Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Обзор математических моделей плоских задач с трещинами .
1.1. Введение 3
1.2. Тензор напряжений в разных моделях 5
1.3. Коэффициенты интенсивности напряжений 10
1.4. Критерии разрушения 11
1.5. Моделирование поверхностных дефектов 14
1.6. Усталостное разрушение 17
1.7. Цель и задачи 18
Глава 2. Математическая модель бесконечной пластины с центральным эллиптическим вырезом, нагруженной на бесконечности .
2.1. Метод описания 19
2.2. Тензор напряжений 25
2.3. Коэффициенты интенсивности напряжений 27
2.4. Приближенные формулы для тензора напряжений. Центральный дефект 29
2.5. Перемещения для центральных эллиптических дефектов при двухосном нагружении 33
2.6. Напряженное состояние в полярных координатах 34
2.7. Максимальное касательное напряжение и главные напряжения для центрального эллиптического дефекта при двухосном нагружении...35
2.8. Определение коэффициента интенсивности напряжений для центрального трещиноподобного дефекта методом голографической интерферометрии 37
2.9. НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты...40
Глава 3. Математическая модель бесконечной пластины с наклонным эллиптическим вырезом, нагруженной на бесконечности
3.1. Приближенные формулы для тензора напряжений 45
3.2. Тензор напряжений в полярных координатах 48
3.3. Перемещения 49
3.4. НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты ...53
3.5. Максимальное касательное напряжение и главные напряжения 54
3.6. Интенсивность напряжений при плоско-напряженном состоянии 56
3.7. Экспериментальный метод определения К/ , Кц - голографическая интерферометрия 58
3.8. Влияние внутренних технологических сварочных дефектов на концентрацию напряжений сосудов давления 61
3.9. Точные формулы для тензора напряжений 67
3.10. Напряжения для эллиптического отверстия при двухосном нагружении пластины 68
3.11. Экспериментальное определение коэффициентов интенсивности напряжения Kj , Кц для наклонного эллиптического выреза
методом голографической интерферометрии 72
Глава 4. Математическая модель напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с осевым поверхностным трехмерным дефектом .
4.1. Математическая модель поверхностного дефекта 77
4.2. Сопоставление теоретических формул и экспериментальных результатов 85
4.3. Практическое применение полученных результатов 85
4.4. Выводы 86
Глава 5. Исследование математической модели роста усталостных трещин в упрочняющихся упругопластических материалах .
5.1. Математическая модель трещины в упрочняющихся упругопластических материалах 89
5.2. Модель роста трещины 93
Заключение 101
Список литературы 100
- Коэффициенты интенсивности напряжений
- Приближенные формулы для тензора напряжений. Центральный дефект
- НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты
- Сопоставление теоретических формул и экспериментальных результатов
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из основных задач современного машиностроения является снижение материалоемкости, что влечет за собой неизбежное ухудшение прочностных качеств конструкций. Частично это компенсируется применением новых материалов. Тем не менее это приводит к необходимости более точной оценки сопротивляемости конструкций разрушению, при наличии дефектов и в условиях двухосного нагружения.
В реальных условиях в структуре конструкций всегда присутствуют дефекты, некоторые из которых можно считать тонкими и заменять линейными разрезами в математических моделях. Часть же дефектов обладают формой не позволяющей заменять их разрезом, к таким дефектам можно отнести целый класс сварочных дефектов (непровар, несплавление, пора, кратер). Для них необходимо учитывать радиус кривизны дефекта в его вершине. Попытка внести влияние такой кривизны в ранее существующие модели предпринята в данной работе.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является математическое описание напряженно-деформированного состояния (НДС) пластины с наклонным эллиптическим дефектом для получения характеристик предельного состояния и параметров разрушения основного металла и сварных соединений. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:
Построение и аналитическое исследование математических моделей пластины с центральным и наклонным эллиптическим вырезом, подверженной статическому двухосному нагружению.
Построение математической модели пластины и цилиндрической оболочки с центральным поверхностным эллиптическим дефектом, подверженной статическому двухосному нагружению.
Методы исследования. Для описания НДС пластины с дефектом использован метод Колосова-Мусхелишвили математической теории упругости. При вычислениях использовался аппарат теории вычетов и конформные отображения. Научная новизна работы заключаются в следующем:
Найдены точные и приближенные формулы для тензора напряжений, главных напряжений, интенсивности напряжений, перемещений для задачи о НДС пластины с наклонным эллиптическим вырезом при двухосном нагружении.
