Содержание к диссертации
Введение
I Проблема рассеяния света несферическими частицами и ее решение 10
1 Уравнения Максвелла 11
2 Векторы Герца и скалярные потенциалы 12
3 Рассеяние света изолированной частицей 13
4 Методы решения проблемы с использованием разложения полей по волновым функциям 15
5 Библиография работ по рассматриваемым методам 19
5.1 Метод разделения переменных 19
5.2 Метод расширенных граничных условий 20
5.3 Метод поточечной сшивки 21
6 Специальный подход для осесимметричных частиц 22
II Методы теории рассеяния света, использующие сферический базис 25
1 Сферические координаты и функции 27
2 Разложение полей и потенциалов 30
3 Характеристики рассеянного излучения 32
4 Граничные условия 35
4.1 Осесимметричная задача 35
4.2 Неосесимметричная задача 37
5 Определение коэффициентов разложений 38
5.1 Осесимметричная задача 38
5.2 Неосесимметричная задача 41
6 Частный случай сферических частиц 44
7 Анализ областей применимости методов 45
7.1 Данные теоретических исследований 45
7.2 Результаты численных расчетов 49
8 Заключительные выводы 59
III Методы теории рассеяния света, использующие сфероидальный базис 67
1 Сфероидальные координаты и функции 69
2 Разложение полей и потенциалов 75
3 Характеристики рассеянного излучения 78
4 Граничные условия 81
4.1 Осесимметричная задача 81
4.2 Неосесимметричная задача 82
5 Определение коэффициентов разложений 84
5.1 Осесимметричная задача 84
5.2 Неосесимметричная задача 87
6 Частный и предельный случаи 90
7 Численные результаты 91
7.1 Быстродействие методов 91
7.2 Область применимости 94
7.3 Случай сильно асферичных рассеивателей 99
7.4 Программа для метода ЕВСМ со сфероидальным базисом . 103
8 Заключительные выводы 111
Заключение 112
Список литературы 113
- Методы решения проблемы с использованием разложения полей по волновым функциям
- Метод расширенных граничных условий
- Определение коэффициентов разложений
- Определение коэффициентов разложений
Введение к работе
Начнем с краткого обоснования актуальности работы, формулировки ее целей, научной новизны и практической ценности, а также описания основных полученных результатов и их апробации. Затем кратко изложим содержание работы.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Дистанционное исследование мелко дисперсных сред играет важную роль в физике атмосферы, экологии, биофизике, астрофизике и других дисциплинах. При этом все актуальнее становятся оптические методы, в которых данные различных измерений анализируются путем их сопоставления с результатами расчетов для различных ансамблей несферических частиц. Достоинствами таких методов являются их универсальность, относительно низкая стоимость, высокая эффективность, слабое воздействие на объекты и т.д. Серьезное препятствие в применении оптических методов для изучения дисперсных сред создается в основном недостаточным развитием теории рассеяния света несферическими частицами. Несмотря на гигантский скачок в производительности вычислительных систем, до сих пор нет эффективных алгоритмов для расчета оптических свойств сильно вытянутых/сплюснутых частиц, нет достаточно быстрых способов определения этих свойств для несферических рассеивателей произвольной формы.
Наиболее перспективным подходом решения этих проблем является развитие методов теории рассеяния света, в которых используется разложение полей по волновым функциям. В этом случае удается наилучшим образом учесть геометрию рассеяния и, как следствие, получаются наиболее точные и быстрые
алгоритмы решения задачи рассеяния света. Подобными методами являются метод разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Хотя методы основываются на одинаковом разложении полей по волновым функциям, они используют принципиально разные формулировки задачи рассеяния света несферическими частицами и, как следствие, развивались и рассматривались всегда независимо. Между тем эти методы должны существенно дополнять друг друга. Другим неисследованным в достаточной степени вопросом является эффективность применения разных базисов в рамках данных методов. До сих пор методы в основном использовали сферический базис, причем метод SVM применялся почти исключительно к рассеивателям в виде шара, а метод РММ - после нескольких первых работ был на долгое время незаслуженно забыт. Сфероидальный базис использовался исключительно в рамках метода SVM для рассмотрения рассеяния сфероидами, которые являются достаточно упрощенной моделью реальных несферических частиц.
