Содержание к диссертации
Введение
1 Конформная модель расслоения Хопфа 17
1.1 Расслоение'группы обратимых элементов алгебры кватернионов 17
1.2 Метрика и связность в расслоении Хопфа 20
1.3 Конформная модель расслоения Хопфа 26
1.4 Вращения, сохраняющие расслоение Хопфа 32
2 Псевдоконформные модели расслоений 38
2.1 Псевдоконформные модели расслоений, определяемыхподалгеброй комплексных чисел 38
2.1.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов I 38
2.1.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1) 42
2.1.3 Псевдоконформная модель расслоения (523(1),7г,М) 47
2.1.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1) 53
2.1.5 Псевдоконформная модель расслоения (5|(-1),тг5М) 56
2.1.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определя емые подалгеброй комплексных чисел 61
2.2 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй двойных чисел 67
2.2.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватерниоиов II 67
2.2.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1) 70
2.2.3 Псевдоконформная модель расслоения (5|(1),7г,М) 76
2.2.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1) 80
2.2.5 Псевдоконформная модель расслоения (5|(-1),7Ґ,М) 84
2.2.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй двойных чисел 88
2.3 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй дуальных чисел 91
2.3.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов III 91
2.3.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1) 95
2.3.3 Псевдоконформная модель расслоения (523(1),тг,М) 99
2.3.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 51(-1) 101
2.3.5 Псевдоконформная модель расслоения (51(-1),^, М) 104
2.3.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй дуальных чисел 106
Проективизация конформных моделей расслоений 108
1 Проективизация конформных моделей неевклидовых пространств 108
2 Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй кватернионов 112
3 Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов 116
Список литературы
- Метрика и связность в расслоении Хопфа
- Вращения, сохраняющие расслоение Хопфа
- Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1)
- Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй кватернионов
Введение к работе
Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является для казанской геометрической школы достаточно традиционной. Еще А.П.Котельников в начале XX века, развивая теорию винтов трехмерных неевклидовых пространств, использовал геометрию пространств над алгебрами комплексных и двойных чисел. Затем П.А.Широков, отталкиваясь от его идей, в 1925 г. ввел класс римановых А-пространств. впоследствии получивший название ке-леровых. Он же вслед за А.П. Котельниковым рассматривал вопрос о применении винтового исчисления к задачам дифференциальной геометрии.
В послевоенные годы исследования по применению алгебр в геометрии в Казанском университете были продолжены. А.П.Норден, основатель метода нормализации поверхностей проективного пространства, и его ученики изучали геометрию биаксиальных и биаф-финных пространств, разнообразные их применения к вопросам линейчатой геометрии пространств постоянной кривизны. Так, он показал, что в линейчатой геометрии неевклидовых пространств любой размерности возникают келеровы структуры, определяемые алгебрами комплексных и двойных чисел. А.П.Широков, исследуя би-планарные пространства — многомерное обобщение биаксиальных пространств, пришел затем к теории пространств со структурами, определяемыми алгебрами весьма общего вида — ассоциативными и унитальными. В.В.Вишневский изучал пространства с интегрируемой аффинорной структурой и их отображение на многообразия над некоторой алгеброй. Таким образом, в работах А.П.Нордена, а затем А.П.Широкова, В.В.Вишневского и их учеников теория пространств над алгебрами сформировалась в новое направление, которое стало основным в исследованиях на кафедре геометрии Казанского университета.
