Содержание к диссертации
Введение
1 Метод гармонического суперпространства для N = 2 супер симметричных моделей 16
1.1 Гармоническое суперпространство 16
1.2 Гармонические -функции и гармонические распределения . 19
1.3 Аналитическое подпространство, аналитические суперполя . 21
1.4 Безмассовые гипермультиплеты 25
1.5 Формулировка модели N = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве 27
2 Низкоэнергетическое эффективное действие модели гипермультиплета в во внешнем калибровочном суперполе 36
2.1 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и ш-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе группы U(l) 36
2.2 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и си-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе произвольной калибровочной группы 38
2.3 Голоморфные эффективные потенциалы гипермультиплетов с калибровочной группой SU(n) 41
2.4 Голоморфные эффективные потенциалы для калибровочной группы SO(n) 43
2.5 Sp(n) калибровочная группа .< 47
3 Н = 2 Суперсимметричные теории и некоммутативная геометрия 49
3.1 Введение некоммутативного умножения в теории поля . 49
3.2 Формулировка классических действий некоммутативных N =2 суперсимметричных моделей 53
3.2.1 Некоммутативный ^-гипермультиплет 53
3.2.2 Некоммутативный векторный мультиплет . 55
3.2.3 Взаимодействие гипермультиплета с векторным су-перполем 57
3.3 Примеры квантовых вычислений в некоммутативных JV = 2 суперсимметричных моделях в гармоническом суперпро странстве 59
3.3.1 Модель некоммутативного ^-гипермультиплета . 59
3.3.2 Векторное суперполе 64
3.3.3 Гипермультиплет во внешнем калибровочном суперполе 66
3.4 Голоморфное эффективное действие некоммутативного-ги пермультиплета во внешнем калибровочном суперполе . 68
3.4.1 Абелев гипермультиплет 70
3.4.2 Неабелев гипермультиплет 73
4 Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 3 супер калибровочной теории 76
4.1 Формулировка теории N = 3 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве 78
4.2 Масштабно-инвариантный N = 3 суперсимметричный эффективный функционал 83
4.3 Компонентная структура эффективного действия 89
4.4 Эффективные уравнения движения 91
4.5 Симметрии эффективного действия 94
Заключение 99
Приложение 102
Литература 105
- Гармонические -функции и гармонические распределения
- Формулировка модели N = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве
- Голоморфные эффективные потенциалы гипермультиплетов с калибровочной группой SU(n)
- Примеры квантовых вычислений в некоммутативных JV = 2 суперсимметричных моделях в гармоническом суперпро странстве
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование суперсимметричных полевых теорий занимает важное место в современной теоретической физике высоких энергий. Во многом это обусловлено наличием тесной связи концепции суперсимметрии с проблемой объединения фундаментальных взаимодействий. В настоящее время считается, что наиболее подходящим кандидатом на роль единой теории является теория струн. Примечательно, что суперсимметрия естественно возникает в теории струн и необходима для ее самосогласованности. Кроме того, суперсимметричные полевые теории появляются в низкоэнергетическом пределе теории струн и поэтому их изучение оказывается очень важным для прояснения различных аспектов теории струн.
Одной из наиболее важных задач в области суперсимметричных полевых теорий является проблема построения эффективного действия. Эффективное действие является центральным понятием квантовой теории поля, определяющим общую структуру полевой теории в квантовой области. В суперсимметричной теории эффективное действие обладает рядом замечательных свойств, обусловленных тем, что суперсимметрия накладывает достаточно жесткие ограничения на форму эффективного действия, в силу чего некоторые величины, характеризующие квантовую теорию, могут быть найдены точно. Широко известным примером является теория J\f = 2 калибровочного мультиплета (так называемая теория Сайберга-Виттна), в которой низкоэнергетическое эффективное действие может быть точно вычислено с учетом как пертурбативных так и непертурбативных вкладов. Этот результат оказался очень важным для понимания свойств суперсимметричных теорий с N = 2 расширенной суперсимметрией и стал основой для множества исследований в этом направлении, в которых рассматривались обобщения данной задачи для N = 2 теорий с различным набором полей материи. В связи с этим достаточно актуальной является общая задача о нахождении голоморфного эффективного действия в теории гипер-мультиплета во внешнем калибровочном суперполе для случая различных калибровочных групп.