Таким образом, дальнейшее развитие и исследование наиболее эффективных (быстрых и точных) методов теории рассеяния света - методов SVM, ЕВСМ и РММ являются актуальными задачами, решение которых необходимо для расширения возможностей оптического зондирования различных сред в научных исследованиях и промышленных приложениях. Важное значение имеет, в частности, определение областей применимости данных методов, особенно при использовании разных базисов, и разработка единого теоретического подхода к методам, поскольку это необходимо для их комбинирования, что представляется сегодня крайне перспективным.
Целью работы является развитие в рамках единого подхода трех наиболее известных методов (SVM, ЕВСМ и РММ) решения задачи рассеяния света несферическими частицами, а также численно-аналитическое исследование областей их эффективного применения.
Задачи работы. 1. Решение задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами методами SVM, ЕВСМ и РММ с использованием волновых сферических функций в рамках единого подхода.
Обобщение единого подхода к решению задачи рассеяния света несферическими частицами на случай применения сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде разложений по волновым сфероидальным функциям.
Численное и аналитическое исследование построенных решений, включающее анализ областей применимости данных методов в зависимости от выбранного базиса.
Положения, выносимые на защиту. 1. Подход, объединяющий принципиально разные методы SVM, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям.
2. Обобщение разработанного подхода для сферического базиса на случай
сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде рядов
по сфероидальным волновым функциям.
3. Анализ областей применимости методов SVM, ЕВСМ и РММ со
сферическим и сфероидальным базисами, который показал, что они существенно
дополняют друг друга.
Научная новизна. Предлагается новый подход к решению задачи рассеяния электромагнитных волн осесимметричными телами, объединяющий методы ЕВСМ, SVM и РММ, которые до сих пор рассматривались раздельно. Основные идеи подхода сохраняются при переходе от одного базиса к другому, в частности, когда базисными вместо сферических выбираются сфероидальные функции.
Проводится уникальное одновременное рассмотрение трех методов с
исследованием их областей применимости. Впервые версия ЕВСМ со
сфероидальным базисом доведена до численной реализации и применена для чебышевских сфероидальных частиц, которые ранее не рассматривались по причине невозможности получения достоверных численных результатов.
Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет численно-аналитическое исследование с единых позиций областей применимости основных методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Эти результаты дают возможность обоснованно применять данные методы именно в тех случаях, когда они наиболее эффективны.
Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении описывается актуальность темы диссертации, цели работы, научная новизна, научная и практическая ценность, результаты, выносимые на защиту, и их апробация, а также кратко изложено содержание работы.
В первой главе приводятся уравнения Максвелла и материальные уравнения, которые описывают поведение электромагнитного поля в любой среде. Далее вводится понятие скалярных потенциалов, формулируются векторное уравнение Гельмгольца для полей и соответствующее скалярное уравнение Гельмгольца для их потенциалов.
Проблема рассеяния света формулируется в дифференциальной (используемой в методах SVM и РММ) и интегральной (применяемой в методе ЕВСМ) формах. Описывается идея решения проблемы указанными методами и делается ряд важных замечаний о неверно сложившейся терминологии, связанной с данными методами. Дается обзор работ, посвященных методам SVM, ЕВСМ и РММ, при этом отмечены пионерские работы, а также ключевые работы и недавние обзоры. Даны ссылки на недавние работы, сделанные после появления обзоров, а также на интернет-страницы, где можно найти компьютерные программы расчета рассеяния света, основанные на данных теоретических методах.
Наконец, излагаются основные детали оригинального подхода к решению задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами, который наиболее полно использует геометрию рассеяния в данном случае. Кратко обсуждаются достоинства и недостатки подхода.
Во второй главе развиваются методы SVM, ЕВСМ и РММ при использовании сферического базиса. Приводятся сведения о сферических координатах и записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматривается волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее
решение, включающее сферические функции Бесселя и присоединенные функции Лежандра. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.
Дается разложение по сферическим функциям скалярных потенциалов падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемых в данном подходе вместо самих полей. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля.
Коэффициенты этого разложения определяются из подстановки в граничные условия, записанные в сферических координатах. При этом различаются осесимметричная и неосесимметричная задачи - определения потенциалов соответствующих частей полей (разделение полей в используемом подходе описано в главе I).
