Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения и постановка задачи 8
1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли 8
1.2 Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли so(4) 9
1.3 Отображение момента 10
1.4 Изоэнергетические поверхности 12
2 Бифуркационные диаграммы отображения момента 13
3 Перестройки торов Лиувилля 28
3.1 Прообразы точек бифуркационной диаграммы 28
3.2 Индексы критических окружностей 30
3.3 Инварианты Фоменко для случая Стеклова на so(4) 36
4 Топологический тип изоэнергетических поверхностей 41
4.1 Топологический тип поверхности Q3 41
4.2 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей 54
Литература 61
- Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли so(4)
- Прообразы точек бифуркационной диаграммы
- Инварианты Фоменко для случая Стеклова на so(4)
- Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей
Введение к работе
Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, A.M. Ляпуновым и др.
Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [15], [16], [20], [22]).
Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, называемых уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл. Следует отметить, что для произвольных значений параметров дополнительного интеграла не существует, но до сих пор поиск интегрируемых случаев продолжается.
Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются досто-точно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела.
Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувилля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался очень полезным для качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежит С.Смейлу [20], в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым [30] и Я.В.Татариновым. Я.В.Татариновым исследованы бифуркации двух первых интегралов (интеграла площадей и интеграла энергии [22]) в задаче о движении твердого тела.
В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем плодотворно развивается благодаря работам А.Т.Фоменко. В работе [25] была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы. А.Т.Фоменко и Х.Цишангом [27] построен инвариант интегрируемого боттовского нерезонансного гамильтониана и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем.
Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики. Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории топологической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников [1]. Так, в работах [15], [16] эта теория была применена для топологического исследования случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа. (См. также работы [2], [3], [4], [10], [12], [13], [14], [17], [18], [19], [23], [28], [29], [30], в которых исследуется топология различных интегрируемых случаев).
Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики (в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства.
Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли so(4), so(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопараметрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений.
В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из случаев интегрируемости, а именно, интегрируемого случая уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), который описал А.П.Веселов в работе [7] (см. также [8], где исправлены опечатки в формулах для гамильтониана и дополнительного интеграла). Этот интегрируемый случай аналогичен классическому интегрируемому случаю Стеклова в динамике тяжелого твердого тела (который можно описать в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3)), и поэтому будем называть его также случаем Стеклова. В этом случае дополнительный интеграл квадратичен. Существуют только два случая с квадратичными гамильтонианом и дополнительным интегралом на алгебре Ли so(4)(cm. [7]). Другой случай уже рассмотрен в [16].
В настоящей работе проводится топологический анализ интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4). В частности, исследованы бифуркационные диаграммы отображения момента Н х К, где Н гамильтониан а К дополнительный интеграл, которые рассмотрены как функции на 4-мерных орбитах алгебры (см. рис. 2.3), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту (см. рис. 4.7). Полностью исследованы топологические свойства этого случая, вычислены все возможные молекулы (см. таблицу 3.1), т.е. найден инвариант Фоменко и дана грубая классификация изоэнергетических поверхностей для этого случая (см. рис. 4.8 и таблицу 4.2).
Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке метода описания изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем на алгебре Ли so(4), исследовании топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) и в частности, вычислении инвариантов Фоменко для этого случая.
Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии. В работе используется теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная А.Т.Фоменко.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, определяемого гамильтонианом и дополнительным интегралом случая Стеклова на алгебре Ли so(4), для всех возможных значений параметров системы;
Вычислены индексы критических окружностей и доказано, что для почти всех изоэнергетических поверхностей дополнительный интеграл является боттовским;
Определены перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображе- шія момента;
Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) определен топологический тип;
Для всех изоэнергетических поверхностей интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) вычислен инвариант Фоменко, классифицирующий слоение Лиувилля с точностью до грубой эквивалентности.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении особенностей интегрируемых гамиль-тоновых систем, а также при топологическом анализе таких систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
Научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы"под руководством академика РАН А.Т.Фоменко неоднократно. XXVII Юбилейной Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.
