Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное решение динамических и статических задач механики разрушения 22
1. Схемы решения двумерных динамических задач теории упругости на основе нескольких аппроксимаций 23
2. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости 40
3. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений 53
4. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок 72
Глава 2. Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред 89
5. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек 91
6. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками 102
7. Безмоментная модель упругопластического деформирования и ползучести тонких прослоек 113
Глава 3. Дискретно-интегральные критерии прочности 124
8. Численное моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости атомных решеток 125
9. Необходимый дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния 138
10. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве 154
11. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния 164
12. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра
дислокации для плотноупакованного слоя атомов 182
Глава 4. Разрушение тел с трещинами и угловыми вырезами для материалов с иерархией регулярных структур 189
13. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной 190
14. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой 199
15. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов 217
16. Определение критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе
призматического образца с угловым вырезом 230
Заключение 234
Литература
- Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости
- Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками
- Необходимый дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния
- Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов
Введение к работе
В современной технике возрастает значение проблем прочности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, необходимостью повышения качества, эффективности, надежности и долговечности. Проектирование и эксплуатация новой техники невозможно без всестороннего анализа прочности и надежности ее элементов. Для обеспечения заданного ресурса безопасной работы конструкции необходимо знать причины возникновения разрушения материала и конструкции в целом, а также характер развития процесса в зависимости от заданных условий внешнего воздействия, рабочей среды и структуры материала. Поэтому проблема разрушения является основной проблемой учения о сопротивлении материалов внешним воздействиям.
Направление науки о прочности, которое связано с исследованием несущей способности конструкции с учетом начального распределения повреждений и с изучением закономерностей зарождения и развития трещин, получило название механики разрушения. Создание механики разрушения явилось одним из величайших достижений ученых-механиков и материаловедов за последние 60 лет. Достигнутое понимание основных механизмов разрушения, а также внедрение контроля поврежденности в методологию технического проектирования оказало большое влияние на экономический аспект проблемы разрушения конструкций.
Появление трещин в конструкциях и их разрушение, которое происходило при средних расчетных напряжениях ниже предела текучести, показали необходимость дополнить классические методы расчета на прочность дополнительными условиями, которые учитывают развитие трещин, и новыми характеристиками материала, описывающими стадию разрушения.
Впервые задача о критическом состоянии тела с трещиной была решена Гриффитсом [229] с позиций общего энергетического баланса исследуемого объекта. Затем Вестергаард [260] и Снеддон [252] аналитически описали распределение напряжений у вершины трещины в упругом теле. Основываясь на этих результатах, Ирвин [236] предложил в качестве критических величин использовать коэффициенты интенсивности напряжений. Силовой критерий локального разрушения Ирвина состоит в сравнении рассчитанных значений коэффициентов интенсивности напряжений с их критическими значениями. Также Ирвин показал эквивалентность силового критерия разрушения и энергетического подхода Гриффитса в условиях упругой работы материала.
Крупным достижением механики разрушения явилась концепция квазихрупкого разрушения, впервые сформулированная Ирвином [235] и Оро-ваном [244]. Начиная с работ Гриффитса, Орована, Ирвина развитие теории прочности твердых тел пошло по пути изучения процесса разрушения — распространения трещин в твердых телах. При исследовании этого процесса классические подходы в рамках моделей механики сплошной среды оказались непригодными. Гриффите, Орован, Ирвин первыми сформулировали новые критерии прочности, вводя при этом такие характеристики материалов, которые являются определенными инвариантами в моделях механики сплошной среды. Эта теория получила название линейной механики разрушения. Линейная механика разрушения изучает состояние тел с трещинами в предположении, что материал сохраняет свойство линейной упругости вплоть до разрушения во всем объеме тела, за исключением, быть может, небольшой окрестности вершины трещины.
Линейная механика разрушения, созданная Ирвином и Орованом как обобщение теории Гриффитса на случай разрушения металлов, дала импульс для проведения огромного числа работ как теоретических, так и прикладного характера. Она была применена не только для исследования уже разрушившихся конструкций с целью выявить закономерности разрушения, но и интенсивно использовалась для определения скорости роста и усталостных трещин и устойчивого роста трещин коррозионного происхождения. Подробный анализ различных аспектов проблемы разрушения и широкий обзор литературы содержится в работах [156, 203, 209, 171, 181, 51, 196, 25].
Зарождение и рост трещин в элементах конструкций происходит в сложном неоднородном поле напряжений. Поэтому первой и главной задачей при исследовании механизма разрушения конструкции является детальное изучение поля напряжений в окрестности вершины трещины. Анализ напряженного состояния можно провести с помощью трех принципиально различных подходов: аналитическое решение, численный расчет и экспериментальное исследование. Каждое направление имеет известные достоинства и недостатки. Очевидно, что наиболее надежные результаты можно получить при совместном использовании этих методов.
Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины можно заключить, что к настоящему времени хорошо изученными в теоретической постановке и в смысле получения решений, удобных для практических инженерных расчетов, оказались лишь вопросы о концентрации напряжений в условиях упругости применительно к областям относительно простой фор-
мы. Для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, использование аналитических методов становится проблематичным. Даже численные методы при традиционных способах их применения оказываются малоэффективными [122].
Еще более трудную проблему представляет исследование поля напряжений в области пластических, упругопластических деформаций и в условиях ползучести. Точные теоретические решения получены для ограниченного числа случаев. Немногочисленны также и приближенные решения. Большинство этих решений выявляет лишь величину напряжений на контуре концентратора или по опасному сечению, оставляя открытым вопрос о напряженном состоянии по всей окрестности источника концентрации, что весьма существенно для оценки несущей способности элементов конструкций.
Для ряда случаев распределение напряжений в зоне концентрации применительно к реальным элементам конструкции в условиях упругих и упругопластических деформаций исследовано экспериментальным путем. Однако в связи со сложностью экспериментов, многообразием форм образцов и условий их нагружения не удается охватить необходимую для исследований область и сделать достаточно широкие обобщения. Поэтому в последние годы в практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач теории упругости и пластичности.