Представлены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.
Показано, что в частном случае сферически симметричных рассеивателей для всех трех методов получается аналитическое решение, близкое к решению Густава Ми (1908). Резюмируются результаты теоретических исследований, приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов. Проводится сравнение областей применимости методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сферический базис.
В третей главе развиваются методы SVM, ЕВСМ и РММ при использовании сфероидального базиса. Приводятся необходимые данные о сфероидальных координатах и о записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматриваются волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее радиальные и угловые сфероидальные функции. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.
Описываются скалярные потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемые в этом подходе, и дается их разложение по сфероидальным функциям. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциалов рассеянного поля.
Коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничные условия, записанные в сфероидальных координатах. При этом мы рассматриваем осесимметричную и неосесимметричную задачи - определения потенциалов соответствующих частей полей (см. о разделении полей в главе I).
Написаны системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.
Показано, что в частном случае сфероидальных рассеивателей для SVM и ЕВСМ получается хорошо изученное решение (см. подробнее Фарафонов (1983) и Фарафонов (2001)), а для сферических рассеивателей - решение Ми (1908).
Далее приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов,
проведенных для сравнения областей применимости и вычислительной
эффективности методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сфероидальный
базис. Отдельно рассматривается случай (очень) сильно вытянутых
рассеивателей, который эффективно решается с помощью созданной программы, основанной на методе ЕВСМ со сфероидальным базисом.
В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Реализация результатов. Результаты исследований по теме диссертации были использованы при работе над проектом "Разработка новой модели космической пыли", поддержанном грантом РФФИ 07-02-00831, а также госбюджетной НИР кафедры прикладной математики ГУАП. Часть исследований, представленных в диссертации, выполнена при поддержке гранта РНП 2.1.1.2852. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс по кафедре прикладной математики ГУАП.
Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на двух международных конференциях "Естественные и антропогенные аэрозоли" (Санкт-Петербург, 2006 и 2008 г.), международном семинаре "Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2008 г.), 11-й международной конференции Electromagnetic and Light Scattering (Лондон, 2008 г.), а также обсуждались на научных семинарах Санкт-Петербургского отделения
Математического института РАН им. А.В. Стеклова и кафедры прикладной математики ГУАП.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано восемь печатных работ, в том числе три статьи:
Ильин В.В., Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи соврем, радиоэл. 2008. N 6. С. 11-28.
Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям // Опт. спектр. 2007. Т. 102, N 2. С. 316-328.
Farafonov V.G., Farafonov E.V., ІГіп V.B., Vinokurov A.A. Unified approach to the methods using single field expansions // Peer-Reviewed Abstracts of the 11th Conference on Electromagnetic and Light Scattering (ELS-XI). - London, UK: 2008. P. 13-17.
и тезисы докладов:
Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Рассеяние света несферическими частицами: методы, использующие разложения полей по волновым функциям // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 22-26 мая 2006 г.. Изд-во СПбГУ, С. 76. 2006.
Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий со сфероидальным базисом // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 22-26 мая 2006 г.. Изд-во СПбГУ, С. 77. 2006.
Farafonov E.V. A New Approach Using Field Expansions in Terms of Spheroidal Wave Functions to Solve Light Scattering Problems // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.100-101, 2008.
Vinokurov A.A., Farafonov E.V. Solution of light scattering problem for layered nonspherical particles // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.16, 2008.
Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Унифицированный поход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием сфероидальных функций // Тезисы докладов Шестой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 7-10 октября 2008 г.. Изд-во СПбГУ, С.69-70, 2008.
Методы решения проблемы с использованием разложения полей по волновым функциям
Для решений уравнений Максвелла вне области D, удовлетворяющих граничному условию (1.15) на бесконечности, справедливо соотношение, сходное с формулой (1.17) и имеющее ту же левую часть, а правую часть, равную 0 при г Є D и Ё(г) при feR3\D.
Если записать эти интегральные уравнения для падающего (Ет) и рассеянного (7sca) излучения соответственно, сложить уравнения и принять во внимание граничные условия (1.13), то получится интегральная формулировка проблемы рассеяния
Обычно первым шагом является решение интегрального уравнения для внутреннего излучения ЕтЪ в области D. После этого, рассеянное излучение Е5са легко находится из уравнения для области B?\D.