Конференции "36 Annual Iranian Mathematics Conference"Yazd University, Iran, 10-13 Sept, 2005.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31], [32].
Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и четырех глав, списка литературы, 15 рисунков и 3 таблиц.
Благодарность. Автор выражает свою благодарность научным руководителям: академику РАН, профессору Фоменко Анатолию Тимофеевичу за постановку задачи и научное руководство, кандидату физико-математических наук, доценту Ошемкову Андрею Александровичу за многочисленные обсуждения работы и ценную помощь.
Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета за доброжелательное отношение и творческую атмосферу.
Краткое содержание работы
Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли so(4)
Рассмотрим координаты (щ,и2,из,Уі,у2,Уз) на пространстве so(4) , в которых скобка Ли-Пуассона задается формулами где Я- гладкая функция (гамильтониан). Динамическая система, заданная этими уравнениями, является гамильтоновой системой на орбите коприсоединенного представления группы 50(4). Напомним, что орбиты коприсоединенного представления любой группы Ли являются симплектическими многообразиями, которые можно рассматривать как совместные поверхности инвариантов соответствующей алгебры Ли (см. [24]). В нашем случае (алгебра Ли so(4)) орбиты являются симплектическими подмногообразиями в 5о(4) , и их можно рассматривать как совместные поверхности уровня функций которые образуют базис в кольце инвариантов алгебры Ли so(4), и для любого гамильтониана Я являются интегралами уравнений Эйлера на so(4) . Каждая поверхность С1С2 {/i = cii/2 = } образует подмногообразие в пространстве so(4), и если Сі)С2 ф 0 (неособые орбиты), то М4 С2 диффеоморфпо S2 х S"2, а если С\ или Сг равно нулю (особые орбиты), М41С2 диффеоморфно S2. Здесь мы рассмотрим интегрируемый случай уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), который описал А.П.Веселов в работе [7] (см. также [8]). Этот интегрируемый случай аналогичен классическому интегрируемому случаю Стеклова в динамике тяжелого твердого тела (который можно описать в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3)), и поэтому его будем называть также случаем Стеклова. Гамильтониан и дополнительный интеграл случая Стеклова на so(4) в [8] имеют вид Поэтому вместо гамильтониана Но и дополнительного интеграла К0 можно рассматривать гамильтониан Я и интеграл К. В дальнейшем предполагаем, что ai 0,2 03 0. Таким образом, в качестве гамильтониана интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4) мы будем рассматривать произвольную линейную комбинацию функций Я и К, т.е. функции вида аН + (ЗК. Отметим, что (как будет видно из дальнейшего) для исследования топологии случая
Стеклова для произвольных гамильтонианов вида аН + (ЗК, достаточно исследовать систему с гамильтонианом Я. Пусть М4 — это 4-мерное симплектическое многообразие ик = sgradH — гамильтонова система с гладким гамильтонианом Я (где sgradH — векторное поле, двойственное dH относительно симплектической структуры). Будем предполагать, что М4 компактно. Определение 1.3.1. Гамилътонова система v = sgradH с гамильтонианом Н называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует еще один дополнительный интеграл К, коммутирующий с гамильтонианом Н относительно скобки Пуассона, причем Н и К функционально независимы на М4, т.е. почти всюду на М4 их градиенты линейно независимы. Определение 1.3.2. Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой системе, называется разбиение многообразия М4 на связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана Н и интеграла К. Согласно теореме Лиувилля каждая связная компонента неособой совместной поверхности уровня гамильтониана Н и интеграла К диффеоморфна 2-мерному тору (поскольку мы предполагаем, что М4 компактно). Этот тор называется тором Лиувилля. Действительно, слоение Лиувилля — это просто разбиение многообразия М4 на торы Лиувилля и на особые слои, т.е. слоение Лиувилля состоит из регулярных и особых слоев. Регулярные слои заполняют почти все М4, а множество особых слоев имеет меру нуль. Слоение Лиувилля изучается с помощью так называемого отображения момента. Определение 1.3.3.
