Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Корневая оценка плотности 22
1.1. Восстановление статистических распределений (на правах литературного обзора) 23
1.1.1. Восстановление плотности распределения как обратная задача теории вероятностей 23
1.1.2. Ядерные и проекционные методы восстановления плотности распределения 28
1.1.3. Метод максимального правдоподобия и информационная матрица Фишера 33
1.2. Корневой подход к оцениванию плотности 37
1.2.1. Пси - функция и уравнение правдоподобия 3 7
1.2.2. Гистограммная оценка плотности 40
1.2.3. Вычислительные аспекты решения уравнения правдоподобия 43
1.3. Статистические свойства корневых оценок 51
1.3.1. Статистические свойства оценки вектора состояния 51
1.3.2. Критерий хи- квадрат. Проверка гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному. Оценка статистической значимости отличий между двумя выборками. 59
1.3.3. Корневая форма критерия хи- квадрат Пирсона. Корневая аппроксимация биномиального распределения нормальным . 63
1.4. Численное моделирование 66
1.4.1. Оптимизация числа гармоник 66
1.4.2. Численное моделирование. Базис Чебышева - Эрмита. 68
1.4.3. Сравнение корневой оценки с ядерной и проекционной. 75
1.5. Матрица плотности 78
1.6. Выводы по результатам главы 1. 83
ГЛАВА 2. Статистическое восстановление квантовых состояний 85
2.1. Восстановление квантового состояния на основе взаимно- дополнительных координатных и импульсных измерений 86
2.1.1. Принцип максимального правдоподобия и уравнение правдоподобия 86
2.1.2. Учет ограничения на энергию 107
2.2. Восстановление спиновых состояний 116
2.3. Восстановление квантовых состояний бифотонных полей 121
2.3.1. Амплитуды квантовых процессов и интенсивность генерации событий 121
2.3.2. Протоколы измерений 123
2.3.3. Методы восстановления квантовых состояний по совокупности взаимно дополнительных квантовых процессов 132
2.3.4. Анализ экспериментальных данных по томографии кутритов 136
2.4. Статистические флуктуации оценки вектора состояния 144
2.5. Разделение смеси 151
2.6. Квантовая механика и корневое статистическое квантование 161
2.7. Информация Фишера и вариационный принцип в квантовой механике 168
2.8. Обсуждение 172
2.9. Выводы по результатам главы 2 174
ГЛАВА 3. Многопараметрические статистические модели в микроэлектронике 177
3.1. Выявление скрытых технологических факторов на основе минимизации энтропии факторной модели 178
3.1.1. Факторный анализ 180
3.1.2. Анализ электрофизических данных 186
3.1.3. Приложение 1. Перечень измеряемых электрофизических параметров 191
3.1.4. Приложение 2. Таблица факторных нагрузок 195
3.2. Многопараметрическое распределение Вейбулла в задачах анализа результатов испытаний в микроэлектронике 197
3.2.1. Распределение Вейбулла 197
3.2.2. Обобщенное распределение Вейбулла 199
3.2.3. Анализ экспериментальных данных 203
3.2.4. Приложение. Нахождение матрицы, обратной к ковариационной 207
3.3. Многоуровневые иерархические модели для распределения дефектности в задачах обеспечения качества в микроэлектронике , 209
3.3.1. Введение 209
3.3.2. Компаунд- распределение Пуассона 212
3.3.3. Биномиальное компаунд- распределение и схема Пойа 218
3.3.4. Многоуровневые иерархические цепочки компаунд- распределений 225
3.3.5. Анализ выхода годных 232
3.3.6. Обобщение схемы Пойа 236
3.3.7. Включение байесовского подхода 240
3.4. Анализ вариаций и построение контрольных карт в микроэлектронике на основе иерархической статистической модели 242
3.4.1. Статистические характеристики иерархических систем 242
3.4.2. Статистическая значимость априорной классификации 245
3.4.3. Иерархическое разложение дисперсии 246
3.4.4. Статистические распределения контролируемых параметров 248
3.4.5. Рекомендуемый перечень контролируемых статистических характеристик технологического процесса в иерархической модели 250
3.4.6. Построение и анализ контрольных карт 251
3.4.7. Бутстреп, структура данных и управление технологическими процессами в микроэлектронике. Бутстреп как пример инженерного подхода к анализу данных 255
3.4.8. Бутстреп- алгоритм формирования аналогов иерархических выборок 258
3.5. Выводы по результатам главы 3. 264
Общие выводы по работе 267
Литература 271
- Восстановление плотности распределения как обратная задача теории вероятностей
- Корневая форма критерия хи- квадрат Пирсона. Корневая аппроксимация биномиального распределения нормальным
- Методы восстановления квантовых состояний по совокупности взаимно дополнительных квантовых процессов
- Многопараметрическое распределение Вейбулла в задачах анализа результатов испытаний в микроэлектронике
Введение к работе
Квантовая информатика представляет собой новую, быстро развивающуюся область науки и технологии, основанную на использовании квантовых систем для реализации принципиально новых методов передачи сообщений и вычислений (квантовые каналы связи, квантовая криптография, квантовый компьютер) [1,2].
Теория квантовых систем (квантовая механика) была заложена В. Гейзенбергом [3-5] в форме так называемой матричной механики. Другая форма квантовой механики (волновая механика) была развита Э. Шредингером [6] (он же доказал эквивалентность своей теории матричной механике В. Гейзенберга). Историю создания квантовой механики см. в [7,8].