Сегодня известно много точных методов решения задачи рассеяния света несферической частицей (см., например, обзоры Хлебцова, 1996; Вриедта, 1998; Джонса, 1999; Мищенко и др., 2000с; Канерта, 2003b). В данной диссертации рассматриваются три важных метода (SVM, ЕВСМ, РММ), в которых поля раскладываются по некоторым векторным волновым функциям, что эквивалентно разложению соответствующих скалярных потенциалов по ортогональным функциям, образующим полную систему. До сих пор использовалось только три набора функций: сферические, цилиндрические и сфероидальные. Выбор базиса, однако, не изменяет основных идей рассматриваемых методов.
В методе разделения переменных разложения полей подставляются в граничные условия, представленные в "дифференциальной" форме в виде соотношений (1.13), (1.14). Полученные уравнения умножаются затем на соответствующие угловые функции с различными индексами и интегрируются по угловым переменным. Это дает бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений полей.
В методе расширенных граничных условий разложения полей подставляются в граничные условия, представленные в форме поверхностных интегральных уравнений (1.19). Полнота и ортогональность угловых функций позволяет снова получить систему линейных алгебраических уравнений.
Следует заметить, что долгое время методы SVM и ЕВСМ развивались и рассматривались независимо друг от друга. Лишь недавно было показано, что эти методы в целом почти эквивалентны (см. Шмидт и др., 1998; Фарафонов и др., 2003 и цитируемые там работы). Разные формы представления граничных условий, используемые в методах, естественно приводят к различным (но эквивалентным) системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов одних и тех же разложений полей. Метод ЕВСМ автоматически дает две системы - одна включает коэффициенты разложений полей внутреннего и падающего излучения, другая - коэффициенты для полей внутреннего и рассеянного излучения. В отличие от этого, метод SVM дает одну систему в два раза большей размерности1, которая содержит коэффициенты разложений всех полей. Поэтому, если лишь рассеянное излучение должно быть найдено, необходимы дополнительные усилия для того, чтобы исключить внутреннее поле из системы. Таким образом, в общем случае решение задачи рассеяния света методом ЕВСМ представляется более предпочтительным, чем методом SVM.
Однако в частных случаях шаров, бесконечных цилиндров и сфероидов можно выбрать систему координат так, что поверхность частицы будет полностью совпадать с некоторой координатной поверхностью и, по крайней мере, частичное разделение переменных будет возможно и в уравнениях, и граничных условиях. Как следствие, интегралы, входящие в элементы матриц получаемых систем, существенно упрощаются (радиальные функции выносятся из-под интегралов).
Метод расширенных граничных условий
Решение задачи рассеяния света однородным шаром было найдено методом SVM Лоренцом (1890), Ми (1908), Дебаем (1909), для цилиндра - Релеєм (1881), Байтом (1955) и сфероида - Моеглихом (1927), Огучи (1973), Асаио, Ямамото (1975), Синха, МакФай (1977). Для эллипсоида лишь скалярная задача дифракции была пока решена (см. Абрамов и др., 1995 и цитируемые там работы). Ранняя история развития метода обсуждалась Керкером (1969), Хлебцовым (1996), Циричем, Куреем (2000). Математический аппарат метода для шара хорошо описан, например, в книгах ван де Хюлста (1957), Борена, Хаффмана (1986), для сфероида - Асано, Ямамото (1975), Циричем, Куреем (2000). Последняя работа рассматривает такие важные вопросы, как приложение метода SVM к слоистым сфероидам, сфероидам из оптически активного вещества и ансамблям сфероидов. Недавний обзор работ но данному методу был сделан Мищенко и др. (2000с), Циричем, Куреем (2000).
