к. есть возможность по-разному комбинировать линейные сомножители. Например, в кольце полиномов четных степеней 2я количество таких комбинаций пропорционально С п что приводит к неполиномиально сложным комбинаторным проблемам. Отсюда ясна важность представления кольца полиномов четных степеней, так, чтобы разложение на сомножители второй степени было единственным. Здесь нам удается решить эту задачу для полиномов четвертой степени.
Проведенные в этой главе исследования полиномов четвертой степени (детально рассмотрим наиболее вырожденный случай х +1 ) позволяет сформулировать следующий метод однозначной факторизации:
Однако, комплексная тригонометрическая замена вида (5.90) в матричных коэффициентах Л и В позволяет выделить три попарно не коммутирующих коммутативных кольца, в каждом из которых квадратичный матричный пучок Ь(х) определяет единственную факторизацию полинома, т.е. из разложений в каждом из колец возможно только одно, а два другие не возможны. Иными словами, указанный метод позволяет строить кольца с единственностью разложения на простые сомножители.
В основании изложенного метода лежат следующие соображения. Впервые проблему единственности разложения на простые сомножители в кольце рассмотрел К, Гаусс в своих «Арифметических исследованиях». Для получения единственности он предположил метод алгебраического расширения, т.е. включения в кольцо некоторого дополнительного формального элемента, в некоторых случаях таким элементом является, например, мнимая единица / = V-1. Известно, что комплексные числа изоморфны определенному матричному кольцу. Кроме того, в силу принципа Штейнера, любой полином может быть представлен как определитель некоторой матрицы, элементами которой являются многочлены первой степени. Все это делает естественным переход от многочленов четвертой степени к определителям квадратичных матричных пучков, С другой стороны, в силу второй теоремы Пикара, мероморфная функция может не принимать не более двух значений, например, для тангенса эти значения +іг секанса такое значение 0. теперь легко понять, что так как для полинома четвертой степени есть лишь три различных способа скомбинировать его корни по парам, то используя замены с тангенсом и секансом, мы получаем принципиальную возможность разделить эти три случая. Реализация этого подхода представлена в данной главе.
Здесь уместен вопрос о возможности обобщения этого метода на случай полиномов более высоких степеней. По видимому, такое обобщение возможно при использовании в заменах многомерных комплексных голоморфных функций, которые в проективных координатах могут не принимать несколько различных значений.
Основные результаты и выводы.
1.Получен полином шестой степени от двух переменных, который дает полное решение задачи в общем случае в специально выбранной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых расположены отрезки и осью абсцисс проходящей через одну из этих прямых.
2.Рассмотрены частные случаи, в которых концы отрезков не совпадают, и удается получить полные решения задачи.
3.Полином из п. 1 представлен как определитель некоторого полиномиального пучка с матричными коэффициентами.
Для случая коммутирующих коэффициентов получены результаты о связи смещенных дискриминантов с совместным спектром матричных коэффициентов пучка. Доказана теорема 5.1 и ряд важных следствий. Пусть {Cz- }?=Q - произвольное конечное семейство операторов из коммутативной алгебры Я операторов, мерном гильбертовом пространстве. совместный спектр операторов {С,- }"=0, состоящий из / различных точек кратностей п j\j — 1,/). Тогда смешанные дискриминанты dj\f = 0,пк) в (5,92) однозначно определяются координатами точек совместного спеюра операторов {Cj }*=0 и их кратностями и справедливо факторизационное представление Показано применение полученных результатов и решение задачи локализации спектра операторного пучка.
