Содержание к диссертации
Введение
Раздел 1. Двухшаговые методы Ньютона и Гаусса-Ньютона минимизации функции невязки 25
1.1. Задача минимизации функции невязки 25
1.2. Запасы чувствительности 41
1.3. Сингулярное разложение симметрической матрицы 44
1.4. Построение двухшаговых методов Ньютона и Гаусса-Ньютона минимизации функции невязки 49
Раздел 2. Идентификация коэффициента фильтрации неоднородного пласта .. 65
2.1. Численное решение уравнения фильтрации 65
2.2. Постановка задачи идентификации коэффициента фильтрации 73
2.3. Модельные задачи 78
2.4. Результаты решения модельных задач без погрешностей в замерах напора 84
2.5. Решение модельных задач с погрешностями в замерах напора 91
Раздел 3. Двухшаговые методы Левенберга-Марквардта минимизации функции невязки 97
3.1. Построение двухшаговых методов Левенберга-Марквардта 97
3.2. Численные результаты 103
3.3. Модификации двухшаговых методов5Левенберга-Марквардта 109
Раздел 4. Учет априорной сравнительной информации в задачах идентификации коэффициента фильтрации 122
4.1. Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию 122
4.2. Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию, для задач с большим числом идентифицируемых параметров . 131
4.3. Двухшаговые методы минимизации функции невязки, учитывающие сравнительную информацию 135
Заключение 140
Литература 142
- Построение двухшаговых методов Ньютона и Гаусса-Ньютона минимизации функции невязки
- Решение модельных задач с погрешностями в замерах напора
- Модификации двухшаговых методов5Левенберга-Марквардта
- Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию, для задач с большим числом идентифицируемых параметров
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время геолого-гидродинамическое моделирование пластовых систем является основным инструментом для прогнозирования разработки и эксплуатации месторождений подземных вод. Задача идентификации коэффициента фильтрации возникает на этапе адаптации геолого-гидродинамической модели изучаемого объекта по имеющимся данным. Стандартным методом идентификации коэффициента фильтрации водоносного пласта является определение его значений из минимума функции невязки, представляющей собой сумму квадратов разностей между известными значениями напора в наблюдательных точках пласта и вычисленными значениями напора в соответствующих точках модели. Задачу минимизации функции невязки приходится решать многократно, что требует больших вычислительных затрат. Разработка методов минимизации, сокращающих вычислительные затраты, является важной актуальной задачей.
Цели диссертационной работы:
- построение эффективных методов минимизации функции невязки;
- разработка на основе предложенных методов численных алгоритмов решения задач идентификации коэффициента фильтрации водоносных пластов.
Научная новизна результатов.
В диссертации разработаны численные алгоритмы для решения задач идентификации коэффициента фильтрации напорного пласта по замерам напора в наблюдательных точках. Задача идентификации коэффициента фильтрации относится к классу некорректно поставленных задач. Учёт различного рода априорной информации о значениях идентифицируемых параметров является одним из регуляризирующих элементов, повышающим устойчивость и достоверность решения задачи. Предложенные численные алгоритмы разработаны на основе новых двухшаговых методов минимизации функции невязки с учётом и без учёта сравнительной априорной информации о значениях идентифицируемых параметров.
При построении и анализе двухшаговых методов минимизации используется понятие запаса чувствительности. В двухшаговых методах первый шаг каждой итерации проводится по алгоритмам классических методов, но допускается увеличение функции невязки за счёт её увеличения в главной системе координат в направлениях с большими сингулярными числами. Итоговые же значения функции невязки на итерациях, как и в классических методах, образуют убывающую последовательность.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов вычислительной математики и математических моделей механики сплошной среды, сравнением полученных решений с известными решениями тестовых и модельных задач.