В качестве основного объекта, характеризующего квантовое состояние, Шредингер ввел понятие пси- функции (другое название- волновая функция). Пси-функцию можно рассматривать как величину, определяющую координаты (в общем случае бесконечномерного) вектора состояния. Вектор состояния, представляющий собой комплексный вектор в абстрактном гильбертовом пространстве, описывает амплитуды вероятностей наблюдения соответствующих базисных состояний.
Вектор состояния является носителем информации принципиально отличным от соответствующих классических аналогов. Важная отличительная черта квантовых систем по сравнению с классическими - это принципиальная необходимость статистического описания их поведения. Измерение, проводимое над индивидуальным квантовым объектом, связано с разрушением его квантового состояния (редукция волновой функции). Это обстоятельство приводит к необходимости статистического (ансамблевого) подхода: каждый акт измерения сопровождается разрушением квантового состояния микрообъекта, однако у экспериментатора в распоряжении имеется не единичный объект, а ансамбль. В силу «хрупкости» и «неуловимости»
квантового состояния, правильнее будет говорить, что вектор состояния описывает не отдельный объект, а квантовый статистический ансамбль [9,10].
Статистическая интерпретация пси- функции была дана М. Борном. Термин редукция волновой функции введен фон Нейманом в рамках развитой им последовательной теории квантовых измерений [11]. Физические аспекты квантовых измерений изложены в [12,13].
Своеобразие квантовой механики проявилось в трудностях, с которыми встретилась теория в попытках непротиворечивого описания квантовых явлений. На заре развития квантовой механики казалось, что различные квантовые процессы (например, корпускулярные и волновые), в которых могут участвовать частицы вещества и свет, не допускают единого непротиворечивого описания.
Правильный подход к решению проблемы был найден Н. Бором в рамках выдвинутой им концепции дополнительности [14]. Согласно принципу дополнительности Н. Бора «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [15].
Со статистической точки зрения, согласно принципу дополнительности, для того, чтобы экспериментальное изучение квантового ансамбля было полным, необходимо, чтобы данные, полученные при изучении ансамбля, например, в координатном пространстве, были дополнены изучением того же квантового ансамбля в канонически сопряженном (импульсном) пространстве. Важно, что измерения параметров квантового ансамбля в канонически сопряженных пространствах не могут быть реализованы одновременно в одной и той же экспериментальной установке (т.е. являются взаимно-дополнительными). Подробно, статистические аспекты взаимно-дополнительных измерений рассматриваются в главе 2.
Благодаря усилиям П. Дирака, квантовая механика приобрела, в определенном смысле, вид совершенной физической теории [16].
Математически строгая формулировка новой теории была дана впервые фон Нейманом [11]. Книга фон Неймана [11] задумывалась им как определенная математическая альтернатива физической формулировке квантовой механики, данной П. Дираком в [16]. Фон Неймана, в частности, не устраивало введение и широкое использование П. Дираком понятия дельта-функции (получившего впоследствии широкое распространение в физических и инженерных исследованиях и нашедшего отражение в математической теории обобщенных функций [17]). В противовес теории Дирака, фон Нейманом был разработан формализм спектрального разложения, являющийся обобщением разложения по базису собственных векторов в гильбертовом пространстве. Эта теория, однако, не получила широкого распространения среди физиков, которые продолжали пользоваться формализмом Дирака. В формализме Дирака собственные векторы наблюдаемой, задаваемой самосопряженным оператором, трактуются как базис в гильбертовом пространстве. Это достигается введением неограниченных по норме векторов (имеющих формально бесконечную длину). Неограниченными векторами, в частности, описываются собственные функции операторов координаты и импульса. Нормировка неограниченных векторов осуществляется, как раз, посредством введения дельта- функции Дирака (в теории фон Неймана допустимы только ограниченные по норме векторы).
Интерес к работам фон Неймана пробудился в 60-70 - ые годы XX века в связи с важными с физической точки зрения понятиями и концепциями, введению которых способствовал фон Нейман, такими как: квантовое состояние, описываемое в общем случае матрицей (оператором) плотности; общая теория квантовых измерений, проекторы фон Неймана, получившие впоследствии обобщение в виде положительной операторно- значной меры — Positive Operator Valued Measure - POVM), энтропия фон Неймана и др.
На базе работ фон Неймана по квантовой теории и Шеннона по теории информации [18,19], благодаря усилиям Р.Л. Стратоновича [20], А.С. Холево [21,22], К. Хелстрома [23], К. Крауза [24] и других исследователей в 70-80- ые годы, возникает и развивается новое научное направление, связанное с квантовой теорией информации и квантовой передачей сообщений (в том числе секретных).
В 1984 Ч. Беннет и Ж. Брассар предложили первый практический протокол распределения криптографического ключа (ВВ84), основанный на использовании неортогональных состояний фотонов [25,26]. Первая практическая реализация этого протокола (передача по оптическому световоду на расстояние около 1 км.) была осуществлена в университете Женевы [27].
Квантовая криптография на основе использования перепутанных состояний (таких как состояния Эйнштейна- Подольского- Розена (ЭПР)) была предложена А. Экертом и др. [28]. В настоящее время квантовая криптография представляет собой бурно развивающуюся отрасль теоретических и экспериментальных исследований (а также, первых инженерных приложений). Область действия разрабатываемых в настоящее время квантовых криптографических систем уже превышает расстояние 100 км [29]. Прогресс в этой области, однако, ограничен из-за неизбежного затухания сигналов в оптических световодах и невозможности их усиления в силу так называемой теоремы о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [30]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер, основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [31].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и плотного кодирования (dense coding), алгоритм Гровера (поиска в базе данных), квантовое дискретное преобразование Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [32-35]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе кубитов) [36,37], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [38].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как «квантовый ластик» (quantum eraser- квантовое измерение, направленное на восстановление квантового состояния измеряемой системы) [39,40], квантовая телепортация и плотное кодирование [41-43], приготовление белловских состояний [44,45].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [46,47], линейные ионные ловушки [48-50] и ядерный магнитный резонанс - ЯМР (жидкостной и твердотельный) [51-53].