Получены системы уравнений и их решения в частном случае для определения предельных нагрузок и угла страгивания при разрушении пластины или цилиндрической оболочки с эллиптическим дефектом.
Проведен теоретический анализ по определению разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении цилиндрической
оболочки с продольным поверхностным трехмерным дефектом на
основе деформационного критерия 8С. Теоретическая ценность состоит в обобщении формул для компонент тензора напряжений и деформаций, используемых при оценке напряжений в окрестности вершины дефекта в пластине. Практическая ценность. Полученные выражения для тензора напряжений в окрестности вершины эллиптического дефекта позволяют учесть радиус кривизны трещины в ее вершине при расчете критических напряжений и угла страгивания. Формулы могут быть использованы для оценки сопротивляемости хрупкому и вязкому разрушению цилиндрических оболочек, нагруженных внутренним давлением и осевой силой, с эллиптическими поверхностными дефектами. Аналитические выражения дают возможность проверки корректности работы программ использующих численные методы.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях: "Проблемы и методы обеспечение надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа." г. Уфа, 2006, 2007 года; 59-61-й научные конференции ЮУрГУ 2007-2009 г. и научно-практической конференции "Прочность и долговечность сварных конструкций в тепловой и атомной энергетике", ЦНИИ КМ "Прометей", Санкт-Петербург. - 25-27 сентября, 2007г; на научном семинаре по функциональному анализу ЮУрГУ, на научном семинаре по вычислительной математике ЮУрГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12], список которых приведен в конце автореферата. Статья [1] опубликована в научном журнале "Прикладная механика и техническая физика", статья [2] опубликована в научном журнале "Изв. РАН. Механика твердого тела" включенных ВАК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук. В работах [1-11] А. А. Остсемину принадлежит постановка задачи, П.Б. Уткину принадлежат все полученные результаты.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа содержит 109 страниц, включая библиографический список из 142 наименований.
Коэффициенты интенсивности напряжений
Тенденция снижения материалоемкости конструкций и увеличения их ресурса в современном машиностроении приводит к тому, что допускается работа материала в области упругопластических деформаций, а также возможное наличие дефектов типа трещин. Это естественно приводит к необходимости более глубокого изучения теории поведения материалов в подобных условиях, в частности сопротивлению материалов деформированию и разрушению в условиях близких к эксплуатационным, при наличии сложного нагружения конструкции, воздействия температурных условий и существования уже возникших дефектов (в частности конструкционных).
В структуре реальных тел всегда имеются различные дефекты, влияющие на их прочность и сопротивляемость нагрузкам. Некоторые из этих дефектов, такие, как прямолинейные или криволинейные узкие щели-трещины , отверстия с угловыми точками возврата на контуре, трещины выходящие на контур отверстий можно рассматривать как остроконечные концентраторы типа трещин. Но существует целый класс коррозионно-притупленных дефекты - каверны, питтинги, и технологических сварочных дефектов (непровар, несплавление, надрез, кратер), не попадающих в данную категорию. Для них необходимо учитывать радиус кривизны дефекта в его вершине. Попытка внести влияние такой кривизны в ранее существующие модели предпринята в данной работе.
В процессе деформации твердого тела, ослабленного остроконечными концентраторами типа трещин, в окрестности его вершины возникает высокая интенсивность напряжений, что способствует пластическому течению материала или распространению трещины, хотя при этом действующие на тело напряжения ниже предела технической прочности материала. То же, хотя и в меньшей степени, применимо к дефектам с малым радиусом кривизны в вершине дефекта. Поэтому изучение подобных явлений и выявление предельных нагрузок, ведущих к разрушению или распространению трещин, представляет как научный, так и практический интерес. Так в общем случае процесс хрупкого разрушения принято делить на три стадии. На первой стадии происходит зарождение микроскопических трещин, вторая стадия состоит в подрастании этих трещин до критических размеров, и, наконец, на третьей стадии происходит полное разрушение конструкции. Первые стадии могут при этом полностью отсутствовать, в зависимости от различных причин возникновения трещин, но окончательный акт хрупкого разрушения всегда связан с катастрофическим ростом трещин.