Практическая ценность. Разработанные двухшаговые методы могут быть использованы для решения систем нелинейных уравнений и в задачах минимизации функции невязки. Эти методы позволяют существенно сократить вычислительные затраты и тем самым ускорить процесс решения задачи. Вычислительные алгоритмы, построенные на основе двухшаговых методов, могут использоваться для решения задачи идентификации коэффициента фильтрации, возникающей на этапе адаптации геолого-гидродинамической модели разрабатываемых месторождений подземных вод, нефтяных и газовых месторождений.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2001, Москва-Истра, 2001); IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001); международной конференции ModelCARE 2002, 4th International Conference "Calibration and Reliability in Groundwater Modelling" (Prague, 2002); VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002); II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, 2003); Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и технологии (ВВТ-2003)" (Ижевск, 2003); XIII Всероссийской конференции-школе «Современные проблемы математического моделирования» (Абрау-Дюрсо, 2009); региональной научно-практической конференции «Актуальные вопросы геолого-гидродинамического моделирования и переоценки нефтяных ресурсов Республики Татарстан» (Казань, 2009); итоговых научных конференциях КазНЦ РАН; семинарах Института механики и машиностроения КазНЦ РАН.
Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц, включая 26 таблиц и 46 рисунков.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата. Во всех работах автор принимал непосредственное участие на всех этапах исследований. Непосредственно автору принадлежит построение двухшаговых методов минимизации функции невязки, разработка численных двухшаговых алгоритмов минимизации для решения задач идентификации коэффициента фильтрации.
Построение двухшаговых методов Ньютона и Гаусса-Ньютона минимизации функции невязки
В стандартных методах минимизации последовательность точек \х j строится таким образом, чтобы целевая функция монотонно убывала. В данном параграфе предлагаются двухшаговые методы минимизации, учитывающие овражность целевой функции. При этом значение целевой функции после первого шага может увеличиться, но по итерациям целевая функция монотонно убывает. Проведём анализ метода Гаусса-Ньютона при минимизации функции Ро зенброка. Возьмём точку Р0(-1;1), расположенную на дне оврага. Направление Гаусса-Ньютона в точке Р0 идёт вдоль дна оврага (рис. 1.8, слева). В точке Ро в главной системе координат отклонение Гаусса-Ньютона о =(0.00357;-4.4721), запасы чувствительности =0.0064, PVj =3.9936, т.е. отклонение Гаусса-Ньютона и запас чувствительности, соответствующие первой оси главной системы координат, малы по сравнению с отклонением Гаусса-Ньютона и запасом чувствительности на второй оси. В главной системе координат большие сингулярные числа соответствуют склону, а малые - дну оврага овражной функции [60]. Направление вдоль первой оси в главной системе координат является направлением спуска ко дну оврага, а направление вдоль второй оси соответствует смещению вдоль склона оврага.
В данном случае малые значения PVx и dyN в точке Р0 указывают на её положение на дне оврага, а направление вдоль второй оси соответствует движению вдоль дна оврага. При смещении переменных по направлению Гаусса-Ньютона с единичным шагом, вследствие изгиба дна оврага, мы попадаем из точки на дне оврага в точку Рі(1;-3) на склоне. Весь запас чувствительности в этой точке в главной системе координат сосредоточен в основном на первой оси (PVx =1597.44, Pv =2.56). Значение функции Розенброка в этой точке больше, чем значение функции в начальной точке, и, следуя классическому методу Гаусса-Ньютона, переход в эту точку невозможен ( J(P0) = 4, J(P,) = 1600). При смещении из точки Pi(l;-3) по направлению Гаусса-Ньютона с единичным шагом попадаем в точку минимума Рт (рис. 1.8, справа). Таким образом, подъём на склон оврага и спуск позволяют обойти изгиб дна оврага и прийти в точку минимума. Рис.1.8. Направления Гаусса-Ньютона функции Розенброка (слева - в точке Ро(-1;1), справа в точке Pi(l;-3)). Линии уровня построены по логарифмам значений функции. Теперь рассмотрим начальную точку Ро(1.5;-2). На рис. 1.9(слева) показано направление Гаусса-Ньютона dGN и направления, соответствующие первой d и второй d%N осям главной системы координат. Запасы чувствительности в этой точке Ру =1805.9, Pv = 0.600282, отклонение Гаусса-Ньютона в главной системе координат 6 =(-1.3432312.4512), значение функции J(P0) = 1806.5.
