Введение к работе
Актуальность теиы. В конце тридцатых годов в результате аксиоматизации некоторых свойств оператора сдвига на пространстве функций на числовой прямой французским математиком Жаном Дельсартом (J. Delsarte) был введен термин "оператор обобщенного сдвига" (сокращенно о.о.с). Его интересовала роль, которую играют операторы обычного сдвига для функции в классическом математическом анализе. В своей монографии "Теория операторов обобщенного сдвига" (М, Наука, 1973- 312 с.) Б.М.Левитан писал "этот вопрос не так уж прост, как может показаться с первого взгляда" из-за того, "что операторы сдвига настолько привычны и обыденны, что мы часто не отдаем себе отчета в том, какова же их истинная роль в той или иной математической конструкции". Например, в терминах оператора сдвига можно сформулировать такие важные понятия, как свертка, положигельно--определенная функция, почти-периодическая функция и др. В рамках о.о.с. удалось получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результов, связанных с указанными понятиями.
Систематическое построение теории о.о.с. было дано главным образом в работах Б.М.Левитана. Одной из главных задач теории о.о.с. является восстановление о.о.с. по инфинитезимальному оператору (Б.М. Левитан, И.М.Гельфанд, С.Г.Крейн.Ю.М.Березан-ский и др.)
С другой стороны в теории функционально-дифференциальных уравнений, в эргодической теории и теории динамических систем важную роль играют операторы взвешенного сдвига, представляющие
собой суперпозицию операторов подстановки и умножения на функцию. Различные классы операторов взвешенного сдвига в пространствах скалярных и векторных функций рассматривали А.Б.Антоне-вич, М.Е.Драхлин и др.
Указанные разновидности оператора сдвига приводят к обобщению оператора свертки и играют важную роль в теории интегральных операторов. Два класса интегральных операторов, ядра которых порождены соответственно операторами обобщенного и взвешенного сдвига обладают рядом интересных свойств и заслуживают самостоятельного изучения. Первый класс рассматривали Б.М.Левитан, А.Я.Повзнер, И.А.Киприянов и М.И.Ключанцев, а второй - предмет исследования настоящей диссертации, названных интегральными операторами aL- свертки.
Использование оператора <- свертки и методов для обычных невесовых пространств позволило определить новые весовые функциональные пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля.
Первое систематическое исследование весовых функциональных пространств с весом, равным некоторой степени расстояния точки до определенного многообразия, выполнил в середине 50-х -начале 60-х годов Л.Д.Кудрявцев, в связи с изучением эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Затем продолженные в работах С.В.Успенского, П.И.Лизоркина, В.И.Буренкова и др.
Тип вырождающихся уравнений, где вырождение происходит по нормали к границе, может носить достаточно общий (нестепенной) характер, рассмотрен в работах В.П.Глушко и его учеников. Весовая функция с*.--ф) в этом случае получается более общего вида, обладающее конечной гладкостью вплоть до многообразия "вырождения" и достаточно быстро обращающееся в нуль на этом
многообразии.
Изучение такого типа вырождающихся уравнений способствовало появлению функциональных простанств с нестепенным весом ог-<б(-о, рассматриваемых при р=2 в работах В.П.Глушко, м.И.Вишик, Х.Г.Леопольд и др. С помощью теории весовых обобщенных функций в полупространстве, введенных В.П.Глушко, удалось расширить и систематизировать эти простанства, построить для них теории двойственности и теорию интерполяции.
При исследовании различных функциональных пространств важное значение приобретает проблема аппроксимации функций из со-ответветствующего пространства (в норме последнего) при помощи последовательности достаточно гладких функций. Эту проблему для пространств Соболева рассматривали С.М.Никольский, В.П.Бурен-ков, Э.Гальярдо, В.И.Ильин и др., а в случае пространств Соболева со степенным этот вопрос изучали 0.В.Бесов, А.Куфнер, Д.Ф.Калиниченко, Т.С.Пиголкина и В.Р.Портнов.
Цель настоящей работы - исследование интегральных операторов, ядра которых порождены введенными операторами обобщенного и взвешенного сдвига; определение понятия "свертки" в весовых пространствах основных и обобщенных функций; расширение определения пространств Лебега-Бесова и Лизоркина-Трибеля с нестепенным весом и.=ла) и построение теории интерполяции; решение вопроса об аппроксимации функций для введенных пространств и пространств Соболева, заданных в полупространстве, гладкими функциями.
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Схематически их можно представить следующим образом.
- б -
-
Введеш новые классы операторов обобщенного и взвешенного сдвига на пространствах функций одной независимой переменной, заданных на положительной полуоси числовой прямой.
-
Рассмотрены интегральные операторы, ядра которых порождены введенными операторами, исследована их ограниченность и регулярность в лебеговых пространствах.
-
Введен оператор об-свертки в весовых пространствах основных и обобщенных функций и установлена его связь с некоторыми непрерывными операциями в них.
-
Определены новые весовые пространства типа Лебега-Бесова и Лизоркина-ТриСеля в полупространстве и доказаны для них интерполяционные теоремы.
-
Посредством сі- свертки построена последовательность гладких функций, аппроксимирующая функции из весовых и невесовых пространств Соболева.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории вырождающихся уравнений,теории интегральных операторов и теории функциональных пространств.
Метода исследования. В работе использованы : теория обобщенных функций, теория операторов взвешенного и обобщенного сдвига, теория весовых и невесовых функциональных пространств, теория интегральных операторов.
Апробация работы. Все основные результаты обсуждались на семинарах по уравнениям в частных производных Воронежского госуниверситета (рук. проф. В.П.Глушко). Полученные в диссертации результаты докладывались на IX (Тернополь, 1934) и X (Новосибирск, 1985) школе по теории операторов в функциональных прос-
транствах, на семинаре по прикладному функциональному анализу Северо-Осетинского госуниверситета (рук. проф. А.Г.Кусраев).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения
и четырех глав. Объем работы страниц машинописного тек-
ста. Библиография включает 73 наименований.
Публикащи. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]
- a -
