Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор исследований, посвященных взаимодействию трещин в хрупких материалах 8
1.1 Системы трещин 9
1.2 Взаимодействие макротрещины с микродефектами 14
Глава 2. Некоторые необходимые сведения теории упругости и теории аналитических функций для создания математических моделей материалов с трещинами 26
2.1 Основные соотношения плоской задачи теории упругости 27
2.2 Основные соотношения теории упругости при продольном сдвиге...31
Глава 3. Межфазная трещина продольного сдвига в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами 36
3.1 Постановка задачи 36
3.2 Межфазная трещина в условиях продольного сдвига 41
3.3 Внутренние дефекты в двухкомпонентном материале 45
3.4. Взаимодействие межфазной трещины с микродефектами 48
3.5 Решение системы сингулярных интегральных уравнений 52
3.6 Вычисление коэффициента интенсивности напряжений в вершине макротрещины и анализ полученных результатов 54
Глава 4. Задача продольного сдвига для полупространства с макротрещиной и полем микродефектов 59
4.1 Интегральные уравнения для системы трещин 59
4.2 Применение метода малого параметра к решению системы сингулярных интегральных уравнений 63
4.3 Решение рекуррентной системы уравнений 65
4.4 Численное решение, с помощью метода механических квадратур 71
4.5 Анализ полученных результатов 73
Глава 5. Математическая модель разрушения упругого тела, содержащего трещины, под действием растягивающей нагрузки 76
5.1 Постановка задачи 76
5.2 Сингулярные интегральные уравнения задачи теории упругости 79
5.3 Системы сингулярных интегральных уравнений для микротрещины и поля микродефектов с учетом области закрытия трещины 80
5.4 Разложение систем сингулярных интегральных уравнений методом малого параметра 81
5.5 Решение рекуррентной системы уравнений 91
5.6 Взаимодействие магистральной трещины, перпендикулярной границе полуплоскости, с микродефектами 99
5.7 Метод механических квадратур 102
5.8 Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин 107
5.9 Анализ полученных результатов 107
Приложения ПО
Основные результаты диссертационной работы 120
Литература
- Взаимодействие макротрещины с микродефектами
- Межфазная трещина в условиях продольного сдвига
- Применение метода малого параметра к решению системы сингулярных интегральных уравнений
- Системы сингулярных интегральных уравнений для микротрещины и поля микродефектов с учетом области закрытия трещины
Введение к работе
Актуальность темы. Большой интерес к анализу процессов разрушения хрупких материалов не только не ослабевает, но и усиливается, в силу широкого использования в технике высокопрочных материалов и композитов (например, высокопрочные стали, легированные стали, сплавы из алюминия и титана). Все эти материалы, с технической точки зрения, рассматриваются как хрупкие. Как показывает опыт, в композитах и высокопрочных материалах уже на этапе изготовления, а также на очень ранней стадии их эксплуатации появляются трещины. В свою очередь процесс роста трещин сопровождается образованием в их окрестности множества микротрещин, присутствие которых определяет способность материала к сопротивлению разрушению, т.е. его трещиностоикость. Математическое моделирование таких процессов в структурно неоднородных средах является актуальной задачей современной теории разрушения материалов. Основам математической теории трещин посвящены работы В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин, Н.Ф. Морозова, С.А. Назарова, A.M. Линькова, Е.М. Морозова и др., зарубежных авторов В. Karihaloo, Y.Z. Chen, D. Gross и др. Взаимодействие межфазной трещины в двухкомпонентном материале с внутренними дефектами исследовано в работах J.G.Goree & W.A.Venezia, M.Isida & H.Noguchi, В.Е.Петровой, X.D.Wang & S.A.Meguid и др.
В данной работе разрабатывается, исследуется и обосновывается математическая модель механики разрушения для материалов, содержащих макро и микротрещины под действием механического нагружения.