На пути создания эффективных систем обработки квантовой информации стоит ряд трудных проблем, среди которых, одна из основных - это умение оценивать и воспроизводить квантовые состояния. Так, квантовый регистр, включающий п квантовых битов (кубитов) описывается вектором состояния,
содержащим ^ комплексных чисел. Со статистической точки зрения это означает, что контроль квантовой системы сводится к многопараметрической
задаче восстановления состояния квантового статистического ансамбля по измерениям, проводимым на отдельных его представителях.
Методы восстановления квантовых состояний подробно рассматриваются в главе 2. Сейчас же отметим только, что наибольшее значение имеют алгоритмы, позволяющие получить точность оценивания, близкую к принципиально достижимой в задачах высокой размерности. Построение таких оценок на базе традиционных методов математической статистики наталкивается на трудности вычислительного характера, которые быстро становятся непреодолимыми по мере роста размерности задачи. Выделенной универсальной статистической моделью, допускающей устойчивое асимптотически эффективное восстановление параметров по наблюдениям, оказывается новая так называемая корневая модель, в которой структура статистической теории оказывается согласованной изначально со структурой вероятности в квантовой механике [54,55].
С практической точки зрения многопараметрическая задача восстановления квантовых состояний играет важную роль при реализации всех трех основных взаимосвязанных задач, с которыми сталкивается разработчик квантовых информационных систем: генерация квантовых систем в определенных квантовых состояниях; их преобразование в процессе передачи по квантовому каналу связи или в процессе квантовых вычислений; считывание (измерение) выходного состояния системы. Умение восстанавливать квантовые состояния обеспечивает базу для решения таких задач как юстировка квантовых информационных систем, контроль точности и стабильности их работы, обнаружение постороннего вмешательства в систему и др.
Многопараметрическое статистическое оценивание квантовых состояний, безусловно, представляет интерес также и с фундаментальной точки зрения, поскольку дает инструмент для анализа таких базовых понятий квантовой
теории как принципиально статистический характер ее предсказаний, принцип суперпозиции, принцип дополнительности Н. Бора и др.
Системы квантовой обработки информации рассматриваются как естественные приемники современных устройств, выполненных на базе микроэлектроники. Так, согласно известной эмпирической закономерности (так называемый закон Мура [56]), степень интеграции микроэлектронных устройств удваивается каждые 18 месяцев (за тот же период критический размер элементов ИС уменьшается вдвое, а тактовая частота микропроцессоров удваивается). Если отмеченная тенденция сохранится, то приблизительно к 2020 году размер характерных элементов электронных устройств будет сравним с размером атома. Квантовые эффекты станут определяющими в работе таких приборов. Понятно, что создание и эффективное использование новых устройств потребует развития теоретических основ и практических приложений для системы управления качеством квантовых информационных технологий на основе симбиоза представлений квантовой физики и прикладной математической статистики.
Таким образом, многопараметрический статистический анализ имеет важное значение в задачах контроля качества, стабильности и надежности нарождающихся систем обработки квантовой информации.
В то же время, статистические методы продолжают играть важную роль и в задачах традиционной микроэлектроники [57-60]. Здесь многопараметрические статистические модели служат следующим основным целям: статистический контроль качества технологического процесса производства интегральных микросхем, оценка уровня технологии на основе статистических данных, сравнительная оценка различных конструктивно-технологических решений; прогнозирование характеристик вновь разрабатываемых изделий; оптимизация экономической деятельности полупроводникового производства. Во всех случаях многопараметрические статистические модели позволяют либо рассмотреть с единых позиций
имеющиеся в производстве данные по изделиям, отличающимся степенью интеграции, правилами проектирования и технологическим маршрутом изготовления, либо позволяют сделать прогноз на будущее: как изменения в технологии или номенклатуре изделий повлияют на технико-экономические показатели полупроводникового производства.
Роль статистических методов в системе качества в микроэлектронике выросла в связи с развитием компьютерно- интегрированных систем разработки и производства электронных изделий.
Целью диссертационной работы было развитие многопараметрических статистических моделей в приложении к задачам квантовой информатики и микроэлектроники. Для достижения указанной цели были решены следующие основные задачи:
Построение многопараметрических статистических моделей, допускающих устойчивое восстановление параметров по наблюдениям (обратная задача статистики). Развитие метода корневой оценки плотности как базовой модели такого рода. Изучение статистических свойств получаемых оценок. Разработка и исследование итерационного алгоритма решения многопараметрического уравнения правдоподобия.
Развитие методологии статистического анализа взаимно-дополнительных квантовых измерений (в смысле принципа дополнительности Н. Бора). Развитие метода решения уравнения правдоподобия и исследование точности получаемых статистических оценок.
Развитие корневого метода восстановления квантовых состояний на основе анализа амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов (квадраты модулей амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов задают интенсивности генерации событий, непосредственно регистрирующихся в физическом эксперименте). Обоснование приложения корневого амплитудного подхода к задачам
восстановления квантовых состояний бифотонного поля- кутритов. Разработка формализма аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния в рамках определенного протокола измерений. Проведение статистического анализа экспериментов с бифотонным полем, выполненных в Московском государственном университете на кафедре квантовой электроники.