Структуры, определяемые алгебрами, естественным образом возникают на расслоенных многообразиях различного типа. Такого рода структуры представляет особый интерес в связи с тем, что они находят многочисленные применения в математике, механике и теоре-
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ і БИБЛИОТЕКА {
тической физике. Так, А.П.Широков показал, что касательные расслоения произвольного порядка несут на себе естественную структуру, определяемую алгебрами плюральных чисел. В.В.Вишневский построил теорию полукасательных расслоений и показал, что они несут на себе нильпотентную аффинерную структуру самого общего вида. Развивая эти идеи, В.В.Шурыгин исследовал расслоения струй, геометрию многообразий над локальными алгебрами А.Вейля. М.А.Малахальцев связал геометрию пространств над алгебрами с теорией слоений. В связи с этим следует также отметить работы Б.Н.Шапукова по теории векторных и, в частности, тензорных расслоений. Н.Е.Белова в своих работах получила класс главных расслоений, определяемых алгебрами 3-го и 4-го порядка при их факторизации по подалгебрам. Тем самым были найдены многочисленные аналоги известного расслоения Хопфа.
Из всего сказанного следует, что вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению различных расслоений со структурами алгебраического типа являются актуальными и представляют научный интерес. В частности, интерес представляет построение различных моделей расслоений. Объектом исследования настоящей работы являются конформные и псевдоконформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка, допускающими скалярное произведение. Это алгебры кватернионов и антикватернионов.
Цель работы. С помощью стереографического отображения гиперсфер 4-мерного евклидова и псевдоевклидова пространств построить и исследовать соответственно конформные и псевдоконформные модели расслоений этих пространств, полученных с помощью факторизации алгебр кватернионов и антикватернионов по подалгебрам второго порядка.
Научная новизна. В диссертации построены и изучены 3-мерные (псевдо)конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка — кватернионов и антикватернионов. Рассмотрена проективизация этих моделей. Тем самым получен и исследован ряд новых расслоений 3-мерных неевклидовых пространств, являющихся аналогами известного расслоения Хопфа.
Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного исчисления, групп Ли, теория расслоенных пространств, методы построения стереографической проекции.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Бе результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях расслоений неевклидовых пространств, а также в учебном процессе.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (научный руководитель проф. Шапуков Б.Н.). Они были доложены также на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2003" (г. Казань, 2003 г.) и на итоговой конференции в филиале КГУ (г. Зеленодольск, 2004 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ. Одна из них написана совместно с Б.Н.Шапуковым (автору принадлежат первые два параграфа).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя числами, где первое означает номер главы, а второе — номер формулы. Параграфы обозначаются двумя числами, а пункты — тремя, где первое означает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — номер пункта. Объем работы — 128 страниц машинописного текста, библиография содержит 64 наименования.
Метрика и связность в расслоении Хопфа
Найдем риманову метрику сферы 53 в этих координатах. Для этого найденное выше ее параметрическое уравнение запишем в векторном виде. Если ввести пару ортогональных ортов а = -—(и, и, 1,0), a = Ja = -j=(-v, и, 0,1), то уравнение сферы запишется в виде х = acos + asin . (1.17) Найдем компоненты матрицы метрического тензора д в — {ХА хв)і (А, В = 1,2,3), где X! = х„, х2 = xv, х3 = хр. Имеем Ху = а„ cos у) + a„sin ip, xv = a cos -b a.vsm(p,
Заметим, что элементы матрицы не зависят от ц . Это значит, что преобразование структурной группы ф = ip + t является движением 3-сферы 53. Отметим, что риманово пространство (53, д) является пространством постоянной кривизны К — 1.
3. Построим связность в расслоении Хопфа [11], [36], т. е. горизонтальное распределение, инвариантное относительно действия структурной группы. В адаптированных координатах действие группы SO(2) имеет вид й = и, v = v, ф = tp + tt где t — канонический параметр группы. Поэтому dip есть фундаментальное (и, следовательно, вертикальное) векторное поле.
Форму связности to выберем так, чтобы выполнялись два условия. Во-первых, горизонтальное распределение Н должно быть дополнительным к вертикальному, т. е. co(V) ф 0. Но всякая линейная дифференциальная форма на 53 имеет вид UJ = LUi(u,v,(p)du -\-U2(u,v,(p)dv -{- co (u,v,ip)dip, а ее значение на векторном поле V равно UJ(V) = ш . Поэтому первое условие дает ш$ Ф 0. Потребуем, чтобы щ = 1 Є 0, где 1 — базисный элемент алгебры Ли Ш. Тем самым задана определенная нормировка формы связности.
