Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время многие физики-теоретики проявляют интерес к новым методам в теоретической физике, не связанным с теорией возмущений. Бурное развитие двумерных конформных теорий поля, топологических теорий в трех измерениях и успехи в области точно решаемых решеточных мод -лей квантовой теории поля и статистической фпзпкп привели нас к лучшему пониманию фазовой структуры многих физических теорий и, в конечном счете, позволяют надеяться на хотя бы частичную классификацию интегрируемых теорий в двух и трех измерениях.
Особое место в этот! иерархии новых методов занимает теория уравнения Янга-Бакстера. Это уравнение впервые появилось в конце шестидесятых годов в виде условия факторизуемости многочастичных амплитуд рассеяния в двумерных квантовых теориях поля. Оно также возникает естественным образом как локальное условие интегрируемости в двумерных решеточных моделях статистической физики. Справедливость уравнения Янга-Бакстера для больцмановских весов решеточной модеші гарантирует коммутативность трансфер-матриц, зависящих от разных спектральных параметров, что, как правило, позволяет вычислить удельную свободную энергию в термодинамическом пределе.
Являясь чисто алгебраической системой нелинейных функциональных соотношений, уравнение Янга-Бакстера допускает в принципе полную классификацию всех его решений. К сожалению, эта проблема является чрезвычайно сложной и решена только для случая матриц минимальной размерности. Более того, сравнительно недавно выяснилось, что уравнение Янга-Бакстера имеет решения, зависящие от спектральных параме-
тров, которые "живут" на алгебраических кривых высокого рода и не удовлетворяют "разностному" свойству.
Уравнение Янга-Бакстера тесно связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния. Изучение новых решений этого уравнения позволяет продвигаться в квантовании двумерных релятивистских квантовых теорий поля. Более того, квантовый метод обратной задачи явился по сути первоначальным толчком в развитии новых алгебраических структур — квантовых алгебр. Развитие теории квантовых алгебр на основе понятия алгебры Хопфа привело к новым успехам в двумерных конформных теориях поля и топологических моделях в трех измерениях. Кроме того, новые решения' уравнения Янга-Бакстера приводит к новым нетривиальным примерам алгебр такого типа. Оказывается, что циклические представления квантовых алгебр ответственны за наличие интегрируемых двумерных моделей без "разностного" свойства. Это стимулирует изучение структуры неприводимых представлений для всех серий квантовых алгебр.
Другое направление в этой области связано с изучением трехмерных интегрируемых моделей. Как выяснилось, так называемые "минимальные" представления для квантовой алгебры Uq(sl(n)) приводят к классу двумерных интегрируемых моделей, допускающих трехмерное локальное расслоение. Этот новый класс трехмерных моделей обобщает единственный нетривиальный пример интегрируемой модели в трех измерениях — модель Замолодчикова — на большее число состояний. Все эти трехмерные модели удовлетворяют уравнению тетраэдра (трехмерному аналогу уравнения Янга-Бакстера).
Основные задачи диссертационной работы
-
Построить общие неприводимые циклические L-операторы, которые сплетаются тригонометрической ії-матрицей, соответствующей серии Л„_і и связанной с квантовой алгеброй Uq(sl(n)).
-
Используя эти неприводимые циклические L-операторы, построить новый класс решений уравнения Янга-Бакстера с больцмановскими весами, лежащими на пересечении алгебраических кривых высокого рода.
Научные результаты и новизна работы
В диссертации решены следующие проблемы:
1. На примере простейшего случая циклических представлений для алгебры i/?(sf(3)) реализована процедура нахождения сплетающей матрицы в "тригонометрическом" пределе. Построена простейшая интегрируемая
модель с четырьмя состояниями с эрмитовым гамильтонианом, зависящим от двух свободных параметров.
-
Решена задача построения общих неприводимых циклических і-операторов, связанных с квантовой алгеброй Uq(sl(n)), с простейшей полиномиальной зависимостью от спектрального параметра.
-
Построен новый класс интегрируемых двумерных решеточных моделей с iVn(n~^^-состояниями, где п и N — натуральные числа, удовлетворяющие условиям п > 3, N > 2. Больцмановские веса этого класса моделей удовлетворяют алгебраическим соотношениям высокого порядка и зависят от п свободных параметров модулей.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты имеют приложения в статистической механике в двух и трех измерениях, в двумерных конформных теориях поля и в теории квантовых групп. Циклические /.-операторы, построенные в первых двух главах, должны соответствовать мультипараметрической деформации для квантовой алгебры Uq(s((n)). Вопрос о точном соответствии с циклическими представлениями "стандартной" алгебры Uq(sl(n)) нуждается в дополнительном исследовании.
Новый класс интегрируемых моделей, построенных в третьей главе, может оказаться проекцией интегрируемой модели в трех или четырех измерениях на двумерную плоскость. Кроме того, интересно понять, какая конформная двумерная теория поля соответствует критической точке построенного класса моделей. Наличие n-независимых параметров модулей указывает на возможность одновременного возмущения соответствующей конформно-инвариантной теории поля сразу несколькими операторами, как и в случае "минимальных" представлений.
Так как достаточно сложное алгебраическое многообразие, на котором "живут" спектральные параметры, оказывается произведением связанных алгебраических кривых, то естественно возникает вопрос о возможности существования решений уравнения Янга-Бакстера с больцмановскими весами, удовлетворяющими таким алгебраическим соотношениям, которые бы определяли нефакторизуемое многомерное многообразие. Поэтому интересно понять, какие типы алгебраических многообразий соответствуют сплетающим матрицам для циклических представлений других квантовых алгебр.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и докладывались на Международном математическом семинаре
в Киото, Япония (1991), в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, г. Дубна, на семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, двух приложений и заключения. Список литературы содержит 45 наименований. Объем диссертации 69 страниц.
