Содержание к диссертации
Введение
1 Основные свойства и типы неоднородных моделей ранней Всслепгтой 17
1 Неустойчивость изотропных космологических моделей вблизи особенности . 17
2 Общие свойства неоднородных полей вблизи особой точки 20
3 Обобщенная казнеровская модель и казнеровская параметризация 25
3.1 Гамильтоиова формулировка теории тяготения 25
3.2 Уравнения движения в РТГ 2С>
3.3 О размерностях физических величин 27
ЗА Обобщенный казнеровский режим 2S
3.5 Условия применимости казнеровского режима 29
3.6 Казнеровская параметризация динамических переменных 30
4 Модель перемешанного мира (Асимптотическая модель БЛХ) 31
5 Обобщенное решение Де - Ситтера 34
2 Ячешггая структура геометрии вблизи особенности 37
1 Пространственное строение показателей па монотонной стадии эволюции . 39
2 Статистические свойства ячеистой геометрии 44
3 Поведение длин пространственных кривых 48
3 Бпллнардноо представление и статистические свойства нсоднородностей метрики 49
1 Переменные Мизнера-Читра 50
2 Свойства биллиардов 52
3 Динамика и свойства неоднородпостей 55
4 О генерации ячеистой структуры пространства 57
4 Квантовая эволюция неоднородных моделей вблизи особой точки 60
1 Вводные замечания 60
2 Система уравнений Уилера-Де Витта 64
3 Пространство решений ;уія локального я-множестиа етспенеи свободы * . 66
4 Гильбертово пространство и вероятностная интерпретация 68
5 Состояния Ныотопа-Вигнера 71
6 Неоднозначность выбора Гильбертова пространства 73
7 Перемешивание частотностей и третичное квантование в однородных моделях 74
8 Структура Гильбертова пространства в случае полного набора степеней свободы 77
9 Статистические свойства квантовой модели перемешанного мира 79
10 О редукции дополнительных измерений в неоднородных моделях типа Калузы-Клейпа 81
5 Генерация классического фона в неоднородных моделях 88
1 О выделении фона в классической теории гравитации 89
1.1 Модель перемешанного мира 90
1.2 Динамика модели и отображение Пуанкаре 93
1.3 Эволюция вещества 97
L4 Поведение амплитуд 99
2 О возникновении классического пространства в квантовых неоднородных моделях 100
0 Эффекты, снизанные с пространственно - временной пеной, в физике частиц 10G
1 Введение 106
2 Общая схема вторичного квантования распределенных систем 108
3 Пример скалярного поля в представлении вторичного квантования 111
4 Операторы рождения физических частиц 114
5 Эффективное поле 114
6 Свойства основного состояния поля 115
7 Заключительные замечания 118
7 Заключение 120
8 Приложение 123
- Общие свойства неоднородных полей вблизи особой точки
- Статистические свойства ячеистой геометрии
- Динамика и свойства неоднородпостей
- Гильбертово пространство и вероятностная интерпретация
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы в релятивистской астрофизике и космологии повышенное внимание стало уделяться проблемам математического моделирования процессов, происходящих в самые ранние моменты развития Вселешюіі (см. например [1] -[9]). При этом особую актуалыюсть приобретает построение и исследование пепертурбативных неоднородных моделей. Это обусловлено в первую очередь тем, что простейшие однородные н изотропные модели вблизи особенности обнаруживают свойство неустойчивости по отношению к крупномасштабным возмущениям [10, 9, 11]. Причем данная неустойчивость присутствует, как в классической теории тяготения, так и в квантогюй космологии [Q, 12]т а ее развитие приводит к тому, что в самые ранние моменты эволюции Вселенной неоднородности носили существенно пепертурбативный характер. Разумеется в полном объеме решить задачу о поведении неоднородных нолей вблизи космологической особенности
без развития адекватных методов математического моделирования не представляется возможным.
Наличие данной неустойчивости приводит к целому ряду фундаментальных проблем. Особенно остро стоит проблема объяснения наблюдаемой однородности и изотропии Вес-лепной. Отметим, что существование промежуточной инфляционной фазы расширения [13], по-видимому, не может служить основным механизмом изотропизации, поскольку наличие подобной фазы требует достаточно регулярных начальных условий. Так первичные неоднородности метрики должны быть сглаженными по сравнению с комптоиовской длиной, а плотность энергии, запасенная в анизотропии пространства, малой по сравнению с энергией скалярного поля, ответственного за инфляцию )14|. Таким образом, особую актуальность приобретает поиск и других возможных механизмов изотропизации неоднородной Вселенной [15, 16], а также исследование возможности выхода на инфляционную фазу в рамках неоднородных моделей [1].
Особый интерес, как в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложении, связан с исследованием различных квантовых эффектов в неоднородных моделях. Действительно, в случае регулярного расширения, когда размер горизонта растет быстрее, чем характерный масштаб неоднородностей метрики, механизм квантовой генерации возмущений из вакуумных флуктуации существенно зависит от выбора начального квантового состоянии |17т 18, 19|. Для последовательного вычисления подобных эффектов требуется привлекать квантовую гравитацию. В отсутствии же последовательной квантовой ччю-рии гравитации на передний план выступает математическое моделирование возможных квантовых эффектов в рамках достаточно простых, допускающих аналитическое исследование, моделей. В частности, наличие неустойчивости в квантовой области приводит к отсутствию фонового пространства па начальном этапе эволюции Вселенной [20, 21], что означает неприменимость в данной области квазиклассических методов исследований [12]. С математической точки зрения отсутствие фона означает, что интенсивность флуктуации метрики и кривизны пространства превышает соответствующие средние значения. Все это обуславливает актуальность моделирования квантовой динамики неоднородных гравитационных полей, процесса генерации классического пространства, формирования начальных условий для последующей квазиклассической эволюции и развитие различных непертурбативных методов исследования.
Еще одной актуальной проблемой является исследование возможных ограничений на модели элементарных частиц. В частности, одним из проявлений теорий суперсимметрии, а также теории суперструи, как теории всех фундаментальных взаимодействий, является многомерность физического пространства - времени [22, 23]. При этом встает проблема об эволюции и свойствах многомерных неоднородных моделей, а также об изучении возможности компактпфикации дополнительных измерений [24j-[26].
В диссертации представлены исследования по математическому моделированию различных аспектов динамики неоднородных нолей. Основное внимание уделяется следующим вопросам; построение неоднородных моделей и их обоснование (область применимости); исследование процесса развития неоднородности пространства и статистическое описание неоднородных моделей; квантовая динамика, классификация состояний и построение гильбертова пространства; квазиклассический предел н генерация классическо-
го пространства; исследование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных квантовых неоднородных моделях; исследование эффектов связанных с изменением топологии пространства, построение теории допускающей переменное число полей.
Цель работы состоит в математическом моделировании и исследовании явлений, возникающих в ранний Вселенной при наличии неодшродностей непертурбатншюго характера.
Объекты исследования. Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ и выявляющих существенную роль присутствия нелертурбативных неоді юрод и остей метрики. Базовыми моделями являются построенные обобщения па неоднородный случай моделей перемешанного мира (mixmaster) и мира Дс-Ситтсра с материей в виде скалярных полей.
Методы исследования. В диссертаций использованы методы математического моделирования, методы качественной теории динамических систем, методы матфизики и функционального анализа.
Научная новизна работы состоит в следующем.
Впервые обнаружен эффект генерации и усиления нсоднородностей па масштабах, превышающих размер горизонта, проведено исследование их статистических свойств.
