Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ 13
1.1. Масштабирующие функции с коэффициентом N>2 13
Построение масштабирующей функции 15
JV-кратномасштабное разложение 19
Кратные коэффициенты масштабирования 21
1.2. Примеры N-масштабирующих функций 23
Масштабирующие функции Хаара 23
Масштабирующие функции Котельникова-Шеннона 24
Масштабирующие функции Мейера 25
Вырожденные масштабирующие функции Кантора 30
Сплайновые масштабирующие функции 34
1.3. Заключение по главе 1 40
ГЛАВА 2. ВЕЙВЛЕТЫ С ПАРАМЕТРОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ N. 42
2.1. Вейвлеты с параметром масштабирования N 43
Вейвлет-преобразование 45
Разложение и восстановление в неортогональном случае 47
Вейвлеты Хаара с параметром масштабирования N 51
Вейвлеты Кантора с коэффициентом масштабирования N 57
Вейвлеты Котельникова-Шеннона 63
Вейвлеты Мейера 67
Построение частотных функций вейвлетов 68
Построение вейвлетов Мейера 71
Вейвлеты с масштабным коэффициентом N = 2k 73
Вейвлеты на основе В-сплайнов 81
Общие конструкции 81
Фильтры разложения и восстановления на основе 5-сплайнов 92
Примеры построения неортогональных вейвлетов на основе 2?-сплайнов..94
2.8. Построение ортогональных вейвлетов 102
Общие конструкции 102
Масштабирующие функции и вейвлеты для N=3 103
2.8.3. Примеры масштабирующих функций и вейвлетов для 7V=3 ПО
2.9. Заключение по главе 2 122
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ N-КАНАЛЬНОГО ВЕЙВЛЕТ-
РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ 124
3.1. Многоуровневый анализ данных об акциях ЛУКОЙЛ 125
Первый уровень разложения, N = 4 125
Второй уровень разложения, ЛИ?. Средние часовые данные 130
Третий уровень разложения, N=5. Средние дневные данные 140
3.2. Вейвлет-анализ объемов продаж 144
Первый уровень вейвлет-разложения, N=4 145
Второй уровень разложения, JV=8. Средние часовые данные 148
Третий уровень разложения, N=5. Средние дневные данные 154
3.3. Заключение по главе 3 156
ГЛАВА 4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ КАРДИОСИГНАЛА
158
4.1. Постановка задачи 160
Пакетное вейвлет-разложение 160
Числовые характеристики компонент сигнала 163
4.2. Зависимость числовых характеристик высокочастотных компонент
кардиосигнала от выбора вейвлета 167
Первая группа вейвлетов 168
Вторая группа вейвлетов 169
Третья группа вейвлетов 169
Четвертая группа вейвлетов 170
Пятая группа вейвлетов 170
Устойчивость числовых характеристик высокочастотных компонент кардиосигнала одного пациента при различных регистрациях кардиосигнала 171
Числовые характеристики высокочастотных компонент кардиосигнала пациентов 174
Группа больных пациентов 175
Группа здоровых пациентов 177
4.5. Заключение по главе 4 181
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 183
ПРИЛОЖЕНИЯ 188
Приложение 1. Программа вычисления фильтров для В-сплайна 188
Приложение 2. Программа вычисления фильтров ортогональных
вейвлетов с компактным носителем 198
Приложение 3. Программа вычисления масштабирующих функций и
вейвлетов с компактным носителем 200
П.3.1. Программа нахождения значений масштабирующей функции 200
П.3.2. Программа нахождения значений вейвлет-функций 201
Приложение 4. Программы вейвлет-разложения с коэффициентом N .203
П.4.1. Программы вейвлет-разложения и вейвлет-восстановления 203
П.4.2. Программа на MATLAB для вейвлет-анализа данных фондового рынка204
Приложение 5. Программа на MATLAB вейвлет-анализа
кардиосигналов 211
Приложение 6. Автономная программа для вейвлет-анализа
кардиосигналов 215
Приложение 7. Таблицы фильтров вейвлетов и фильтров
восстановления на основе В-сплайнов 219
П.7.1. Случай N= 3 и степени В-сплайна/? = 1 220
П.7.2. Случай N = 3 и степени В-сплайнар = 2 221
П.7.3. Случай N= 5 и степени В-сплайна;? = 1 222
П.7.4. Случай N= 5 и степени В-сплайна р = 2 223
П.7.5. Случай N= 5 и степени В-сплайнар = 3 224
П.7.6. Случай JV = 7 и степени В-сплайна/? = 1 225
П.7.7. Случай N = 7 и степени В-сплайна/? = 2 226
П.7.8. Случай N = 7 и степени В-сплайна/? = 3 227
П.7.9. Случай N= 9 и степени В-сплайна/? = 1 229
П.7.10. Случай N= 9 и степени В-сплайна/? = 2 230
П.7.11. Случай jV = 9 и степени В-сплайна/? = 3 232
Введение к работе
В последние десятилетия функции с графиком типа небольшой волны (вейв-леты) успешно используются для изучения сигналов вместо традиционных (длинных) синусоидальных волн. Теория вейвлетов дает новую более гибкую технику обработки сигналов. Одно из основных преимуществ вейвлет-анализа заключается в том, что он позволяет заметить хорошо локализованные изменения сигнала, тогда как анализ Фурье этого не дает - в коэффициентах Фурье отражается поведение сигнала за все время его существования. Хотя понятия вейвлета и вейвлет-разложения являются сравнительно новыми, они уже нашли широкие применения в обработке сигналов [2] и [7]. На русском языке изданы переводы трех монографий классиков теории вейвлетов, И. Добеши, К.Чуи и С. Малла [6], [10], [33]. В последние годы издано несколько книг отечественных авторов по теории вейвлетов [3]\, [8], [11], [12], [13], [28].