Процесс хрупкого разрушения не является чисто теоретической абстракцией, подобное разрушение в результате спонтанного распространения трещины часто наблюдается в инженерной практике (мосты, корабли, трубопроводы, экскаваторы и др.), при применении высокопрочных и малопластичных материалов, а также при использовании пластичных в обычной практике сталей при низких температурах, воздействия некоторых поверхностно-активных сред, приводящих к охрупчиванию материала.
Исследования по теории распространения трещин в деформируемом твердом теле в рамках механики сплошных сред представляют собой дальнейшее развитие проблемы концентрации напряжений в деформируемом твердом теле с особым видом концентратора напряжений - трещиной. Данная область механики разрушения, теория трещин, возникла очень давно. Основы данной теории заложены еще в известных работах А.А. Гриффитса. Используя решение задачи об упругом равновесии бесконечной пластины с эллиптическим отверстием (впервые решенной Г.В. Колосовым и СЕ. Инглисом),и исходя из энергетических соображений, он сформулировал и решил задачу о величине предельной (разрушающей) нагрузки для бесконечной пластины с прямолинейной трещиной заданной длины, подвергнутой растяжению однородным полем напряжений направленным перпендикулярно плоскости трещины (задача Гриффитса).
После работ Гриффитса появились работы других исследователей в данной области. Выделить можно работы Г.Р. Ирвина и Е.О. Орована, как важную веху в истории развития задачи. Они высказали идею о том, что при анализе квазихрупкого разрушения можно использовать формулы, полученные для хрупкого разрушения, если принять в расчет эффективную поверхностную энергию трещины, как сумму истинной поверхностной энергии материала и энергии затрачиваемой на пластическое деформирование материала в приповерхностном слое трещины. Также в работах Ирвина высказано предположение о том, что распространение трещины в хрупком или квазихрупком теле связано с коэффициентом интенсивности упругих напряжений. То есть распространение трещины наступает при достижении последним определенной критической величины , (которая является характеристикой материала), и КИН может служить характеристикой прочностных свойств материала. Также он заметил, что напряжения в окрестности концов трещины представимы в виде KJ4r + 0(1), / -» 0, где г есть расстояние от конца трещины.
позволяет использовать для решения задачи механику сплошной среды. Но подобное предположение приводит к небольшим трудностям уже на начальном этапе рассмотрения задачи. Компоненты напряжений растут как KJ4r при приближении к вершине трещины, что приводит к их неограниченности. Данный эффект несколько смягчается при замене линейного разреза на эллиптический дефект, что приводит к другой асимптотике роста, а именно M/Vr3 +K/4r,г-»0. Казалось бы, это должно существенно менять поведение тензора напряжений, но старшее слагаемое компенсируется малым коэффициентом, и при выходе на контур дефекта слагаемые ведут себя примерно одинаково. Тем не менее, при малых радиусах кривизны дефекта, величина напряжений около контура отверстия становится очень большой, хотя уже и не бесконечной. Этот эффект есть результат применяемой теории. Данный парадокс не приводит к полному отказу от линейной механики разрушения, если считать, что размеры зоны около концов трещины, в которых происходит нарушение законов линейной теории упругости, весьма малы.
Для макроскопических трещин в пластичном материале хорошо описывающей экспериментальные результаты оказалась модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, заменяющая пластическую зону около конца трещины линейным отрезком, продолжающим трещину на некоторое расстояние. Исследования, проведенные методом конечных элементов (МКЭ) показали, что с увеличением числа элементов пластическая зона суживается, и можно предположить, что при стремлении числа элементов к бесконечности (что соответствует переходу к точному решению) пластическая зона действительно вырождается в отрезок.
Перейдем к математическому описанию задачи. Большие математические трудности, возникающие при решении общих задач теории упругости, привели к необходимости их формулировки и решения для частных классов задач. Рассматриваемые в этой работе задачи относятся к классу «плоских задач теории упругости». Существует несколько способов решения плоских задач теории упругости, которые сводятся к решению системы уравнений для компонент тензора напряжений при заданных граничных условиях.