Впервые проведено исследование клантовой динамики ранней Вселенной при наличии непертурбатигшых неоднородностей, поставлен и исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях, получено строгое ограничение на применимость классических моделей (квантовая граница).
Обнаружена возможность компактификации па ранней стадии эволюции б случае, когда размерность пространства - времени не превосходит десяти.
Предложен феноменологический метод описания произвольных топологий пространства в квантовой гравитации и исследованы простейшие наблюдаемые следствия.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Научная и практическая значимость.
Исследование ранних моментов и истории разнития Вселенной имеет важное значение, как с чисто теоретической точки зрения, так и для наблюдательной астрономии. Структура и свойства современной Вселенной (средняя плотность вещества, состав, крупномасштабная структура, анизотропия реликтового излучения и т.д.) почти полностью определяются физическими процессами, происходящими в самый ранний период ее развитии. Исследование статистических свойств н динамики крупномасштабных неоднородностей метрики позволяет решить проблему определения начальных условий в ранней Вселенной. Этой же цели служит установление квантовой границы и описание процесса генерации классического пространства, что кроме того, открывает возможность построения последовательной теории квантовой генерации первичных возмущений в случае регулярного (неинфляционпого) расширения.
Полученные результаты по проблеме компактификации дополнительных измерений представляют значительный интерес для развития многомерных теорий (теории суперсимметрии, струн, суперструн и других).
Теория с переменным числом физических полей представляет существенный интерес
для физики высоких энергий, при исследовании процессов, связанных с изменением топологии пространства; открывает возможность построение непротиворечивой квантовой теории гравитации и кроме того, дает возможность предсказания новых наблюдательных эффектов. В частности, данная теория предсказывает существование повой формы темной материи, что представляет интерес для астрономических приложений, при описании развития и эволюции крупномасштабной структуры Вселенной.
Отмстим, что основные результаты работы в равной степени приложиыы, как для Эйнштейновской теории тяготения, так и релятивистской теории гравитации [27] -[30].
Основные положения, выносимые на защиту:
Начальный период развития Вселенной должен описываться в рамках крупномасштабных кепертурбативпых неоднородных моделей. Наиболее адекватными являются неоднородная модель перемешанного мира и се многомерные обобщения.
Хаотический характер эволюции метрики вблизи сингулярности сопровождается ростом степени неоднородности метрики.
Предложенные модели позволяют построить самосогласованное описание квантовой эволюции неоднородных полей вблизи особой точки. В частности, вблизи сингулярности оказывается возможным ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения возбуждений анизотропии пространства. Геометрия же, соответствующая данным состояниям вовсе не является стационарной,
Вблизи сингулярности невозможно ввести представление о классическом фоне. Соответственно, квазиклассичсские методы и методы теории возмущений в данной области оказываются неприменимыми. Момент выделения фона полностью определяется выбором начального квантового состояния. В частности, в вакуумных неоднородных моделях момент возникновения классического фона определяется моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с размером псоднородностей.
В случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактнфикации дополнительных измерений в многомерных моделях. Причем данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.
Предложенный метод вторичного квантования распределенных систем позволяет учитывать произвольные топологии пространства и открывает путь для построения последовательной теории квантовой гравитации. Эффекты, связанные с квантовыми флуктуациями топологии пространства, могут приводить к наблюдаемым на макроскопических масштабах явлениям.
Совокупность научных положений и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное научное направление в теории ранней Вселенной -пепертурбативиые неоднородные модели.
Апробация работы.
Результаты, изложенные б диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:
Международный симпозиум по астрофизике и релятивистской космологии АН СССР, Тыравере ЭССР 1989; Международная школа - семинар "Multidimentional gravity and cosmology Ярославль, 1994; 7-я и 8-я международные конференции "Marcel Grossmann Meeting on General Relativity", Stanford 1994, Jerusalem 1997; 1, 2 и 3 международные конференции "Астрономия. Космомикрофизика"(Космион-94, Космион-96, Космион-97, Москва); VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 1995; Международная школа - семинар "Foundation of gravitation anil cosmology"Odessa, September 4-10 1995; на Российских гравитационных конференциях, Пущине 1993, Новгород 1996; International Conference "Contcmprorary problems in the theory of dymanical systems", Nizhny Novgorod 1996; Second International Sakharov conference, Moscow 20-24 May 1996; International conference GR14, Florence, 1995. Прочитан курс лекций па VIII Бразильской школе Космологии и гравитации II, Rio de Janeiro, Brazil 1995.
По теме диссертации также делались доклады на научных семинарах в г. Москве - ГА-ИШ, АКЦ ФИ ГАН, МГУ, НИЦПВ; г. Н. Новгороде - ННГУ, НИРФИ, НИИ ПМК, НИИ-МАШ РАН; в г. Рим (Италия) University of Rome "La Sapienza", Astronomical Observatory of Rome; в г. Potsdam (Германии), Max-Plank Institute,
Личное участие.
Автору принадлежит постановка задач (и участие в постановке задач совместно с А.А. Кочневым [Глава 2] и В.Н. Мельниковым [многомерные обобщения предложенных автором моделей и методов]) по всем, рассмотренным в диссертации, проблемам; построение исследуемых моделей и разработка математических методов их анализа; получение основных аналитических результатов и оценок.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 40 работ. Основные результаты опубликованы п 30 работах.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и двух приложении. Список литературы содержит 146 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во Введении дается общая характеристика проблемы построения и исследования неоднородных моделей ранней Вселенной, указывается цель работы, обсуждается ее актуальность, теоретическая и практическая значимость, перспективность проводимых исследований. Дается общая характеристика работы, ее краткое содержание по главам. Приводятся основные, выносимые на защиту, положения и сведения об апробации.
Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней рассматриваются вопросы связанные с построением непертурбативных неоднородных моделей, исследование их общих свойств. Вводится обобщенная казнеровская параметризация физических степеней свободы.
В 1 обсуждается вопрос о неустойчивости изотропных моделей при приближении к особой точке. Данная неустойчивость обнаружена Лифшицем уже достаточно давно в рамках теории малых возмущений [10]. Позднее данная теория неоднократно пересматривалась (см. например [31, 32] или в связи с инфляционными сценариями в [33, 34]). Кроме того давно известно, что анизотропные однородные модели вблизи особенности ПС содержат фрпдмановского решения (Белинский, Лифшиц, Халатников, Мизнер), а сингу-лярнось носит казнсроБский характер [35, 36, 37]. Отмстим, что проблема изотроиизации анизотропных однородных моделей рассматривалась во множестве работ, см. например [17, 18, 15] (более подробную библиографию можно найти в монографии [И]). В работах |38, 39] была предложена процедура построения общего решения уравнений Эйнштейна вблизи особой точки, которое также не содержит фрпдмановского решения. Однако необходимость привлечения неоднородных моделей для описания самых ранних стадий развития Вселенной была понята сравнительно недавно.
Оказывается, что развитие данной неустойчивости приводит к быстрому росту (в нелинейном режиме) неоднородиостей на масштабах превышающих размер горизонта {Это явление было впервые обнаружено автором и Кочневым [40, 41],'а позднее рассматривалось в [42, 43, 44]). Причем данный рост происходит независимо от направления эволюции (коллапс или расширение пространства [45]}.
В 2 обсуждаются общие евойета динамики неоднородных полей вблизи космологической особенности [9, 45|. Среди основных черт динамики мы выделим два:
Вблизи особой точки гравитационное поле всегда приобретает крупномасштабный характер (становится квазиоднородиым) [45]. Именно данный факт приводит к; тому, что с локальной точки зрения эволюция метрических функций повторяет поведение наиболее общей педиагоналыюй однородной модели [38, 39].