Численные методы, целесообразность использования которых была замечена уже давно, приобретают особенное значение в настоящее время. С одной стороны, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, расчет которых должен базироваться на новейших представлениях о поведении материала в различных условиях нагружения. При этом должна быть обеспечена высокая точность расчета. С другой стороны, появление мощных компьютеров привело к переоценке эффективности приближенных методов, связанных со значительными объемами вычислительных операций, что в прошлом ограничивало их применение.
Существенно, что при инженерных расчетах на прочность, как правило, не требуется абсолютная точность. Более того, она обычно лишена смысла, поскольку используемые в расчетах исходные данные о свойствах материала, спектре действующих нагрузок, режимах температуры и т. п. не являются точными величинами. Ясно, что в расчетах должны выдерживаться приближения, учитывающие степень точности исходных данных, и
требования, предъявляемые к конечной точности прочностных расчетов соответствующих конструкций. Все это говорит в пользу численных методов расчета.
Цель диссертации — численное моделирование явления разрушения материалов и конструкций. В диссертации сочетаются как континуальный (механика деформируемого твердого тела), так и дискретный (физика твердого тела) подходы к проблеме разрушения. Численный расчет основывается на аналитических решениях и дополняется экспериментальными исследованиями.
В первой главе рассматриваются численные методы механики твердого деформируемого тела, которые в последующих главах применяются для решения задач механики разрушения.
Подробный обзор и анализ различных подходов к решению задач динамической теории упругости и пластичности можно найти, например, в работах [13, 112,114,113, 147]. Существующие методы решения задач динамики деформируемых твердых тел достаточно условно можно представить в виде трех направлений [114]:
метод конечных элементов;
характеристические и сеточно-характеристические методы;
сеточные или конечно-разностные методы.
Следует сказать, что все три подхода не противопоставляются и их взаимное проникновение все более заметно в последнее время.
Под методом конечных элементов понимают подход, основанный на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами (действующими в узлах силами и их перемещениями) на основе законов механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод надежно зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы [6, 14, 21, 22, 24, 87, 106, 125, 184, 185, 207].
Как сочетание и обобщение методов конечных элементов и вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод [109, ПО], разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Конечно-элементный подход активно развивается за рубежом. В качестве примера здесь можно указать работы [19, 57, 217, 218, 216, 219, 266].
Детальному изложению, подробному обзору и анализу характеристических и сеточно-характеристических методов посвящена монография [124]. Эти подходы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод [123].
Прямой метод состоит в следующем. В начальный момент времени в среде выбирается некоторая сетка, в узлах сетки выстраиваются характеристические поверхности и с помощью соотношений на них определяется решение на некотором удалении от начального момента времени. В случае, когда характеристические поверхности существенно зависят от решения, реализация метода достаточно сложна (определенные трудности вызывает и неединственность характеристической формы системы в многомерном случае) — решение получается в точках, нерегулярно распределенных по пространству и на разном расстоянии от начального момента времени. Однако для решения задач динамики упругих материалов с малыми деформациями, когда скорости распространения возмущений в среде постоянны, метод представляет собой процедуру пересчета решения на один и тот же слой по времени и при этом сохраняет начальную регулярность выбранной сетки. При решении многомерных задач характеристический метод позволяет максимально сблизить области зависимости разностной задачи и исходной системы дифференциальных уравнений. В то же время даже для одномерных линейных задач в случае, когда из узла сетки выходят несколько поверхностей с постоянными, но различными скоростями, требуется интерполяция построенного решения, что расширяет область зависимости разностной задачи и в итоге снижает точность решения.
В обратном характеристическом методе решение для всей области вычисляется в точках, отвечающих одному и тому же шагу по времени. При этом используется конечно-разностная аппроксимация соотношений на характеристических плоскостях, касательных к характеристическим конусам, выходящим из этой точки на предыдущий (нижний) слой по времени. Метод требует интерполирования на предыдущем слое, при этом расширяется область зависимости разностной задачи. В некоторых работах [124, 123] метод называется сеточно-характеристическим.
Описанный подход допускает большое многообразие модификаций, основанных и на различной интерполяции, и на различном выборе шаблона. В результате могут получаться как схемы первого порядка аппроксимации, так и методы второго порядка [77, 111, 173, 182, 186, 207]. Иногда рассматриваются полухарактеристические схемы, которые получаются в результате записи в характеристической форме системы уравнений меньшей раз-
мерности, после предварительной конечно-разностной аппроксимации по одной из пространственных переменных.
Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упру-гопластических тел, можно указать следующие [78, 80, 79, 172].
Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численного интегрирования задачи. Как правило, алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий — верхний слой. Однако известны и многослойные методы, когда в вычислении решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.
В зависимости от того, дает ли процедура такого вычисления непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные и неявные схемы. Одним из основных вопросов при выборе разностной схемы решения задачи является вопрос о целесообразности использования явных и неявных схем с точки зрения их точности и экономичности.
В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что, в принципе, позволяет вести интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого процесса, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Несомненно, неявные схемы более экономичны и при вычислении гладких решений.
Однако, как отмечается в [114], при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями не устойчивости, а точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. В то же время, использование неявных схем с шагами интегрирования, сравнимыми с допускаемыми явными схемами, менее экономично ввиду дополнительных сложностей реализации неявных схем.
Среди используемых неявных разностных схем наибольшее применение получили схемы расщепления [10, 55, 129, 175, 189, 190] и схемы, основанные на методе дробных шагов [45, 46, 48, 81, 82, 83, 84, 85, 130, 213]. Примеры решенных с использованием этих схем задач содержатся в работах [29, 27, 28]. Достаточно эффективными оказываются подходы, допускающие использование комбинированных схем, в частности схем явных в одном направлении и неявных в другом.
Для численного решения двумерных задач динамической теории упругости Г. В. Иванов предложил использовать несколько локальных аппроксимаций неизвестных функций полиномами Лежандра [59, 63]. В отличие от классических конечно-элементных подходов процедура нескольких аппроксимаций для каждой из искомых функций дает возможность сформировать достаточную для обеспечения монотонности численного решения искусственную диссипацию с одновременным расщеплением многомерной задачи на ряд независимых одномерных задач по пространственным направлениям. Содержащиеся в одномерных задачах параметры — константы диссипации — позволяют регулировать в получаемых схемах величину искусственной вязкости. При этом процедура решения каждой из этих одномерных задач является независимой и может быть как явной, так и неявной.