Рассматриваемые в работе модели существенно расширяют класс изучавшихся ранее ситуаций:
- во-первых, исследованием макротрещин конечных размеров (во многих задачах, решаемых ранее, рассматривались полубесконечные трещины) для тел с границами;
во-вторых, исследованием произвольного числа произвольно расположенных микротрещин (в работах предшественников рассматривались
5 либо одна-две микротрещины, либо периодические расположенные системы трещин) в телах с границами.
Моделирование описанных объектов приводит к системам сингулярных интегральных уравнений исследование которых, в силу отмеченной выше спецификации, потребовало существенной модернизации стандартных методов анализа подобных задач и привлечения методов аналитического плана (метод малого параметра) и численного плана (метод механических квадратур). Конечные размеры макротрещины и присутствие границ тела, в изучаемых далее моделях, усложняют формулы регулярных ядер, в связи с этим исследование модели только аналитическими методами недостаточно. Поэтому разрабатывается численно-аналитический метод, комбинирующий оба подхода.
Целью работы является разработка и исследование математических моделей
процессов разрушения в структурно-неоднородных материалах и методов
численно-аналитического решения задач о взаимодействии систем трещин в
полубесконечных и двухкомпонентных упругих телах для технических
приложений.
В соответствии с данной целью были поставлены следующие задачи:
построить системы сингулярных интегральных уравнений для изучаемых объектов;
разработать методы решения полученных систем сингулярных уравнений для нахождения функций разрывов смещений на линиях трещин;
вычислить коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещин, для определения перераспределения напряжений в малой окрестности вершины трещины;
проверить адекватность полученных математических моделей исследуемых объектов.
Научная новизна. В работе проведено исследование новых математических моделей и проведен численно-аналитический и асимптотический анализ, превращающий эти модели в инструмент получения новых знаний об объектах и прогнозировать их свойства. А именно:
а) построена и решена система сингулярных интегральных уравнений для
межфазной трещины и произвольного числа внутренних микродефектов в
двухкомпонентном материале в условиях продольного сдвига;
б) метод Панасюка В.В., Саврука М.П., описания системы трещин в
полуплоскости с помощью сингулярных интегральных уравнений,
распространен на комбинацию макротрещины с системой микротрещин в
полуплоскости и дополнен углубленным анализом полученной модели. На
этом пути изучен эффект «схлопывания» микротрещин и частичного
закрытия макротрещины;
в) на основе системы сингулярных интегральных уравнений для
полупространства в условиях продольного сдвига описана и изучена система
сингулярных интегральных уравнений для макротрещины и поля
микродефектов.
Математические методы. В работе использованы методы теории функций комплексной переменной, математический аппарат сингулярных интегральных уравнений, асимптотический метод (метод малого параметра) и численные методы (типа механических квадратур).
Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики разрушения и теории упругости, строгости математических методов и приемов, соответствии полученных результатов с известными в литературе точными и приближенными численными решениями частных случаев рассматриваемых в диссертации задач.
7 Практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения тела, при наличии в нем макротрещин и детерминированным образом расположенных микротрещин при воздействии механических нагрузок. Разработанные теоретические положения могут служить основой
* для оптимизации трещиностойкости материалов посредством управления
структурой, определяющей возможные закономерности возникновения и
геометрию систем микротрещин.
Теоретические результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе Воронежского государственного университета на математическом факультете, факультете прикладной математики и механики, в учебном процессе Воронежского государственного архитектурно-строительного университета при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и
* дипломных работ.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах в НИИ математики при ВГУ (1994-1995 гг.), на семинарах в International Center for Mechanical Sciences (г.Удин, Италия 1996 г.), на V-ой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ -2004»» (Воронеж, 2004г.), на конференции ВВМШ «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения XVI» (Воронеж, 2005), на научных общегородских семинарах при Воронежском государственном университете.
Публикации. Содержание диссертации отражено в 9 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав,
* заключения и списка литературы. Объем работы: 140 страниц, 13 рисунков,
2 таблицы, список литературы из 188 наименований.