Единственным видом вещества, влияющим на эволюцию метрики вблизи особой точки являются скалярные поля [46].
Отмстим, что эти свойства подтверждаются и численными методами исследования сингулярности [48, 49].
Для построения неоднородных моделей, допускающих аналитическое исследование используется, в 3.1—3.5, предложенная автором обобщенная казнеровская параметризация физических степеней свободы [4, 45, 50]. Ее введение основано на том факте, что локально особенность всегда носит казнеровский характер [38].
Рассмотрим п + 1-мерный пространственно-временной интервал в виде
ds2 = N2dt2 - gag (dxa + Nadl) (dx? + N$dt),
где основными динамическими переменными являются компоненты пространственной ри-маповой метрики да0 и канонически сопряженная к пей матрица импульсов
Основная идея заключается в том, чтобы с самого начала с помощью некоторого контактного преобразования привести обе матрицы к диагональному виду
5^ = ^ехр{за}^, Щ = 5>/3,' (0.1.1)
а а
где L"tba — 6ъа (а,6 = 0,..., (re-1)), а вектора^ уже содержат только n(n-l) произвольных функций пространственных координат. Тогда в качестве динамических переменных можно принять масштабные функции qa и сопряженные им главные значения матрицы импульсов ра, а плотность функции Гамильтона (в калибровке Na = 0) принимает следующий вид
*=|{й-^<1»ЧпИ' (0L2)
где ъЩ, - плотность кинетической энергии скалярного поля, а потенциал V имеет разложение V — 5Гл=і ^а9л- Здесь д обозначает определитель метрики, функции Хл неявным образом зависят от всех динамических функций и характеризуют степень неоднородности пространства, а степенные показатели и а выражаются линейным образом через параметры анизотропии пространства Qa — Д-, <тайе = 1 + Qa — Qj, — Qc, Ьф с.
Полученная таким образом система уравнений Эйнштейна (в гамильтоновой форме) является точной. Чтобы перейти к упрощениям необходимо использовать различные приближения для потенциала V.
Простейшая модель (обобщенная модель Казнера [51]) соответствует полному пренебрежению потенциалом. Характер данного приближения можно выяснить следующим образом [9, 45]. Заметим, что кинетический член б функции Гамильтона имеет порядок ~ Я2, где Н - средний хаббловский масштаб. По порядку величины он-оиредшгяется размером горизонта Н ~ ^ . С другой стороны потенциал характеризует степень неоднородности пространства и имеет порядок V ~ ~ . Таким образом, обобщенной казперовской модели соответствует приближение крупномасштабное полей
^»4-яЧ (0.1.3)
Данные условия могут быть выполнены лить на конечном интервале времени, поскольку размер горизонта и характеристический масштаб неоднородности по разному зависят от времени. Кроме того, казнеровское решение является принципиально анизотропным, что приводит к различной зависимости от времени величины ^ в зависимости от направления в пространстве [51]. При продолжении данного решения, как к сингулярности, так и в сторону расширения пространства условия крупномасштабное нарушаются. Таким образом, эта модель может быть реализована, как некоторая промежуточная асимптотика. Отметим однако ее важную методическую ценность для квантовой гравитации и космологии.
Следующая по важности модель (неоднородная модель перемешанного мира 4) соответствует аппроксимации потенциала бесконечными стенками. Впервые подобную аппроксимацию, по-видимому, использовал Читра при исследовании эргодических свойств однородной модели Бианки XI [52] (см. также [53]}. В неоднородном случае эта модель была построена в [45, 55], а ее многомерные обобщения предложены в [50, 56]. Характер данного приближения можно увидеть следующим образом. При приближении к сингулярности имеем д -* 0. Таким образом, предполагая гладкость функций Ал < со, видим, что в этой асимптотике каждый член в потенциале приобретает вид стенки
«"-.«*.(«]=(Г0- :лЦ (o.w)
[ 0 , а А > 0
и содержит зависимость только от параметров анизотропии. Условие примшшмости данной модели можно записать в виде д *С 1, которое может нарушаться только при продолжении решения в сторону расширения пространства. В сторону коллапса данная модель является асимптотически точной. Соответствующее решение описывает хорошо известный коллебательпый режим эволюции метрики.
В заключение данной главы (5) приведено построение обощенного решения Де-Ситтера, соответствуещего инфляционному типу расширения неоднородного пространства. Это решение впервые было построено Старобішским (57], а в рамка теории Гамильтона - Якобп данная модель исследовалась зї работах [3, 4, 6]. Эта модель соответствует аппроксимации потенциала эффективной космологической постоянной V ^ дк(ф)- Условия те применимости имеют вид 4 3> 4 ^ const, где 4 - связанная со скалярным полем комптоиовская длина. Последнее условие здесь эквивалентно условию медленного скатывания скалярного поля. Это решение также оказывается неустойчивым, как в сторону коллапса (где оно переходит в обобщенное казперовское решение), так и в сторону расширения пространства (в силу наличия эволюции скалярного поля). Таким образом, данная модель может описывать лишь промежуточную асимптотику.
Во второй главе диссертации рассматривается вопрос о генерации ячеистой структуры пространства при приближении к особенности в присутствии скалярного поля [40, 41]. Рассмотрение ведется на основе метода построения общего решения, предложенного Белинским, Лифшицем и Халатниконым (БЛХ) |39, 58, 59].
Полная метрика вблизи особенности і — 0 строится путем сшивки последовательности метрик казнеровского вида
ds2 = dt2~Y, гЫх)(а(х))2. (0.1.5}
i,m,n
В окрестности данной пространственной точки х каждая из метрик данного вида удовлетворяет в главном порядке уравнениям Эйнштейна па интервале времени, называемом казнеровской эпохой: tk+i(x) < t < tk(x), где к - номер эпохи.
Основными динамическими характеристиками метрики являются показатели pj(x), рт (х) и р„(ж), определяющие темп изменения масштабов вдоль осей (x)t т{х)._ піх) на данной казнеровской эпохе. Показатели подчинены условиям J^pi = YlPt +
Эволюция метрики к особенности состоит из двух последовательных стадий. Колебательная стадия (КС) объединяет все эпохи, на которых среди показателей имеется один отрицательный, При этом сшивка показателей на соседних эпохах производится по правилу: если па данной эпохе pi(x) < 0, то на последующей эпохе при і —+ 0 имеем новый набор показателей
^TTS'^^T^T- (0'L6)
Функция q(x) при этом преобразуется как q' = j^r-
При q ф 0 в процессе смен казнеровских эпох обязательно возникает эпоха, на которой все показатели неотрицательны. Эта последняя эпоха устойчива и длится вплоть до сингулярности. Она образует монотонную стадию эволюции (МС).
Конечность числа осцилляции метрики при коллапсе позволяет в явном виде построить и исследовать полное отображение между динамическими функциями заданными в начальный момент времени и на конечной монотонной стадии. Пространственное строение показателей па монотонной стадии эволюции исследуется в 1.
Введем вместо четырех функций pi, рт, рп и q, подчипеных двум уравнениям связи один комплексный параметр w = и + iv w = (—pi + iq/y/2)/(l — рг). Тогда указанное отображение определяется разложенном параметра w в цепную дробь с натуральными элементами а\,...ап и комплексным остатком z М из области монотонности;
w{z) = [au...an-i,an + z].
Каждое из чисел йі,... ап имеет смысл числа казнеровских эпох па КС.
