Введение к работе
Цели работы. Пусть G(2J; (В) - конечный связный ориентированный граф, где 23 = \Уі\ — множество вершин, а ( = {Ej} — множество ребер, причем каждое ребро Ej имеет длину Ц Є Ш+ и площадь поперечного сечения dj Є Ш+. На графе G(2J; (В) рассмотрим начально-краевую и обратную (в случае п = 2) задачи
uk{0,t) = um(0,t) = un(ln,t) = up(lp,t), ( ,
Ек, Em є Ea(Vi), En, Ep є ЕГЇУі) l j
У^ dkukx(0,t) - ^2 dmumx(lm,t) = 0, (2)
EkGE-{Vi) EmGE^{Vi)
Uj(x,0) = Ujo(x), x Є (0,/j), (3)
a^(0) + ftw^-(O) = <,-, ajUojilj) + fyuljilj) = г/jj (4)
для уравнений Хоффа
AjW# + Wjxxt = CKijWj + a2ju) + ... + anjuf~l, (5)
моделирующих динамику конструкции из двутавровых балок.
Здесь параметры Xj Є Ш+ характеризуют нагрузку на j'-ую балку, а ску Є К, і = 1,...,п характеризуют свойства материала j'-ой балки, ^-, ^- Є Ж. показывают изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени. Через Ea
Пусть Q С Ms - ограниченная область с границей dQ класса С. Уравнение Хоффа
(Л + А)щ = аги + а2и^ + ... + апи2п~1 (6)
в случае s = 1 моделирует динамику выпучивания двутавровой балки, где параметр Л Є Ш+ характеризуют нагрузку на балку, а параметры а, Є М характеризуют свойства материала балки.
Под прямой задачей понимается задача Коши - Дирихле
и(х,0) = щ(х), х є Q; u(x,t) = 0, (x,t) є дО, х К, (7)
где искомая функция и = u(x,t): х Є Г2, t Є Ж. имеет физический смысл отклонения балки от вертикали, т.е. от положения равновесия.
В случае п = 2 (обозначив а,\ = а7 0 = /3), п = 3 и произвольного п будем рассматривать задачу нахождения не только решения уравнения (6), но и параметров ckj, і = 1,..., п для того, чтобы узнать различия между имеющимся материалом балки и предполагаемым. Для решения обратной задачи вводятся дополнительные условия
/ х\а\щ + «2^0 + ... + anuln~1)dx = /ij, j = 0,...,n — 1, (8)
характеризующие моменты изменения скорости динамики выпучивания балки. Нашей целью является качественное и численное исследование разрешимости задач (1)-(5) и (6)-(8) при различных значениях параметров. Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи.
Исследовать морфологию фазовых пространств уравнений Хоффа, заданных на геометрическом графе и в области конечномерного пространства.
Получить условия разрешимости прямых и обратных задач.
Разработать алгоритмы численного исследования прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, а также построения фазового пространства.
На основе алгоримов спроектировать и реализовать программный комплекс, использующий предложенные методы.
Провести численные эксперименты для анализа эффективности предложенного подхода.
Качественное исследование задач (1)-(5) и (6)-(8) облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Яи^ редуцируются к задаче Коши для полулинейного уравнения Соболевского типа
и(0) = щ, (9)
Lu = Mu + N(u). (10)
Актуальность темы. В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами Соболевского типа, поскольку именно работы С.Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений Соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы.
Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком.
Результаты исследований обратных задач для линейных уравнений Соболевского типа принадлежат А.И. Кожанову, С.Г. Пяткову и Н.Л. Абашеевой, Г.А. Свиридюку и К.С. Ощепкову, В.Е. Федорову и А.В. Уразаевой, A. Favini и A.Lorenzo.
Уравнение Хоффа на отрезке первым начал изучать Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев и О.А. Романова. Уравнение Хоффа на графе впервые исследовали Г.А. Свиридюк и В.В. Шеметова.
Актуальность диссертации заключается в качественном и численном исследовании моделей Хоффа, адекватных следующим прикладным задачам. Первая - изучение прямых и обратных задач в процессе выпучивания двутавровой балки, а вторая - изучения прямых и обратных задач в процессе выручивания конструкции из двутавровых балок.
Методы исследования. Основным методом диссертационного исследования является метод фазового пространства. Кроме того, в основе численных экспериментов лежит метод Галеркина.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложен метод исследования прямых и обратных задач в моделях Хоффа, базирующийся на методе фазового пространства.
Разработан новый алгоритм исследования прямых и обратных задач в моделях Хоффа.
Выполнена реализация алгоритма исследования прямых и обратных задач для уравнений Хоффа в виде программного комплекса для персональных компьютеров.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней сформулированы и доказаны условия разрешимости прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, заданных на конечном связном ориентированном графе и в ограниченной области.
Практическая значимость работы заключается в том, что предложенный программный комплекс может использоваться для нахождения численного решения прямых и обратных задач в моделях Хоффа, заданных на графе и в области.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008), Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (г. Екатеринбург, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008), X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2009), на Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2010 (г. Воронеж, 2010). Также результаты докладывались на первой и второй научной конференции аспирантов и докторантов Южно-Уральского государственного университета (г. Челябинск, 2009, 2010), на семинаре чл. - корр. РАН В.В. Васина в Институте математики и механики УРО РАН и на семинарах по уравнениям Соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, причем работы [1-4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК, получено свидетельство о государственной регистрирации программы для ЭВМ [5]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 124 страницы. Библиография содержит 107 наименований.