Развитие теории статистических флуктуации оценки вектора состояния квантовой системы, позволяющей выявлять инструментальные погрешности на фоне фундаментальных статистических флуктуации.
Разработка алгоритма восстановления матрицы плотности состояния (разделение смеси). Апробация алгоритма посредством статистического моделирования и анализа реальных данных.
Разработка метода корневого статистического квантования, позволяющего обосновать со статистической точки зрения естественность базиса, задаваемого собственными функциями гамильтониана системы.
Развитие новой модели факторного анализа многомерных статистических данных. Модель направлена на выявление скрытых технологических факторов на основе минимизации новой введенной характеристики - энтропии факторной модели (являющейся аналогом меры запутанности (entanglement) в квантовой информатике). Приложение разработанной модели к анализу многомерных данных электрофизического тестового контроля ОАО «Ангстрем».
Разработка многопараметрического обобщения распределения Вейбулла с целью решения задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний.
Развитие формализма многоуровневых иерархических цепочек компаунд- распределений как основы для наиболее общих
статистических моделей для управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике. Разработка новых методик построения контрольных карт для задач микроэлектроники на основе методов дисперсионного анализа и метода бутстреп.
В первой главе развивается метод корневой оценки плотности распределения.
Рассматриваемая пси-функция трактуется как математический объект статистического анализа данных, вводимый по аналогии с квантовой механикой и служащий для радикального упрощения статистических оценок плотности, получаемых методом максимального правдоподобия. Корневая оценка плотности представляет собой новый, обладающий оптимальными асимптотическими свойствами, метод восстановление плотности распределения по экспериментальным данным.
Описывается итерационный алгоритм решения уравнения правдоподобия для корневой оценки плотности, исследуется устойчивость получаемого решения и скорость сходимости к нему, вводится специальный итерационный параметр, оптимальное значение которого выбирается на основе максиминной стратегии.
Исследуются статистические свойства корневых оценок плотности. Рассмотрены соответствующие матрица информации Фишера и матрица ковариаций оценок, предложен критерий типа хи - квадрат для проверки гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному, а также для проверки однородности двух выборок. Введена новая статистическая характеристика - доверительный конус, позволяющий давать гарантированную оценку для направления неизвестного вектора состояния.
Во второй главе описываются разработанные методы статистического восстановления квантовых состояний по совокупности взаимно дополнительных измерений.
Предлагается и развивается метод корневой оценки квантовых состояний, основанный на статистическом анализе взаимно- дополнительных измерений (в смысле принципа дополнительности Н. Бора). Проведено обобщение принципа максимального правдоподобия и уравнения правдоподобия с целью анализа экспериментов в квантовой механике. Рассмотрена оценка квантовых состояний по результатам координатных, импульсных и поляризационных (спиновых) измерений.
Развивается корневой метод восстановления квантовых состояния на основе анализа амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов. Рассмотрен способ компактного представления квантовых процессов, фигурирующих в протоколах измерений, посредством введения аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния. Предложены процедуры восстановления вектора состояния квантовой системы в рамках метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия.
Развивается процедура приложения корневого амплитудного подхода к задачам восстановления квантовых состояний бифотонного поля- кутритов. На основе проведенного статистического анализа экспериментов с бифотонным полем, доказана возможность восстановления квантового состояния кутритов с высокой точностью.
Развивается теория статистических флуктуации оценки вектора состояния квантовой системы. Сформулировано конструктивное условие полноты совокупности взаимно- дополнительных измерений и получен конструктивный критерий типа хи- квадрат для оценки возможного уровня статистических флуктуации оцениваемого вектора состояния квантовой системы. Введена новая статистическая характеристика - мера информационного согласия оцениваемого вектора состояния с его теоретическим значением.
Третья глава посвящена развитию многопараметрических статистических моделей в приложении к задачам микроэлектроники.
Старый подход к анализу данных основан на том, что каждый измеряемый параметр контролируется отдельно от других. Такой подход игнорирует существенные связи между параметрами, поэтому часто приводит к неудовлетворительным результатам. В условиях, когда параметры коррелируют между собой, нецелесообразно контролировать каждый из них в отдельности. Целесообразнее на основе большого числа измеряемых параметров выработать небольшое число скрытых от непосредственного наблюдения обобщенных показателей (факторов), характеризующих рассматриваемую технологическую систему или процесс.
С этой целью на примере задач микроэлектроники разрабатывается новая модель факторного анализа многомерных статистических данных. Вводится новая характеристика - энтропия факторной модели, являющаяся мерой неопределенности (запутанности) скрытых технологических факторов по отношению к наблюдаемым параметрам. Предлагается способ выявления оптимальной структуры технологической модели на основе минимизации ее факторной энтропии.
Описывается многопараметрическое обобщение распределения Вейбулла, направленное на решение задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний.
Развиваются многопараметрические иерархические статистические модели контроля качественных и количественных параметров в микроэлектронике с учетом естественной для полупроводникового производства иерархии невоспроизводимости контролируемых параметров: от одной области к другой внутри полупроводниковой пластины, от пластины к пластине в партии, от партии к партии и т.п.