В теории вейвлетов основную роль играют, так называемые, масштабирующие функции [6], [28], [33]. Для коэффициента масштабирования 2 известно достаточно много примеров масштабирующих функций, имеются методы их построения [6], [28], [33]. Ситуация значительно сложнее в случае произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. Теория вейвлетов для коэффициента масштабирования N>2 не получила должного развития, хотя некоторые результаты о масштабирующих функциях и вейвлетах получены в работах [6], [34], [35], [39], [43]. Недостаточный прогресс в данном направлении связан с недостаточным числом построенных масштабирующих функций с коэффициентом масштабирования N>2. Однако необходимость в такой теории имеется. В задачах экономического происхождения, где отсчеты времени обладают определенной периодичностью, требуются вейвлеты именно с коэффициентом масштабирования N>2.
Диссертация посвящена построению масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2 и разработке методов их ис-
пользования для вейвлет-анализа временных рядов с периодичностью по времени. Классическими примерами таких рядов являются массивы данных об объемах, или ценах продаж товарного или фондового рынка. Например, при анализе 15-минутных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования iV=4 (поскольку в часе таких периодов - 4). Далее, при анализе часовых данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с параметром JV=8 (поскольку рабочий день состоит из 8 часов). При анализе дневных данных о цене ценной бумаги фондового рынка естественно использовать вейвлеты с коэффициентом N=5 (поскольку неделя работы рынка содержит 5 рабочих дней). Кроме того, при анализе дневных показателей продаж (не обязательно фондового рынка) естественно использовать вейвлеты с параметром N-1 (недельный цикл), с отдельной выборкой данных за выходные дни. Таким образом, тема работы является современной и актуальной.
Основные результаты.
Построены новые примеры N-масштабируемых функций. Показана N-масштабируемость 2?-сплайнов.
Построены новые примеры вейвлетов с коэффициентом масштабирования N>2.
Для любого натурального параметра N предложены новые методы построения неортогональных вейвлетов (фильтров разложения) и дуальных вейвлетов (фильтров восстановления) на основе ^-сплайнов. Для нахождения фильтров разложения и фильтров восстановления разработана программа в среде Maple. Используя эту программу вычислена большая серия фильтров вейвлетов на основе 5-сплайнов и фильтров восстановления для разных значений N и степени спояйнар.
Найдены новые методы построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого натурального параметра N>2. Используя эти методы построено однопара метрическое семейство масштабирующих функций и вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=3. Для нахождения
7 масштабирующих фильтров разработана программа в среде Maple. Для построения вейвлетов написана программа на m-языке MATLAB.
Разработаны методы использования вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования N>2 для исследования временных рядов, возникающих в экономике.
На основе пакетного вейвлет-анализа предложены новые числовые характеристики кардиосигналов, которые существенно отличаются от традиционных (диагностическая значимость этих числовых характеристик требует дополнительных медицинских исследований). Создана автономная программа в среде Borland C++ Builder, реализующая данные методы.
Для создания приложения на Borland C++ Builder развиты методы MATLAB использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland C++ Builder.
Новизна результатов. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены лично автором, либо в соавторстве с научным руководителем.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование", Анжеро-Судженск, 2004; на V Международной научно-практической конференции "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике", Новочеркасск, 2005 г.; на IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса", Кемерово, 2005 г.; на седьмой Всероссийской научно-практической конференции "Новые достижения в развитии электрокардиографии", ГУ НИИ кардиологии Томского научного центра СО РАМН «Тюменский кардиологический центр», Тюмень, 2005 г. (тезисы, стендовый доклад); на региональной конференции по математическому образованию на Алтае, Барнаул, 2006 г.; на Всероссийской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии в машиностроении", Рубцовск, Алтайского края, 2006 г. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре
8 кафедры математического анализа КемГУ, на семинаре кафедры высшей и прикладной математики РГТЭУ (Кемеровский институт), на семинарах БГПУ (Барнаул) и ТГУ (Томск).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 статьях (из них 1 -в журнале, рекомендованном ВАК, 2 - в электронном журнале, рекомендованном ВАК и 2 - в зарубежном электронном журнале) и в 6 тезисах и материалах конференций. Часть результатов опубликована в монографии [18]. Общее количество публикаций по теме диссертации - 14.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссертации - 233 стр.: 187 стр. основного текста и приложений на 46 стр. Список литературы - 43 наим.