При частном выборе констант диссипации, для случая регулярных сеток, получающаяся явная схема полностью совпадает со схемой С. К. Годунова [42]. В то же время, одно из преимуществ подхода состоит в возможности построения схем, обладающих лучшими диссипативными свойствами по сравнению с методом распада разрыва. Существенно, что при этом не происходит увеличение числа арифметических операций, т. е. помимо улучшения диссипативных характеристик возрастает экономичность схемы.
В первых двух параграфах первой главы диссертации подход Г. В. Иванова, основанный на нескольких локальных аппроксимациях каждой из неизвестных функций, применяется к построению эффективных численных алгоритмов интегрирования двумерных задач динамической теории упругости и моделированию на их основе процессов разрушения твердых тел.
В 1 на основе нескольких локальных аппроксимаций неизвестных функций линейными полиномами строится схема решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости. Алгоритм основывается на расщеплении полной задачи на четыре независимые одномерные, причем каждая из этих одномерных задач содержит максимальный набор констант
диссипации. При этом алгоритм приобретает достаточно большой произвол, распорядиться которым можно так, что без дополнительных вычислительных затрат удается добиться более высокой точности при сохранении таких положительных качеств, как монотонность, диссипативность и т. д. Исследована диссипативность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипа-тивных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в у/2 раз по сравнению со схемой распада разрыва. Излагается процедура моделирования процессов хрупкого разрушения. При моделировании процесса хрупкого разрушения в рамках построенных алгоритмов предполагается, что разрушение происходит по границам элементов при достижении нормальными или касательными напряжениями предельных значений. Приводится решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец.
В 2 рассматриваются два универсальных способа построения неотражающих условий на искусственных границах при численном решении двумерных задач динамики по явным схемам: 1) моделирование, основанное на аналогии с точными условиями для одномерных задач; 2) использование пространственных и пространственно-временных экстраполяции. При решении задач для бесконечных, полубесконечных или протяженных областей возникает необходимость ограничить вычисления в конечной области, поэтому возникает вопрос формулировки граничных условий на границе этой области — так называемых неотражающих условий, обеспечивающих отсутствие всякого влияния на решение извне.
В 3 подход, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, применяется к решению статических задач теории упругости. Процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов. Эти элементы не содержат сингулярных точек, поскольку они содержат только величины, осредненные по граням, и поэтому являются естественными регуляризаторами в задачах с особенностями в напряжениях.
В 4 рассматривается итерационное решение статических задач механики деформируемого твердого тела методом самоуравновешенных невязок. Каждая итерация начинается с некоторого приближения, которое не
удовлетворяет решаемой системе уравнений. Возникающие в уравнениях невязки в статических задачах можно интерпретировать как сосредоточенные силы и моменты, приложенные в узлах конечноэлементной сетки. Целью итерационного процесса является устранение этих сосредоточенных сил и моментов или сведение их в соответствии с некоторым критерием к минимальным значениям. В статических задачах механики деформируемого твердого тела каждая итерация релаксационного метода приводит, как правило, к уменьшению значения положительно определенного квадратичного функционала, что обеспечивает сходимость итераций.
Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию процессов разрушения структурно-неоднородных сред.
Основная проблема механики деформируемого твердого тела состоит в установлении связи между внешним воздействием, изменением исходной структуры среды и возникающими вследствие этого механическими ПОЛЯМИ.
В процессе исследования этой общей проблемы предложены различные модели, описывающие отдельные аспекты поведения деформируемого твердого тела. Каждая конкретная модель характеризуется определенным способом задания состояния системы (упругость, пластичность, вязкоупру-гость и т. д.). Естественно, что выбор модели, отвечающей данному физическому явлению, может быть оправдан только сравнением с экспериментом.
Наиболее интересными с точки зрения механики твердого тела являются модели реальных сред с дефектами. В одной из конкретных моделей (континуальная механика дефектов) сделана попытка описания таких сред. Исходным состоянием данной модели предполагается идеальное упругое тело, задаваемое вектором поля смещений, называемая линейным кристаллом [194, 208, 69].
Присутствие дефектов (дислокаций) приводит к нарушению линейности и, как следствие, к разрушению исходного состояния. Теперь состояние системы характеризуется тензором дисторсии (шесть компонент упругой деформации є и три компоненты вектора поворота со). Следовательно, появление дислокаций неизбежно приводит к реализации вращательных степеней свободы. Разрывность вектора поворота вызывает появление коллективных или ротационных мод деформации. В континуальной механике дефектов рассматриваются три приведенных выше состояния, из которых каждое последующее является обобщением предыдущего [205, 52].
В работах школы академика В. Е. Панина развивается синергетиче-ский подход, рассматривающий деформируемое твердое тело как открытую сильнонеравновесную систему, а пластическое течение — как диссипа-
тивный процесс, снижающий уровень напряжений кристалла [170, 161, 169, 163, 164, 157, 158, 165, 162]. В соответствии с этим подходом пластическая деформация твердых тел может протекать только в условиях неоднородного напряженного состояния. Пластический сдвиг зарождается в зонах концентраторов напряжений как локальная потеря устойчивости атомной решетки и проявляется как локальное структурное превращение. Это структурное превращение может распространяться только в поле концентратора напряжений как сугубо релаксационный процесс. Основные концентраторы напряжений возникают на границах раздела и в различного рода зонах стесненной деформации. Их стохастическое распределение в твердом теле определяет так называемую распределенную систему. Взаимодействие релаксационных потоков в распределенной системе обусловливает волновой характер пластического течения твердого тела. При этом особенно существенно, что процесс пластического течения протекает одновременно или последовательно на различных структурных уровнях, масштаб которых определяется геометрией образца и размерами структурных неоднородно-стей, характерных для каждой стадии деформирования, а известные изменения дефектной структуры, сопровождающие пластическую деформацию, — не только следствие протекания процесса, но и причина перехода от одного уровня к другому.
Эти представления получили убедительное теоретическое и экспериментальное подтверждение [167, 168, 159], и в настоящее время волновой характер пластического течения твердых тел не вызывает сомнений.