Один из первых способов дает представление тензора напряжений через бигармоническую функцию, называемую функцией Эри, введенную в 1862 году английским астрономом Эри [56]
Приближенные формулы для тензора напряжений. Центральный дефект
Следуя А.А. Каминскому [28] уравнение (5.27) может быть использовано для решения задачи о развитии трещин при циклической нагрузке, если пренебречь влиянием остаточных напряжений. Рост трещин при этом происходит на каждом этапе нагружения, а при разгрузке длина трещины остается постоянной. Используя этот подход, можно определить скорость роста трещины и колическтво циклов до разрушения, когда применимо условие d«I (макротрещины, малоцикловая усталость) [12,28]. Интегрируя уравнение (5.26) от /?mm до /?тах и принимая безразмерную длину Я постоянной в течении одного цикла, получаем из зависимости (5.28) можно найти число циклов до разрушения интегрированием (5.29) можно получить кинетические кривые, неустойчивого развития трещины в материале с упрочнением в пластической зоне зависит от коэффициента Kt и параметра упрочнения т и возникает при больших нагрузках, чем в идеальном упругопластическом материале. В связи с этим, упрочнение зависящее от т , "тормозит" медленное подрастание трещины при монотонном нагружении. Если пренебречь упрочнением тела при w = l из проведенного теоретического анализа получим известную формулу Г.П. Черепанова [116]. При h =к2 =1 получаются известные формулы [28]. Анализ [114] экспериментальных данных сплавов алюминия, молибдена, титана при развитии многоцикловых усталостных трещин и мартенситостареющих сталей, сплавов алюминия 70-79-Т6, стали HP 9-4-25 при малоцикловых усталостных трещин подтверждает теоретическую закономерность (5.27) для широкого диапазона числа циклов до разрушения. Таким образом, выполнен теоретический анализ роста усталостных трещин в материалах с упрочнением.
Полученные результаты показывают, что долговечность N существенно возрастает с увеличением параметра упрочнения т. На защиту выносятся следующие новые научные результаты. 1. Построена математическая модель НДС пластины с центральным эллиптическим отверстием при двухосном нагружении. Получены приближенные формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия, которые в частном случае превращаются в ранее известные формулы для линейной трещины. В компонентах тензора напряжений появилось новое слагаемое, меняющее асимптотику поведения компонент тензора напряжений и значений перемещений. 2. Получены точные и приближенные аналитические формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия для задачи о двухосном нагружении пластины с наклонным эллиптическим отверстием, которые обобщают формулы для линейной трещины. 3. Предложен метод определения разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении цилиндрической оболочки с продольным поверхностным эллиптическим дефектом на основе деформационного критерия (раскрытия трещины). Показано хорошее соответствие аналитических формул и экспериментальных гидравлических испытаний, полученных иностранными и российскими ученых.
Погрешность составила не более 6%. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях: "Проблемы и методы обеспечение надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа." г. Уфа, 2006, 2007 года; 59-61-й научные конференции ЮУрГУ 2007-2009 г. и научно-практической конференции "Прочность и долговечность сварных конструкций в тепловой и атомной энергетике", ЦНИИ КМ "Прометей", Санкт-Петербург. - 25-27 сентября, 2007г; на научном семинаре по функциональному анализу ЮУрГУ, на научном семинаре по вычислительной математике ЮУрГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ. Возможные дальнейшие пути развития: 1. Усложнение рассматриваемых моделей, для приближения к реальной ситуации, в частности учет влияния изгибающих моментов в задаче о разрушении цилиндрической оболочки с поверхностным эллиптическим дефектом. 2.
Применение полученных формул совместно с критерием Писаренко-Лебедева для решения новой задачи разрушения пластины с эллиптическим дефектом. 3. Построение новой математической модели пластины с эллиптическим дефектом под действием сдвигового напряжения. 101
НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты
Аналогично по значению Ku из (3.23) получим формулу для поправочной функции f2 по формуле (3.24). Экспериментальную проверку теоретических формул (3.20) для главных напряжений сг1 2, выражений для коэффициентов интенсивности напряжений К j по (3.21) и К и по (3.23), поправочной функции /j по (3.25) проводили на основании исследований, приведенных в [66-68,107]. Методом голографической интерферометрии на пластине с наклонным эллиптическим вырезом, выполненной из материала ЭД-20МПГФА при одноосном растяжении при длине дефекта 2/= 13,4 лш, радиусе надреза р = 0,1мм, угле наклона /3 = 32,5, номинальном напряжении а=2,\МПА, ширине пластины 96 мм. Для регистрации картин АРХ использовали схему голограмм, сфокусированных изображений. Картины АРХ получали методом двух экспозиций. В качестве источника света использовали лазер ЛГ-38. Оптическая схема и описание эксперимента приведены в [107]. На (рис.3.2) приведено сопоставление экспериментальных (точки) и теоретических значениий главного напряжения J\, полученного по формуле (3.20) (значения параметров /? = 32.5 ,т = 0.97,а = 6.7мм,а = 2.1 МПА ). Из сопоставления экспериментальных и теоретических значений J\ максимальная погрешность составила около 6% на расстоянии г - {a -d) = 1,5 мм . Правильным значениям К{ и Кп соответствует r-{a — d) 0,4мм, так как в этом случае имеет место совпадение расчетных и экспериментальных значений напряжений о\ в точке А.