Другим важным направлением в квантовой теории поля, возникшем сравнительно недавно, является изучение квантовых аспектов в некоммутативных теориях. В этих теориях подразумевается, что канонические операторы четырехмерных координат пространства Минковского не коммутируют между собой, что приводит возникновению некоторых специфических свойств, таких как частичное изменение характера ультрафиолетовых расходимостей без нарушения свойств причинности и унитарности. Возможность нарушения коммутативности координат вытекает из теории струн, рассмотренной на фоне постоянного _В-поля являющимся 2-формой Навье-Шварца в теории D = 10 супергравитации. В этой связи, некоммутативные суперсимметричные модели возникают естественным образом в низкоэнергетическом пределе теории струн и их изучение оказывается актуальной задачей как для понимания феноменологических свойств этих теорий, так и для развития теории струн.
В рамках суперсимметричных полевых теорий с расширенной супер-
симметрией важное место занимает проблема построения явно суперсимметричной (суперполевой) формулировки классических и квантовых действий таких моделей. Для J\f = 2 и J\f = 3 суперсимметричных теорий решение этой проблемы связано с использование метода гармонического суперпространства, а для N = 4 теории адекватного суперполевого описания в терминах неограниченных суперполей до сих пор не существует. Однако, теории сЛ^ = ЗиЛ/" = 4 суперсимметрией описывают один и тот же мультиплет физических полей и имеют эквивалентную динамику на массовой поверхности. Поэтому изучение квантовых аспектов J\f = 3 суперкалибровочной теории может быть полезно как само по себе, так и для более глубокого понимания Л/" = 4 теории поля Янга-Миллса. Это приводит к актуальной проблеме построения квантового эффективного действия в модели J\f = 3 супер Янга-Миллса в терминах суперполей в гармоническом суперпространстве.
Целью работы является исследование структуры низкоэнергетического эффективного действия в теории коммутативного и некоммутативного ги-пермультиплета во внешнем калибровочном суперполе, а также в теории N = 3 калибровочного суперполя.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.
Вычислено низкоэнергетическое (голоморфное) эффективное действие гипермультиплета взаимодействующего с векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана соответствующей калибровочной алгебры. В частности, найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипер-мультиплетов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп SU(n), SO(n), Sp(2n).
Построены модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного TV = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Получены правила Фейнмана для этих моделей и вычислены простейшие однопетлевые диаграммы Фейнмана. Установлено, что в рассматриваемых квантовых вкладах наблюдается эффект UV/IR-смешивания, который заключается в том, что ультрафиолетовые расходимости переходят в инфракрасные особенности импульсных интегралов. Изучена конкретная структура UV/IR-смешивания в рассматриваемых моделях. Получено также голоморфное эффективное действие модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случае абелевой и неабелевой калибровочной группы.
Найден ведущий низкоэнергетический вклад в эффективное действие в J\f = 3 суперсимметричной модели Янга-Миллса, записанный в J\f = 3 гармоническом суперпространстве. Данное эффективное действие вычислено на основе анализа требований масштабной и R-инвариантности, которые являются следствием суперконформной инвариантности рассматриваемой теорией поля. Получена компонентная структура такого эффективного действия и вычислены соответствующие эффективные уравнения
движения. Найдена группа преобразований, оставляющая данное эффективное действие инвариантным.
Научная и практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты посвящены решению актуальных научных задач и ведут к более глубокому пониманию структуры эффективного действия в J\f = 2 и N = 3 суперсимметричных теориях поля. Практическая значимость результатов обусловливается возможным их применением для решения следующих проблем в области суперсимметричной квантовой теории поля:
Изучение структуры полного эффективного действия в Л/" = 2 суперсимметричных теориях включающего голоморфные и неголоморфные вклады.