Во-вторых, выберем Н так, чтобы оно было инвариантным при действии структурной группы. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты ш\ и и 2 не зависят от р, а только от базисных координат (u,v). При выполнении этих двух условий форма связности принимает вид ш = T\{u,v)du + Г2(м, v)dv + dip, где Гі и Г2 — произвольные функции базисных координат. Отметим, что 1-формы du,dv,co образуют неголоиомный кобазис, адаптированный к расслоению. Таким образом, справедлива
Теорема 3 Инвариантная связность расслоения Хопфа в адаптированных координатах имеет вид и - Гі(и, v)du + Г2(«, v)dv + dy? = 0, (1.19) где Ti(u,v), Г2(11, v) — произвольные гладкие функции на сфере S2.
Выберем теперь коэффициенты связности так, чтобы горизонтальное распределение было ортогонально слоям и при этом условии обозначим его Н-1. Выбрав базис горизонтального распределения в виде Є{ = д{ — Tidtp, подсчитаем коэффициенты связности. Тогда условие ортогональности горизонтального распределения слоям запишется в виде: (еі, V) = 0, (в2, V) = 0. В результате получим следующую систему уравнений tfi3 - г1#зз = 0 , 523 - Г25зз = 0 Согласно (1-18) отсюда имеем Гі = #13 = , 9 . о і 1-ї 2 — #23 — ТТ"! 2 . ,\ - (1-20) (гг + г + 1] \иА + IT + 1) Подсчитаем тензор кривизны этой связности. Его компоненты определяются по формуле [36] Е « — «.ра _ р.Га У — г 3 3 г где i,j — базисные, а а — слоевой индекс. Так как тензор кривизны кососимметричен по нижним индексам, то его единственной существенной компонентой является Щ2- Имеем
Сделав вычисления, приходим к следующему результату: Теорема 4 Единственная компонента тензора кривизны расслоения Хопфа равна RU = („2 + „2 __ !)2 Отметим, что так как тензор кривизны ненулевой, горизонтальное распределение не инволютивно. Запишем компоненты метрического тензора (1.18) в адаптированном поле реперов еі = ді-Гід„ ег = д(р. (1.22) Так как R\2 ф О, это поле реперов неголономно. Учитывая (1.20), получим / 0 0\ (9 АВ) = 0 О , (1.23) \ 0 0 1/ где, напомним, Р = и2 + v2 + 1 0.
В работе [56] K.Yano и Sh.Ishihara ввели понятия проектируемых римановой метрики и аффинной связности на главном расслоении с 1-мерными слоями и инвариантной инфинитезималыгой связностью Эресмана. К.М.Егиазарян [12] обобщил их результат на произвольные главные расслоения. Рассматривая метрику (1.23), мы видим, что она проектируема и определяет на базе расслоения S2 риманову метрику, которая в натуральном поле реперов имеет компоненты 9tj = ij. (1.24) Это метрика пространства постоянной кривизны К = 1. Построим конформную модель расслоения Хопфа. Для этого рассмотрим стереографическую проекцию [21] сферы Зп X2 = (я0)2 + Г2 = 1 из ее полюса N(1, 0) на экваториальную плоскость Е : ж0 = 0. Пусть {еа} — ортонормированный репер в Е"+1, где а — 0,..., п и х = хаеа ж0ео + хАед. Стереографическое отображение f : Sn л Е" имеет вид [33] « = г о (1-25) где .= $,АЄАі A = 1,..., п или в координатах = 1 0- ) Рассмотрим обратное отображение / 1 : Жп — Sn = „7/-. (1-27) (2 - 1)ер + 2 2 + 1 где 2 = Y A=I(.A)2 или в координатах
Стереографическое отображение — диффеоморфизм, если дополнить евклидово пространство Жп до конформного пространства Сп бесконечно удаленной точкой, соответствующей полюсу сферы. Ограничиваясь случаем п = 3, рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:
Вращения, сохраняющие расслоение Хопфа
Как известно [33], вращения (первого рода) в Е4 могут быть представлены в виде х = axb, где a, b — кватернионы единичного модуля. Они образуют 6-параметрическую группу Ли. Так как левые и правые сдвиги перестановочны, то эта группа является прямым произведением двух 3-параметрических подгрупп паратактических поворотов — левых и правых. В этом параграфе мы рассмотрим вращения, сохраняющие расслоение Хопфа и их конформную интерпретацию.