Конструкция геодезической модели информационного пространства в общем случае
Возвращаясь к уравнениям (6.4.5) п. 6.4 и (6.3.7) п. 6.3 мы можем исключить из них г и получить тригонометрическое уравнение для определения а. Для заданного расположения отрезков зафиксируем теперь одну из кубик. Наши рассуждения позволяют теперь связать с каждой точкой Р этой кубики три угла а, р и у. Эти углы параметрически зависят от взаимного расположения исходных объектов. Введем теперь гауссову кривизну в точке Р, полагая А аг + р + -тг, делая так в каждой точке кубики, получим функцию кривизны к=к(р). Это позволяет, решая уравнение Дарбу, восстановить некоторую поверхность с данной функцией кривизны. Таким образом, в окрестности, рассматриваемой кубики нам удается построить поверхность с криволинейной системой координат 4 и ц, удовлетворяющими нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными вида. Однако, в рассматриваемом случае мы не можем рассчитывать, что К(Р) имеет постоянный знак. В самом деле, простые геометрические соображения показывают, что в удаленных точках кубики а- 0 и К(р) 0, т.е. это гиперболическая поверхность гомоморфная куску плоскости Лобачевского, в точках, достаточно близких к отрезкам величин а может приближаться к ж , тогда К 0 и это означает, что мы имеем дело с куском поверхности, имеющим геометрию близкую к сферической, т.е. это эллиптический случай. В промежуточных точках кубики по видимому будет иметь место параболичность или, даже, уплощение. Таким образом, мы получаем некоторую окрестность кубики, в которой геометрия определяется взаимным влиянием двух объектов С1} и С12 (в нашем случае они реализованы как отрезки). Размеры окрестности определяются тем, на сколько удается продолжить решение уравнения Дарбу. Во всех остальных точках плоскости геометрия остается евклидовой, так как в этих точках влияние одного объекта следует считать гораздо, большим, нежели влияние другого. Следует отметить, что теория уравнения Монжа-Ампера, частным случаем которого является приведенное выше уравнение Дарбу, является достаточно развитой. Однако, мы не можем воспользоваться здесь какими-либо абстрактными результатами этой теории, так как все они требуют выполнения очень специальных условий накладываемых на гауссову кривизну, В нашем случае, мы не можем, даже близко, рассчитывать на выполнение этих условий, поэтому в общем случае не гарантирована даже единственность этих решений - поверхность может оказаться, например, многолистной. Очевидно, что в каждом конкретном случае расположения объектов, задачу следует решать с применением численных методов, так как это обычно делается для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. По степени сложности, да и по методам решения, эта задача близка к соответствующей задаче триангуляции личности в практической геодезии.
Вычисляя теперь метрическое расстояние g(t, s) между точками ( и s как длину геодезической на построенной выше поверхности, мы можем вернуться к целевой функции из Главы 2 п. 2.1 и получить соответствующее выражение для d(l}, Іг \ обеспечивая, тем самым, оптимальность информационной сети с учетом тех изменений в геометрии пространства, которые вносят расположенные в нем источники информации.
Этим завершается последний шаг метода амплификации предложенного в Главе 1 пЛ.З. Решенная выше задача определения угла a s под которым из точек кубики видны отрезки - это и есть весьма слабое необходимое условие, в данном случае - отдаленное и одно из многих возможных следствий из сделанных выше построений и рассуждений. Единственное, что можно определить из трех углов на двумерном многообразии - это гауссову кривизну, и этим закончить второй шаг метода. Усиление или амплификация конструкции, как видим, достигнуто обращением к уравнению Дарбу - восстановление поверхности по ее кривизне, тем самым мы получили модель информационного пространства, чем завершили один цикл метода амплификации.
Такая конструкция позволяет далее, в каждом конкретном случае, получать метрический тендер gtj и, решая уравнение Якоби, строить геодезическую соединяющую две заданные точки и, следовательно, находить кратчайшее расстояние на этой поверхности между парой точек.
Применение такого подхода в математической логике позволит ставить и решать задачу об определении числа различных доказательств того или иного утверждения. Учитывая теоремы Морса, Люстерника-Шнирельмана, Фета о существовании бесконечного числа замкнутых геодезических на некоторых многообразиях, мы можем предположить существование некоторой классификационной шкалы теорем, которая начинается с теорем, имеющих ноль доказательств, т.е. не восходит к работам К. Геделя. Зга шкала заканчивается теоремами, имеющими континуальное количество доказательств. По-видимому, такие теоремы играют, в некотором смысле, ключевую роль в математике. Возможно, что к ним относятся теорема о неподвижной точке и теорема Геделя о неполноте арифметики. Понятно, что мы не можем эмпирически предоставить бесконечное количество доказательств некоторой теоремы. Поэтому вопрос должен быть решен некоторым теоретическим рассуждением, т.е. в рамках некоторой абстрактной теории. По-видимому, такой теорией будет геометрическая логика.
Вычисляя теперь метрическое расстояние g(t,s) между точками / и лт, как длину геодезической на построенной выше поверхности, мы можем вернуться к целевой функции (8) и получить соответствующее выражение для d{l}tI2\ обеспечивая тем самым, оптимальность информационной сети с учетом тех изменений в геометрии пространства, которые вносят расположенные в нем источники информации.