Взаимодействие макротрещины с микродефектами
Система сингулярных интегральных уравнений, полученная в [49], была применена для решения задачи о взаимодействии магистральной трещины с системой произвольно расположенных микротрещин [55]. Для решения интегральных уравнений был предложен метод малого параметра, за малый параметр брали отношение длины микротрещины к длине макротрещины, то есть Л=а/а0. Получены аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для макротрещины с точностью до второго приближения %, которое учитывает взаимодействие макротрещины с каждой из микротрещин. Эта аналитическая формула для КИН макротрещины позволила проанализировать распространение макротрещины в произвольных полях микродефектов. Эти результаты приведены также в монографиях [54, 166].
Взаимодействие между краевой трещиной и дискообразными трещинами, которые лежат или в той же плоскости, или в параллельных плоскостях, рассмотрено в [123]. Ядра интегральных уравнений, представляющие только влияние краевой трещины, получены с помощью метода весовых функций для трехмерных задач [80, 81, 128]. Значительное упрощение вычислений удалось достигнуть за счет представления усредненных нормальных перемещений на поверхностях микротрещин в виде произведения константы на квадратный корень расстояния до поверхности краевой трещины. Получены коэффициенты интенсивности напряжений для некоторых расположений трещин. В частности, показано, что дискообразная трещина, компланарная краевой трещине и лежащая в ее плоскости, вызывает увеличение КИН краевой трещины, в то время как компланарная, но лежащая вне этой плоскости дискообразная трещина, вызывает эффект экранирования.
Полубесконечная трещина и микродефекты.
Приведенные выше результаты посвящены исследованию взаимодействия конечной макротрещины с микродефектами. Существует много работ о полубесконечной трещине и микродефектах, см., например, работы [102, 152-155]. Такие исследования осуществляются в рамках так называемого предположения о малом масштабе, т.е. принимается, что размер микротрещины и расстояние между ней и вершиной макротрещины малы по сравнению с размером макротрещины. В работе [154], кроме выше приведенного точного решения, было получено также приближенное решение для полубесконечной трещины взаимодействующей с полу бесконечным рядом периодически расположенных малых трещин.
Широкий класс задач плоской теории упругости для трещин, взаимодействующих с малыми дефектами, рассмотрен в монографии [141]. Используя модифицированную весовую функцию [135], были получены КИН в вершине полубесконечной трещины, взаимодействующей с малыми неоднородностями, такими как выемки или включения. Было показано, что из-за линейности задачи, взаимодействие между трещиной и любым числом дефектов может быть определено суперпозицией взаимодействий трещины и каждого дефекта, если расстояние между ними больше размера микродефекта.
В работе [85] получено общее решение плоской задачи для множественных трещин в зоне микрорастрескивания вблизи вершины полубесконечной трещины в упругом анизотропном теле. Система Фредгольмовых интегральных уравнений была решена с использованием асимптотического поведения псевдонапряжений на краях макротрещины. Для проверки решения использовался также ./-интеграл.
В работах [83, 84] изучалось взаимодействие макротрещины с микротрещинами в трансверсально-изотропных пьезоэлектрических материалах. После численного решения интегральных уравнений Фредгольма были посчитаны традиционные КИН нормального отрыва и поперечного сдвига и коэффициент интенсивности электрических перемещений. Близко расположенные трещины.
Вышеприведенные результаты справедливы, как правило, для расстояний между вершинами трещин, превышающих половину длины меньшей трещины. Если расстояние между трещинами уменьшается, то погрешность существенно увеличивается. Более точные решения можно получить, используя различные численные схемы для решения интегральных уравнений. Рассмотрим некоторые работы, посвященные этой проблеме.
В работе [131] предложена численная схема для решения двумерной задачи упругого взаимодействия множественных трещин с магистральной трещиной в бесконечном теле. Работа [132] распространяет метод, предложенный в [131], на полу бесконечную среду. Анализ основан на методе сингулярных интегральных уравнений, в которых магистральная трещина и микротрещины представляются распределением краевых дислокаций. Численный метод, использующий квадратурные формулы Гаусса- Чебышева, был применен для решения интегральных уравнений. Сравнение приближенного решения [132] с точным решением в эллиптических интегралах, полученным в работе [152], показало, что приближенное решение дает погрешность 0.6% даже для таких малых расстояний между вершинами трещин, как 0.1 а, где а - полудлина микротрещины.