При отображении области К (области начальных значений w) на М (область конечных значений, на которой все казнеровские показатели положительны) область М имеет счетное множество прообразов в области К. Каждый такой прообраз есть область изменения переменной w(z), когда z пробегает область М при фиксированных значениях a.i,...an. В соответствии с этим разбиением происходит разбиение пространства на счетное число ячеек V = [Jm V(,.), в каждой из которых показатели принимают все допустимые на МС значения. Топологически, ячейка является, в типичном случае, цилиндром либо тором. Разбиение пространства на счетное число ячеек фактически означает неограниченный рост пространственных градиентов функции w(x) и соответственно функций pi, рт, р„. и
Я*
Статистическое исследование отображения последовательности казнеровских эр впервые выполнено в [б()| при исследовании эволюции однородных моделей. Существует общая теория дискретных отображений допускающих инвариантную меру [61). Применение данной теории к построенному отображению, выполненное в 2, показывает, что если задать начальное распределение вероятности по переменной w локализованое вблизи и = О, то в процессе эволюции формируется инвариантное распределение вида /?,-„„ (w) = -^.
В заключительном разделе главы (3) исследуются свойства пространственных кривых в областях с развитой ячеистой структурой. Оказывается, что в случае общего положения кривой ее длина убывает при коллапсе аномально медленно. Для нее получена оценка
40)--7= (0.1.7)
у —ШІ
В третей главе диссертации рассматривается вопрос о динамике и статистических свойствах неоднородности метрики. В рамках Эйнштейновской теории эта задача была впервые решена автором в [45, 50]. Многомерные обобщения общего решения вблизи особенности рассматривались впервые в [59|, а свойства дискретного отображения казнеровских эпох в многомерных теориях в [62, 63, 64]. Различные аспекты динамики и свойств пеод-нородностей исследованы в работах автора [65] - [68].
Подход, использованный во второй главе, существенно основан па исследовании дискретного отображения последовательности казнеровских режимов. При этом важно, что коллапс при наличии скалярного поля заканчивается монотонной стадией. Данный подход оказывается неприменимым в задаче о космологическом расширении пространства. Кроме того, в общем неоднородном случае гиперповерхности смены казнеровских режимов
не являются пространственно - подобными, что затрудняет динамическое описание пеод-нородностей метрики. В настоящей главе предлагается подход свободный от указанных недостатков.
В основе предлагаемого подхода лежит неоднородная модель перемешанного мира. Аппроксимация потенциала бесконечно высокими стенками позволяет свести задачу об эволюции неоднородного поля к исследованию локальной динамики. Этот вопрос подробно исследуется в 1. При этом используя параметризацию Мизпсра-Читра, задачу о локальной эволюции можно свести к биллиарду на пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны) [69]. Как известно, геодезический поток па многообразии отрицательной кривизны характеризуется экспоненциальной неустойчивостью [7()|. Это означает, что в процессе движения по геодезической линии нормальные отклонения растут не медленнее, чем экспонента от пройденного пути ( ~ о&а)- Свойства биллиардов исследуются в 2. В размерностях п < 10 объем биллиарда оказывается конечным, что приводит к наличию сильных перемешивающих свойств [61, 69]. Таким образом, скорость роста неоднородности динамических функций и скорость установления инвариантного статистического распределения определяется выражением для s(t). Динамика и свойства неоднородиостей подробно описаны в 4.
Рассмотрим параметризацию параметров анизотропии в виде
где Щ постоянная матрица, а в качестве временной переменной принимается выражение т = In ((Х)<їа) — Ylla) (с Т0ЧК11 зрения синхронного времени t эта переменная является дважды логарифмическим временем т ~ 1п|1п(|). В новых переменных действие для модели принимает вид
где величина Pa(P,y) = it2(y,P) JrV[y] + (Pn)'2e2T> . играет роль АДМ плотности гамильтониана |71]. Здесь величина Р" - характеризует скалярное поле, а е2 — |(1 — у2)2Р2 ~ гравитационные степени свободы.
Геодезический путь, определяющий скорость развития неустойчивости, дается выражением s = і In ^ . Произвольная начальная п-точечпая функция распределения
релаксируст к инвариантному распределению dji = Пі^ї» гАс мера щ дастся выражением d}i(y,m) ~ const х dfi_li)n-il, здесь m — j, \m\ — 1.
В отсутствии скалярного поля геодезический путь совпадает с временем движения s — Ат — т — то и может быть произвольно большим. При наличии же скалярного поля в задаче о коллапсе пространства, полный путь оказывается конечным [50, 65]. В этом случае можно говорить о перемешивании и, следовательно, об установлении инвариантного статистического распределения только по отношению к областям с достаточно низкой плотностью энергии скалярных полей.
В заключение главы (5) получены оценки скорости роста координатного масштаба неоднородиостей в синхронном времени (она оказывается логарифмической Л w Х0
ln(l/^0)/ln(l/i) в случае коллапса (( —* 0) и Л ~ Л01п(1/()/1п(1/(0) в случае расширения пространства) и зависимость от времени пространственных масштабов п размерностях п < 10. Для моментов масштабных функций < дм > (где М > 0} при (/< 1 получена оценка (д/<7 ~ t)
<^>иійїпйр- (0110'
где Qmin = ~~ ^rfi которая показывает, что при п > 3 средние длины при неоднородном коллапсе растут степенным образом,
В четвертой главе диссертации рассматривается вопрос о квантовой эволюции неоднородных полей вблизи особой точки. Исследованию квантовой динамики однородных моделей посвящено огромное и вес возрастающее количество работ. Следует отметить лишь главные из них. Впервые, по-видимому, задачу о кватттовом описании космологических моделей рассматривал Дс-Вптг . Позднее Мизнер использовал модель Бианки XI (модель перемешанного мира) в [73) и модель Вселенной Гоуди [74]. С начала 80-х интерес к задачам квантовой космологии существенно повысился (см. например, [75] - [80]. В настоящей главе рассматриваются неоднородная модель перемешанного мира и обобщенная казнеровская модель. Основные результаты данной главы изложены в работах [55],[81]*[89]. Данные модели могут служить в качестве нулевого приближения к полной квантовой гравитации- Адекватность подобного выбора гарантируется тем, что еще па классическом уровне мелкомасштабные возмущения не оказывают влияния па эволюцию метрики вблизи особой точки. По - видимому, это остается справедливым и в квантовой теории. Для скалярного ноля это можно показать в явном виде, хотя для гравитационного поля, в силу неперенормируемости гравитации, данное утверждение уже не является строгим. С другой стороны, данные модели описывают только крупномасштабную часть гравитационного ноля и следовательно для их квантового описания проблема пеперенор-мирусмости гравитации оказывается несущественной.
Квантование данных моделей приводит к системе ураиеїшй Уилера-ДеВитта [72] (эта система вводится в 2)
<-Д*+ ^ + ^)^ = 0, xeS. (0.1.11)
Поскольку поле содержит только крупномасштабную часть, то эта система в главном порядке распадается па набор независимых уравнений (по одному па каждую точку пространства). По существу, квантовое описание подобной системы проводится в полной аналогии с системой релятивистских частиц [91],
В 3 проведено построение пространства решений для локального х-множества степеней свободы. Для модели перемешанного мира конфигурационное пространство для локальных степеней свободы представляет собой биллиард и решение сводится к задаче на собственные значения для оператора Лапласа-Бельтрами, заданного в области биллиарда
к,
(\ + k2j + ^ї}^(г) = 0, tpj \вк= 0. (0.1.12)
При п < 10 индекс J принимает дискретные значения. В разделах 4 — 6 рассматривается вопрос о построении Гильбертова пространства и вероятностной интерпретации.