В условиях кристаллографической направленности сдвига сохранение сплошности материала требует одновременного участия в скольжении не менее пяти систем плоскостей [174]. Однако результаты многочисленных экспериментальных исследований приводят к заключению, что в реальных условиях такая схема не реализуется: число действующих систем, как правило, меньше пяти, а во многих случаях скольжение происходит преимущественно по одной — трем системам скольжения, сопровождаясь эффектами поворота элементов структуры материала [183, 163, 166, 159]. Поворотные моды деформации в настоящее время являются объектами тщательного исследования.
Обнаружено, что повороты структурных элементов деформации наблюдаются с самого начала пластического течения [170]. Теоретическое и экспериментальное изучение этих эффектов привело к формулировке концепции структурных уровней деформации твердых тел [163]. Согласно этой концепции, при заданных граничных условиях любые пластические сдвиги в пределах определенного структурного элемента деформации вслед-
ствие их неизотропности обусловливают появление материального поворота, который вызывает действие на структурный элемент деформации со стороны окружения поля поворотных моментов. Как следствие, возникают поворотные моды деформации, вовлекающие в движение всю иерархию структурных уровней деформации материала. Это кардинально меняет механику пластического формоизменения и разрушения твердого тела. Учет данного обстоятельства позволил успешно описать кривые пластического течения в различных условиях нагружения.
Физика волнового характера пластического течения связана с особенностями вовлечения в деформацию множественного скольжения. Ведущим механизмом деформации является первичное скольжение под действием максимальных касательных напряжений, которое всегда порождает первичный материальный поворот. Все остальные механизмы деформации являются аккомодационными поворотными модами, обеспечивающими релаксацию поля поворотных моментов, действующих на структурный элемент деформации со стороны окружающего материала. Аккомодационные механизмы деформации осуществляются вторичными потоками дефектов и могут обусловливать как материальный поворот структурного элемента деформации (множественное скольжение), так и кристаллографический (зернограничное скольжение, миграция границ зерен, фрагментация и др.). Учитывая, что множественное скольжение зарождается только на границах раздела, включая боковую поверхность образца, корректное описание пластической деформации твердого тела может быть проведено только с учетом границ раздела и зависящих от времени релаксационных потоков деформационных дефектов.
Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред во второй главе диссертации основывается на представлении сплошной среды в виде жестких блоков, соединенных упругоиластически-ми прослойками. Блоки могут смещаться и поворачиваться как твердое целое, прослойки же могут деформироваться упругопластически.
В 5 формулируется модель плоской деформации прослоек, имеющая целью моделирование всего процесса упругопластического деформирования прослоек от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения (сжатия), сдвига и изгиба прослоек в общем случае, когда прослойка может быть криволинейной, а толщина ее переменной. Используется представление прослойки в виде слоя четырехугольных элементов. Строятся уравнения, определяющие зависимость усилий на гранях элементов от средних скоростей граней.
В 6 излагаются результаты численного моделирования волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недефор-мируемых блоков с упругопластическими прослойками.
В 7 рассматривается плоская деформация тонких прослоек между жесткими блоками в случае, когда наряду с упругопластическим деформированием прослойки происходит ее вязкое деформирование (ползучесть). Проводится сопоставление построенной модели с моделью установившейся ползучести прослоек, предложенной Л. М. Качановым, и с моделью упру-гопластического деформирования прослоек без ползучести.
Исследование прочности материалов предполагает определение тех условий, при которых материал утрачивает способность противостоять внешнему нагружению и разрушается (разделяется на отдельные части). В рамках классического подхода к проблеме прочности принято, что разрушение происходит тогда, когда определенная комбинация, включающая в себя напряжения, деформации, температуру и некоторые другие параметры, характеризующие состояние материала и его конкретные свойства, достигает критического значения. Таким образом, в пространстве всех возможных значений указанных параметров существует замкнутая предельная поверхность, которая ограничивает область допустимых (с точки зрения прочности) состояний материала [171, 209].
Обычно окончательному разрушению материала, т. е. разделению его на части, предшествуют глубокие изменения в его структуре на макро-, мезо- и микроуровнях. Накопление этих необратимых изменений на различных стадиях деформирования можно отразить, если в уравнение предельной поверхности дополнительно ввести параметры, характеризующие поврежденность материала. В этом случае при помощи критерия прочности можно описать любое промежуточное состояние материала от начала появления пластических деформаций до полного разрушения и таким образом определить работоспособность конструкции.
Наличие в реальном теле остроконечных концентраторов напряжений, в частности дефектов типа трещин, принципиально усложняет его расчет на прочность. В таких случаях классические подходы механики сплошной среды приводят к некорректным результатам. Суть в том, что условие теоретической прочности недостижимо в практических задачах, а критерий Гриффитса-Ирвина успешно «работает» при расчетах трещин, но приводит к несообразностям в случае угловых вырезов и включений, удлиненных гладких дефектов и т. д. [150].
Необходимость корректировки классических критериев прочности особенно четко видна при одновременном растяжении и сдвиге упругой плос-
кости, ослабленной лункой, близкой к прямолинейной трещине [137]. В случае трещины характеристические числа для растяжения и сдвига совпадают, в случае лунки они не равны друг другу. В связи с этим, применяя критерий Ирвина, во втором случае получим несообразность.
Определенный прогресс в проблеме выбора критерия разрушения связан с подходом В. В. Новожилова, который в [148] предложил осреднять напряжения в пределах межатомных расстояний и сравнивать их с теоретической прочностью материала на разрыв. Проверено, что оценка Новожилова, взятая в качестве критерия разрушения, снимает ряд противоречий теории Грифитса-Ирвина и совпадает с ней в простейших случаях [136]. Недостаток критерия Новожилова — в неоднозначности интервала осреднения, поэтому наиболее успешно его можно применять в сравнительных оценках для разной геометрии вырезов в изделиях из одного материала.
В связи с широким внедрением расчетов на прочность и трещиностой-кость в современной технике особую актуальность приобрела проблема разработки достаточно простого критерия хрупкого разрушения. Введенный Новожиловым критерий решает поставленную проблему, однако ряд аспектов остаются невыясненными прежде всего из-за «белых пятен» на межатомном (дискретном) уровне, например, в задаче об угловом вырезе на границе двух сред.
Определенные надежды на решение указанных проблем исследователи связывают с дискретным подходом. Достаточно указать на работы М. Я. Леонова [120], В. В. Панасюка [155, 153], Н. Ф. Морозова [131, 132, 134, 135], Г. Зорского [58], Л. И. Слепяна [197], С. А. Назарова [141]. Дискретные модели, особенно в задачах разрушения, позволили обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными моделями, кроме того, дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры.