Пусть М4 — это симплектическое многообразие и v = sgradH — гамильтонова система с гладким гамильтонианом Н и дополнительным интегралом К. Отображением момента называется отображение Определение 1.3.4. Точка х многообразия М4 называется критической точкой отображения момента Н х К, если ранг d(H х К)(х) меньше 2. Пусть N — совокупность всех критических точек отображения момента в М. Определение 1.3.5. Бифуркационной диаграммой отображения момента называется образ всех критических точек при отображении момента, т.е. Е = (Ях K)(N). Иными словами, бифуркационная диаграмма Е — это множество всех критических значений отображения момента, которое согласно теореме Сарда имеет меру нуль в R2. Обычно оно состоит из отрезков гладких кривых на плоскости и, возможно, отдельных изолированных точек. Отображение момента и его бифуркационная диаграмма тесно связны со слоением Лиувилля на Af4. На самом деле, слой слоения Лиувилля — это связная компонента прообраза точки при отображении момента, и диаграмма Е будет образом особых слоев слоения Лиувилля. Бифуркационная диаграмма Е разбивает плоскость Ш2 на линейно связные компоненты. Над каждой такой компонентой слоение Лиувилля локально тривиально, и в прообразе каждой точки лежит несвязное объединение одного и того же числа торов Лиувилля. Система, задаваемая уравнениями Эйлера для алгебры so(4), является гамильтоновой на 4-мерных орбитах алгебры. Важной характеристикой такой системы является топология поверхностей уровня гамильтониана Н, т.е. поверхностей постоянной энергии. Она зависит от значения гамильтониана h и от параметров, задающих орбиту.
Определение 1.4.1. Изоэпергетической 3-поверхностъю Q3 называется совместная поверхность уровня инвариантов /і, /2 алгебры ли so(4) и гамильтониана Н, заданных на пространстве R6(ui,и2,щ,V\,v2,v3), т.е. Q3 = {/і = с\,/2 = с2,,II = К). В этой работе, чтобы описать топологический тип изоэнергетических 3-поверхностей Q3, мы используем метод аналогичный так называемому методу Смейла-Татаринова (см. [20], [22]). С помощью этого метода (основанного на рассмотрении проекции изоэнергетических поверхностей на сферу Пуассона) была описана топология изоэнергетических поверхностей для основных классических интегрируемых случаев уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) (см. [1], [15], [16]). Здесь мы вместо проекции на сферу Пуассона будем рассматривать проекцию Q3 на двумерную сферу {/i = с2} С Ш.3(щ,и2,из). Как оказалось, метод Смейла-Татаринова можно применять и для такой проекции. В главе 4, полагая г = &, h = - , мы построим бифуркационную диаграмму отображения S2 х R3 — K2(r,h ), где 52 х Е3 = {/і = с\} С Ш.6(щ,и2,и3,vuv2,v3). Хорошо известно, что для всех точек (г, h!) из одной области, на которые бифуркационная диаграмма разбивает плоскость М2(т, h ), топологический тип соответствующих изоэнергетических поверхностей Q3 будет одним и тем же.