При переходе по этому направлению с единичным шагом происходит спуск в точку Pi(l;0.75), при этом значение функции Розенброка уменьшается (J(Pj) = 6.25). Запасы чувствительности в этой точке / =6.24001, PV2 =0.00999199, отклонение Гаусса-Ньютона в главной системе координат dyN =(-0.1116;0.2237). При переходе по направлению Гаусса-Ньютона с единичным шагом из этой точки попадаем в точку минимума (рис. 1.9, справа). Исходя из анализа рассмотренных выше примеров, предлагается двухша-говый метод Гаусса-Ньютона минимизации функции невязки, в котором на одной итерации возможно смещение переменных минимизации в два этапа. Если текущая точка расположена вблизи дна оврага, то на первом этапе делается шаг вдоль дна оврага, и при изменении дна оврага происходит подъём на его склон. Значение целевой функции после первого этапа может вырасти. На втором этапе проводится спуск в направлении дна оврага. Проверка условия убывания целевой функции проводится после второго этапа. Запишем алгоритм двухшаго-вого метода Гаусса-Ньютона в следующем виде. На каждой k-ой итерации: 1) Проверяется условие где dGNk - направление Гаусса-Ньютона, вычисленное в точке хк 1. Если это условие выполняется, то , и переходим к следующей итерации, в противном случае - к пункту 2. 2) Проверяется условие убывания функции невязки при смещении переменных минимизации в два шага где dGNk - направление Гаусса-Ньютона, вычисленное в точке хк х +dGNk . Если это условие выполняется, то и переходим к следующей итерации. В противном случае процесс минимизации прерывается. При замене в двухшаговом методе Гаусса-Ньютона отклонения dGN на отклонение Ньютона dN получаем двухшаговый метод Ньютона. Двухшаговые методы Гаусса-Ньютона и Ньютона являются обобщениями классических методов Гаусса-Ньютона и Ньютона соответственно. В случаях, когда классические методы Гаусса-Ньютона и Ньютона сходятся, то сходятся и соответствующие двухшаговые методы за то же число итераций, при этом целевая функция вычисляется столько же раз.
Последовательность точек двухшагового метода Гаусса-Ньютона минимизации функции Розенброка с начальной точкой Р0(-1.2;1) показана на рис. 1.10. Результаты, полученные при минимизации тестовых функций двухшаго-выми методами Ньютона и Гаусса-Ньютона, приведены в табл. 1.4. Для сравнения в табл. 1.4 приведены результаты, полученные классическими методами Ньютона и Гаусса-Ньютона. Из результатов, приведенных в табл. 1 А, видно, что в случае сходимости двухшагового метода Гаусса-Ньютона к точке минимума, он более эффективен по сравнению с другими рассмотренными методами. Двухшаговыи метод Ньютона при минимизации квадратичной функции простой структуры, модификаций I и II функции Розенброка, а также функций Би-ля и Зангвилла показывает одинаковые результаты с классическим методом Ньютона. Для функции Розенброка и её модификации III двухшаговыи метод Ньютона сходится в отличие от классического метода Ньютона. При минимизации двумерной экспоненциальной функции и функции Пауэлла двухшаговым методом Ньютона, как и классическим методом Ньютона, точка минимума не достигнута. Двухшаговыи метод Гаусса-Ньютона при минимизации квадратичной функции простой структуры, модификации II функции Розенброка, функ ции Зангвилла и функции Пауэлла показывает одинаковые результаты с классическим методом Гаусса-Ньютона. Для функции Розенброка, её модификаций I и III, двумерной экспоненциальной функции с начальной точкой (0;0) двухшаговый метод Гаусса-Ньютона сходится в отличие от классического метода Гаусса-Ньютона. При минимизации функции Биля двухшаговым методом Гаусса-Ньютона, как и в случае с классическим методом Гаусса-Ньютона, точка минимума не достигнута.