В третьей главе диссертации на основе объединения континуального и дискретного подходов формулируются необходимый и достаточный критерии хрупкой и квазихрупкой прочности, причем теоретическая прочность монокристалла определяется из решении задачи о деформировании атомных ячеек. Если рассматривать твердые тела со структурой от микроуровня, соответствующего характерному линейному размеру кристаллической решетки, до макроуровня — размер образца, то методы исследования, опирающиеся только на подходы механики сплошной среды обречены на неудачу, поэтому в механике разрушения необходимо применять такие методы исследования, которые не входили бы в противоречие с общепринятыми взглядами физики и химии твердого тела. По мнению автора наиболее
плодотворный подход к решению поставленных задач связан с идеями работ В. В. Новожилова [148, 150, 151], вероятно среди гибридных моделей механики разрушения критерии В. В. Новожилова наиболее перспективны.
В 8 хорошо развитая техника численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов применяется к решению нелинейных задач по деформированию атомных решеток, характер деформирования которых близок к характеру деформирования стержневой конструкции. Предлагается конечный элемент атомной пары, матрицы и векторы которого близки к соответствующим матрицам и векторам стержневого элемента. При построении системы алгебраических уравнений для атомной решетки ошибки дискретизации не вводятся, в отличие от построения аналогичной системы в задачах механики сплошной среды. Кроме того, для атомных пар используются потенциальные законы взаимодействия атомов. Поэтому использование метода Ньютона приводит к итерационному процессу, сходящемуся (если этот процесс сходится) к точному решению нелинейной задачи по деформированию атомной решетки.
В 9 рассматривается плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии. Моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при сложном напряженном состоянии. Выявлена существенная зависимость критических нагрузок потери устойчивости трехатомной ячейки от закрепления одного из атомов этой ячейки (схема закрепления определяется наличием или отсутствием вакансий в окрестности вершины трещины). Кривая теоретической прочности для сложного напряженного состояния определена из решения задачи о деформировании и потери устойчивости трехатомной ячейки. Эта кривая для простейшего случая напоминает огибающую кругов Мора для разных напряженных состояний. Обнаружена угловая точка, соответствующая бифуркации решений, из которой возможны два пути закритическо-го деформирования трехатомной ячейки. Проведено сравнение полученных численных значений теоретических прочностей с существующими экспериментальными наблюдениями и с теоретическими оценками. Предложен дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженно-деформированного состояния. В отличие от классических критериев предложенный критерий допускает предельный переход по параметру длина трещины и описывает как прочность трещиноватых тел, так и прочность тел без трещин. Предложенный критерий описывает хрупкое и квазихрупкое разрушения и частично описывает пластическое разрушение.
В 10 изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при растяжении. Вводится в рассмотрение достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для трещин нормального отрыва, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую. При формулировке достаточного критерия в соответствии с гибридной моделью В. В. Новожилова используется новый класс решений, который отличается от решений, применяемых при формулировке классического достаточного критерия прочности. Предложенный достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования ячейки. Если потеря устойчивости трехатомной ячейки связывается с теоретической прочностью на разрыв, то полная информация о закритическом деформировании этой ячейки позволяет получить после процедуры аппроксимации критическое раскрытие трещин нормального отрыва.
В 11 моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомных и четырехатомных ячеек при обобщенном растяжении. Предложен трехпараметрический достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для для сложного напряженного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а вектора полей напряжений и деформаций коллинеарны. Величины критических нагрузок, полученные в соответствии с достаточным критерием, существенно отличаются от полученных в соответствии с необходимым критерием, что позволяет описать эффект Ребиндера.
В 12 проводится численное моделирование краевой дислокации Френ-келя-Конторовой и Пайерлса. Получена оценка узких ядер дислокаций для плотноупакованного слоя атомов, выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела: вне ядра дислокации напряжения не превосходят локальную теоретическую прочность атомной решетки на сдвиг. Эта оценка ядра дислокации отличается от общепринятой (в физике твердого тела) оценки по смещениям в ядре дислокации.
Четвертая глава диссертации посвящена описанию процесса разрушения тел с трещинами и угловыми вырезами. Рассматриваются острые трещины и вырезы в твердых телах, материал которых имеет иерархию структур от микроуровня до макроуровня. Цель четвертой главы — получить прочностные характеристик твердых тел с макродефектами в виде острых
трещин и угловых вырезов. Для сред с иерархией структур, каждая из которых может содержать некоторые микродефекты, используются ранее полученные и доработанные многомасштабные необходимые и достаточные критерии прочности, которые не противоречат современным представлениям физики твердого тела. Особое внимание уделяется установлению связи между критическим коэффициентом интенсивности напряжений (механика сплошных сред) для деформируемого твердого тела со структурой и теоретической прочностью (физика твердого тела) структурированных сред. Напомним, что понятие коэффициента интенсивности напряжений используется только для трещин (разрезов). При построении необходимых и достаточных критериев разрушения при хрупком и квазихрупком деформировании материалов со структурой используются идеи работ Г. Нейбера [143] и В. В. Новожилова [148].
Во всем мире наблюдается повышенный интерес к многомасштабному конструированию материалов [256, 243, 255] (весь номер цитируемого журнала Science посвящен этому вопросу). На международных конференциях все больше внимания уделяется моделированию процессов разрушения в материалах со структурой, многомасштабным моделям, объединяющим две и более техники моделирования, так как некоторые особенности поведения реальных материалов при разрушении можно описать, только принимая во внимание иерархию структур. Чаще всего применительно к разрушению речь идет о макроразрушении, мезоразрушении и микроразрушении. Макроразрушение, как правило, обсуждают исследователи, когда используются подходы механики сплошной среды. Сложные процессы, возникающие при микроразрушении, обсуждаются, например, при описании эффекта Ребиндера [96]. Большое внимание влиянию разных масштабов, особенно на мезоуровне, уделяют в школе академика В. Е. Панина, что помогает описать некоторые процессы разрушения. Однако отсутствуют работы, в которых используются сразу несколько критериев разрушения от макро- до микроуровня.