После публикации этих обзоров метод развивался в основном в следующих направлениях: і) приложение к многослойным частицам: шарам (Гурвич и др., 2001; Янг, 2003; Бабенко и др., 2003), бесконечным цилиндрам (Гурвич и др., 1999, 2001) и сфероидам (Гурвич и др., 2000, 2003; Бартон, 2001); И) распространение версии метода для шаров на частицы других форм (Ротер 1998; Ротер и др., 2001; Канерт, 2003b; Шмидт и др., 2003); гіг) применение в сложных случаях (см. Бартон, 1999, 2000, 2002; Куинган и др., 1999; Хан, By, 2001; Хан и др., 2003; Боргезе и др., 2003 и многие другие работы). Следует добавить, что в последние годы было разработано много новых алгоритмов расчета сфероидальных функций, необходимых для реализации метода для сфероидов (например, Ли и др., 1998, 2002; Эйде и др., 1999; Браун, Стрингфилд, 2000; де Мораеш, Гуимараеш, 2002, 2003; Коккоракис, Роумелиотис, 2002; Бойд, 2003; Вощинников, Фарафонов, 2003; Бэрроуз и др., 2004). Очень полезный интернет-сайт (Вриедт, 2007) дает адреса, по которым можно найти большое число программ, реализующих метод для однородных шаров (теорию Ми) и некоторое число программ для слоистых, оптически активных или намагниченных шаров, а также шаров с включениями и агрегатов шаров. Кроме этого, доступно небольшое число программ для однородных и слоистых цилиндров и сфероидов. Метод был введен Уотерманом (1965, 1969) и переформулирован позднее Барбером, Йе (1975). Версии метода, использующие в разложениях сфероидальные функции вместо сферических, были предложены в работах Фарафонова (2001), Канерта (2003а). Математический аппарат метода хорошо описан, например, Барбером, Хиллом (1990), Мищенко и др. (2002). По-прежнему может быть полезным чтение отдельных глав широко известной книги Варадана, Варадана (1980). Исчерпывающая библиография работ по развитию и применению метода представлена Мищенко и др. (2004). Этот обзор содержит ссылки на примерно 700 работ, разделенных на два раздела (частицы в бесконечном однородном пространстве и около бесконечной поверхности) и 52 подраздела.
Ссылки даны с указанием названия статей, что делает обзор особенно полезным. Ожидается, что эта библиография появится в виде сайта в интернете. Должно выйти дополнение обзора, включающее пропущенные и новые появившиеся за 3 года работы (Мищенко и др., 2007). Работа Мищенко и др. (2004) показывает, что интерес к методу постоянно рос последние 10 лет. Этот факт связан в основном с широким применением метода, а не с его дальнейшим развитием. В частности, метод сегодня используется для моделирования рассеивающих свойств минеральных аэрозолей и частиц почвы, гидрометеоров, стратосферных частиц, частиц облаков разных типов, межзвездных, межпланетных и кометных пылинок, а также для анализа лабораторных данных и приложений теории рассеяния света в медицине, биофизике и т.д. Среди недавних работ по развитию метода можно отметить лишь статью Канерта и др. (2001b), где показано, что правильный учет симметрии частиц позволяет существенно сократить объем вычислений в рамках метода. Заслуживает упоминания и небольшая работа Мороза (2005). Сайт Вриедта (2007) содержит информацию о нескольких программах, реализующих метод ЕВСМ (см. раздел сайта, названный T-matrix method codes). Метод РММ был предложен Маллином и др. (1965) (см. также работы Моррисона и др., 1973; Огучи, 1973), а обобщенный метод РММ - Иконо, Ясуура (1973), Дэвисом (1973). Ранняя история развития метода описана Вейтсом и др. (1973), Хлебцовым (1980), недавний обзор работ был сделан Мищенко и др. (2000с). Если не принимать во внимание версии метода, в которых используются разложения полей в нескольких точках, т.е. метод множественных мультиполей (multiple multipole method, МММ), метод обобщенных мультиполей (generalized multipole techniques, GMT) и т.д. (см., например, Вриедт, 1998), то число недавно опубликованных статей, посвященных методу РММ, окажется небольшим по сравнению с числом работ по методу SVM и особенно методу ЕВСМ. Это объясняется двумя причинами: г) метод GMT и подобные ему являются более гибкими способами решения задачи рассеяния (по крайней мере, для частиц, сильно отличающихся по форме от шара), чем метод РММ; и) достоинства метода РММ по сравнению с другими, использующими те же разложения полей, не были пока поняты в полной мере. Недавние работы Ал-Риззо, Транквилла (1995), Петрова, Бабенко (1999),
Ниеминена и др. (2003), Канерта (2003b), Фарафонова, Ильина (2006) и др. показывают, что интерес к методу РММ может возродиться. Заметим, что методы GMT, МММ и подобные им (см. Хафнер, Бомхолт, 1993; Дойку и др., 2000), нерассматриваемые ниже, играют важную роль в теории рассеяния света, имея ряд достоинств в некоторых частных случаях (см., например, Пиллер, Мартин, 1998; Дойку, Вриедт, 2001; Морено и др., 2002; Еремина, Вриедт, 2003; Еремина и др., 2005). Сайт Вриедта (2007) содержит адреса, по которым молено найти несколько программ, основанных на методе РММ, а также на методах GMT, МММ и им подобных.