Решение модельных задач с погрешностями в замерах напора
В реальных задачах идентификации коэффициента фильтрации в замерах напора всегда присутствует некоторая погрешность, связанная с точностью измерений. Математическое моделирование реального объекта предполагает некоторое упрощение задачи, что также является источником погрешностей. Приведём результаты решения первой модельной задачи с погрешностями в замерах напора, полученные первым вариантом метода Левенберга-Марквардта (рис.2.11-2.14). Из приведённых результатов видно, что при погрешностях в замерах напора ±0.1, 0.01 м значения идентифицируемых параметров, начиная с некоторой итерации, удаляются от своих истинных значений, при этом функция невязки продолжает уменьшаться (рис.2.11-2.14). Для выбора номера итерации с итоговыми значениями коэффициента фильтрации в случае остановки процесса минимизации по критерию медленной сходимости в данной работе использовалась следующая процедура. 1) определялся номер итерации к, с которого начинается медленная сходимость процесса минимизации; определялся максимальный номер і = 1, 2..., при котором выполняется условие ) итоговые значения коэффициента фильтрации брались с итерации с номером к —і. Изменение по итерациям среднеквадратического коэффициента фильтрации от своих истинных значений в первой модельной задаче, полученные первым вариантом метода Левенберга-Марквардта без прерывания и с прерыванием, приведены на рис.2.15-2.18. 0.
Как видно из приведенных результатов, выбор номера итерации с итоговыми значениями коэффициента фильтрации позволяет получить более близкие к истинным значениям коэффициента фильтрации. При решении остальных модельных задач получены аналогичные результаты (табл.2.5). 1. Для решения прямой задачи по определению поля напора приведён ме тод сопряженных градиентов с предобусловливающей матрицей в виде непол ного разложения Холесского. 2. Дана постановка обратной задачи идентификации коэффициента фильтрации напорного анизотропного пласта по замерам напора в наблюда тельных точках. Определены модельные задач идентификации коэффициента фильтрации, отличающиеся граничными условиями 1-го рода, заданными на боковой поверхности пятого слоя, числом и положением наблюдательных то чек. Приведены методы вычисления градиента функции невязки и элементов матрицы чувствительности. 3. Приведены численные результаты решения модельных задач без погрешностей в замерах напора методами Гаусса-Ньютона с поиском и без поиска шага, Давидона-Флетчера-Пауэлла, Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шэнно, Ле-венберга-Марквардта. Минимизация методами Гаусса-Ньютона с поиском шага, Давидона-Флетчера-Пауэлла, Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шэнно, Ле-венберга-Марквардта (вариант 2) была прервана по критерию медленной сходимости для всех модельных задач. В первом и третьем варианте метода Ле-венберга-Марквардта заданная точность по напору в наблюдательных точках была достигнута для всех модельных задач за исключением третьей модельной задачи. 4. Для модельных задач с погрешностями в замерах напора в наблюдательных точках приведён критерий выбора номера итерации с итоговыми значениями коэффициента фильтрации. Использование этого критерия позволило получить итоговые значения коэффициента фильтрации более близкие к истинным значениям.
В первом разделе были предложены двухшаговые методы Ньютона и Гаусса-Ньютона, обобщающие методы Ньютона и Гаусса-Ньютона, и приведены результаты минимизации тестовых функций этими методами. Приведённые во втором разделе модельные задачи идентификации коэффициента фильтрации являются более сложными по сравнению с задачей минимизации тестовых функций. Это обусловлено большим числом переменных минимизации (идентифицируемых параметров) и плохой обусловленностью приближенной матрицы вторых производных. Двухшаговые методы Ньютона, как и методы Ньютона, в задачах идентификации коэффициента фильтрации не используются из-за больших вычислительных затрат необходимых для построения матрицы Гессе. Использование двухшаговых методов Гаусса-Ньютона не позволяет получать решения задач с заданной точностью по напору в наблюдательных точках. В данном разделе предлагаются двухшаговые методы Левенберга-Марквардта, обобщающие различные варианты метода Левенберга-Марквардта. Рассмотрим решение первой модельной задачи идентификации коэффициента фильтрации третьим вариантом метода Левенберга-Марквардта. Заданная точность по напору в наблюдательных точках в этой задаче была достигнута после выполнения 332-х итераций. Из графиков, приведённых на рис.2.10, видно, что, начиная с некоторой итерации, процесс сходимости замедляется. Рассмотрим распределение запаса чувствительности по осям в главной системе координат, полученное в начале и конце 51-ой итерации (рис.3.1).