В 13 излагается метод аддитивного выделения особенности, позволяющий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Рассматривается плоская деформация прямоугольного образца с краевой трещиной. Находится аналитическое решение вспомогательной задачи о растяжении плоскости с прямолинейным разрезом методами теории функций комплексного переменного путем сведения к задаче сопряжения Римана-Гильберта. Напряжения, найденные из решения вспомогательной задачи, добавляются с противоположным знаком к граничным условиям исходной задачи. Методом конечных разностей численно
интегрируется система уравнений плоской теории упругости в напряжениях. Организуется итерационный процесс по коэффициенту интенсивности напряжений с использованием интеграла Раиса-Черепанова, который берется по контуру, достаточно далеко удаленному от носика трещины. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.
В 14 методом конечных элементов исследуется напряженно-деформированное состояние в окрестности горизонтальной выработки квадратного поперечного сечения в массиве горных пород. Задачи определения напряженно-деформированного состояния в окрестности клиновидного надреза являются типичными в механике горных пород. При определении горного давления около выработок необходимо принимать во внимание поле напряжений нетронутого массива, которое линейно увеличивается с глубиной. Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки, имеющей острые углы. Для расчета напряженно-деформированного состояния используется четырехугольный шестнадцатиузловой конечный элемент с кубической аппроксимацией смещений. Применение таких элементов позволяет повысить точность определения напряжений в окрестности угловых точек, когда поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Получено распределение главных напряжений в окрестности угловой точки, где поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Обнаружено появление на кровле выработки растягивающих напряжений, которые нередко вызывают нарушение сплошности пород, поскольку последние плохо сопротивляются растяжению.
В 15 изучается разрушение при растяжении и сдвиге в окрестности вершины углового выреза, для описания которого предлагается использовать критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова. Поля напряжений в окрестности углового выреза состоят из регулярной и сингулярной составляющих, причем коэффициент сингулярности зависит от угла раскрытия выреза. В монокристаллах этот угол определяется характеристиками кристаллической решетки. Этот коэффициент сингулярности только в пределе совпадает с коэффициентом сингулярности поля напряжений для трещины, когда угловой вырез в окрестности вершины переходит в двухсторонний разрез (трещину). В предложенном критерии пределы осреднения напряжений на оси выреза зависят от наличия, размера и положения дефектов исходного материала. Величина этих осредненных напряжений не должна превосходить теоретическую прочность исходной структуры. В качестве характерного линейного размера выбран параметр кристалличе-
ской решетки исходного материала. Для угловых вырезов при растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины. В полученных соотношениях возможен предельный переход по углу от углового выреза к трещине. Показано, что классический критический коэффициент интенсивности напряжений, используемый при оценке прочности тел с трещинами, не является константой материала.
В 16 представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Другими словами, разрушающая нагрузка увеличивается с уменьшением массы конструкции, в противоположность тому, что наблюдается в пластичности. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкого разрушения типа Нейбера-Новожилова. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты, по-видимому, согласуются удовлетворительно.
Основные результаты диссертации изложены в работах [31, 63, 115, 35, 36, 37, 5, 38, 39, 40, 64, 65, 66, 9, 67, 118, 237, 98, 99, 101, 100, 61, 116, 53, 23, 238, 240, 144, 145, 146, 4, 117].
Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости
Остановимся еще на одной проблеме, часто возникающей при решении задач в областях с большой протяженностью, в то время как возмущение, вызывающее динамический процесс, локализовано в узкой области. В задачах такого вида мы вынуждены ограничиться вычислениями в конечной области, и возникает вопрос формулировки граничных условий на границе этой области — так называемых неотражающих условий, обеспечивающих отсутствие всякого влияния на решение извне [9].
Для одномерных задач неотражающие условия могут быть сформулированы точно (в дифференциальном виде) и проблема заключается только в их «правильной» разностной аппроксимации. В случае решения многомерных задач динамики нельзя полностью построить неотражающие условия, т. е. применяемые условия уже на дифференциальном уровне носят приближенный характер. Это приводит к тому, что при численных расчетах возмущения, дошедшие до искусственных границ, с течением времени частично отражаются от них, искажая при этом решение внутри области. Таким образом, конечные размеры расчетной области всегда ограничивают длительность решения поставленной задачи и, поэтому, одним из основных критериев при построении условий неотражения является более точное описание решения на длительном интервале времени в выделенной области интегрирования.
Различным способам построения условий на искусственных границах посвящено довольно много работ (полную библиографию можно найти, например, в [68]). Вопросы практической применимости неотражающих условий в тех или иных разностных схемах рассматривались в работах РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА [251, 227, 228, 220, 202, 195, 50, 139, 140], анализ которых позволяет выделить два универсальных способа построения неотражающих условий, применяемых при изучении многомерных нестационарных процессов в механике сплошных сред: 1) моделирование, основанное на аналогии с точными условиями для одномерных задач; 2) использование пространственных и пространственно-временных экстраполяции. Рассмотрим более подробно эти способы применительно к двумерным динамическим задачам теории упругости.
Уравнения одномерной задачи динамики, описывающие распространение плоских волн в полубесконечном стержне х 0 имеют вид ди да да ди рт = ы Tt=Eai (L34) а(0, х) = а0(х), и(0, х) = щ(х), au(t, 0) + /3a(t, 0) = ip{t), (1.35) где и — скорость частиц стержня; а — напряжение; Е — модуль упругости; р — плотность; а, (3 — постоянные коэффициенты.
Решение задачи (1.34), (1.35) можно представить в виде двух соотношений а(х, t) ± у/рЁи(х, t) = с±, (1.36) где величины 0і принимают постоянные значения, определяемые начальными и граничными условиями, вдоль каждой из характеристических линий dx , [Ё
Предположим, для простоты, что в начальный момент t = 0 стержень невозмущен: щ(х) = а0(х) = 0, х 0. (1.37) Для того, чтобы волна проходила некоторую точку х = L без отражения, необходимо в этой точке сформулировать условия, отсекающие волны, приходящие из бесконечности. В силу (1.36), (1.37) эти условия имеют вид a(L, t) + y/pEu(L, t) = 0. (1.38)
Разбив отрезок [0; L] на iV равных интервалов длиной h и обозначив границы расчетных ячеек целыми индексами г, а середины ячеек — полу целыми индексами і — \ {і = О, 1,..., N), аппроксимируем условие (1.38) в точке х = L = Nh соотношением crN ( + ) + y/pE N (t + ) = 0. (1.39)
Нетрудно показать, что если разностная схема решения задачи (1.34), (1.35) допускает формулировку граничных условий в виде линейной комбинации напряжения и скорости, то соотношение (1.39) является точным неотражающим условием для такой схемы. Иными словами, разностные граничные условия (1.39) обеспечивают полное поглощение приходящих в точку L возмущений, не искажая численного решения задачи в выделенной расчетной области [0;L]. Заметим, что для схемы Годунова [42] функции &N, лг в (1.39) имеют смысл вспомогательных «больших» величин на искусственной границе х = L, а в алгоритме решения задач динамики на основе нескольких аппроксимаций [61] функции 7/v, WJV — значения пространственных полиномов и и и в точке L.