Данный вывод соответствует результатам [134]. По картинам Ni и N2 АРХ определяли значения коэффициентов Kj и Кп согласно выражениям (3.21) и (3.23) соответственно и строили графики в зависимости от расстояния r-{a-d) от вершины трещины (рис. 3.3). При этом видно, что полученные значения К{ аппроксимируются наклонной прямой. Из приведенных результатов получим величину KfKC =0,198 МПА-м . Данное экспериментальное значение К1 соответствует теоретическому значению K eop =0,2\ЪМПА м по выражению (2.30) с точностью до 9,1% при т = 0,97. При конструктивно-технологическом проектировании конструкций возникает необходимость в оценке работоспособности сварных соединений с учетом концентрации напряжений. В сварных конструкциях, работающих при статическом нагружении, технологические дефекты становятся очагами возникновения трещин, а при переменных нагрузках они снижают предел выносливости сварных соединений. Целесообразно проанализировать влияние размеров внутренних технологических сварочных дефектов (трещины, непровары, шлаковые включения, поры, раковины, несплавления) на степень их опасности, так как эти дефекты приводят к снижению работоспособности конструкции вследствие значительной концентрации напряжений и деформаций.
Радиус закругления дефекта зависит от способа сварки, марки металла, стабильности параметров режима сварки. Более острые внутренние дефекты ( непровары, острые шлаковые включения) могут приводить к преждевременному возникновению разрушения в связи с большой концентрацией напряжений. Проблема влияния технологических сварочных дефектов на статическую и циклическую прочность представляет интерес, когда наличие дефекта может привести к возникновению хрупкого разрушения в температурном диапазоне ниже критической температуры. Проблема научного обоснования нормирования внутренних технологических дефектов сварных соединений является актуальной. В связи с этим были проведены многочисленные исследования [4,7,37,45,57,95,104,110 и др.] влияния различных геометрических геометрических парамеров внутренних технологических сварочных дефектов стыковых и угловых швов на концентрацию напряжений в сварных соединениях. Для исследования и описания напряженного состояния с помощью коэффициентов концентрации напряжений применяли различные методы. При более острых трещиноподобных концентраторах (непровары, несплавления) уже при первых нагружениях возникающие в вершине концентратора пластические деформации приводят, к изменению их форм, и действительные значения коэффициента концентрации напряжений Ка становятся отличными от его теоретического значения сса . Малоцикловые испытания показали, что несплавления имеют трещиноподобный характер, стадия зарождения трещины для них практически отсутствует [104]. В настоящее время концентрация напряжений в сварных соединениях изучена недостаточно [4,7,37,45,57,95,104,110]. Последующее развитие исследований по допустимости технологических дефектов связано с расчетом коэффициентов концентрации напряжений.