Прообразы точек бифуркационной диаграммы
Напомним, что по замечанию (2.1.) множество критических точек в прообразе каждой точки кривой 7 (2-14) состоит из двух точек если t = іа аз іаі 0,2 , т.е. при пересечениях прямых Lx и L3 с кривой 7) двух окружностей, пересекающихся в двух точках, если t = іаіаз22-, т.е. при пересечениях прямой L2 с кривой 7, двух непересекающихся окружностей. Теперь рассмотрим множество критических точек отображения момента в прообразе каждой точки отрезков, определённых в предложении (2.1.). Легко видеть (см. формулу (2.21)), что если точка (h,k) находится на Li и hB h hc, или hc h hT, то соответственно: Поэтому для описания в Mt С2 прообраза точки с координатой h, соответствующей точке (Л, к) на Li, нужно рассмотреть пересечение области Dom{Ui,Vi) с прямыми Т±ь : afui+ajaiVi = ±b, где b- константа. Некоторые случаи из этих пересечений изображены на рис. (3.1). Обратим внимание на то, что темные части соответствуют отношению hc h hT. Лемма 3.1.1. Множество критических точек в прообразе каждой внутренней точки отрезка (принадлежащего Li и описанного в Предложении 2.1.) бифуркационной диаграммы является объединением 2 или 4 окружностей в М С2. Доказательство. Пусть hB h hc. В плоскости Ш2(щ,и прямые Т±ь, при изменении 6, переходят через Dom(ui,Vi) когда: Каждая точка из Оот(щ, Vi) указывает точки Pi, Р2, Рг, РА (не обязательно различные) в качестве пересечения окружности с эллипсом в (2.16), см. на рис. (3.2. а ). Если b = (a2ci — abates), т.е. h — hc, то в прообразе значения hc в М С2 существуют лишь две точки. При изменении Ь, каждая из прямых Т±ь содержит лишь один отрезок как пересечение с областью Dom(ui,Vi). На рис. (3.2. Ь) показано, как при изменении (щ, Vi) вдоль EF точки Р\, Р2, Рз, Р\ соединяются и создают окружность в Mt С2- Ясно, что на рис. (3.2. Ь) по сравнению с рисунком (3.2.а), точка зрения другая. Повторяя это обсуждение для Т-ь, мы получаем другую окружность.
Следовательно, когда hB h hc прообраз значения h состоит из двух окружностей. Пусть hc h hT, т.е. (щ,иі) меняется в темной части области на рис. (3.1). Если Dom(ui,Vi) имеет тип (1) или аналогично тип (3) (см. на рис. (2.2)), то для каждого b пересечение Т±ьС\Оот(щ, V{) состоит из 4 отрезков, таких, что каждый из которых соответствует одной окружности (см. на рис. (3.2. Ь)). А если область имеет тип (2), то каж дый отрезок АВ в пересечении Ть с темной частью соответствует двум окружностям, изображенным на рис. (3.2.с) и с другой точки зрения на рис. (3.2.d). Следовательно, когда hc h hT, прообраз состоит из 4 окружностей. В некоторых бифуркационных диаграммах концевые точки отрезков, определенных в предложении (2.1.), соответствуют значению hmax = hij, однако это случается при hc Ьіц hT, и поэтому прообраз состоит из 4 окружностей когда hc h h . Лемма доказана. Теперь рассмотрим индексы критических окружностей функции Н = H\Qk, где Qk = Лемма 3.2.1. Все критические окружности функции Н = H\Qk в прообразе отображения момента невырождены, кроме тех, которые лежат в прообразе точки возврата кривой и точек касания кривой с отрезками в бифуркационной диаграмме. Доказательство. Критические окружности, лежащие в прообразе кривой j определяются системой (2.13). Более того, на этих окружностях V{ = -= -щ где {i,j, 1} = {1,2,3}.
Построим базис в касательном пространстве к многообразию Если обозначим касательный вектор через (ь2,з 77ъ%»%) тогда в R6(/7, F) образуют базис касательного пространства к Qk при А; = -тп + fс. Это касательное пространство определено в каждой точке, полученной из (2.13), кроме критических точек функции К на М . Пусть Gt обозначает матрицу G = GH— IG — 2 2 2 2 2 2 A2G/2 - X3GK при Ai = t, X2 = а»газ, Л3 = ігдз; и пусть Ся, Gfx, Gf2, GK -гессианы функции H, /х, /2, X. Ограничим 2-форму с матрицей Gt на касательное пространство к Qk- Пусть в базисе Єї, е2, е3 матрица ограничения этой 2-формы обозначается через Gt, где (Gt)mn = Gt(em,en). Матрица Gt всегда имеет одно нулевое собственное значение, потому что вектор, касательный к критической окружности принадлежит ядру Gt-Пусть fii,fx2 обозначают два других собственных значения. Вычислим их произведение
Инварианты Фоменко для случая Стеклова на so(4)