На защиту выносятся следующие положения. 1. Корневая оценка плотности, основанная на представлении плотности вероятности как квадрата модуля некоторой функции (называемой пси-
функцией по аналогии с квантовой механикой) представляет собой новый, обладающий оптимальными асимптотическими свойствами, метод восстановления плотности распределения по экспериментальным данным. Пси-функция представляется в виде разложения по ортонормированному базису с оценкой коэффициентов разложения методом максимального правдоподобия. Корневой подход приводит к радикальному упрощению структуры информационной матрицы Фишера и матрицы ковариации оценок, делая их независимыми от базиса, позволяет обеспечить заведомую положительную определенность плотности и представить результаты в наиболее простом и универсальном виде. Являясь асимптотически эффективным, метод позволяет восстановить состояния с точностью близкой к принципиально достижимой. Основные конструкции теории (векторы состояния, матрицы информации, матрицы ковариации и пр.) оказываются инвариантными геометрическими объектами в гильбертовом пространстве.
Уравнение правдоподобия в методе корневой оценки плотности имеет
простую квазилинейную структуру и допускает построение эффективной,
быстросходящейся итерационной процедуры в случае
многопараметрических задач. Оптимальное значение итерационного параметра целесообразно выбирать на основе максиминной стратегии. В рамках корневой оценки плотности развит критерий типа хи — квадрат для проверки гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному, а также аналогичный критерий для проверки однородности двух выборок. Введение новой статистической характеристики -доверительного конуса обеспечивает гарантированную оценку для направления неизвестного вектора состояния.
Корневой подход к анализу результатов экспериментов над микрообъектами дает естественное средство для решения обратной задачи квантовой механики, связанной с восстановлением пси- функции по
результатам взаимно дополнительных (по Н. Бору) экспериментов. На
основе соответствующего обобщения принципа максимального
правдоподобия получены уравнения правдоподобия для оценки векторов
состояний различных квантовых систем по совокупности взаимно
дополнительных экспериментов. Глобальная калибровочная
инвариантность и инвариантность относительно сдвига во времени приводят соответственно к ограничениям на норму и энергию квантовых систем. Учет ограничения на энергию ведет к подавлению высокочастотных шумов в восстанавливаемом векторе состояния. Интенсивности генерации событий, непосредственно регистрируемых в физическом эксперименте, представлены как квадраты модулей амплитуд взаимно дополнительных квантовых процессов. Совокупность квантовых процессов, образующих протокол измерений, компактно представлена посредством развитого в работе формализма аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния. Метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия обеспечивают эффективные средства для формулировки процедур восстановления вектора состояния квантовой системы.
На основе развитого подхода предложена процедура восстановления квантовых состояний трехуровневых оптических систем, реализованных на частотно и пространственно вырожденном бифотонном поле. Корневой подход к оценке квантового состояния и измерения моментов четвертого порядка по полю обеспечивают возможность восстановления исходной волновой функции бифотонов (кутритов). Статистический анализ экспериментальных данных позволил доказать, что квантовые состояния кутритов могут быть восстановлены с высокой точностью. Развитая в работе теория статистических флуктуации оценки вектора состояния квантовой системы позволяет получить конструктивный
критерий хи- квадрат для оценки возможного уровня статистических флуктуации оцениваемого вектора состояния квантовой системы и ввести новую статистическую характеристику, описывающую меру информационного согласия оцениваемого вектора состояния с его теоретическим значением.
Точность восстановления квантовых состояний определяется конкуренцией между статистическими флуктуациями и инструментальными погрешностями в реализации протокола измерения. Для малых объемов выборок превалируют статистические флуктуации, в то время как для больших объемов выборок — инструментальные погрешности. Инструментальные погрешности приводят к насыщению меры точности восстановления квантового состояния (fidelity) на уровне ниже, чем единица (для проведенных экспериментов с бифотонами этот уровень оказался равен 0.995-0.9998). Сравнение результатов восстановления квантовых состояний с фундаментальным статистическим уровнем точности служит основой для решения таких задач как математическое моделирование работы установки на этапе ее проектирования, юстировка установки, контроль стабильности работы, обнаружение постороннего вмешательства в квантовую систему и т.д.
Выявлена связь между корневым разложением плотности вероятности и квантовой теорией. Предложена процедура корневого статистического квантования, позволяющая из всех статистических моделей, обеспечивающих выполнение в среднем законов классической механики, выделить системы, описываемые квантовой механикой.
Введение новой характеристики - энтропии факторной модели, являющейся мерой неопределенности (запутанности) скрытых технологических факторов по отношению к наблюдаемым параметрам, обеспечивает основу для разработки новой модели факторного анализа многомерных статистических данных и ее приложений к задачам
микроэлектроники. Ортогональное вращение факторов позволяет выявить
наиболее простую структуру многомерных данных, отвечающую скрытым
от непосредственного измерения технологическим факторам и
соответствующую минимуму энтропии факторной модели. Приложение
разработанной модели к анализу многомерных электрофизических данных
тестового контроля ОАО «Ангстрем» позволило дать физико-
технологическую интерпретацию факторов исследуемого
полупроводникового производства.
Разработанная модель многопараметрического обобщения распределения Вейбулла является эффективным средством решения задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний в микроэлектронике, обеспечивающим большую полноту и точность анализа по сравнению с одно- и двухпараметрическими моделями.
Развитые в работе многопараметрические иерархические статистические модели обеспечивают эффективные средства контроля качественных и количественных параметров в микроэлектронике с учетом естественной для полупроводникового производства структуры данных. Формализм многоуровневых иерархических компаунд- распределений позволяет сформулировать наиболее общие статистические модели для управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике. Благодаря использованию метода производящих функций, основные результаты удается представить в компактном аналитическом виде. В качестве частных (одноуровневых) случаев выступают известные в литературе обобщенное отрицательное биномиальное распределение и распределение Пойа. Основанное на интенсивном использовании компьютерного моделирования иерархическое обобщение метода бутстреп расширяет перечень доступных для контроля параметров полупроводникового производства по сравнению с возможностями аналитических моделей.