Взаимодействие макротрещины конечного размера с микротрещиной обсуждается в работе [171]. Интегральные уравнения были получены только для микротрещины. Для их построения было использовано точное решение для задачи о взаимодействии между дислокацией и трещиной. Интегральные уравнения решались численно, с применением квадратурных формул, пригодных для сингулярностей типа квадратного корня. Сравнение полученных результатов для колинеарных трещин с имеющимся точным решением показало отличие на 3,6% при расстоянии между вершинами трещин 0.2а (при вычислении брали только три узловые точки).
Межфазная трещина в условиях продольного сдвига
Предположим, что решение для изолированной трещины в бесконечной однородной среде известно. В дальнейшем будем говорить о трещине, но это может быть и система трещин, и система дефектов и других сингулярностей. Обозначим комплексный потенциал этой задачи продольного сдвига через r(z). Построим решение для той же трещины в двухсвязном материале. Предположим, что материал (I) расположен в верхней полуплоскости (над осью х), материал (II) в нижней полуплоскости, и что трещина расположена в материале (I). Если комплексный потенциал г (z) содержит константы материала, то они будут относится к материалу (I).
Запишем формальное решение для двухкомпонентного материала
Задача состоит в том, чтобы выразить F (z), F"(z) через известное однородное решение F(z). Заметим, что по построению, F(z),F,(z) являются аналитическими в верхней полуплоскости (I), a F1,(z) аналитическая в нижней полуплоскости (II). {F11 (z) задана для полуплоскости (II), как добавка к решению однородной задачи F(z), и в этой полуплоскости нет сингулярностей; F4 (z)- добавка к решению F(z) с сингулярностью.)
Для решения задачи используем граничные условия на линии раздела материалов. Так как при переходе через границу раздела, разрыв перемещений равен О lxz lxz й)І(х,0+)-соІІ(х,0 )= 0= й)І(х,0+) = й)ІІ(х 0 )= TIrr(x,0+) = TIIrr(x,0 ) или в терминах функции F(z) F++F+ -F + F F1 (JC) + F 7 (JC) = FU (x) + F U (x): (3.3.2) FI(x)-FII(x) = FII(x)-FI(x)
В выражении (3.3.2) отсутствуют слагаемые с F(z), т.к. F (x) =F0 (x). Из правила аналитического продолжения функций [8], и т.к. значение функция C0j в бесконечно удаленной точке стремится к нулю, приходим к следующим равенствам: FI(x) = FII(x) FII(x) = FI(x) (3.3.3) Так как напряжения на линии раздела равны, имеем д_ ду
Пользуясь правилом аналитического продолжения функций и условием, что напряжение на бесконечности отсутствует, запишем
В формуле (3.3.5) функция F(z) - это решение задачи о трещине в бесконечной плоскости. Мы предполагали, что трещина расположена в верхней полуплоскости (I), что означает, что решение F(z) содержит константы материала (I). Если предположить, что трещина расположена в материале (И), то F(z) будет содержать константы материала (И). Причем решение в этом случае легко получается из (3.3.5) простой заменой индексов. Из формулы (3.3.5) легко получить и комплексный потенциал для полупространства с трещинами. Полагая рі\=0, будем иметь
Взаимодействие межфазной трещины с микродефектами
Теперь решение о взаимодействии внутренней трещины и межфазной трещины свободной от усилий ищется суперпозицией решений задачи II и. решения о межфазной трещине с заданной нагрузкой на ее границах (задача I).