Определение коэффициентов разложений
Все три рассматриваемых метода (SVM, ЕВСМ, РММ) имеют много общего и отличаются лишь способами определения неизвестных коэффициентов разложений потенциалов внутреннего и рассеянного излучений.
Ниже этот вопрос рассматривается с единых позиций раздельно для осесимметричной и неосесимметричной задач рассеяния. «ш(ВД=т, Bl(k) = {ВІЛп{к)}Гп=т, СЦк) = {CtM{k)}Tn=m- Отметим, что верхние индексы указывают на то, какая радиальная функция используется в соответствующих соотношениях. Метод разделения переменных. При применении метода SVM разложения для потенциалов (11.26)-(11.28) следует подставить в граничные условия в дифференциальной форме (11.47) , а затем умножить уравнения на угловые сферические функции и проинтегрировать по поверхности частицы. Однако, учитывая разделение относительно переменной ц и специфику соотношений, первое уравнение умножим на Р\(cos 9) sin 0, а второе на y/r2 + r gP (cos 6) sin в и проинтегрируем по в от 0 до 7Г. В результате получим для определения неизвестных коэффициентов БСЛАУ, которая в матричной форме имеет вид где матричные блоки в свою очередь представляются через ранее введенные матрицы: а символ Т означает транспонирование матриц. Метод расширенных граничных условий.
Метод основывается на интегральной формулировке граничных условий и использует разложения потенциалов и функции Грина по волновым сферическим функциям. После подстановки этих разложений в интегральные уравнения с учетом ортогональности волновых угловых сферических функций на любой сфере с центром в начале координат после приравнивания коэффициентов при этих функциях получим БСЛАУ для определения неизвестных коэффициентов. Например, для осесимметричной части проблемы и ТМ-моды, подставляя разложения (П.26)-(11.28),(11.37) в интегральные уравнение (11.48) получим следующую систему уравнений: где Эта система (11.59) может быть записана аналогично системе (11.57): где I = {5ni}-i - единичная матрица. Отметим, что системы (11.57) и (11.61) или (11.59) эквивалентны, т.е. могут быть получены одна из другой. Например, умножая первое уравнение системы (11.57) на B\{ki), а второе на -А\(к\) и складывая, получим первое уравнение системы (11.61). Аналогично умножая первое уравнение системы(П.61) на -{А\(кі))т, а второе на (А\(кі))т и складывая, получим первое уравнение системы (11.57). Подобные операции справедливы и для вторых уравнений систем (11.57) и (11.61). Во всех перечисленных выше преобразованиях следует учитывать соотношения при этом нужно принимать во внимание вронскиан для сферических функций.
Метод поточечной сшивки. Подставляя в функционал (11.50) усеченные разложения (11.26)-(11.28), неизвестные коэффициенты определяются из условия минимума невязки. Стандартная процедура метода наименьших квадратов приводит к системе (11.57), при этом матричные блоки представляются следующим образом: где звездочка означает комплексное сопряжение. Замечательный результат полученный в этом разделе заключается в том, что матрицы БСЛАУ для всех трех методов (SVM, ЕВСМ, РММ) зависят от одних и тех же матриц: А\{к±), { ), ( ), В Ац), В кц), С[(к2).