Для этого в пространстве решений выделяется положительно - частотный сектор и проводится построение состояний Ньютона - Вигнера [92, 83], Обсуждается неоднозначность выбора Гильбертова пространства. Кроме того, для вакуумных моделей показана эквивалентность данной схемы квантования и АДМ (Арповитта - Дезера - Ынзиера) подхода [85].
В 7 рассмотрен вопрос о третичном квантовании однородные моделей при наличии скалярного поля [81]. Третичное квантование однородных моделей предлагалось ранее в работах [94] - [96] для решения проблемы с вероятностной интерпретацией [97], Используется техника диагопализации гамильтониана поля вселенных [93]. Присутствие скалярного поля приводит к перемешиванию частотностей, что позволяет описать процесс "квантового рождения мира из ннчегом[75]. Показано, что если в качестве начального состояния (вблизи сингулярности) выбирается вакуум ("ничего")^ то конечное состояние Вселенной будет описываться матрицей плотности, имеющей тепловой характер.
В 8 исследован вопрос о построении и структуре гильбертова пространства в случае полного набора степеней свободы [84], Указана необходимость аналитического продолжения решений. Отмечается появление дополнительной неоднозначности в построении полного пространства состояний, которая приводит к тому, что в общем случае различные пространства уже нельзя связать преобразованиями боголюбовского типа.
В 9 исследуются статистические свойства квантовой модели перемешанного мира |55]. Показано, что в вакуумном случав вблизи сингулярности оказывается вогшожиы_м ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения J(x). Геометрия, соответствующая данным состояниям не является стационарной, поскольку сохраняет явную зависимость от времени [55], Числа заполнения J (х) имеют смысл плотности гравитационных волн с длинами воли превышающих размер горизонта (или возбуждений анизотропии пространства) [12, 98|. Приведены выражения для корреляционных функций и показано отсутствие фонового пространства при t —* 0.
В заключительном разделе 10 рассмотрен вопрос о редукции дополнительных измерений в квантовых многомерных теориях гравитации тина Калузы - Клейна |83, 80]. Показано, что при п < 10 размерность равная трем оказывается выделенной в том смысле, что в процессе космологического расширения происходит сжатие пространства вдоль произвольных гиперповерхностей размерности т < п — 2. Другими словами расширение пространства происходит только за счет трех пространственных направлений. Причем данное поведение не зависит от выбора начального квантового состояния и может служить в качестве начальной стадии компактификацш-
В пятой главе исследуется вопрос 6 генерация классического фона в неоднородных моделях в процессе космологического расширения пространства [12, 21. 20]. Рассмотрение ведется в рамках обычной эйнштейновской теории гравитации. Хаотический характер эволюции метрики вблизи сингулярности приводит к тому, что вопрос о выделении фона является общим, как для квантовой теории, так и для классической, хотя характер статистического усреднения в этих теориях разумеется разный- Рассмотрение ведется на основе вакуумного решения. Поведение вещества учитывается во втором порядке.
В 1Л — 1.2 рассмотрен вопрос о ыодиффикации модели перемешанного мира в задаче
о космологическом расширении пространства [12, 21],
Исследуется динамика модели, построено отображение Пуанкаре [99, 100]. В явном виде продемонстрировано полное соответствие между статистическим описанием модели в терминах казнеровских параметров {отображение БЛХ [101, 102]) и описанием с помощью непрерывной меры (биллиард [45]). Показано, что при определенном изменении параметризации Мизнера - Читра удается покрыть практически всю классически доступную область конфигурационного пространства (включая и область выделения фона).
В разделе 1.3 рассмотрен вопрос об эволюции вещества. Показано, что хаотических характер эволюции метрики приводит к дополнительной генерации нсоціюродностей и распределении вещества только при ультра- релятивистских скоростях и при любом уравнении состояния JG8], Для нерелятивистских скоростей этот процесс оказывается неэффективным,
В 1.4 разделе исследуется вопрос о поведении амплитуд осцилляции метрики и вещества Д = 1 - йтш/атах* Приведена оценка дія момента выделения фонового квазиизотроп-пого пространства іь- Оказывается, что этот момент полностью определяется начальными условиями и по порядку величины совпадает с моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с масштабом неоднородности метрики [103],
В заключительном разделе 2 рассмотрен вопрос о генерации фона в квантовых неоднородных моделях [20]. Исследуется вопрос о квазиклаесическом приближении. При квантовом описании используется АДМ схема квантования гравитационного поля. Показано, что классическая оценка момента возникновения фона остается справедливой и в квантовой космологии, с точностью до коэффициента (квантовых поправок) tb ^ [Ц) -Сохраняется и зависимость момента возникновения фона от выбора начального квантового состояния (в общем случае этот момент пс совпадает с плапкшским временем U ф tpi).
Отмечается неприменимость квазиклассического рассмотрения в задаче о космологическом расширении пространства независимо от начальных условий* В задаче о коллапсе получена абсолютная граница классического рассмотрения (которая также отличается от наивной оценки tmm ~ tpi): tlaia ~ i^cxp f-^n )> ГДС &Q ' начальное значение неопределенности параметров анизотропии.
Шестая глава посвящена исследованию возможных наблюдаемых эффектов в физике частин^ связанных с пространственно - временной пеной.
В первом разделе проведен анализ следствий существования, в квантовой гравитации, фундаментального ограничения на принципиальную возможность измерения шпряжеи-постей поля [118]. Подобное ограничение находится в тесной взаимосвязи с пепоподобной структурой пространства - времени, которая должна наблюдаться па плаиковских масштабах [104, 105J, Показано, что с феноменологической точки зрения различные физические наблюдаемые должны представляться многозначными функциями координат, что приводит к необходимости построения теории с переменным числом полей. Приведены соображения в пользу тою, что такие'шли подчиняются статистике Ферми - Дирака. Описание подобных систем достигается в рамках метода вторичного квантования.
В 2 — 3 предлагается общий метод вторичного квантования распределенных систем [117, 118] и рассматривается пример скалярного поля. Введена алгебра фундаментальных операторов - операторов рождения и уничтожения степеней свободы. Переменность чис-
ла значений полевой функции tf проявляется в том, что переменным становится число мод поля- В рамках данного подхода описано построение оператра гамильтоиа свободного поля и оператора взаимодействии в представлении вторичного квантования. Показано, что для обычных взаимодействий (без учета гравитации) плотность числа мод является интегралом движения и можно говорить о сохранении топологической структуры поля,
В 4 приводится алгебра операторов, играющих роль операторов рождения и уничтожения физических частиц. Дастся определение основного состояния ноля и показано, что с точки зрения стандартной теории основное состояние может характеризоваться ненулевой плотностью частиц. В разделе 5 показано, что сохранение плотности числа мод позволяет внести поиитио эффективного поля и полностью постановить стандартную кнантовую теорию, Однако свойства основного состояния оказываются за пределами эффективного поля и могут быть определены только в полной теории.