Содержание диссертации.
В первой главе даны основные понятия JV-масштабирующих функций для любого натурального N>2 и соответствующего кратномасштабного разложе-ния пространства L (R). В первом параграфе введено понятие частотной функции. Приведены простые методы построения ^-масштабирующих функций: итерационный метод, рекуррентный метод и бесконечное произведение. Доказаны некоторые теоремы (теоремы 1.1.2 и 1.1.3), которые являются обобщениями известных теорем для N=2 [6], [28]. Показано, что если фс) есть масштабирующая функция с масштабным коэффициентом N, то она является масштабирующей функцией с масштабным коэффициентом JV* для любого натурального показателя к.
Во втором параграфе первой главы построены примеры N-масштабирующих функций, которые являются TV-кратными аналогами известных для N-2 [6], [28], [33], масштабирующих функций Хаара, Котельни-кова-Шеннона, Мейера и сплайнов. Кроме общеизвестной функции Хаара, остальные примеры являются новыми. Следуя работам [35] и [39] определены вырожденные ./V-масштабирующие функции. Они в работе названы масштабирующими функциями Кантора, поскольку представляют собой сингу-
9 лярные меры, сосредоточенные в точках канторова множества на отрезке [0,1]. Основные результаты параграфа заключаются в доказательстве TV-масштабируемости функции Котельникова-Шеннона (теорема 1.2.1) и В-сплайнов (теорема 1.2.2).
Вторая глава посвящена построению вейвлетов для случая произвольного целочисленного коэффициента масштабирования N>2. В этом случае ситуация несколько отличается от классической (N-2), масштабирующей функции <р(х) соответствуетiV-І вейвлетов у}{х),... , уРА(х). Для ортогональных вейвлетов разложение и восстановление сигнала аналогично случаю N=2. Более подробно рассмотрено разложение и восстановление сигнала в неортогональном случае. Основной результат первого параграфа есть теорема 2.1.2, которая устанавливает достаточные условия на фильтры для точного восстановления сигнала.
Во втором параграфе второй главы дано построение вейвлетов Хаара для коэффициента масштабирования N>2. Показана неоднозначность выбора вейвлетов Хаара, обсуждается смысл разложения сигнала вейвлетами Хаара.
В третьем параграфе второй главы дано построение TV-вейвлетов Кантора, соответствующих масштабирующей функции с носителем в точках канторова множества на отрезке [0,1]. Несмотря на то, что масштабирующая функция Кантора и соответствующие вейвлеты имеют непонятную функциональную трактовку, использование их для вейвлет-разложения сигнала не представляет трудностей. Обсуждается смысл вейвлет-разложения при помощи вейвлетов Кантора. Приведены примеры. Показана неоднозначность выбора вейвлетов Кантора. Найдены частотные функции для вейвлетов Кантора.
В четвертом параграфе второй главы дается построение вейвлетов Котель-никова-Шеннона для коэффициента масштабирования N>2. Найдены частотные функции и получен явный вид ./V-вейвлетов Котельникова-Шеннона для любого N>2.
10 В пятом параграфе второй главы дается построение вейвлетов Мейера для коэффициента масштабирования N>2. Вейвлеты Мейера являются сглаженным вариантом вейвлетов Шеннона-Котельникова. Разрывы масштабирующей функции ф(а>) вейвлетов Шеннона-Котельникова в точках -тс и тс можно
удалить сглаживанием многими способами. В работе принят вариант сглаживания при помощи функции cos. При сглаживании улучшается медленное убывание вейвлета Шеннона-Котельникова. Найдены частотные функции и получен явный вид iV-вейвлетов Мейера в частотной области. Получено выражение для коэффициентов масштабирующего фильтра в интегральной форме.
В шестом параграфе второй главы рассматриваются вейвлеты для случая, когда N является степенью двойки, N=2*. Известно очень много примеров масштабирующих функций и вейвлетов для N=2. На основе этих 2-вейвлетов можно построить масштабирующие функции и вейвлеты для случая, когда N является степенью двойки, N=2k. Изложение ведется для случая N=2k=4. Получено выражение для коэффициентов фильтров вейвлетов. Найдены частотные функции и получен явный вид 4-вейвлетов if?(x), i/f(x) и yf(x) через масштабирующую функцию ср{х) и вейвлет у/{х) для N=4. Приведен пример построения 4-вейвлетов Хаара.