Исследование квантовых аспектов в некоммутативных J\f = 2 суперсимметричных теориях с использованием явно суперполевой формулировки на основе метода гармонического суперпространства.
Вычисление низкоэнергетического эффективного действия в J\f = 3 суперкалибровочной модели в терминах неограниченных J\f = 3 су-перполей.
Положения, выносимые на защиту:
Получено низкоэнергетическое эффективное действие гипермульти-плета взаимодействующего с внешним векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы.
Найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипер-мультиплетов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп SU(n), SO(n), Sp(2n).
Сформулированы модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного N = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве.
Квантовые ультрафиолетовые расходимости однопетлевых диаграммах в некоммутативных моделях гипермультиплета и N = 2 векторного суперполя частично изменяют свою структуру и выглядят как ультрафиолетовые особенности соответствующих функций Грина (так называемый эффект UV/IR-смешивания).
Голоморфное эффективное действие модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случае абе-левой и неабелевой калибровочной группы в низкоэнергетическом приближении разбивается в сумму двух слагаемых, одно из которых отвечает за эффект UV/IR-смешивания, а второе совпадает с голоморфным эффективным действием соответствующей коммутативной теории.
Низкоэнергетическое эффективное действие действие в N = 3 суперкалибровочной теории имеет вид функционала от суперполей напряженности, записанного в полном N = 3 суперпространстве. Этот функционал получается в результате масштабно инвариантного обобщения суперполевого действия, отвечающего слагаемому четвертого порядка в действии Борна-Инфельда.
Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 3 суперкалибровочной теории в кулоновой фазе является инвариантным относительно подгруппы J\f = 3 суперконформной группы, состоящей из дила-таций, 75-преобразований, SU(3) автоморфизмов, а также N = 3 супергруппы Пуанкаре. Симметрии относительно конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий оказываются нарушенными.
Апробация работы. Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на международных конференциях: "XXIII международный коллоквиум по методам теории групп в физике", г. Дубна, ОИЯИ, 31 июля - 5 августа 2000 г.; "IX международная конференция по суперсимметрии и объединению фундаментальных взаимодействий" г. Дубна, ОИЯИ, 11-17 июня 2001 г.; "11-я международная конференция по теоретическим и экспериментальным проблемам общей теории относительности и гравитации", г. Томск, 1-7 июля 2002 г; "Суперсимметрии и квантовые симметрии", г. Дубна, 24-29 июля 2003 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, перечисленных в заключительной части автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация изложена на 115 страницах и содержит список литературы из 105 наименований.
Гармонические -функции и гармонические распределения
Здесь второе слагаемое совпадает с потенциалом рассеяния, и мы получаем вариационный принцип Онзагера (4.22) [69] Итак, основные соотношения линейной неравновесной термодинамики и вариационный принцип Онзагера можно получить из принципа Циглера, выбрав о в виде однородной функции степени два. Скажем несколько слов о широко известном принципе минимума производства энтропии Пригожина [72]. С первого взгляда на названия может возникнуть ощущение того, что эти два принципа, Циглера и Пригожина, абсолютно противоречат друг другу. Однако это не так. Как видно из вышеизложенного, с помощью принципа Циглера можно построить дедуктивным образом как линейную, так и нелинейную термодинамику. Из этого принципа как частный случай следует вариационный принцип Онзагера [69], справедливый только для линейной неравновесной термодинамики, а уже из принципа Онзагера, как частное утверждение, справедливое для стационарных процессов, следует принцип минимума производства энтропии Пригожина [69,72,73]. Таким образом, область применимости принципа Пригожина несравненно уже принципа Циглера. Исследователями в различных областях науки, казалось бы, далеких от термодинамики, высказывались