Метод оценки технологических отклонений, основанный на коэффициентах концентрации напряжений, имеет определенные достоинства [38,77]. Технологические дефекты имеют заостренную эллиптическую форму в вершине, существенно отличающуюся от формы усталостной трещины. Радиус в вершине непровара может изменяться в широких пределах от 0,01 до 0,1 мм [77]. Прямое перенесение положений механики разрушения, разработанных для оценки опасности возникновения трещин, на концентраторы напряжений, технологические дефекты, характерные для сварных соединений некорректно [46]. Целью параграфа является определение теоретического значения коэффициента концентрации напряжений сварных соединений с внутренними технологическими сварочными дефектами. Представим плоский технологический дефект в виде внутреннего эллиптического выреза. Воспользовавшись потенциалами (2.19), (2.20) и формулами (2.22), получим точное напряжение а для центрального выреза
Сопоставление теоретических формул и экспериментальных результатов
Труба считается бесконечной, с приложенным внутренним давлением перпендикулярным плоскости трещины. Трещина считается линейной, постоянной глубины. Из-за приложенного усилия трещина имеет тенденцию к раскрытию и деформации нетто-сечения, равно как и прилегающие зоны. Раскрытие трещины варьируется вдоль длины трещины и будет максимально в центре трещины. Предполагаем, что трещина вместе с некоторой окрестностью (пластической зоной) отсутствует, а силы действующие в данной зоне, заменяются на граничные условия в соответствующей упруго-пластической задаче. Схема трещины дана на рис. 4.1.-4.2 Разрез дан вдоль трещины, темно-серым показаны пластические зоны у концов трещины. Математическую модель задачи можно описать в следующих терминах и предположениях: 1. Труба имеет поверхностную осевую трещину. 2. На трещину действуют растягивающие силы, которые при рассмотрении задачи заменяем напряжениями, действующими в нетто-сечении трещины. 3.
На обоих концах трещины растягивающие силы заменены напряжениями, действующими в кончиках трещины (пластической зоне). Если глубина трещины постоянна, и материал идеально упругий, то силы, передающиеся через нетто-сечение трещины, постоянны. С другой стороны, если материал подвержен деформационному упрочнению, то эти силы есть функция от деформации и, таким образом, зависят от раскрытия трещины, достигая максимума в центре. Для описания разрушения необходимо определить критерий разрушения нетто-сечения поверхностной трещины трубы. По аналогии с критерием разрушения мы предположим, что разрушение (распространение трещины) возникает, когда: 1. Напряжение в центре трещины достигло критического значения для материала. 2. Раскрытие трещины в центре трещины достигло критического значения 8С, определенного для каждого материала. На основании схематического описания задачи возможно теоретическое определение напряженно-деформированного состояния трубы с поверхностной трещиной (« -глубина, 2/-длина трещины, /-толщина стенки трубы) [72,73,76]. Мы предполагаем, что длина пластичной зоны равна действительной длине трещины 21, тогда как длина трещины, включая зоны пластичности у концов трещины, равны 2а. Эти два параметра связаны соотношением 1-а cos(or), где а есть вспомогательный параметр. Граничные условия определяем так: напряжение на бесконечности равно кольцевому напряжению сг0, функцию распределения напряжения в нетто сечении поверхностной трещины, которая зависит от расстояния х от вершины до центра трещины, предела текучести тг, предела прочности JR , напряжения пластического течения а = кхав предполагаем равной: где , характеризует момент потери устойчивости (напряжение пластического течения а ) пластического деформирования участка около вершины трещины, учитывает коэффициент двухосности нагружения стенки трубы т0 и показатель деформационного упрочнения п степенной аппроксимации диаграммы деформирования; к2 определяет границу локализованной пластической зоны и зависит от коэффициента поперечной деформации ju .
Исходя из условий аналитического решения задачи, предполагаем симметричность функции напряжений (1), которая является полиномом четной степени (например 2 и 4). На рис. 4.3 показаны распределения напряжения в нетто-сечении для случая полинома 2 степени (вариант 1) и четвертой степени (вариант 2). Предполагаем также, что эти силы распределены независимо от глубины листа. Соответствующее распределение напряжения, которое будет использовано как граничные условия соответствующей плоской задачи упругости, равно а{х) = P{x)l(d), в добавлении предполагаем, что напряжение на концах трещины равно к2 тТ, что означает равенство а, = 1. Разобьем задачу на три подзадачи - первая задача состоит в вычислении комплексных потенциалов Ф( ") и Т(0 для напряженного состояния в окрестности трещины (напряжение на границе трещины равно нулю) и напряжение на бесконечности равно а0 , вторая задача учитывает напряжение, передаваемое через нетто-сечение трещины, и последняя задача учитывает напряжение на кончиках трещины (в пластической зоне). В завершении для суммирования этих задач предполагаем, что результирующий комплексный потенциал может быть получен как сумма решений выше перечисленных задач с определенными весами, а именно мерой зоны действия соответствующих сил по принципу суперпозиции. Решение первой задачи приведено в главе 2 формулы (2.19), (2.20), (2.23). Решение третьей задачи описано в [56], соответствующие потенциалы равны
