Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время значительный интерес для таких областей как компьютерная графика, распознавание образов, обработка и сжатие изображений, теория динамических систем, геофизика, всплеск-анализ, психология и многих других представляет изучение фрактальных объектов.
Модели самоподобных детерминированных и случайных фракталов успешно применяются при описании изображений природных объектов. Изучение моделей хаотической динамики, таких как DLA (diffusion limited aggregation, модели роста, ограниченного диффузией) и странных аттракторов, показывает, что они также обладают свойствами самоподобия. В теории всплесков самоподобные фракталы применяются для построения кратно-масштабных анализов (КМА).
В настоящей работе проведено исследование класса многомерных самоподобных фракталов - аффинных самоподобных функций, описываемых функциональными уравнениями с уточняющим оператором. Уточняющий оператор представляет собой сумму аффинных функциональных операторов. В частности, масштабирующие функции КМА являются примерами аффинных самоподобных функций. Аттракторы IFS (Iterated Function Systems, системы итерируемых функций) можно описать с помощью их характеристических функций, которые также являются аффинными самоподобными. При изучении самоподобных фракталов мощные средства предоставляет непрерывный всплеск-анализ. В работе используется непрерывное всплеск-преобразование, ассоциированное с группой подобий евклидова пространства, и вводится его обобщение.
Важным свойством самоподобных фракталов является то, что довольно сложные структуры, имеющие фрактальную природу, можно описать с помощью небольшого набора параметров. Генерирование самоподобных фракталов является довольно простой задачей, нашедшей применение при получении изображений природных ландшафтов и текстур в компьютерной гра-
фике. В то время как численный анализ свойств самоподобия сигналов является более сложной обратной задачей. Зная параметры самоподобия, можно эффективно кодировать видео и изображения. Не менее важным является получение фрактальных характеристик при изучении физических явлений, например, таких как землетрясения. В одномерном случае известно решение обратной задачи методом моментов, для решения такой задачи в двумерном случае применяют геометрические методы, метод моментов и всплеск-анализ. Решение двумерной задачи получено для довольно узкого класса фракталов. Значительный интерес представляет данная задача в многомерном случае для аффинных самоподобных функций.
Таким образом, актуальной научной проблемой диссертационного исследования является разработка новых методов получения фрактальных характеристик многомерных аффинных самоподобных функций.
Целью настоящей работы является разработка методов численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций с использованием всплеск-анализа.
Научная новизна
Для анализа многомерных аффинных самоподобных функций предложено обобщение непрерывного всплеск-преобразования, обладающее свойствами самоподобия в отношении таких функций.
Разработан метод численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций, особенностью которого является вычислительная устойчивость и подавление шумовой составляющей сигнала.
Разработан алгоритм вычисления обобщенного непрерывного всплеск-преобразования, вычислительная сложность которого ниже по сравнению с прямым методом за счет использования быстрого преобразования Фурье.
Доказано утверждение о распространении до самых малых масштабов линий всплеск-максимумов обобщенного непрерывного всплеск-
преобразования с всплесками Гаусса, что позволяет повысить устойчивость разработанного метода к численным погрешностям всплеск-преобразования в тех областях, где оно близко к нулю. Практическая ценность. Разработан комплекс программ, реализующих вычисление обобщенного всплеск-преобразования, объединение точек всплеск-максимумов в кривые и восстановление параметров двумерных аффинных самоподобных функций. Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы при решении следующих задач:
Анализ и сжатие изображений, содержащих самоподобные фракталы, при этом теоретически достижимо весьма эффективное сжатие за счет того, что аффинные самоподобные функции описываются при помощи относительно небольшого набора параметров.
Распознавание образов объектов, обладающих свойствами аффинного самоподобия.
Анализ объектов, описываемых моделями хаотической динамики в молекулярной физике, геофизике и метеорологии.
Установленное свойство обобщенного непрерывного всплеск-преобразования о распространении его всплеск-максимумов до самых малых масштабов является важной характеристикой, позволяющей разрабатывать новые методы анализа многомерных сигналов, такие как локализация особенностей и оценка спектра.
Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, методы теории интегральных и дискретных преобразований, таких как преобразование Фурье и всплеск-преобразование, методы теории самоподобных фракталов Хатчинсона, теории всплесков, теории матриц, методы теории компьютерного зрения. Разработка программного обеспечения проводилась в среде MATLAB.
Апробация результатов. Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Научный семинар по теории всплесков под руководством профессора Н.Н. Холщевниковой кафедры «Математика» МГТУ «Станкин» (г. Москва, 2008 г.);
XI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008 г.);
3.1 международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008 г.);
IX международная конференция «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, (РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2009 г.)
XIII научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2010 г.);
Семинар по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством профессора М.К.Потапова, профессора В.А.Скворцова, профессора М.И.Дьяченко механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (г. Москва, декабрь 2010 г.);
X международная конференция «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, (РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2011 г.)
XIV научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2011 г.);
II международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2011 г.);
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 1 публикация в издании, рекомендованном ВАК, 5 - в сборниках трудов научных конференций и 1 - в периодическом
издании.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 75 наименований. Общий объем диссертации - 120 страниц, включая 16 рисунков, 1 таблицу и 1 приложение.