идеи, подобные принципу Циглера. Хотя они, как уже говорилось выше, были сформулированы для конкретных задач, упомянем некоторые их них, чтобы иметь представление о возможностях применения принципа максимума производства энтропии. Термодинамический принцип максимума производства энтропии для изучения систем с конвективным переносом использовали Малкус [74] и Буссе [75] для задач по негомогенному турбулентному конвективному переносу тепла в жидкости между теплопроводящими поверхностями, Лоренц [76] для описания атмосферы. энтропии Пригожина [72]. С первого взгляда на названия может возникнуть ощущение того, что эти два принципа, Циглера и Пригожина, абсолютно противоречат друг другу. Однако это не так. Как видно из вышеизложенного, с помощью принципа Циглера можно построить дедуктивным образом как линейную, так и нелинейную термодинамику. Из этого принципа как частный случай следует вариационный принцип Онзагера [69], справедливый только для линейной неравновесной термодинамики, а уже из принципа Онзагера, как частное утверждение, справедливое для стационарных процессов, следует принцип минимума производства энтропии Пригожина [69,72,73]. Таким образом, область применимости принципа Пригожина несравненно уже принципа Циглера. Исследователями в различных областях науки, казалось бы, далеких от термодинамики, высказывались идеи, подобные принципу Циглера.
Хотя они, как уже говорилось выше, были сформулированы для конкретных задач, упомянем некоторые их них, чтобы иметь представление о возможностях применения принципа максимума производства энтропии. Термодинамический принцип максимума производства энтропии для изучения систем с конвективным переносом использовали Малкус [74] и Буссе [75] для задач по негомогенному турбулентному конвективному переносу тепла в жидкости между теплопроводящими поверхностями, Лоренц [76] для описания атмосферы. Наибольшего успеха добился Палтридж [77, 78]: с помощью термодинамической зонной модели, дополненной принципом максимума производства энтропии, он рассчитал глобальную динамику климатических изменений и получил среднегодовое распределение температуры, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Особый интерес вызывает принцип максимума производства энтропии, сформулированный в кинетической теории газов, так как он является доказанным на языке функций распределения в рамках решения уравнения Больцмана методом Чемпена-Энскога [79]. Он касается вопросов определения стационарных функций распределения и значений кинетических коэффициентов, например, теплопроводности, если задано значение постоянной термодинамической силы (градиента температуры) и формулируется так: в неравновесных системах функция распределения по скоростям такова, что при заданных градиентах температуры и скорости плотность производства энтропии, обусловленная столкновениями молекул, максимальна. Этот принцип впервые установлен Колером [80-81]. Обсуждение его, а также других вариационных принципов можно найти в работах Займана [82-83]. Термодинамическое обобщение этого принципа вводится в [82]. Рассмотрим все наборы термодинамических потоков такие, что для заданных сил система находится в стационарном состоянии. Тогда из всех потоков, удовлетворяющих этому условию, реализуются те, которые обеспечивают максимум производства энтропии. Математическая запись этого принципа аналогична принципу Циглера (4.2) но вариация (4.23) обозначает варьирование по функциям распределения по скоростям молекул, а не по потокам как в (4.2). Рассмотрим задачу морфологического Особый интерес вызывает принцип максимума производства энтропии, сформулированный в кинетической теории газов, так как он является доказанным на языке функций распределения в рамках решения уравнения Больцмана методом Чемпена-Энскога [79]. Он касается вопросов определения стационарных функций распределения и значений кинетических коэффициентов, например, теплопроводности, если задано значение постоянной термодинамической силы (градиента температуры) и формулируется так: в неравновесных системах функция распределения по скоростям такова, что при заданных градиентах температуры и скорости плотность производства энтропии, обусловленная столкновениями