Теперь мы можем сформулировать главную теорему. Теорема 3.3.1. Перестройки торов Лиувилля при критических значениях отобра-оісеиия момента Н х К : М 1С2 —» TH2(h, к) в случае Стеклова на алгебре Ли so(4) изображены на рисунке (2.3). Список всех молекул (инвариантов Фоменко) для всех гамильтонианов случая Стеклова (т.е. при произвольных значениях параметров с\, С2, h и параметров гамильтониана) приведен в таблице (3.1). Доказательство. Тем частям бифуркационных диаграмм, для которых индекс критической окружности равен 0 или 2, соответствуют перестройки, кодируемые атомом А (см. [1]). Эти перестройки легко определяют число торов Лиувилля в прообразе каждой точки, не лежащей на бифуркационной диаграмме. Для описания вида перестроек по седловьш окружностям (т.е. окружности с индексом 1) рассмотрим, например, диаграмму (5) на рис. (2.3), которая показана в деталях на рис. (3.3). Цифры на рис. (3.3) обозначают число торов Лиувилля, число седловых окружностей (например, 4s) и число минимаксных окружностей (например, 2т). Перестройки вдоль стрелок I, И, III есть перестройки двух торов Лиувилля в 4 тора по двум седловым окружностям. Существует только одна перестройка с такими свойствами (см. [1]), и она кодируется двумя атомами В. Перестройка торов вдоль стрелки IV имеет тот же вид, что и перестройка критических окружностей в прообразе точки, движущейся вдоль стрелки IV. Следовательно, перестройка торов вдоль стрелки IV кодируется атомом С2. Прообраз точки N (на бифуркационной диаграмме) состоит из двух точек вида "седло-седло". Существует список всех таких особенностей (состоящих из 39 особенностей вида "седло-седло"сложности 2) и для каждой из этих особенностей дана круговая молекула в [1]. Поскольку мы уже знаем перестройки вдоль I, И, IV, для круговой молекулы вокруг N существует только один вариант, т.е. номер 11 в таблице 9.1 из [1]. Отсюда следует, что атом вдоль V есть 2(. Аналогичные обсуждения дают все атомы для остальных диаграмм. Опишем теперь молекулы, соответствующие всевозможным изоэнергетическим поверхностям случая Стеклова на so(4). Для этого необходимо рассмотреть все прямые вида ah + fik = const на плоскости Ж2(к, к) и для каждой такой прямой определить как перестраиваются торы в прообразе точки, движущейся вдоль нее.
Перестройки торов Лиувилля при пересечении прямой с бифуркационной диаграммой описаны выше. Это позволяет для почти всех случаев однозначно построить соответствующую молекулу. Для тех случаев, когда возможны несколько вариантов, мы можем выбрать правильный, учитывая число связных компонентов прообраза прямой ah + (Зк = const (число этих компонент может меняться лишь при проходе критической точки индекса 1 для функции ah + (Зк). Результат представлен в таблице (3.1), (конечно, мы считаем, что прямая ah+Pk = const не проходит через точку возврата кривой 7 или точку касания отрезка, упомянутого выше, к кривой 7) Как оказалось, все молекулы для случая Стеклова можно описать, рассматривая все возможные прямые ah + /Зк = const для бифуркационной диаграммы (7). Эта диаграмма изображена на рисунке (3.4), где также обозначены особые точки Mi,M2,M3,Ni,N2,N3,ai,a2,Z. В дальнейшем обозначим через АВ — CD прямую, которая сначала проходит через отрезок АВ а потом через CD. т.е. пересечение сферы {/2 = с2,} с плоскостью {Я = К) в пространстве М3(г;і,г;2, з)-Ясно, что это пересечение есть либо окружность, либо точка, либо пустое множество. Таким образом, если 7Г : Q3 — S2 — {А = с2,} — проекция Q3 на сферу S2, то 7г_1(иі,гі2,гіз) либо окружность, либо точка, либо пустое множество. Уравнение (4.1) имеет решение, если расстояние от центра сферы до плоскости {II = h) меньше или равно Сг, т.е. Иными словами, 7г 1(щ,іі2,щ) ф 0 тогда и только тогда, когда (а\ч\ + а\и\ + а2и2 - hf Аа2а2а2сЩ + f + f) и\ + и\ Очевидно эта прямая переходит через Aj и At, поэтому будем обозначать ее через AjAi. Напомним, что прямая AjAi соответствует значению щ = 0. Парабола у = (x—h)2, при замене координат, получается в плоскости №?(х, у) формула; - К)2 лой у = -1 2 2 2 2 Если обозначим эту параболу через С/д, то система (4.6) определяет область, ограниченную треугольником АЛ1Л2А3, которая находится над параболой (7. Будем обозначать эту область через Oh- Один из возможных случаев для Oh показан на Рис. (4.1). Каждая точка области Oh, кроме точек отрезков А\Ач, А\А$, А2А3, соответствует 8 точкам (±гіі,±и2)±из) на сфере S2 = {Д = с2}. Поэтому нам нужно найти все возможные виды области Oh Лемма 4.1.1.