Модификации двухшаговых методов5Левенберга-Марквардта
При большом числе идентифицируемых параметров вычисление матрицы чувствительности требует больших вычислительных затрат. Используя сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров и идею объединения параметров с одинаковыми значениями в одну переменную минимизации, можно построить методы, в которых процесс минимизации начинается с небольшого числа переменных минимизации, и затем их число постепенно увеличивается. В начале процесса минимизации группе идентифицируемых параметров [К Г ставится в соответствии одна переменная минимизации, группе идентифицируемых параметров {К±}={ - вторая переменная. Если на k-ой итерации число переменных минимизации меньше числа идентифицируемых параметров и выполняется условие где Jk {, Jk - значения функции невязки на к- 1-ой и fc-ой итерации, то на следующей итерации число переменных минимизации увеличивается за счёт деления групп идентифицируемых параметров на подгруппы. Таким образом, в начале каждой итерации имеются упорядоченные наборы переменных минимизации где каждой переменной у. соответствует группа упорядоченных идентифицируемых параметров из (4.1), имеющих одинаковые значения. По переменным yj вычисляется матрица чувствительности A = \dhi/dyJ\, и проводится минимизация методом ЛМЗА, в котором вместо (4.1) используется (4.5). Обозначим этот метод как ЛМЗ AM. Результаты решения всех модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешностей в замерах напора, полученные методами ЛМЗ, ЛМЗА и ЛМЗ AM, приведены в табл.4.6. В методе ЛМЗ AM при нарушении условия (4.4) каждая группа идентифицируемых параметров делится пополам по числу идентифицируемых параметров с точностью до одного параметра. Для остановки процесса минимизации в методе ЛМЗАМ используются те же критерии, что и в методе ЛМЗ.
При решении всех модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешностей в замерах напора методом ЛМЗАМ была достигнута заданная точность по напору. Из приведённых результатов видно, что достижение задан ной точности по напору методом ЛМЗАМ требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом ЛМЗ. Результаты решения модельных задач идентификации коэффициента фильтрации с погрешностями в замерах напора методами ЛМЗ и ЛМЗАМ приведены в табл.4.7,4.8.
Из приведённых в табл.4.7,4.8 результатов видно, что при решении модельных задач с погрешностями в замерах напора метод ЛМЗАМ также требует меньших вычислительных затрат, как и в случае решения задач без погрешностей в замерах напора. В большинстве рассмотренных задач итоговые значения коэффициента фильтрации, полученные методом ЛМЗАМ, ближе к истинным по сравнению с полученными методом ЛМЗ.
Отметим, что метод с постепенным увеличением числа переменных минимизации можно использовать для решения задач, в которых неизвестны границы зон однородности параметров. В этом случае за зоны однородности можно выбрать элементы конечноэлементной сетки.