молекул, максимальна. Этот принцип впервые установлен Колером [80-81]. Обсуждение его, а также других вариационных принципов можно найти в работах Займана [82-83]. Термодинамическое обобщение этого принципа вводится в [82]. Рассмотрим все наборы термодинамических потоков такие, что для заданных сил система находится в стационарном состоянии. Тогда из всех потоков, удовлетворяющих этому условию, реализуются те, которые обеспечивают максимум производства энтропии. Математическая запись этого принципа аналогична принципу Циглера (4.2) но вариация (4.23) обозначает варьирование по функциям распределения по скоростям молекул, а не по потокам как в (4.2). Рассмотрим задачу морфологического отбора при кристаллизации из
Формулировка модели N = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве
Рассмотрим действие д-гипермультиплета (1.40) Очевидно, данное действие инвариантно относительно глобальных преобразований вида +/=ei\+ \ = \аТа где Та - генераторы полупростой компактной группы [Та, Tb] = ifabcTc, Xа - постоянные параметры. Теория Янга-Миллса строится стандартным образом - путем локализации калибровочных параметров А: Для того, чтобы сохранить инвариантность действия (1.56) относительно локальных преобразований (1.58) необходимо ввести калибровочное суперполе, ковариантизующее гармоническую производную Суперполе V++ должно быть вещественным V++ = V++ и аналитическим D+V++ = D V++ = 0 поскольку действие (1.56) вещественно. Легко получить закон калибровочных преобразований для суперполя V++ В результате мы приходим к действию которое инвариантно относительно локальных калибровочных преобразований (1.57), (1.60). Рассмотрим компонентный состав калибровочного суперполя V++. Для этого воспользуемся калибровочным произволом (1.60) и наложим калибровку, аналогичную калибровке Весса-Зумино для N = 1 суперсимметрии [3], в которой устранен бесконечный ряд калибровочных компонент, тогда V++ примет вид [26] Здесь ф(хА) - комплексный скаляр, А {хА) - калибровочное векторное поле, фга(хА), фаг(хА) образует один дираковский спинор, Fl (xA) - триплет вспомогательных полей. Все поля находятся в присоединенном представлении калибровочной группы. Как видно из (1.62), компонентный состав су-перполя V++ в точности соответствует модели N = 2 супер Янга-Миллса. Следовательно, V++ может являться подходящим препотенциалом, который не ограничен никакими связями. Это суперполе будет использоваться для построения классического действия в данной модели. Связи в теории N — 2 супер Янга-Миллса имеют вид [38, 40] (см. также книгу [2]) Оказывается, в гармоническом суперпространстве эти связи могут быть легко и красиво разрешены. Для этого свернем индексы i,j в (1.63) с гармониками ufuj , получим Решение данных уравнений записывается в очень простом виде где v = v(z,u) - некоторое суперполе, называемое мостом [26]. Обсудим смысл данного суперполя.
Можно ра локальных калибровочных преобразований (1.57), (1.60). Рассмотрим компонентный состав калибровочного суперполя V++. Для этого воспользуемся калибровочным произволом (1.60) и наложим калибровку, аналогичную калибровке Весса-Зумино для N = 1 суперсимметрии [3], в которой устранен бесконечный ряд калибровочных компонент, тогда V++ примет вид [26] Здесь ф(хА) - комплексный скаляр, А {хА) - калибровочное векторное поле, фга(хА), фаг(хА) образует один дираковский спинор, Fl (xA) - триплет вспомогательных полей. Все поля находятся в присоединенном представлении калибровочной группы. Как видно из (1.62), компонентный состав су-перполя V++ в точности соответствует модели N = 2 супер Янга-Миллса. Следовательно, V++ может являться подходящим препотенциалом, который не ограничен никакими связями. Это суперполе будет использоваться для построения классического действия в данной модели. Связи в теории N — 2 супер Янга-Миллса имеют вид [38, 40] (см. также книгу [2]) Оказывается, в гармоническом суперпространстве эти связи могут быть легко и красиво разрешены. Для этого свернем индексы i,j в (1.63) с гармониками ufuj , получим Решение данных уравнений записывается в очень простом виде где v = v(z,u) - некоторое суперполе, называемое мостом [26]. Обсудим смысл данного суперполя. Можно рассматривать различные представления