Свойства основного состояния исследуются в 6. Предполагается, что процессы связанные с изменением топологии пространства действительно имели место на квантовом этапе эволюции ранней Вселенной. На последующем этапе происходит закалка топологической структура пространства, а поле садится в основное состояние, которое характеризуется единственным параметром fi (химическим потенциалом). Тогда основное состояние поля характеризуется ненулевой плотностью бозе частиц [119, 118]. Для спектральной плотности НОЛучеИО Выражение Щ — sfl+^/h^l11 СООТВеТСТШІИЮ ДОН ЭНерГИИ Cfc = OJkUk-
Данные частицы взаимодействуют только гравитационным образом и могут давать существенный вклад в плотность невидимого вещества. Несмотря на тот что данные частицы представляют собой бозоны, в основном состоянии они ведут себя, как фермионы. Показано, что для безмассовых полей данное вещество обладает релятивистским уравнением состояния} а для массивных полей - уравнением состояния вырожденного перелятивиского ферми газа.
Для безмассовых полей получено выражение для флуктуации потенциалов поля в основном состоянии. Показано что па масштабах, превышающих ]///, к чисто вакуумному шуму примешивается добавка ДФ?(А:) — к2 [|]. В заключительном разделе (7) дастся оценка возможных тепловых поправок, а также обсуждается возможность вычисления других наблюдаемых следствий.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, указаны возможные приложения и дальнейшие пути развития теоретических исследований.
Общие свойства неоднородных полей вблизи особой точки
При попытках описания свойств нашей Вселенной в самые ранние моменты ее развития, а именно - вблизи космологической сингулярности, мы неизбежно сталкиваемся с двумя принципиальными основными проблемами.
Первая проблема проявляется R том, что в данной области основные физические законы не являются столь надежно установленными и, следовательно, приходится использовать огромную экстраполяцию. Так, в частности, ряд современных теорий в физике элементарных частиц (теории струп, суиерструп [22], теории объединения основанные па идеях Калузы-Клейна [23, 145] и др.) имеют естественную реализацию в пространствах с высоким (большим четырех) числом измерений. Обычно предполагается, что дополнительные измерения проявляют себя лишь при достижении Планковских значений энергии, в то время как на макроскопических масштабах дополнительные измерения отсутствуют Другими словами н современную эпоху все дополнительные измерения (если они действительно существуют) оказываются компактифицированными, т.е. имеют радиусы порядка. Планковскош размера и являются непосредственно не наблюдаемыми. Эффективно они могут проявлять себя как набор различных скалярных и векторных полей, т.е. обычное
Однако картина, несомненно, должна изменится при приближении к особой точке, когда размер горизонта - размер причинно связанной области пространства - был меньше или порядка планковского размера, В этой ситуации все измерения являются равноправными и должны быть приняты во внимание. По этой причине при описании характера сингулярности в ранней вселенной необходимо наряду с Эйнштейновской теорией гравитации использовать также и возможные многомерные обобщения [120]-[129.
Вторая проблема связана с тем фактом, что для адекватного описания сингулярно сти необходимо привлекать квантовую теорию гравитации. В настоящее время последовательная квантовая теория тяготения еще отсутствует Это, в свою очередь, накладывает существенный опечаток на характер постановки вопросов, которые имеют смысл при описании квантового периода эволюции ранней Вселенной. Любые результаты в этой области могут носить скорее качественный, нежели количественный, характер. Действительно, поскольку даже сама схема квантования гравитационного поля является неоднозначной, что связано в первую очередь с неоднозначностью порядка следования нскоммутпрую-пщх операторов при замене операторами соответствующих классических выражений, то при попытках вычисления различных средних значении, последние будут отличаться па фактор порядка или даже больше единицы к зависимости от используемой схемы.
Кроме того, поскольку при исследовании данной области приходится прибегать к достаточно упрощенньш моделям, сильно ограничивающим число физических степеней свободы, то следует особо отметить необходимость проверки любых получаемых результатов па грубость или общность. Другими словами учет отбрасываемых степеней свободы не должен портить полученной картины, по крайней мере, с качественной точки зрения. Результаты, которые не удовлетворяют данному требованию, едва ли имеют шанс сохранится при дальнейшем развитии теории.
В рамках классической теории гравитации исследование свойств космологической сингулярности было инициировано Е.М. Лифшицем и И.М. Халатниконьш более 30 лет пачад (ем. ссылки на ранние работы в [51), что, в конечном счете, привело к открытию общего колебательного режима эволюции метрики при приближении к особенности [3G, 35] и, кроме того, была предложена схема построения общего решения вблизи особой точки [38]- В последствии, был рассмотрен также вопрос об эволюции метрики в многомерных теориях [59, 62].
Стохастические свойства колебательной эволюции были обнаружены достаточно рано [60]. Для их исследования использовались в основном однородные модели см. например [14G, 133,101]. При переходе к неоднородной метрике, автором настоящей работы совместно с Кочнсвым [40] было обнаружено, что колебательный режим сопровождается также ті ростом степени неоднородности метрики на масштабах превышающих размер горизонта. Полный анализ статистических свойств нсоднородностей метрики, основанный на исследовании общего решения уравнений Эйнштейна вблизи особой точки и построении неоднородных моделей, был впервые выполнен в [45] и обобщен на многомерный случай в [50].
Отметим, что построенные в [45, 50] неоднородные модели обеспечивают адекватное описании эволюции и статистических свойств метрики при достаточно малых временах вблизи особой точки и не покрывают всей эволюции при произвольно больших временах. Для анализа полной эволюции используются модели, содержащие в полном объеме нелинейность уравнений Эйнштейна, но ограниченные специальными типами пространственной симметрии (так, например, модель Gowdy 48, 49] или Вселенная Толмена [149[). Несмотря на то, что последние модели являются сильно ограниченными (менее общими), тем не менее, они также ухватывают основные черты общего решения и дают возможность аналитически или численно проследить эволюцию метрики даже достаточно далеко от сингулярности.
Основные черты динамики неоднородных гравитационного и скалярного нолей вблизи космологической особенности можно суммировать следующим образом:
1. С локальной точки зрения эволюция метрических функций повторяет поведение наи более общей однородной недиагоналыюй модели. Другими словами, вблизи сингу лярности гравитационное поле становится квазиоднородным, т.е. приобретает круп номасштабный характер.
2, Единственным видом вещества, влияющим на эволюцию метрики вблизи особой точ ки, являются скалярные поля.
Статистические свойства ячеистой геометрии
Отметим, что если определить казнеровскую эру как серию эпох, на которой один из показателей сохраняет знак [35, 60], то из (2.1.11) следует, что каждое из чисел ат равно числу эпох на соответствующей m-ой эре, т = 1, ...,п (при этом начальная эпоха в состав первой эры не включается).
Представление показателей, на начальной эпохе в виде (2.1.1) задает функции Wi(x) и Sj. Последние, в свою очередь, определяют по формулам (2.1.8) - (2.1.11) функции Wf(x) и 5/, подстановка которых в (2.1.1) дает показатели pi(x), рт[х), рт(х) на монотонной стадии, чье строение нас и интересует. Задача, таким образом, сводится к исследованию характерных свойств функций Wf(x), S/, обусловленных спецификой отображения (2.1.8)-(2.1.11) при его действии на достаточно общие начальные функции Wi(x) и 5;.
Рассмотрим сначала строение Wj{x), Заметим, что при отображении К па А/, задаваемом формулами (2.1.8) - (2.1.11), область М имеет счетное множество прообразов в области К (Рис.2.2). Каждый такой прообраз есть область изменения переменной Wi(x), когда в (2.1.8) переменная Wf(x) пробегает область М при фиксированных значениях а.\, ...ап в (2.1.9) и фиксированной принадлежности функции z(wi) одной из областей М , ЛГ, М" в (2.1.10).