На основе двухшагового метода ДЛМЗ строится двухшаговый метод минимизации ДЛМЗА, сохраняющий упорядоченность параметров (4.1). Алгоритм метода ДЛМЗА совпадает с алгоритмом метода ДЛМЗ, за исключением того, что для каждого значения параметра Марквардта переменные минимизации формируются как в методе ЛМЗА, а смещение переменных проводится с сохранением упорядоченности параметров. Результаты решения модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешности в замерах напора приведены в табл.4.9. Приведённые результаты показывают, что двухшаговый метод ДЛМЗА, учитывающий априорную сравнительную информацию, по вычислительным затратам более эффективен по сравнению с методами ДЛМЗ и ЛМЗА. Аналогичные результаты получены и при решении модельных задач с погрешностями в замерах напора (табл.4.10,4.11). Итоговые значения коэффициента фильтрации, полученные методом ДЛМЗА, ближе к истинным по сравнению с итоговыми значениями, полученными методом ДЛМЗ.
1. На основе методов Левенберга-Марквардта, Гаусса-Ньютона и двухша-гового метода Левенберга-Марквардта построены методы минимизации функции невязки, учитывающие сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров. Особенностью этих методов является то, что упорядоченность параметров сохраняется в течение всего процесса минимизации. Число переменных минимизации может быть меньше числа идентифицируемых параметров и увеличиваться постепенно в процессе минимизации.
2. Методы минимизации функции невязки, учитывающие сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров, протестированы при численном решении модельных задач идентификации коэффициента фильтрации. Учёт априорной сравнительной информации о значениях идентифицируемых параметров позволил сократить вычислительные затраты и получить итоговые значения коэффициента фильтрации более близкие к истинным. Из методов, учитывающих априорную сравнительную информацию, наиболее эффективным по вычислительным затратам показал себя двухшаговый метод.
Метод минимизации функции невязки, учитывающий сравнительную информацию, для задач с большим числом идентифицируемых параметров
При большом числе идентифицируемых параметров вычисление матрицы чувствительности требует больших вычислительных затрат. Используя сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров и идею объединения параметров с одинаковыми значениями в одну переменную минимизации, можно построить методы, в которых процесс минимизации начинается с небольшого числа переменных минимизации, и затем их число постепенно увеличивается. В начале процесса минимизации группе идентифицируемых параметров [К Г ставится в соответствии одна переменная минимизации, группе идентифицируемых параметров {К±}={ - вторая переменная. Если на k-ой итерации число переменных минимизации меньше числа идентифицируемых параметров и выполняется условие где Jk {, Jk - значения функции невязки на к- 1-ой и fc-ой итерации, то на следующей итерации число переменных минимизации увеличивается за счёт деления групп идентифицируемых параметров на подгруппы. Таким образом, в начале каждой итерации имеются упорядоченные наборы переменных минимизации где каждой переменной у. соответствует группа упорядоченных идентифицируемых параметров из (4.1), имеющих одинаковые значения. По переменным yj вычисляется матрица чувствительности A = \dhi/dyJ\, и проводится минимизация методом ЛМЗА, в котором вместо (4.1) используется (4.5). Обозначим этот метод как ЛМЗ AM. Результаты решения всех модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешностей в замерах напора, полученные методами ЛМЗ, ЛМЗА и ЛМЗ AM, приведены в табл.4.6. В методе ЛМЗ AM при нарушении условия (4.4) каждая группа идентифицируемых параметров делится пополам по числу идентифицируемых параметров с точностью до одного параметра. Для остановки процесса минимизации в методе ЛМЗАМ используются те же критерии, что и в методе ЛМЗ.
При решении всех модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешностей в замерах напора методом ЛМЗАМ была достигнута заданная точность по напору. Из приведённых результатов видно, что достижение задан ной точности по напору методом ЛМЗАМ требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом ЛМЗ. Результаты решения модельных задач идентификации коэффициента фильтрации с погрешностями в замерах напора методами ЛМЗ и ЛМЗАМ приведены в табл.4.7,4.8.
Из приведённых в табл.4.7,4.8 результатов видно, что при решении модельных задач с погрешностями в замерах напора метод ЛМЗАМ также требует меньших вычислительных затрат, как и в случае решения задач без погрешностей в замерах напора. В большинстве рассмотренных задач итоговые значения коэффициента фильтрации, полученные методом ЛМЗАМ, ближе к истинным по сравнению с полученными методом ЛМЗ.