Восстановление плотности распределения как обратная задача теории вероятностей
Центральной проблемой статистического анализа данных по праву является задача восстановления плотности распределения вероятностей. Практически все задачи, связанные с обработкой результатов измерений, сводятся либо к оцениванию плотности вероятности (когда экспериментальные данные требуется описать в терминах статистических распределений), либо к определению степени согласованности между экспериментально наблюдаемой совокупностью данных и теоретической моделью плотности (если таковая имеется). В литературе по математической статистике такая формулировка основной задачи признается только де юре (да и то не всегда). Де факте же классическим объектом математической статистики являются гладкие параметризованные семейства плотностей р(х\0і,02,..), заданные, как правило, с точностью до одного - двух неизвестных параметров 6V,62,..., которые только и подлежат оценке по наблюдаемым данным, сам же функциональный вид для плотности считается жестко фиксированным изначально. Такой параметрический анализ хорошо разработан только для оценок параметров очень небольшого круга распределений (куда входят распределение Гаусса, показательное распределение, биномиальное и пуассоновское распределения, а также некоторые другие более специальные распределения). Среди методов оценки параметров распределений наибольшей популярностью пользуется метод максимального правдоподобия, дающий оценки, которые, в некотором смысле, являются близкими к наилучшим оценкам, которые только возможны в принципе (см. ниже раздел 1.1.3).
Основной недостаток традиционного подхода, основанного на оценке небольшого числа параметров, заключается в его неспособности описывать статистические распределения какого бы то ни было общего вида. Этот недостаток имеет глубокие объективные причины. Дело в том, что задача статистической оценки плотности является обратной задачей теории вероятностей (если под прямыми задачами понимать предсказание на основе заданной математической модели случайного явления его тех или иных частотных характеристик). Рассматриваемая задача, как и многие другие обратные задачи прикладной математики и математической физики, оказывается некорректно поставленной. Это означает, что если всякая априорная информация о возможном законе Р\х) для плотности распределения случайной величины полностью отсутствует, задача оценки функции плотности не допускает состоятельного решения. Некорректность является достаточно общей характеристикой обратных задач. В тех случаях, когда нет никакой дополнительной информации, основанной на предметных знаниях или хотя бы каких - либо соображениях «здравого смысла» (т.е. нет никакой априорной информации), тогда исследователь может пытаться искать нужную зависимость в очень широком классе функций. В этом случае эмпирических данных бывает просто недостаточно для устойчивого восстановления статистического распределения, поскольку существует очень много различных, сильно отличающихся друг от друга функций, которые одинаково хорошо описывают статистические данные. Дополнительные априорные соображения, на основе которых обычно осуществляют сужение класса функций, связаны с упорядочиванием решений по мере их сложности (можно, например, считать, что в стандартных наборах базисных функций более низкие гармоники являются более «простыми» по сравнению с более высокими, можно вводить так называемые функционалы сложности, штрафные функции и т.п.). Общий подход к решению некорректно поставленных задач на основе метода регуляризации разработан в работах А.Н. Тихонова [61,62]. Статистическая форма метода регуляризации развита в работах В.Я. Арсенина и А.В. Крянева [63,64]. Трактовка обратной задачи теории вероятностей как некорректно поставленной задачи дана в работах В.Н. Вапника и А.Р. Стефанюка [65-67], в которых авторы развили метод регуляризации задачи восстановления плотности вероятности на основе сглаживания эмпирической функции распределения в рамках принципа структурной минимизации риска
Корневая форма критерия хи- квадрат Пирсона. Корневая аппроксимация биномиального распределения нормальным
Выше в разд. 1.2.3 уже отмечалось, что неопределенность фазы пси функции в классических задачах обуславливает возможность существования различных решений уравнения правдоподобия. Каждое из этих решений, однако, адекватно отражает плотность распределения (то есть все решения соответствуют приблизительно одинаковым плотностям, близким к истинной плотности). В классической теории (в силу несущественности фазы) можно ограничиться рассмотрением только действительных пси- функций. В этом случае роль фазы играет знак пси- функции. Рассматриваемая неоднозначность возникает только в случае, если допустить в теорию знакопеременные пси функции.
Неоднозначность решения, таким образом, обусловлена существованием точек, в которых плотность обращается в ноль: такие точки становятся своеобразными точками «бифуркации», в которых пси- функция может менять или не менять знак. Эти факты иллюстрируется на Рис. 1.7. Два различных решения уравнения правдоподобия соответствуют приблизительно одинаковым плотностям (верхний рисунок). Плотность вероятности обращается в ноль в точке л: = 0. Две различные пси- функции приблизительно равны правее этой точки и имеют различные знаки левее нее (нижний рисунок). Рассматриваемая неоднозначность решений, как будет показано в главе 2, пропадает при переходе от классической теории к квантовой (где фаза пси- функции становится измеримой величиной). Для наглядности, графики аппроксимации пси- функции представлены в точках выборки, по которой они были восстановлены.