Предположим, что однородное решение F(z) в форме интеграла типа Коши известно. Потенциал для той же трещины в двухкомпонентном материале с бездефектной границей раздела может быть построен по правилу, определяемой формулой (3.3.5). Тогда усилия, приложенные на линии раздела будут следующими: Mi ду ду 12/ F+(x)-F ( ). Ml МП Fo (x)-F(x) = 4 if II - Л. II "\ (3.4.1) Определили дополнительное напряжение Тк на линии раздела материалов в задаче о внутренней трещине в связанных полуплоскостях. Возьмем его с отрицательным значением и повторим процедуру построения решения задачи I, но вместо то у нас будет т=т0+тк (3.4.2) В результате имеем следующее уравнение
Применение метода малого параметра к решению системы сингулярных интегральных уравнений
По формуле (4.3.31) построили графики зависимости k3j/r\/l0 от угла наклона микродефектов. На рисунках (4.2-4.4)- изображены графики зависимости для случаев, когда поле микродефектов расположено с правой стороны от макротрещины, на рис. 4.2 - рассмотрен случай, когда макротрещина параллельна границе полупространства, на рис. 4.3 - случай, когда макротрещина наклонена под углом 45 к границе полупространства, на рис. 4.4 - график для макротрещины, перпендикулярной границе материала.
Из анализа полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. В случае, когда макротрещина перпендикулярна границе полупространства, наличие микротрещин увеличивает коэффициент интенсивности напряжений, для двух других рассмотренных положений микродефектов и макротрещины значение КИН уменьшается.
2. Если микродефекты расположены под углом 45 относительно границы полупространства, то в случае параллельного расположения макротрещины КИН увеличивается, а в случае, когда макротрещина перпендикулярна границе полупространства, значение КИН уменьшается.
3. Для случая, когда макротрещина наклонена к границе полупространства под углом 45, наиболее "опасные" значения коэффициент интенсивности напряжений достигает при угле наклона микродефектов в 70, а минимальное значение КИН принимает в случае наклона микродефектов под углом 30.
С помощью программы (см. приложение 2) получены следующие численные значения КИН в правой вершине макротрещины, с помощью метода механических квадратур для тех же расположений макротрещины и поля микротрещин:
В работе исследуется взаимодействие макротрещины с произвольно расположенными относительно друг друга и относительно данной макротрещины микродефектами в полуплоскости под действием растягивающей нагрузки, приложенной на бесконечности. Для некоторых случаев, когда нагрузка и линии трещин образуют угол, отличный от прямого, возможно возникновение областей закрытия трещин и контакта ее берегов. Также в результате влияния, оказываемого микродефектами на макротрещину, может происходить перераспределение напряжений, которое также вызывает образование областей закрытия трещины. Эти особенности учитываются в представленной работе. Математической моделью данной задачи является система сингулярных интегральных уравнений, полученных из интегральных уравнений для системы трещин в плоскости, устремлением одной из трещин к бесконечности. Решение ищется в виде ряда по малому параметру, равному отношению длины микродефекта к длине макротрещины. Для нахождения неизвестных коэффициентов ряда применяется численный метод - метод механических квадратур. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений для случая, когда макротрещина перпендикулярна границе полуплоскости, а микродефекты располагаются под разными углами относительно границы тела. Проведен анализ полученных результатов, а также сравнение их с некоторыми частными случаями данной задачи, рассмотренными в [176].
Пусть в упругой изотропной полуплоскости имеется N+1 трещина: макротрещина длинной Но и N прямолинейных микротрещин длинной 2/ , считаем, что / « IQ. Полагаем, что все малые трещины имеют приблизительно одинаковую длину 1 /, k=l,2,...N. Выберем декартову систему координат хОу так, чтобы ось Ох лежала на линии макротрещины. Считаем, что макротрещина может иметь выход на границу тела. С микродефектами жестко связаны локальные системы координат ХкОкУь Положение микродефектов определяется координатами их центров z/= х+ іук и углами наклона 0 к оси х (рис. 5.1). Нагрузка действует на бесконечности параллельно границе полуплоскости, таким образом, граница полуплоскости свободна от напряжений. Для решения задачи воспользуемся методом суперпозиций. Разложим нашу задачу на две:
1) бездефектная полуплоскость под действием растягивающей нагрузки приложенной на бесконечности; решение этой задачи известно, отсюда находим напряжения, возникающие на линиях трещин; 2) полуплоскость с макротрещиной и микродефектами, на границах которых приложены напряжения равные по величине, но противоположные по знаку, полученным в задаче 1).