Обобщим соотношение (1.39) на случай решения двумерных задач теории упругости. Пусть прямоугольная область Q = {х, у : х Є [0;LX], у Є [0; Ly]} покрыта регулярной сеткой, составленной из прямоугольников или квадратов. Линии х = Nhx = Lx и у = Mhy = Ly будем считать искусственными границами, на которых необходимо сформулировать условия, обеспечивающие полное или частичное поглощение приходящих возмущений.
Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками
Экспериментальному и теоретическому исследованию волн смещений при пластическом деформировании структурно-неоднородных сред посвящены монографии [170, 161, 169]. Численное моделирование волн смещений рассматривалось в [142, 126, 12]. В [142] изучался вихревой характер скоростей при динамическом деформировании среды из жестких недефор-мируемых элементов с заданными силами взаимодействия между ними. В [126, 12] изучались неоднородность деформаций и волны смещений в среде из упругопластических элементов с прослойками, пластические свойства которых отличаются от свойств элементов. В [11] деформация и разрушение среды в виде гексагональных блоков, разделенных прослойками со свойствами, существенно отличающимися от свойств блоков, моделировались методом подвижных клеточных автоматов [177,178]. Распространение макрополос локализованной деформации наблюдалось в эксперименте при растяжении плоского образца композита А1+10%АІ2Оз [54].
В данном параграфе излагаются результаты численного моделирования волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недеформируемых блоков с упругопластическими прослойками. При нагружении структурно-неоднородных сред важным мезоскопи-ческим уровнем деформации является движение отдельных структурных элементов как целого по схеме «сдвиг+поворот». На их границах раздела происходит фрагментация материала, которая заканчивается возникновением разрывов среды [160]. Поэтому в первом приближении пренебрегаем упругими деформациями блоков, из которых состоит полоса, считая их жесткими.
Рассмотрим два жестких (недеформируемых) блока, соединенных упругопластической прослойкой (рис. 2.6, а). Полагаем, что поле скоростей блоков и прослойки — плоское. Пусть и± — скорости перемещений центров 0+, О- блоков, us± — угловые скорости блоков, F±, М± — действующие на прослойку со стороны блоков силы и моменты сил относительно центров 0+, О-. Зависимости F±, М± от u±, ІО± условимся называть уравнениями жесткости прослойки.
В качестве модели деформирования прослойки примем безмоментную модель, изложенную в предыдущем параграфе. По этой модели прослойка представляется в виде слоя четырехугольных элементов (рис. 2.6, а, б) с уравнениями жесткости РЇ - р = a/V(i4 + ut) + 2Ха, (2.29) р? + р = Са13г{и1 - пі) + 2(р5), где u± = uV±i P± = PaVsS/?)e=±1; (2.30) аа@ — компоненты тензора напряжений в связанной с элементом прослойки косоугольной системе координат , 2 Є [—1; 1] (рис. 2.6, б"), у/д = \Gi х ( Ga — базисные векторы системы а, т — шаг по времени, всюду ниже т = 1. На каждой итерации а , Са/3, %а, (р") — известные постоянные в пределах элемента величины, корректируемые при переходе от одной итерации к другой по процедуре, подробно изложенной в 5. На границах раздела блоков с элементами прослоек нормальные составляющие скоростей считаются непрерывными: (и2± -u±-uj±xr±)-G Є=±і = 0. (2.31) Касательные составляющие скоростей в безмоментной модели могут быть разрывными. На первой итерации принимается, что (и± — и± — ш± х г±) Gi =±i = 0. (2.32)
На последующих итерациях условие (2.32) сохраняется лишь на тех гранях, где величина касательных напряжений не превосходит предела текучести т . На остальных гранях условие (2.32) заменяется условием равенства величины касательных напряжений пределу текучести. При этом, знак касательных напряжений сохраняется тем же, что и при условии (2.32). Таким образом, в общем случае наряду с гранями элементов прослойки, где выполнены условия (2.32), будут грани, где выполнены условия вида
В процессе итераций условия вида (2.32) сохраняются на тех гранях, где мощность диссипации при проскальзывании этих граней относительно блоков неотрицательна. На остальных гранях условия вида (2.33) заменяются условиями (2.32).
Необходимый дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния
В исследованиях прочности и разрушения твердых тел придается все большее значение подходам, связанным с дискретностью строения материала. Рассматривая разрушение идеального кристаллического твердого тела с трещиной как дискретный процесс [148], В. В. Новожилов предложил для оценки прочности хрупкого упругого тела в окрестности сингулярных точек поля напряжений осреднять последние в пределах межатомного расстояния и сравнивать их с теоретической прочностью на разрыв. Кроме того, он ввел необходимый и достаточный критерии хрупкой прочности [148]. Реальные кристаллы содержат дефекты, самыми распространенными из которых являются вакансии. В работе [88] предложены дискретно-интегральные критерии для трех простейших типов трещин (по терминологии В. В. Новожилова, это необходимые критерии), причем пределы осреднения напряжений поставлены в зависимость от наличия, размеров и местоположения дефектов в окрестности носика трещины. Считается, что соответствующие осредненные напряжения не превосходят теоретических прочностей на разрыв или на сдвиг. В работах [7, 104] подход В. В. Новожилова использован для получения достаточных критериев для трещин нормального отрыва. Показано, что если величину раскрытия трещины определять с использованием реальных потенциалов межатомного взаимодействия для цепочек атомов, то величина теоретической прочности кристаллического тела не зависит от конкретного кристаллического строения твердого тела в окрестности вершины трещины.