одной и той же калибровочной группы на суперполях. Одно из представлений уже было исполь зовано в (1.60). Оно строится на основе аналитических параметров калибровочной группы Ла = Ха(д,и) И является представлением на аналитических суперполях q+ = g+( ,w). При этом приходилось ковариантизовать производную D++ (1.59), а производные D+, D автоматически являются ковариантными: V+ = D+, Vt = Dt. Назовём это представление аналитическим или А-представлением. Можно ввести другое представление калибровочной группы. Рассмотрим и±г-независимые суперполя ф(г) на Л/ = 2 суперпространстве. Представление калибровочной группы выберем также в виде и±г-независимых операторов Для такого представления нам надо будет ковариантизовать производные ссматривать различные представления одной и той же калибровочной группы на суперполях. Одно из представлений уже было исполь зовано в (1.60). Оно строится на основе аналитических параметров калибровочной группы Ла = Ха(д,и) И является представлением на аналитических суперполях q+ = g+( ,w). При этом приходилось ковариантизовать производную D++ (1.59), а производные D+, D автоматически являются ковариантными: V+ = D+, Vt = Dt. Назовём это представление аналитическим или А-представлением. Можно ввести другое представление калибровочной группы. Рассмотрим и±г-независимые суперполя ф(г) на Л/ = 2 суперпространстве. Представление калибровочной группы выберем также в виде и±г-независимых операторов Для такого представления нам надо будет ковариантизовать производные аа аа = а а + аа именно ОНИ СТОЯТ В равенстве (1.64). В таком представлении производная D++ является, очевидно, автоматически кова-риантной V++ = D++, так как параметры представления (1.66) не зависят от и. Потребуем чтобы существовало такое поле v(z,u), которое бы осуществляло связь между этими представлениями. Рассмотрим одно и то же (аналитическое) суперполе в аналитических координатах (1.22) (обозначим его р) и общих Af = 2 координатах (1.1) (обозначим его ф). Калибровочные преобразования для этого суперполя в аналитических и центральных координатах записываются
Голоморфные эффективные потенциалы гипермультиплетов с калибровочной группой SU(n)
В присоединенном представлении как гипермультиплеты, так и суперполе У++ являются алгеброзначными суперполями. Действие оператора V++ на гипермультиплеты в данном случае задается в виде коммутатора Алгеброзначные суперполя Q+, Q+, 0,,0,, V++ имеют следующее разложение по базису (2.25) Одномерные весовые подпространства образованы векторами е . Не трудно найти все веса данного представления С использованием весов (2.27) находим голоморфные эффективные действия q- и ы-гипермультиплетов где Wij = W{ — Wj, a 1 выражаются через V ++ согласно (1.87). Аналогичный результат был представлен ранее в работах [57, 58, 59, 60] для N = 2 SU(n) теории Янга-Миллса. Голоморфные эффективные потенциалы (2.28) по своей структуре согласуются с результатами этих работ и отличаются только коэффициентами, что обусловливается другим числом степеней свободы у данных моделей. Для подтверждения правильности коэффициентов можно сравнить (2.28) с найденным в [45] голоморфным эффективным действием вещественного о;-гипермультиплета, минимально взаимодействующего с калибровКартана алгебры so(2n), удобно выбрать в виде Для удобства мы нумеруем базисные векторы в виде e_n,..., e_i, ei,. .., еп вместо еі,...,Є2П- Как видно из (2.31), суперполя ±V ++ являются весами данного представления. Подставляя данные веса в выражения (2.19), получаем голоморфные потенциалы Напряженности W{ выражаются через V ++ обычным образом (1.87). В данном случае гипермультиплеты имеют на одну компоненту больше, чем для представления SO(2n), а калибровочное суперполе задается матрицей t Аналогично, как и в предыдущей случае, можно найти собственные векторы данного оператора и соответствующие собственные значения. В данном представлении кроме весов (2.31) имеется еще и нулевой вес, который не даст вклада в эффективное действие. Поэтому получаем, что эффективные действия гипермультиплетов имеют в точности такой же вид, как и в предыдущем случае Этот результат является следствием того, что алгебры so(2n + 1) и so{2n) имеют одинаковые подалгебры Картана.