Определим индикатор принадлежности J (г) как, например, J (z) = 1,2,3 соответственно при z Є М, М , М", все прообразы области М можно пронумеровать мультиии-дексом (г) = (аъ...ап,,7), (2.1.12) принимающим счетное множество значений. Итак, имеем разбиение К = [}К{Т) (2.1.13) (г) каждый из элементов которого при действии (2.1.8) отображается конформно на область М: wf(wi) :Klr)- M (2.1.14)
Пусть К (D) есть множество значений функции щ (х) при х, пробегающем некоторую область Z). Разумеется в общем случае К (D) К; Однако, чтобы избежать ненужных усложнений, мы будем считать, что К (D) = К. Тогда разбиению (2.1.13) соответствует равномощное ему разбиение D = \jD(r), (2.1.15) (г) определенное, для каждого (г), условием wt (х) : D(r) - К(Г) (2.1.16) Так как Wf (х) — ш/ ( (Х)), то в силу (2.1.14) и (2.1.16) для каждой области D(T) имеем wf(x):D(Lr)-fM. (2.1.17)
Это означает, что функция Wf имеет "ячеистое" строение. В каждой из областей D она имеет одно и то же множество значений (2.1.7).
Итак, мы приходим к следующему результату: если в области х Є D показатели р\{х), Р2(х),рз(х) па начальной эпохе КС принимают все допустимые при р! Означения (2.1.6), то при t — 0, когда эволюция выходит па монотонную стадию во всей области D, последняя разбивается на счетное множество областей - "ячеек" D(r), характеризующихся тем, что в каждой из них показатели pi(x), рг{х), Рз(%) изменяются в одинаковых пределах, а именно, принимают все допустимые при pi 0 значения (2.0.7). Отметим основные свойства такой ячеистой структуры.
Граница каждой ячейки состоит из трех состыкованных 2-мерных поверхностей, па которых функция v)f{x) принимает значения на трех компонентах границы области Л/. Из (2.1.2), (2.1.6) п (2.1.7) следует, что на одной из этих поверхностей р\ (х) = 0, на другой Р\{х) — рг(х), а па третей pz{x) — рз(х). Таким образом, на границе ячейки динамика метрики вырождена.
Топологически, ячейка является, в типичном случае, цилиндром либо тором (точнее говоря, это относится к каждой из компонент связности ячейки, если таковых несколько). В специальных случаях, когда на границе ячейки есть некоторое множество точек, где градиент функций и/(х) либо Vf{x) обращается в нуль, топология ячейки может быть более сложной, с числом ручек д 2.
Каждая ячейка (г) имеет свою собственную историю эволюции отличную от других ячеек. Значения мультниндскса (г), нумерующего ячейки, определяется количеством каз-неровских эр, количеством казперовских эпох па каждой эре и типом выхода J с последней эпохи на МС, что в еовокупноети и составляет историю эволюции метрики в данной ячейке D(j). Число ячеек Nc(Ne), образовавшихся и области D спустя Д, эпох 7ioc;ie начала эволюции, растет в геометрической прогрессии с ростом Ne. Действительно, так как Nc(Ne) есть число ячеек D(r) с (г) таким, что m=iа"» — - е» т0 нетрудно подсчитать, что при К_ 1 будет Nc{Ne) 2-4
С точки зрения свойств упорядоченных показателей р\{х), рг{х), Рз{%) между отдельными ячейками не существует качественных различий. Различия появляются по отношению к свойствам реальных показателей pi(x)y рт(х), рп{х). Согласно (2.1.1), оба набора показателей связаны друг с другом оператором перестановки S}(x), строение которого определяется формулой (2.1.11).
Пусть показатели на начальной эпохе колебательной стадии являются непрерывными функциями; тогда без потери общности можно считать, что в D оператор Si(x) не зави-сит от х (например, ;(х) = S123, х D). Теперь из (2.1.11) ясно, что в каждой ячейке Sf(x) постоянен в S3. Дальнейший анализ (который мы опускаем) показывает, что Sj(x) постоянен также в любой области, являющейся объединением двух ячеек, граничащих между собой по поверхности р\{х) — 0. Иначе говоря, все ячейки объединяются попарно в области, в каждой из которых показатели Pi{%), рт{%), Рп(х) упорядочены по величине определенным образом. Такие области можно назвать казнеровскими "доменами".
Величиной, характеризующей данный домен, является значение в нем оператора Sf(x). Всего, таким образом, имеется шесть типов доменов, соответствующих шести возможным типам анизотропии сжатия элементарного объема, относительно осей (х), т(х) и п (х). Качественное строение показателей в домене типа Sf(x) = Si2s показано на рис.2.3; правила склейки доменов различных типов иллюстрируются рис.2.4 (на обоих рисунках домены изображены в поперечном сечении).
Динамика и свойства неоднородпостей
В настоящей главе мы рассмотрим те черты и свойства неоднородных моделей, которые проявляются при их квантовом описании. Ниже мы будем использовать построенные в предыдущий разделах неоднородные модели [55, 9, 12, 20]. Ими являются обобщенная казнеровекан модель и обобщенная модель перемешанного мира, которая при п 10 описывает общий колебательный режим эволюции метрики вблизи космологической особенности.
Предварительно необходимо напомнить те основные динамические свойства данных моделей, которые и позволяют надеяться на адекватность квантового описания самых ранних стадий в эволюции Вселенной, Во-первых, отмстим, что в теории тяготения можно выделить два основных тина космологического расширения пространства [131]. К первому и основному типу относится случай нормальной эволюции, когда расширение пространства лроисходлт с замедлением. Это означает, что вторая производная по времени от масштабного фактора является отрицательной d2a/dt2 0 (для простоты мы полагаем, что Вселенная однородна и изотропна). Тогда эволюцию масштабного фактора можно аппроксимировать степенными функциями а ta, причем показатель степени по величине меньше единицы Q 1.
Характерной чертой подобного типа эволюции является тот факт, что размер горизонта (k t) изменяется гораздо быстрее чем пространственные масштабы неодпород-ностей, изменение которых пропорционально масштабному фактору ($ й). Для расширяющейся Вселенной это означает, что с течением времени под горизонтом окажутся неоднородности произвольного масштаба. Если же проследить эволюцию пространственных масштабов в сторону уменьшения времени (при і — 0}, то окажется, что достаточно близко к сингулярности все космологически значимые неоднородности принимают крупномасштабный характер j 3 jt- Это и означает, что на самых ранних стадиях эволюции Вселенная адекватно описывается крупномасштабными неоднородными моделями.
Второй важный тип эволюции соответствует ситуации, когда расширение пространства происходит с ускорением d afdl2 0 . При этом показатель степени оказывается больше единицы [а 1). Данный тип относится к так называемому инфляционному тину расширения пространства. Для его осуществления необходимо, чтобы эффективное уравнение состояния вещества удовлетворяло неравенству р —\е . В этом случае скорость изменения пространственных масштабов превышает скорость изменения размера горизонта. Данный тип эволюции имеет большое значение для объяснения наблюдаемых свойств Вселенной, поскольку он позволяет решить целый ряд проблем, имеющихся в стандартном космологическом сценарии. Однако основная его роль заключается в том, что при подобной эволюции удастся непротиворечивым образом описать квантовую генерацию первичных возмущений плотности вещества, необходимых для развития наблюдаемой структуры Вселенной [33, 341 Важшлм моментом является то, что второй тип эволюции может быть осуществлен только, как некоторая промежуточная асимптотика, поскольку уравнение состояния вида р —є может быть достигнуто только на некотором конечном временном интервале. На рисунке 4.1 схематически изображено чередование двух типов эволюции.