При изменениях параметров h,Ci,C2 все топологически возмоэюные случаи области Oh и соответствующие ей области на сфере S2 = {/i = с2} даны в таблице (4-І) Этот дискриминант будет не меньше нуля тогда и только тогда, когда прямой A{Aj. Обозначим в плоскости М2(т, h!) параболу Ы = afr2 + а2 + а2 через Ui. Действительно, при изменениях индексов i,j, I получаются три следующие параболы в плоскости R2(r, h!) Индексы i,j соответствуют прямой AiAj, и предполагаем что а2 а2. Рассмотрим условия, при которых точки пересечения Uh с прямой AiAj находятся между Аг и Aj, т.е. когда и добавим к ним случай, при котором весь треугольник AAiA2A3 находится над параболой Uh, т.е. 4) при XQ а\ и а\ х(. Области, отвечающие каждому из этих случаев получаются ниже. Случай (1): Пусть а2 хг03 а2. Мы имеем следующие неравенства т.е. систему неравенств В первом неравенстве системы (4.12) правая часть должна быть больше нуля, т.е. действительно, в плоскости М2(т, ti) эти точки находятся над параболой ti = a + 2a2r2. Обозначим эту параболу через Ujl. Первое неравенство системы (4.12), при условии (4.13) эквивалентно следующим т.е. /І а2 — 2a/ajr или ti a2 + 2a/ajr. Если обозначим через 5j" и Bj-, соответственно, прямые ti = a2 + 2щаіТ и ti = a2 — 2ща,{Т, то область, отвечающая первому неравенству системы (4.12) получается из следующих условий т.е. область над прямыми Bf и В и параболой Ul, а под параболой [//. Найдем пересечение этих линий друг с другом, т.е. Bf П Ui, U\ Г) Ujl, В П W1. Пересечение Bj Г) Ui получается следующей системой Действительно, при т = прямая Б 1" касается параболой C/j, поскольку производная параболы при г = равна тангенсу угла наклона прямой Bj , т.е. 2a2( -) = 2а№. Чтобы найти пересечение Ui П f/j7, рассмотрим систему
Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей
Чтобы описать слоение Лиувилля, мы проводим вертикальные прямые LT на полуплоскости R2(r-, h ). Каждой такой прямой соответствует бифуркационная диаграмма на плоскости R2(h,k). При каждом фиксированном значении h! на прямой Lr имеем вертикальную прямую Lh в плоскости R2(h, к). Прообраз прямой Lh в пространстве М\ 2 есть изоэнергетическая поверхность Q3. Поэтому изменениями значения т меняется бифуркационная диаграмма, а при фиксированном значении г изменениями значения h меняется поверхность Q3. Когда мы меняем значение h, могут меняться и тип слоения Лиувилля, т.е. молекула (полностью описывающая слоение Лиувилля с точностью до грубой эквивалентности), и топология самой поверхность Q3. Таким образом, мы получаем различные типы слоений Лиувилля (молекул с точностью до грубой эквивалентности) поверхности постоянной энергии. Классификация слоений Лиувилля для интегрируемой системы Стеклова на алгебре Ли so(4) описана следующей теоремой: Теорема 4.2.1. Для гамильтоновой системы случая Стеклова на алгебре Ли so(A) с гамилътонаином 1. имеются 12 различных типов слоений Лиувилля (с точностью до грубой эквивалентности). Обозначим эти типы слоений Лиувилля через 1,..., 12. Эти слоения Лиувилля описываются молекулами, представленными в таблице (4-2). 2. Все разделяющие кривые на полуплоскости Ж2(т-,п ) изображены на рис.(4-8). Они разбивают плоскость на области, каждой из которых соответствует молекула из таблицы (4-Ю (цифры на рис. (4.8) соответствуют номерам в таблице (4- ))- На Рис.(4.8) кривые с пунктирным продолжением разделяют области с различными молекулами и одинаковой топологией Q3. Доказательство. Диаграмма (4.7) состоит из линий В ,Bf,Ui,i = 1,2,3, которые соответствуют пересечениям кривой 7 с прямой Li (отличным от точки касания) и пересечению прямых Lj и Li на бифуркационных диаграммах рис. (2.3).