Присоединенное представление SO{2n) В присоединенном представлении пространством представления является сама алгебра, поэтому необходимо зафиксировать базис в калибровочной алгебре. Выберем его в виде (2.36) Векторы E±Xk образуют одномерные корневые подпространства в so(2n), а подалгебра Картана натягивается на векторы Ек (см. [99]). Теперь можно записать разложение суперполей Q+, Q+, О,, Cl, V++ по базису (2.35) Зная веса представления, получаем голоморфные действия гипермульти плетов Подалгебра Картана поочным полем группы SU(2). Не трудно убедиться, что при п = 2 голоморфный потенциал F iW) (2.28) полностью совпадает с аналогичным результатом [45] при соответствующем выборе нормировки базисных элементов (2.25). Калибровочные алгебры so(2n) и so(2n +1) мы будем рассматоивать отдельно., Это связано с тем, что они принадлежат разным классам согласно классификации алгебр по методу схем Дынкина [100], и, следовательно, имеют отличающиеся корневые разложения. Фундаментальное представление SO(2n) Фундаментальное представление алгебры so{2n) задается антисимметричными матрицами порядка 2п, действующими в комплексном 2п-мерном векторном пространстве. Суперполе V++, лежащее в подалгебре Картана алгебры so(2n), удобно выбрать в виде Для удобства мы нумеруем базисные векторы в виде e_n,..., e_i, ei,. .., еп вместо еі,...,Є2П- Как видно из (2.31), суперполя ±V ++ являются весами данного представления. Подставляя данные веса в выражения (2.19), получаем голоморфные потенциалы Напряженности W{ выражаются через V ++ обычным образом (1.87). В данном случае гипермультиплеты имеют на одну компоненту больше, чем для представления SO(2n), а калибровочное суперполе задается матрицей t Аналогично, как и в предыдущей случае, можно найти собственные векторы данного оператора и соответствующие собственные значения. В данном представлении кроме весов (2.31) имеется еще и нулевой вес, который не даст вклада в эффективное действие. Поэтому получаем, что эффективные действия гипермультиплетов имеют в точности такой же вид, как и в предыдущем случае Этот результат является следствием того, что алгебры so(2n + 1) и so{2n) имеют одинаковые подалгебры Картана. Присоединенное представление SO{2n) В присоединенном представлении пространством представления является сама алгебра, поэтому необходимо зафиксировать базис в калибровочной алгебре. Выберем его в виде (2.36) Векторы E±Xk образуют одномерные корневые подпространства в so(2n), а подалгебра Картана натягивается на векторы Ек (см. [99]). Теперь можно записать разложение суперполей Q+, Q+, О,, Cl, V++ по базису (2.35) Зная веса представления, получаем голоморфные действия гипермульти плетов Подалгебра Картана по-прежнему образована векторами Ек. В данном случае кроме весов (2.38) имеются еще и веса, связанные с векторами ЕХк Поэтому голоморфные потенциалы получают дополнительные слагаемые, определяемые этити весами Напряженности W{ строятся по V++ стандартным образом (1.87). Аналогичные результаты были получены ранее для N = 2 Янга-Миллса с калибровочными группами SO(2n), SO{2n+ 1) в работах [61, 62, 63].