Излагаемый в настоящей работе подход предполагает, что базис для разложения пси - функции может быть произвольным, но должен быть заранее задан. В этом случае получаемые результаты оказываются универсальными (независимыми от базиса). Это относится к выражениям для матрицы информации Фишера, матрицы ковариации, параметру хи — квадрат и др
Нет сомнения, что, например, набор функций Чебышева - Эрмита может быть обобщен путем введения параметров сдвига и масштаба, которые также должны будут оцениваться методом максимального правдоподобия. При этом могут быть посчитаны матрица информации Фишера, матрица ковариаций и пр., но все результаты при этом будут относится только к базису Чебышева — Эрмита (с двумя свободными параметрами) и ни к чему другому.
С практической точки зрения базис разложения может быть жестко задан заранее, если только данные относятся к хорошо изученной квантовой системе (например, в атомных системах базис «жестко» задан самой Природой в виде набора стационарных состояний). В других случаях базис приходится выбирать по самим изучаемым данным. Например, как уже говорилось выше, в случае набора функций Чебышева - Эрмита это легко сделать, если предположить, что в нулевом приближении распределение является гауссовым.
Отметим, что излагаемый формализм одинаково пригоден как для одномерных, так и для многомерных данных. В последнем случае, если снова воспользоваться функциями Чебышева - Эрмита, можно считать, что в нулевом приближении имеет место многомерное нормальное распределение, которое в свою очередь, путем преобразований сдвига, масштаба и ортогональных поворотов может быть преобразовано к стандартному виду.
Наиболее важные аналитические модели распределений, рассматриваемые в математической статистике, основаны на трех базовых распределениях: нормальном, гамма- распределении и бета- распределении [122]. Нормальное распределение порождает рассматриваемый здесь базис Чебышева- Эрмита. Выбор нормального распределения и базиса Чебышева -Эрмита является естественным, если изучаемая случайная величина задана на всей действительной оси. Аналогично, гамма- распределение порождает базис, в основе которого лежат полиномы Лагерра. Такой выбор является естественным, когда изучаемая случайная величина задана на полупрямой. Наконец, бета- распределение порождает базис, в основе которого лежат
Методы восстановления квантовых состояний по совокупности взаимно дополнительных квантовых процессов
Ниже рассматриваются два, близких по своим результатам, метода корневого оценивания квантового состояния. Эти подходы основаны соответственно на методе наименьших квадратов (МНК) и методе максимального правдоподобия (ММП).
В терминах математической статистики, соотношение (5) разд.2.3.1 можно рассматривать как уравнение линейной регрессии относительно неизвестного вектора состояния С \
Отличительная оценка рассматриваемой задачи заключается, однако в том, что в эксперименте приближенно измеряется только абсолютная величина правой части уравнения (1). Другими словами, нет никакой непосредстенной информации о фазах амплитуд процессов (однако, такая информация возниает как результат обработки взаимно- дополнительных измерений).
Оценка абсолютной величины амплитуды дается квадратным корнем из соответствующей экспериментально измеренной частоты совпадений: где kv - число событий (пуассоновская случайная величина), зарегистрированных в V - ом процессе за время экспозиции t.
Важно отметить, что, действуя операцией извлечения квадратного корня на пуассоновскую случайную величину, мы получаем случайную величину с приблизительно однородной дисперсией (стабилизация дисперсии) [86]. Это свойство имеет асимптотический характер и реально хорошо работает, если пуассоновские величины много больше единицы.
Для простоты, чтобы не нарушать свойства однородности дисперсий, в формуле (2) мы ограничились случаем, когда времена экспозиции во всех квантовых процессах одинаковы (в следующем разделе, где будет рассматриваться более общая оценка максимального правдоподобия, мы избавимся от этого предположения).
Учитывая независимость и одинаковость дисперсии различных JA/Vexp, можно применить к уравнению (1) стандартную оценку наименьших квадратов
В отличии от традиционного метода наименьших квадратов, полученное соотношение не является явным выражением для оценки вектора состояния С t а представляет собой уравнение, решаемое методом итераций. Модуль величины М. известен из эксперимента (определяется самой итерационной процедурой (считается, что фаза вектора
Оказывается, что в гауссовском приближении для пуассоновских величин, представленная здесь оценка наименьших квадратов, совпадает с более точной и строгой оценкой правдоподобия, рассматриваемой ниже. Оценка максимального правдоподобия имеет явные преимущества перед оценкой наименьших квадратов, если числа событий, наблюдаемых в отдельных процессах невелики (порядка единиц или десятков). Кроме того, все оценки точности, рассматриваемые в разделе 2.4 и имеющие важное значение для сравнения результатов экспериментов со статистической теорией, получаются на основе метода максимального правдоподобия.
Функция правдоподобия определяется произведением пуассоновских вероятностей: где kj - число совпадений, наблюдавшихся в / -ом процессе за время экспозиции tt; Я,._ неизвестные теоретические интенсивности генерации событий (совпадений).
Логарифмическое правдоподобие есть (несущественная константа отброшена): Введем матрицы, элементы которых определяются следующими формулами: Матрица І определяется протоколом измерений и, таким образом, известна a priori (до опыта). Мы будем называть ее эрмитовой матрицей информацией Фишера (см. раздел 2.4). Напротив, матрица J определяется результатами эксперимента (fy), а также неизвестными интенсивностями генерации событий Л Эту матрицу можно назвать эмпирической матрицей информации Фишера.
Посредством введенных матриц, необходимое условие экстремума функции логарифмического правдоподобия (5) может быть представлено в виде:откуда сразу получаем:
Последнее соотношение и будем называть уравнением правдоподобия.