Седьмой параграф представляет основное содержание второй главы. В нем рассматриваются вейвлеты на основе ^-сплайнов. Как известно, В-сплайновая масштабирующая функция фс) является //-масштабирующей (теорема 1.2.2), но она не определяет ортогональный кратномасштабный анализ. Известно также, что ее частотная функция #0(со) является полиномиальной. В этом параграфе на основе 5-сплайна <р(х) найдены вейвлеты у}{х), ..., yfA{x), с полиномиальными частотными функциями, которые обеспечивают iV-канальное разложение сигнала с возможностью его точного восстановления дуальными вейвлетами (р{х),\р {х),...,\р ~ (х). При построениях этого параграфа используются идеи работы [35] для ортогонального случая. Ос-
новное содержание параграфа представляют теоремы 2.7.2 и 2.7.3 и метод построения вейвлетов и фильтров восстановления. Эффективность предложенного метода показана на двух примерах для 5-сплайна степени 1 и В-сплайна степени 2. Для вычисления фильтров разложения и восстановления для различных значений коэффициента N и степени 5-сплайна р, написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 1. Вычислена серия фильтров вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени В-сппашар: N =3, N =5, N =7, Ы=9,р=\,р=2,р=3 (таблицы П.7.1- П.7.22 Приложения 7).
В восьмом параграфе второй главы разработан метод построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем для любого N>2. Эффективность этого метода показана на примере построения однопараметрического семейства новых вейвлетов с параметром масштабирования iV=3. Приведены фильтры для ряда значений параметра / (t=Q, /=0.1, t=l, t=n/6, t=n/4, t=n/3, /=7c/2, t=2n/3, t=n, t=4n/3) и найдены соответствующие вейвлеты q(x), ц/(х) и цг(х). Для вычисления фильтров ортогональных вейвлетов написана программа на языке Maple, которая приведена в приложении 2. Для построения ортогональных вейвлетов с компактным носителем <р(х), if/(x) и у?(х) написана программа на языке MATLAB, которая приведена в приложении 3.
Третья глава диссертации посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N для анализа данных экономического происхождения. В качестве примера рассмотрен вейвлет-анализ 15-минутных данных о ценах и объемах продаж акций компании ЛУКОЙЛ на фондовой бирже ММВБ за 2006 год. Для вейвлет-разложения первого уровня использовался параметр масштабирования JV=4 (поскольку в часе 15-минутных периодов -4). Далее, для второго уровня разложения использовался параметр iV=8 (поскольку рабочий день составляет 8 часов). Для третьего уровня разложения использовался параметр N=5 (поскольку неделя имеет 5 рабочих дней). Для вейвлет-анализа написаны программы m-функций вейвлет-разложения и
12 вейвлет-восстановления и написана программа для анализа данных на языке MATLAB (приложение 4). Получены новые числовые характеристики акций компании ЛУКОЙЛ.
Четвертая глава посвящена приложениям вейвлетов с коэффициентом масштабирования N=2 для исследования медицинских данных. В качестве примера рассмотрен вейвлет-анализ серии кардиосигналов. Вейвлет-анализ позволяет получить новые методы для изучения кардиосигналов [8], [28]. Отметим, что до сих пор для изучения кардиосигнала использовались визуальные методы непрерывного вейвлет-преобразования [37], [40], [38].
В данной главе применено дискретное пакетное вейвлет-разложение для изучения высокочастотных компонент кардиосигнала. Это позволяет получить ряд числовых характеристик высокочастотных компонент, которые дают новую информацию о кардиосигнале. Проанализировано 76 записей кардиосигналов. Полученные числовые характеристики показывают их зависимость от состояния больного. Поэтому они могут быть использованы как дополнительные характеристики электрической активности сердца.
Изучение проводилось в основном в среде MATLAB. Разработана программа, написанная в среде MATLAB и создано автономное приложение в среде Borland C++ Builder, в котором реализованы данные методы. Для написания программы на Borland C++ Builder развиты методы использования математических библиотек MATLAB при программировании на Borland C++ Builder. Описание программы для анализа данных на языке MATLAB приведено в приложении 5. Листинги приложения, написанного в среде Borland C++ Builder с использованием математических библиотек C/C++ MATLAB, приведены в книге [18].
В разделе «Приложения» содержится описание программ на Maple и MATLAB, используемых в работе и таблицы фильтров вейвлетов и фильтров восстановления для различных значений коэффициента масштабирования N и степени 5-сплайнар: N=3,N=5,N=7, N=9,p=\,p=2,p=3.