Рассмотрим сначала левые сдвиги. Справедлива Теорема 6 Левые сдвиги х — ах; а[ = 1 образуют 3-параметри-ческую группу вращений 0(3). Они, вообще говора, не сохраняют расслоение, но содержат 1-параметрическую подгруппу S С SO(3), совпадающую со структурной группой этого расслоения.
Доказательство. Так как а2 = (р0)2 + (р1)2 + (р2)2 + (р3)2 = 1, то левые сдвиги образуют трехпараметричекую группу Ли S3/! , изоморфную 50(3). При действии левого сдвига на правый смежный класс получим Ж.(г)х - аМ(г)х. Это также правый смежный класс лишь при условии а Є Й(г). Это значит, что а = р + ргг, а левый сдвиг является действием структурной группы расслоения, преобразуя слои в себя.
Учитывая (1.10), запишем матрицу этого преобразования = (рУ + (РТ = 1, (1-38) которую можно записать также в виде (1.14). Эти линейные операторы определяют представление структурной группы S расслоения в пространстве IE4 и могут быть записаны также в виде А( р) = costpE + simpl, где инволюция / = А() (см. 1.2 п.1), представляющая сдвиг х — гх, осуществляет поворот на прямой угол в 2-плоскостях расслоения.
Ограничим левые сдвиги х — х = ах на сферу 53 С Е4. С помощью стереографического отображения они порождают преобразования —»=. F() в конформном пространстве С3. Используя декартовы координаты, найдем конформное представление инволюции /. Согласно (1.30)
Запишем преобразование F в адаптированных координатах. При действии этого преобразования й = щ v = v. Найдем функции ф = F(u,v, p). Учитывая параметрические уравнения слоев в адаптированных координатах, получим tgip = . С помощью (1.39), полагая tgcp = I, имеем Ь$ф = — ctg p, откуда ф = (р + . Таким образом, как и следовало ожидать, это поворот точки конформного пространства по окружностям (1.36).
Рассмотрим теперь правые сдвиги х = xb, b = 1. Они образуют 3-параметричекую группу Ли, которая преобразует правые смежные классы в правые: Й.(г)х — M(«)xb. Поэтому они сохраняют расслоение 7г. Действие этой группы в пространстве Е4 представляется специальной ортогональной группой 50(3) с матрицами (1.12)
Рассмотрим, в частности, матрицы линейных операторов, отвечающих умножению кватерниона справа на базисные элементы 1, г, j, к. Используя (1.40), получим соответственно единичную матрицу
В силу правой регулярности представления (1.40) для этих матриц выполняются те же законы умножения, что и для базисных элементов алгебры кватернионов: К.М.Егиазарян, рассматривая проектируемую риманову метрику, доказал [13]: если проектируемая риманова метрика на пространстве главного расслоения допускает некоторую группу Ли К движений, сохраняющих расслоение, то группа ттК является группой движений для спроектированной метрики. Применим этот результат к рассматриваемому случаю. Так как правые сдвиги сохраняют расслоение, то они проектируемы и, следовательно, индуцируют на базе S2 некоторую группу преобразований 50 (3) = 7г50(3).
Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1)
Используя параметрическое уравнение сферы 5(1) (2.16) и формулы стереографической проекции, получим следующую связь между декартовыми и адаптированными координатами псевдоконформного пространства х = jj cos If, у = - sin , z = i(—v cos ip + и sin (p), где В = yP — и cos ip — v sin p. Отсюда нетрудно получить матрицу G метрического тензора пространства С\ в адаптированных координатах: G = /iG, где /л = 2 — конформный множитель.
Найдем уравнения слоев в Cf. Пусть z — [z\ : z i) Є М и z = (и, v) — ее стереографические координаты в области , Ф 0- При z = -получаем z\ — zzi = О или (2.6). Это уравнение 2-плоскости в Е, в которой лежит окружность — слой над точкой 2ёМв расслоении. Подставив сюда выражения (ж0, ж1, ж2, ж3) через (ж, у, z) из формул (2.26) стереографического отображения, получим vx + иу + z = 0 , (ж + и)2 + (у - и)2 - z2 = Р, 2 і /„, п,\2 ,2 _ т (2.34) где Р = и2 + т;2 — 1 0. Плоскости VX -\- иу + z = 0 псевдоевклидовы в С3 относительно изотропного конуса —ж2 — у2 + z2 = 0, т. к. Г -ж2 -у2 + 22 = 0, \ vx + иу + z = 0 есть пара вещественных прямых. (2.34) — это гиперболы, т. к. исключая z, в проекции на евклидову плоскость XOY получим (1 - v2)x2 + (1- и2)у2 - 2uvxy + 2их -2vy + l = 0.
Получаем 2-параметрическое семейство гипербол в С3 — сечений однополостных гиперболоидов (при и2 + v2 1) их диаметральными плоскостями. Действительно, плоскости проходят через центры C(—u,v,0) гиперболоидов и начало координат, т. е. через прямую ОС. Это вещественная прямая с уравнением vx+uy = 0 в плоскости z = 0. Пусть a — угол этой прямой с осью ОХ. Тогда tga = -. Выделим 1-параметрическое подсемейство условием = с = const. Тогда вещественные прямые в плоскости z = 0 принимают вид схЛ-у = О, а центры С(—и, си, 0) гиперболоидов расположены на этих прямых. Гиперболы лежат в плоскостях u(cx-\-y)-\-z — 0. Они огибают конус с осью ОХ. Для этого подсемейства tga = с, откуда a = const. Уравнения гипербол в плоскости XOY принимают вид fv2_1 — т = 1-Назовем семейство (2.34) букетом гипербол.
Подсчитаем значение формы кривизны на горизонтальном распределении. Для этого найдем горизонтальные векторы а — (а1, а2, а3 b = (6і, &2, б3) Є HQ, проектирующиеся в натуральный репер базы (горизонтальные лифты). Они ищутся из систем уравнений вида Гр,а = (1,0) Г р,Ъ = (0,1) \ ш(а) = 0, \ w(b) = 0, где р = я/--т — якобиева матрица проекции (2.27). Тогда вектор а имеет следующие координаты о1 = (x + y f(2(x + yz)2-(x2 + y2)(x2 + y2 + z2 + l)), a2 = {x2 + y2)2(y-xz)(x + yz), a3 = {x2 + y2f{y-xz): где В = 2{y-xz)2{x+yz)2+(x2{2-2z2 + l)+y2{2-l)+4xyz){x+yz)2 2(x2 y2)2(y-xz)2- (x2(e-2z2 l)+ У2К2 - 1) + 4xyz)(x2 + у2 + z2 + 1)(х2 + у2). Вектор b задается следующими координатами Ь1 = - {x2 + y2)2(y-xz)(x-\-yz)} Ь2 = ±(x2+y2)2((x2+y2 + z2 + l)(x2 + y2)-2(y-xz)2), б3 - i{x2 + y2)s(x + yz), где С = 2(y xz)2(x+yz)2-{-x2(e-l)-y2(t2-2z4l)+4xyz)(y-xz)2 2(X2 + y2)\x + + 1(- 2 _1}_ 2/2 - 2z2 + 1) + 4 )( 2 + y2 + г2 + l)(z2 + у2). Отсюда получаем du(a,b) = -8( i) . (2.35) Таким образом, справедлива Теорема 12 Связность псевдоконформной модели расслоения (51(1), , М) задается 1-формой (2.33), а значение ее кривизны в точке (x,y,z) равно (2.35).