Но при изучении молекул играют роль и другие точки, т.е. точка возврата и точка касания кривой 7 к прямой Lj. Поэтому нам нужно найти в плоскости R2(r, h!) кривые, соответствующие этим точкам и добавить их в диаграмму (4.7). Точка касания кривой 7 к прямой Li имеет координату h = hT т.е. Отсюда в плоскости Е2(т, h!) получается парабола, которую обозначим через Щ и задается формулой Для точки возврата, которая получается при t = уа а а на кривой 7 с коорди натой h = ад"азс2 _(. 2tc{, имеем h = Зу/а а а т2. Обозначим эту кривую на плоскости Ш2(т, h!) через v. На рис. (4.8) эта кривая изображена линией, проходящей через начало координат. Найдем пересечение этих новых линий с другими линиями в плоскости R2(r, h ). Для U- П Bf имеем Ол2 Тогда решения будут т = J и т" = (- f - 1). Напомним, что в теореме (2.1.) при построении бифуркационных диаграмм играли только 9 чисел вида -, — г- . Пусть эти числа на вещественной прямой имеют следую О J "771 t n щий порядок Рассмотрим диаграмму (4.7). Если т - -, тогда напоминая обсуждение в начале этого раздела увидим, что бифуркационная диаграмма будет в виде (1), в которой нет точки возврата и точки касания(см. рис. (2.3)). Поэтому кривые и, U- не какой роли не играют и каждой топологический тип соответствует одной молекуле. 2 2 Если - г %-, тогда бифуркационные диаграммы будут (2),(3),(4),(5). Рассмотрим прямую LT, и соответственно каждому значению Ы на этой прямой, рассмотрим прямую L/j. Если h! З-Уа арф , т.е. когда точка (г, h!) находится под кривой v, то прямая Lh еще не прошла через точку возврата и поэтому топологический тип соответствует одной молекуле. Теперь если h 3\/afaafr2, то в соответствии тому, что прямая Ьн прошла через точку касания 7 к прямой L2 или нет молекула меняется. Отсюда по сравнению с диаграммой (4.7) в диаграмме (4.8) появляются новые области 8,9,12, и 4. Действительно, разбиваются: Аналогично мы можем рассмотреть случаи - - т - - и - - т. Соответствую щие молекула и топологический тип поверхности Q3 представлены в таблице (4.2). Это завершает доказательство теоремы. [1] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы (геометрия, топология, классификация). Ижевск, 1999. [2] Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской. Матем.сб., 2000, т. 191, N 2, с. 3-42. [3] Болсинов А.В., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби. - Регулярная и хаотическая динамика. 1997, том 2, No.l, с.13-25. [4] Bolsinov А. V. Methods of calculation of the Fomenko-Ziesyhang invariant. Adv.in Soviet Math., 1991, v. 6, p.147-183. [5] Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела.— Ижевск: НИЦ, Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 384 стр. [6] Борисов А.В., Мамаев И.С Соколов В.В. Новый интегрируемый случай so(4), Докл. РАН, 2001, 381(5), 614-615.