Промежуточный характер эволюции с ускорением означает, что свойство крушюыас-штабносги неоднородностей вблизи особой точки остается справедливым и при наличии промежуточных стадий ускоренного расширения пространства.
Ирежде чем переходить к квантовому описанию неоднородных моделей, описывающих начальную стадию космологического расширения пространства, необходимо сделать следующее замечание. Дело в том, что в квантовой теории поля динамические переменные представляют собой операторно-зиачные обобщенные функции. Произведение таких операторов взятых в одной точке пространства не определено до тех пор, пока не указан метод регуляризации [90].
В линейных теориях, для свободных полей, данная проблема не является столь острой, поскольку существует стандартный прием нормировки поля па ящик с подходящим выбором граничных условий. Это позволяет перейти от рассмотрения несчетного (или непрерывного) числа координат в конфигурационном пространстве к дискретному набору обобщенных координат (в Фурье представлении), для которого произведение двух одинаковых операторов уже хорошо определено.
Проблема регуляризации возникает снова при учете взаимодействий. Однако при построении теории возмущений существуют вполне однозначные рецепты (или предписания), которые приводят к переопределению некоторого числа констант [!Ю, С формальной точки зрения количество данных констант описывает число контрчленов, которые необходимо добавить в действие чтобы сократить возникающие расходимости. Для переформируемых теорий число таких членов является конечным, что и позволяет говорить о самосогласовашюсти построенной квантовой теории. В противном случае, когда число возникающих констант (или контрчленов) является бесконечным говорят о неперснорми-руемости данной теории поля.
При этом отмстим, что для выполнении программы перенормировок важным этапом V является построение исходной теории возмущений. Основу последней составляет адекватный выбор начального или, как говорят, нулевого приближения, В обычных физических ситуациях в качестве хорошего нулевого приближения выступает теориях малых возмущений [147] вблизи некоторого фона или, что эквивалентно, теория свободных полей. Ог-метим, что при таком разложении фоновое поле рассматривается, как классическое
При попытках построения квантовой теории гравитации основная известная трудность проявляется в том, что теория тяготения относится к классу неперенормируемых теорий. Это означает, что число контрчленов, которые приходится добавлять в исходное действие для уничтожения расходнмостей, растет с ростом порядка теории возмущений, В обычных для физики частиц ситуациях эта проблема является не такой острой вследствие малости константы гравитационного взаимодействия и представляет скорее принципиальное (или академическое) значение. Действительно, чтобы ускорить частицы до планковских значений энергии, при которых пришлось бы всерьез учитывать их гравитационное взаимодействие, потребовалось бы построить ускоритель на порядок превышающий размеры земли, что уже в техническом исполнении неосуществимо {не говори уже о том, что задолго до достижения планковских энергий сильные и электрослабые взаимодействия будут настолько большими, что с подавляющей вероятностью приведут к лавинообразному возбуждению вторичных частиц так, что даже сама принципиальная возможность ускорения стабильных частиц до планковских энергий является призрачной). При малых же энергиях для практических оценок достаточно ограничится конечным числом членов теории возмущений или даже однопетлекыми поправками.
Гильбертово пространство и вероятностная интерпретация
Одним из возможных вариантов решения данной проблемы является предложение принять в качестве времени одну из метрических функций1. Такая возможность базируется на том факте, что конфигурационное пространство системы М имеет псевдоевклидову структуру, а уравнение Уилсра-ДсВитта является гиперболическим дифференциальным уравнением. Это означает, что среди метрических функций уже содержится одна, имеющая временшюдобпый характер.
Необходимо, однако, сделать предостережение относительно использования данного подхода в общем случае. Времепинодобпость одной из метрических функций означает, что на М на классическом уровне должны отсутствовать замкнутые траектории. Другими словами, должны отсутствовать такие траектории, па которых "пулевая" компонента су-пернмпульса изменяет знак. В том случае, когда это требование не удовлетворяется, нужно либо переопределить конфигурационное пространство М, либо использовать какую-либо другую процедуру (см. например 78]). Модели, которые? мы здесь рассматриваем, этому требованию, разумеется, удовлетворяют.
После выбора переменной, играющей it кваптошй космологии,роль времени, огтотея произвол, снизанный с шбором направления изменении этой переменной. Этот вопрос может решаться только с помощью привлечения процедуры измерения квантовых состояний системы. Действительно, возможность измерения подразумевает существование некоторого прибора (или системы приборок), который так жс; как и сама система, должен располагаться в пространстве М и иметь в нем собственную траекторию (или систему траекторий), поскольку прибор должен, с достаточной степенью точности, описываться классической теорией. Мы не будем здесь касаться вопроса о реализации подобного прибора физически. Отметим только, тгто его существование является одним аз основных принципов квантовой теории. Тогда направление движения прибора и будет задавать направление изменения временииодоЁшой переменной в квантовой космологии.
Таким образом, выбирая в качестве времени одну из метрических функций, мы тем самым приходим к полной аналогии с релятивистскими частицами и можем воспользоваться уже хорошо известными методами [91].
Поскольку "нулевая" компонента суперпространствеппого тока JA может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то ток J по может быть использован в качестве тока вероятности без дополнительных ограничений- Действительно, определяемое с помощью супертока скалярное произведение (4,3.2) не является знакоопределенным, что легко можно увидеть непосредственно из (4.3.18). Чтобы ввести вероятностную интерпретацию нужно в качестве физически реализуемых состояний принять .многообразие только "положительно - частотных" решений. Далее, мы будем обозначать многообразие таких состояний Н. Если положить Л = 0 в (4.3.18), то условие нормировки дли /
Міри чтпм rcjfxrrijPHHon пррыя t HiKMTCFTimfi стшшяитгя шіфгітором и может іїьіть найдено из урптнчшн dr — 2АЫ . примет вид /+ = А;ир, /1 / = \л; »= і, (4.4.1) и уже не встречает трудностей с вероятностной интерпретацией. Действительно, Яд представляет собой линейное пространство, а скалярное произведение обладает всеми свойствами, которые должно иметь скалярное произведение в гильбертовом пространстве х\ Р = X\V 7 (4-4-2) Х\ + Х2 р = Xi I V т Х2 I V » (4-4.3) ХІХ 0, (4.4.4) причем равенство в (4.4.2) достигается только при х — 0- Таким образом, подпространство физических состояний Я становится обычным Гильбертовым пространством и шиюляет ввести стандартную вероятностную интерпретацию.
Рассмотрим случай, когда скалярное поле отсутствует (т.е. при f = 0). Тогда, положительно - частотные моды (4.3,14) имеют вид
а ограничение на физически допустимые состояния (4,4-1) оказывается эквивалентным использованию АДМ процедуры квантования гравитационного поля [71]. Другими словами мы получим тот же самый результат если с самого начала будем использовать действие в АДМ форме (3-1-5); I = J{p y-P (y,P)}dT, (4.4.6) іде Ib(ytP) = ]/ (ptP) + V\s] (4.4.7) - функция Гамильтона. Действительно, в этом случае волновая функция (4,4,1) будет подчиняться уравнению первого порядка ідт /+ = Р„ /+ , (4.4.8) а состояния (4,3.17), (4,4.5) оказываются собственными состояниями оператора АДМ энергии Ро Pouj kjuj, {A AM) которые определяют стационарные состояния гравитационного поля вблизи особенности. Сразу же подчеркнем, что геометрия, соответствующая данным состояниям вовсе не является стационарной, поскольку метрические функции уже содержат временную переменную т в явном виде. Состояния Ньютона-Віїгнера