Множество антикватернионов мнимого модуля хх — — 1 изображается сферой мнимого радиуса 5(- 1) С Eg псевдоевклидова пространства [33], [32] (я0)2 - (х1)2 - (х2)2 + (z3)2 = -1. (2.36)
Если а Є 5(—1), то преобразования вида х = ах и х = ха, где а2 — —1, являются антивращениями в Е и характеризуются тем, что угол поворота не зависит от выбора вектора х. Они называются паратактическими антиповоротами [33]. Назовем их соответственно левыми и правыми. Матрицы преобразования х = ах имеют вид (2.10) и (2.11), где теперь в случае левых антиповоротов detA = а2 — ai.oi — а2а2 = —1 и det M = —1.
Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй кватернионов
А.П.Норденом [23] была создана теория нормализации, которая нашла многочисленные применения в неевклидовой, конформной и линейчатой геометриях. Приведем основные факты теории нормализованных гиперповерхностей, деривационные уравнения и, в частности, рассмотрим случай полярной нормализации.
Гиперповерхность М с Рп+1 проективного пространства нормализована, если с каждой ее точкой х связана прямая — нормаль первого рода, проходящая через эту точку, но не лежащая в касательной гиперплоскости, а в касательной гиперплоскости задана гиперпрямая, не проходящая через точку касания. Нормаль первого рода определяется расположенной на ней точкой Z, которая не совпадает с точкой х и называется вершиной нормали первого рода. Нормаль второго рода определяется п расположенными на ней точками У- = diX-liX, (3.1) которые называются опорными точками нормали второго рода. Величины U определяют нормализатор. Точки {ж, Y{, Z} образуют в каждой точке гиперповерхности проективный репер. Если точка Z постоянна, что в дальнейшем и предполагается, то основные дери вационные уравнения нормализованной гиперповерхности записываются в виде VjYi = pjix + IjYi + fyZ, коэффициенты которого суть тензорные величины, при этом асимптотический тензор bij симметричен, а ковариантное дифференцирование ведется в относительно некоторой аффинной связности без кручения. А.П.Широковым [41] с помощью теории нормализации были построены конформные модели неевклидовых пространств. Укажем основные моменты этой конструкции.
Пусть в проективном пространстве Рп+1 задана вещественная гиперквадрика Q, которую в дальнейшем мы будем предполагать невырожденной. Выберем такой проективный репер (EQ, En+i)y чтобы вершина En+i была полюсом гиперплоскости yn+1 = 0, прямая EnEn+i пересекала гиперквадрику Q в двух вещественных точках N и N , а вершины EQ, ..., Еп-\ располагались в поляре прямой ЕпЕп+\. Тогда уравнение гиперквадрики Q приводится к виду У2 = ату + (уп)2 - (Уп+1)2 = 0, (3.2) где p,q = 0,..., п — 1. Гиперквадрика (3.2) разделяет Рп+1 на две области: внутреннюю у2 0 и внешнюю у2 0 и пересекает гиперплоскость yn+1 = 0 по действительной или мнимой гиперсфере Q aPqypyq + (Л2 = О Построим стереографическое отображение гиперплоскости Рп : уп+і — о в гиперквадрику Q, принимая точку JV(0 :...:0:1:1) за полюс. Пусть U(y уп 0) Є Рп. Рассмотрим прямую XU + fj,N = (Ху : ... : Ху71-1 : Хуп + д : (j). Точка пересечения этой прямой с Q определяется уравнением X2apqypyq + (Хуп + /л)2 — ц2 = 0, Л ф 0. Положив к = , запишем это уравнение в виде ОиЛ9 + (у71)2 + 2fcyn = 0. 1) Если уп ф 0, т. е. точка U Рп \ то к = -?Щ±Ю1. Таким образом точка пересечения прямой UN с гиперквадрикой Q находится однозначно.