Это уравнение нелинейно, поскольку Л зависят от неизвестного вектора состояния с. Благодаря простой квазилинейной структуре, полученное уравнение легко решается методом итераций. Оператор / J можно назвать квазиединичным (отметим, однако, что как единичный он действует только на один единственный вектор в гильбертовом пространстве, а именно на вектор, дающий решение (9) и представляющий собой максимально правдоподобную оценку вектора состояния). Условие существования матрицы / есть условие, накладываемое на исходный протокол измерений.
Уравнение правдоподобия (9) автоматически включает в себя условие нормировки, которое может быть записано в виде:
Это условие означает, что полное число зарегистрированных событий во всех процессах равно сумме произведений интенсивностей генерации (регистрации) событий на время экспозиции
Многопараметрическое распределение Вейбулла в задачах анализа результатов испытаний в микроэлектронике
При ос 1 интенсивность отказов монотонно убывает со временем, что # соответствует партии изделий, у которых встречаются скрытые дефекты, приводящие к ранним отказам. Уменьшение интенсивности отказов во времени означает, что после выхода из строя наиболее «слабых» изделий, оставшаяся совокупность становится более надежной (происходит своеобразное «омолаживание»). Нередко в практике используют специальные методы испытаний, такие как электротермотренировка, направленные на то, чтобы «выбить» изделия, содержащие в себе скрытые дефекты, с тем, чтобы к потребителю попали только надежные изделия. Понятно, что разработка подобных методик имеет смысл только в том случае, когда в исходной совокупности 0С 1. При а=1 интенсивность отказов не меняется со временем \Х(t)=X0=const), это соответствует периоду нормальной работы изделия. В этом случае распределение Вейбулла превращается в показательное распределение: Экспоненциальное распределение, и только оно, описывает совокупность с совершенно стабильной (не меняющейся во времени) надежностью. Такая совокупность с течением времени не «стареет» и не «молодеет». Наконец, при 0С 1 интенсивность отказов монотонно растет со Ф временем, это есть случай «старения» партии изделий со временем. Надежность такой совокупности неуклонно ухудшается в связи с необратимыми физико-химическими изменениями, происходящими внутри изделий. Оценка параметров распределения Вейбулла основана на свойстве этого распределения превращаться в прямую линию в некоторых координатах (так называемых координатах Вейбулла). В этом случае по горизонтальной оси откладывают логарифм времени жизни испытываемых изделий в порядке их возрастания, а по вертикальной оси — так называемый параметр Вейбулла Y где П- полное число испытывавшихся изделий (объем выборки), /=1,2,. ..,п-\. Точнее говоря, формула (4) описывает эмпирический параметр Вейбулла. Теоретический же параметр Вейбулла задается формулой Если в формуле (1), задающей закон Вейбулла, перейти к новой переменной д;=1п(п, то получим то есть координаты Вейбулла действительно «спрямляют» соответствующее распределение. Понятно, что если вместо точного теоретического распределения F использовать приближенное эмпирическое распределение F i/n, то соответствующие точки лишь приближенно лягут на прямую линию. В этом случае для спрямления данных можно использовать, например, метод наименьших квадратов.
Анализ результатов испытаний в координатах Вейбулла часто используется в задачах микроэлектроники
Не всегда распределение Вейбулла достаточно точно описывает экспериментальные данные. В частности, это может проявляться в том, что зависимость, возникающая в координатах Вейбулла, явно отклоняется от линейной. В этом случае можно воспользоваться следующим естественным обобщением распределения Вейбулла [68,69,184]. где параметр Вейбулла J FucJ является уже не линейной, а произвольной неубывающей функцией. В частном случае линейной зависимости формула (1) превращается в формулу (6) разд.3.2.1.. Распределение (1) задает модель обобщенного распределения Вейбулла.
Основная идея развитого в рамках настоящей работы подхода [68,69,184] заключается в том, чтобы оценивать функцию Wlx) по экспериментальным данным путем построения той или иной регрессионной зависимости в координатах Вейбулла. Такой подход может рассматриваться как модификация
Анализ экспериментальных данных позволил сделать следующие выводы: 1. Относительное количество структур на пластине, обладающих низкой зарядовой стабильностью 1-ЗмкКл/см составляет 8-10%. Напряженность электрического поля пробоя таких структур составила в среднем 7,5 МВ/см. Низкую зарядовую стабильность окисла в этом случае можно связать с наличием в нем скрытых дефектов. Время до пробоя подзатворного диэлектрика таких структур приближенно описывается логарифмически нормальным распределением. 2. Относительное количество структур, обладающих высокой зарядовой стабильностью, равной в среднем бКл/см , составляет на разных пластинах от 40% до 70%. Напряженность электрического поля пробоя таких структур составила в среднем 10,5 МВ/см. Пробой подзатворного диэлектрика в этом случае можно интерпретировать как собственный пробой (бездефектного) окисла. В первом приближении время до пробоя подзатворного диэлектрика таких структур описывается экспоненциальным распределением. 3. Относительное количество структур, обладающих промежуточной зарядовой стабильностью (0,1-100 мКл/см2) составляет 20-50%. На Рис.3.2 в координатах Вейбулла представлены данные по пробою структур как с низкой зарядовой стабильностью (объем выборки П = 93 ), так и с высокой зарядовой стабильностью (объем выборки 72 = 356), а также регрессионные кривые, являющиеся полиномами соответственно пятой (для компоненты с низкой зарядовой стабильностью) и седьмой (для компоненты с высокой зарядовой стабильностью) степени. Ток через структуру в стационарном режиме составлял 25 нА для компоненты с низкой зарядовой стабильностью и 3 мА для компоненты с высокой зарядовой стабильностью. Среднее «время жизни» структур, в течении которого они были способны выдержать указанный стрессовый ток