Определение коэффициентов разложений
Ранее методы обсуждались каждый сам по себе, хотя они используют одни и те же разложения полей по волновым сферическим функциям и одинаковые формулы для расчета характеристик рассеянного излучения. 2. Применение подхода требует решения двух (осесимметричной и неосесимметричной) задач рассеяния света вместо первоначально одной. Однако, осесимметричная задача является весьма простой, и ее решение не требует больших вычислений в отличии от стандартного подхода. Тестовые расчеты показали, что решение осесимметричной задачи может быть использовано для определения значений таких параметров, как число членов, удерживаемых в разложениях, число узлов, используемых при вычислении интегралов, и т.п. Эти параметры необходимы для решения обеих задач, и опыт показал, что значения этих параметров почти одинаковы для обеих задач. 3. Анализ областей применимости методов дал возможность выяснить, что они дополняют друг друга. Незначительные отличия методов в алгебраических системах для определения коэффициентов разложений потенциалов позволили создать единую программу для расчета характеристик рассеянного излучения. Методы SVM, ЕВСМ и РММ, основанные на разложении полей по волновым функциям, обычно применяются со сферическим базисом. В ряде случаев, однако, это не дает эффективного решения задачи, и использование сфероидального базиса вместо сферического часто дает существенное улучшение. Применение сфероидального базиса - подход почти не разработанный, что можно видеть ниже из обзора работ, посвященных методам.
Прежде всего заметим, что метод SVM с разложением полей по сферическим и сфероидальным функциям применялся в основном для рассмотрения рассеяния света шарами и сфероидами соответственно (см., например, Мищенко и др., 2000; Вощинников, Фарафонов, 1993). Хотя метод оказался весьма эффективным, его приложения к частицам иных форм единичны и только при использовании сферического базиса (например, Хан, By, 2001; Бартон, 2002; Фарафонов и др., 2007b). Метод ЕВСМ с разложением полей по сферическим функциям применяется очень широко (Мищенко и др., 2000; Фарафонов, Ильин, 2006b). Со сфероидальным базисом этот метод рассматривался лишь теоретически в работах Фарафонова (2001) и Канерта (2003), и только в работе Ильин и др. (2007) данный вариант метода был непосредственно применен для расчетов оптических свойств сфероидов и чебышевских сфероидальных частиц (возмущенных сфероидов) и показал высокую эффективность, особенно при больших отношениях полуосей. Метод РММ даже при использовании разложений по сферическим функциям рассматривался редко - последние важные модификации метода были произведены в статье Фарафонов, Ильин (2006b). Метод оказался неожиданно эффективным для сильно возмущенных чебышевских частиц. Со сфероидальным базисом метод РММ никогда не использовался.
В целом, анализ трех методов со сферическим базисом показал (Фарафонов и др., 2007), что все они становятся неэффективными для сфероидов с отношением полуосей больше 5-10 и в общем случае для осесимметричных частиц с аналогичным отношением наибольшей протяженности к наименьшей. Таким образом, свойства методов SVM, ЕВСМ, РММ при использовании сферических функций и результаты малочисленных работ, в которых применялись сфероидальные функции, позволяют предсказать, что рассматриваемые методы при использовании сфероидального базиса будут особенно эффективны (т.е. точны и быстры) для осесимметричных рассеивателей, форма которых существенно отличается от сферической (в смысле большого отношения наибольшей протяженности частицы к наименьшей).
В данной главе развиваются методы SVM, ЕВСМ и РММ при использовании сфероидального базиса. Приводятся необходимые данные о сфероидальных координатах и о записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматриваются волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее радиальные и угловые сфероидальные функции. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций. Затем описываются скалярные потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемые в данном подходе, и дается их разложение по сфероидальным функциям. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля. Коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничные условия, записанные в сфероидальных координатах. При этом рассматривается осесимметричная и неосесимметричная задачи -определения потенциалов соответствующих частей полей (см. о разделении полей в Главе I). Получены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов. Показано, что в частном случае сфероидальных рассеивателей для SVM и ЕВСМ получаются решения эквивалентные полученным ранее (см. Фарафонов, 1983 и 2001), а для сферических рассеивателей - решение (11.72)-(11.73)(см. параграф 2.6). Далее приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов, проведенных для сравнения областей применимости и вычислительной эффективности методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сфероидальный базис. Отдельно рассматривается случай (очень) сильно вытянутых рассеивателей, который эффективно решается с помощью созданной программы, основанной на методе ЕВСМ со сфероидальным базисом.