Системы сингулярных интегральных уравнений для микротрещины и поля микродефектов с учетом области закрытия трещины
Целью задачи являлось исследовать влияние микродефектов на распределение напряжений и деформаций около макротрещины и на закрытие или открытие микродефектов. Получены следующие результаты
1. Найден коэффициент интенсивности напряжений для макротрещины в зависимости от положения микродефектов относительно последней, а именно, в зависимости от их координат и угла наклона, из чего сделаны следующие выводы:
1) если микродефект находится впереди макротрещины, то коэффициент интенсивности напряжений последней возрастает, по отношению к своему значению в однородном материале. Наиболее опасен в плане разрушения, в этом случае, угол наклона для микродефекта сск=0. 2) если микродефект расположен вверху или внизу макротрещины, то коэффициент интенсивности напряжений последней уменьшается по сравнению с КИН для однородной полуплоскости с трещиной. При исследовании коэффициента интенсивности напряжения микродефекта, получены следующие результаты:
1) если микродефект находится строго вверху или внизу макротрещины и располагается под углом 7г/4 к растягивающей нагрузке, то его коэффициент интенсивности напряжений меньше нуля, а это значит, что микродефект закрыт;
2) если микродефект находится строго вверху или внизу макротрещины и располагается под углом тс/4 (или -7i/4) к растягивающей нагрузке, но на расстоянии от макротрещины большем чем 1(/2, то его коэффициент интенсивности напряжений имеет значение больше нуля, то есть микродефект открыт; ak=7t/ Л (-1,0.25) (-1.1,0.25) (-2.25, 0) (-1, 1) (-1.1,-1) КИН, -1,1194 -1,1192 -1,1203 1,1209 1,207
Для сравнения отметим, что для однородной полуплоскости с одним микродефектом, расположенным под углом тг/4 (или -ті/4) к растягивающей нагрузке в любом месте этой полуплоскости коэффициент интенсивности напряжений равен нулю, что означает контакт берегов разреза.
1. Разработана математическая модель развития трещин в двухсвязном материале в условиях продольного сдвига (двухсвязный материал состоит из двух материалов, которые соединены вдоль прямолинейной поверхности раздела и имеют разные упругие свойства). - Построен комплексный потенциал задачи продольного сдвига для внутренних дефектов/сингулярностей в двухкомпонентном материале с бездефектной границей раздела. Он выражен через комплексный потенциал для того же дефекта в бесконечном, однородном материале. Получена система сингулярных интегральных уравнений задачи для системы внутренних дефектов и при наличии межфазной трещины. - Для случая, когда внутренние дефекты являются микротрещинами, имеющими одинаковый размер (например, равный размеру структурного элемента материала) получено решение в виде ряда по малому параметру Л, равному отношению длины микротрещины к длине межфазной трещины. - Получены аналитические, асимптотические формулы в виде рядов по малому параметру Я для коэффициентов интенсивности напря жжений (КИН) в вершинах межфазной трещины. - Асимптотические формулы для КИН межфазной трещины легли в основу компьютерной программы, которая использована для моделирования влияния расположения систем микротрещин и их ориентации на эффективное сопротивление материала распространению межфазной трещины. - Описаны области расположения микротрещин, которые под действием приложенной нагрузки могут инициировать распространение межфазной трещины и области, которые вызывают эффект «экранирования», а значит торможения межфазной трещины.
3. Для макротрещины и микродефектов в полуплоскости под действием растягивающей нагрузки: - построена система сингулярных интегральных уравнений с учетом возможного контакта берегов трещин. - с помощью численно-аналитического метода решения получены значения функции смещения перемещений и КИН в вершинах трещин для случая, » когда макротрещина перпендикулярна границе тела; - исследовано влияние геометрии микродефектов на КИН в вершинах трещин.
4. Адекватность построенных моделей подтверждена соответствием полученных результатов известным в литературе точным и приближенным численным решениям частных случаев относительно рассматриваемых в диссертации задач.