2) Если уп = 0, то apqypyq = 0. Это пересечение Q с (п — 1)-плоскостью у" = 0 — несобственной гиперплоскостью Рп 1 в гиперплоскости yn+1 = 0. Тогда точка пересечения прямой UN с гиперквадрикой Q однозначно не определена. Прямая UN лежит в касательной плоскости Тдг : уп — уп+1 — 0 точки N.
Поэтому следует рассмотреть только тот случай, когда уп ф 0. Тем самым .в гиперплоскости yn+1 = 0 возникает структура аффинного пространства Ап, при которой (п — 1)-мерная плоскость pn-i . уп _ Q является несобственной. Тогда в А" можно ввести декартовы координаты и1 = . Более того, в Ап существует структура евклидова пространства W1 с линейным элементом dsl = ±apqdupduq. (3.3) При этом точка U(u : и1 : ... : ип-1 : 1 : 0) проектируется в точку ХІ(2И : ...: 2ип 1 : 1 - apqupuq : -1 - apqupuq). (3.4) так что декартовы координаты и1 могут служить локальными координатами на квадрике (3.9).
Нормализуем гиперквадрику (3.2) автополярно, взяв за нормали 1-го рода прямые связки с фиксированным центром Z — En+i} а за нормали 2-го рода — их полярные (п — 1)-мерные плоскости, принадлежащие гиперплоскости yn+l = 0. Прямая En+iXi пересечет гиперплоскость yn+1 = 0 в точке Х(2и : ... : 2wn_1 : 1 - apqvPuq : 0). .(3.5)
Заметим, что поляра точки X относительно гиперквадрики (3.2) пересекает гиперплоскость уп+1 = 0 по той (п — 1)-мерной нормали 2-го рода, которая отвечает нормали 1-го рода XiEn+i. Таким образом, в гиперплоскости yn+1 = 0 точке общего положения X ставится в соответствие (п — 1)-мерная плоскость, и гиперплоскость уп+i _ Q оказывается полярно нормализованным проективным пространством Рп с той же геометрией, что и квадрика.
Зададим нормаль 2-го рода опорными точками Y{ = діХ — kX. Находим (X, X) = (1 + apqupuq)2. Точки X иУ; полярно сопряжены, т. е. (X, Yj) = 0. Из этих условий находим нормализатор nsl L- 1 + apqvPuq Разложения djYi = ljYi + V\ 9+Vi3X определяют проективно-евклидову связность Г - и тензор pij. Тогда деривационные уравнения нормализованного пространства Рп: yn+l = о примут вид діХ = Y{ + UX, VjYi - Щ + pijX . (3.6) Ковариантно дифференцируя тождество (X,Yi) = 0, получим (djX,Yi) + (X,VjYi) = 0. Отсюда, согласно (3.6), имеем рг, У,-УО = -ЙХ,УО = -(. - №ВД -( Х - Х, Х - ЦХ) = -(diX.djX) - %{Х,Х). Поэтому _(x,v )_ ( хд-х) 4( №j - (XtX) - (X,X) +Mi_ (1 + a u )2 Таким образом, рассматривая в А" структуру евклидова пространства Еп с прямоугольными координатами и\ получим конформную модель полярно нормализованного проективного пространства Рп, т. е. неевклидова пространства с линейным элементом dsz = gijdvJdu3 = — Ц — _ (3.8) {X + apquPu i)2 Как видно из (3.3) и (3.8), полученное неевклидово пространство конформно евклидову пространству.
В двух следующих параграфах мы рассмотрим в рамках проективной модели главные расслоения, определяемые алгебрами кватернионов и антиква/гернионов, которые были исследованы в предыдущих главах.