Примеры квантовых вычислений в некоммутативных JV = 2 суперсимметричных моделях в гармоническом суперпро странстве
Согласно определению, однопетлевое эффективное действие д-гипер-мультиплета может быть записано в виде следующего функционального е где Sqq = дд++, аналогично для S , 5 , 5 . Низшим порядком теории возмущения для эффективного действия (3.41) является однопетлевая четырехточечная диаграмма. Остановимся подробно на ее вычислении. Однопетлевая четырехточечная функция, определяемая выражением (3.41), является суммой двух слагаемых которые соответствуют диаграммам различного типа: Согласно правилам Фейнмана (3.18,3.21) для (3.43,3.44) получаем следующие выражения: тивности: , (3.47) В выражении (3.45) необходимо восстановить полную грассманову меру, проинтегрировать по части грассмановых переменных, тогда получаем следующее выражение случая наличием функций FS)t. Они могут изменять ультрафиолетовое поведение интегралов (3.46) за счет осциллирующих факторов, что приводит к появлению UV/IR-смешивания в некоммутативных теориях. Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Функции FSyt можно разбить в сумму двух слагаемых, на так называемую плоскую и неплоскую части Смысл такого разбиения в том, что в плоских вкладах выделены слагаемые, не содержащие импульса к, по которому идет интегрирование в (3.46). Для плоских вкладов после простых преобразований можно получить следующие выражения Подставляя вы восстановить полную грассманову меру, проинтегрировать по части грассмановых переменных, тогда получаем следующее выражение случая наличием функций FS)t. Они могут изменять ультрафиолетовое поведение интегралов (3.46) за счет осциллирующих факторов, что приводит к появлению UV/IR-смешивания в некоммутативных теориях. Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Функции FSyt можно разбить в сумму двух слагаемых, на так называемую плоскую и неплоскую части Смысл такого разбиения в том, что в плоских вкладах выделены слагаемые, не содержащие импульса к, по которому идет интегрирование в (3.46). Для плоских вкладов после простых преобразований можно получить следующие выражения Подставляя выражения (3.50) в интегралы (3.46) видим, что вклады от плоских диаграмм имеют те же расходимости, что и диаграммы в модели коммутативного гипермультиплета, т.е. инфракрасную расходимость (при всех внешних импульсах равных нулю), которую можно избежать, рассматривая массивную теорию и ультрафиолетовую расходимость.
Ультрафиолетовая расходимость не может быть устранена перенормировкой константы связи по той же причине, что и для обычного (/-гипермультиплета. Это связано с тем, что константа связи имеет размерность —2 [28]. Таким образом, теория некоммутативного д-гипер-мультиплета является неперенормируемой, также как и соответствующая коммутативная теория. Изучим теперь структуру неплоских диаграмм. После раскрытия скобок в выражении (3.47) и тригонометрических преобразований получится большое количество слагаемых вида с различными комбинациями импульсов pi. Такие выражения определяют вид интегралов (3.46) неплоского типа Интеграл по импульсам, входящий в выражение (3.52) не имеет ультрафиолетовой расходимости. Чтобы оценить инфракрасное поведение выражения (3.52) рассмотрим стандартный импульсный интеграл, возникающий во всех неплоских двухточечных диаграммах ражения (3.50) в интегралы (3.46) видим, что вклады от плоских диаграмм имеют те же расходимости, что и диаграммы в модели коммутативного гипермультиплета, т.е. инфракрасную расходимость (при всех внешних импульсах равных нулю), которую можно избежать, рассматривая массивную теорию и ультрафиолетовую расходимость. Ультрафиолетовая расходимость не может быть устранена перенормировкой константы связи по той же причине, что и для обычного (/-гипермультиплета. Это связано с тем, что константа связи имеет размерность —2 [28]. Таким образом, теория некоммутативного д-гипер-мультиплета является неперенормируемой, также как и соответствующая коммутативная теория. Изучим теперь структуру неплоских диаграмм. После раскрытия скобок в выражении (3.47) и тригонометрических преобразований получится большое количество слагаемых вида с различными комбинациями импульсов pi. Такие выражения определяют вид интегралов (3.46) неплоского типа Интеграл по импульсам, входящий в выражение (3.52) не имеет ультрафиолетовой расходимости. Чтобы оценить инфракрасное поведение выражения (3.52) рассмотрим стандартный импульсный интеграл, возникающий во всех неплоских двухточечных диаграммах