Отметим, что метод с постепенным увеличением числа переменных минимизации можно использовать для решения задач, в которых неизвестны границы зон однородности параметров. В этом случае за зоны однородности можно выбрать элементы конечноэлементной сетки.
На основе двухшагового метода ДЛМЗ строится двухшаговый метод минимизации ДЛМЗА, сохраняющий упорядоченность параметров (4.1). Алгоритм метода ДЛМЗА совпадает с алгоритмом метода ДЛМЗ, за исключением того, что для каждого значения параметра Марквардта переменные минимизации формируются как в методе ЛМЗА, а смещение переменных проводится с сохранением упорядоченности параметров. Результаты решения модельных задач идентификации коэффициента фильтрации без погрешности в замерах напора приведены в табл.4.9. Приведённые результаты показывают, что двухшаговый метод ДЛМЗА, учитывающий априорную сравнительную информацию, по вычислительным затратам более эффективен по сравнению с методами ДЛМЗ и ЛМЗА. Аналогичные результаты получены и при решении модельных задач с погрешностями в замерах напора (табл.4.10,4.11). Итоговые значения коэффициента фильтрации, полученные методом ДЛМЗА, ближе к истинным по сравнению с итоговыми значениями, полученными методом ДЛМЗ.
1. На основе методов Левенберга-Марквардта, Гаусса-Ньютона и двухша-гового метода Левенберга-Марквардта построены методы минимизации функции невязки, учитывающие сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров. Особенностью этих методов является то, что упорядоченность параметров сохраняется в течение всего процесса минимизации. Число переменных минимизации может быть меньше числа идентифицируемых параметров и увеличиваться постепенно в процессе минимизации.
2. Методы минимизации функции невязки, учитывающие сравнительную априорную информацию о значениях идентифицируемых параметров, протестированы при численном решении модельных задач идентификации коэффициента фильтрации. Учёт априорной сравнительной информации о значениях идентифицируемых параметров позволил сократить вычислительные затраты и получить итоговые значения коэффициента фильтрации более близкие к истинным. Из методов, учитывающих априорную сравнительную информацию, наиболее эффективным по вычислительным затратам показал себя двухшаговый метод.
В диссертации построены двухшаговые методы минимизации функции невязки: двухшаговые методы Ньютона, двухшаговые методы Гаусса-Ньютона и двухшаговые методы Левенберга-Марквардта. В двухшаговых методах первый шаг каждой итерации проводится по алгоритмам классических методов, но допускается увеличение функции невязки. Итоговые же значения функции невязки на итерациях, как и в классических методах, образуют убывающую последовательность.
В двухшаговых методах Ньютона и Гаусса-Ньютона при минимизации овражных функций, когда текущая точка расположена вблизи дна оврага, первый шаг соответствует движению вдоль дна оврага. При изменении направления дна оврага первый шаг может привести к подъёму на его склон (значение функции невязки увеличивается), а второй шаг к спуску ко дну оврага (значение функции невязки уменьшается по сравнению с началом итерации). Проведение таких двух шагов на одной итерации позволяет обойти изгибы дна оврага и тем самым ускорить процесс минимизации.
В двухшаговых методах Левенберга-Марквардта используется главная система координат, полученная с помощью сингулярного разложения приближенной матрицы вторых производных. Направления минимизации в главной системе координат условно делятся на две группы: направления, соответствующие большим сингулярным числам, и направления, соответствующие маленьким сингулярным числам. Смещение по направлениям первой группы соответствует спуску ко дну оврага, по направлениям второй группы - движению вдоль склона оврага. На первом шаге двухшаговых методов Левенберга-Марквардта допускается увеличение функции невязки за счёт её увеличения в направлениях с большими сингулярными числами. Вдоль этих направлений проводится смещение параметров на втором шаге. В модифицированных двухшаговых методах Левенберга-Марквардта проводятся дополнительные смещения переменных вдоль направлений с большими сингулярными числами.