В работах [118, 99] рассмотрен дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния. В критерий входят параметры, характеризующие теоретическую прочность кристаллической решетки. Рассматриваются монокристаллы с трещиной, в окрестности носика которой имеются дефекты типа вакансий. Кривая теоретической прочности для сложного напряженного состояния определяется из решения задачи о деформировании и потери устойчивости трехатомной ячейки. Эта кривая для простейшего случая напоминает огибающую кругов Мора для разных напряженных состояний [180]. Предложенный критерий описывает хрупкие и квазихрупкие разрушения и частично описывает пластическое разрушение. Экспериментальная проверка дискретно-интегрального критерия хрупкой прочности проведена в работах [1, 2, 3].
Изучается поведение под нагрузкой тела, имеющего макротрещину. Пусть плоская макротрещина с прямолинейным фронтом не нарушает в макрообъеме структуру монокристалла [212]. Вообще говоря, не все четырнадцать решеток Браве при соответствующей ориентации допускают наличие плоской трещины с прямолинейным фронтом.
Для выбранных пропорциональных путей нагружения, указанных стрелками 1 или 2 на рис. 3.3, имеем a = const в соотношении т = аа, (3.33) где т — касательные напряжения, о — нормальные напряжения. Допустим, что при сложном напряженном состоянии получена предельная кривая, описывающая теоретическую прочность твердого тела, такая что в пределе при а — О или а — со имеем теоретические прочности твердых тел на сдвиг тт и на разрыв ат [128]. Введем обозначения г , а для критических состояний (рис. 3.3). Итак, величины г и а описывают теоретическую прочность тела для выбранных путей нагружения: для первого пути нагружения имеем ТІ и а\, для второго пути нагружения имеем г И 02, причем для последнего пути нагружения 02 0) а Т2 Тт
Рассмотрим плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии; пример такого слоя приведен на рис. 3.4, а: считается, что при образовании макротрещины частично убран ряд атомов, а непосредственно перед вершиной имеются вакансии, отмеченные крестиком. На рис. 3.4, б дана схематизация деформирования трехатомной ячейки. Рассматривается наислабейший слой атомов, расположенный перпендикулярно прямому фронту плоской острой макротрещины длиной 21.
Введем в рассмотрение дискретно-интегральный критерий квазихрупкой прочности подрастания трещин (трещина моделируется двусторонним разрезом)
Здесь ay и тху — нормальные и касательные напряжения в вершине трещины (они имеют интегрируемую особенность); Оху — прямоугольная система координат, начало которой расположено в правом кончике трещины; ге — расстояние между центрами атомов; п и к — целые числа, причем п к (к число действующих межатомных связей); пге — интервал осреднения. Пределы осреднения напряжений в этом критерии поставлены в зависимость от наличия, размера и местоположения дефектов кристаллической решетки в окрестности носика трещины; в изображенном на рис. 3.4, а случае имеем п = 2, к = 1
Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов
В классической механике разрушения силовые и деформационные критерии разрушения ориентированы на их применение к областям, содержащим трещины. Непосредственное определение разрушающих нагрузок для тел с угловыми концентраторами напряжений при помощи этих критериев в основном не удается. Подход Нейбера-Новожилова [143, 148] позволяет описать разрушение трещиноватых сред с иерархией структур [88, 91, 92] при нагружениях, соответствующих трем классическим типам трещин. При построении дискретно-интегральных критериев используются понятия классической механики разрушения (механики деформируемого твердого тела) и физики твердого тела [201, 128], связанные с кристаллическим строением монокристаллов. Если учитывать реальное пространственное расположение атомов в монокристалле, то трещины в них не моделируются двусторонними разрезами. Даже в плоском случае имеет смысл рассматривать угловые вырезы, причем угол раскрытия выреза определяется характеристиками кристаллической решетки. Своеобразие возникающих задач разрушения для тел с остроугольными вырезами отмечено в работах [133, 137]. Поля напряжений в окрестности углового выреза состоят из регулярной и сингулярной составляющих, причем показатель сингулярности зависит от угла раскрытия выреза [203]. Показатель сингулярности только в пределе совпадает с показателем сингулярности поля напряжений для трещины, когда угловой вырез в окрестности вершины переходит в двусторонний разрез (трещину).
Недостатки классического подхода теории трещин, в которой не учитывается строение материала, привели к необходимости создания многомасштабных критериев прочности с учетом иерархии структур: макроуровень (стандартный образец с подкрепляющими элементами), мезоуровень (регулярная зернистость материала) и микроуровень (конкретное устройство атомной решетки в окрестности вершины трещины). Еще в 1977 г. Па-насюк, Андрейкив, Ковчик [154] провели исследование зависимости критического коэффициента интенсивности напряжений (КИН) от стандартных механических характеристик материала с учетом структуры материала. В [91] предложены согласованные дискретно-интегральные критерии прочности для трещин нормального отрыва в телах, содержащих иерархию вложенных структур, линейные размеры которых отличаются на два порядка и могут меняться в диапазоне от Ю-7 до 102 см. Многомасштабные критерии сдвиговой прочности горных массивов, имеющих блочно-иерархическое строение, рассмотрены в [92]. Обобщенный достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для трещин нормального отрыва в средах со структурой для упругопластических материалов, позволяющий описать зону предразрушения, предложен в [95]. Там же получены точные и приближенные уравнения, связывающие критические параметры с теоретической прочностью зернистого материала, размером зерна и параметрами, характеризующими интервал осреднения, поврежденности исходного и пластически деформированного материала.
За последнее десятилетие форма и размеры вырезов или входящих углов в элементах конструкций изучаются чаще, чем форма и размеры трещин, см., например, работы Северина [247, 248, 249], Карпинтери [221, 222], Дана [226, 225].
Поле напряжений в окрестности углового выреза в условиях антиплоской деформации описано в [93]. В [238] на примере упругой полуплоскости, ослабленной угловым вырезом, при задании на бесконечности поля напряжений, слагающегося из одноосного растяжения и чистого сдвига, проведен последовательный анализ возможности применения критерия Новожилова при определении разрушающих нагрузок для тел, содержащих угловые вырезы.
Пусть пластина, находящаяся в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, ограничена двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая область представляет собой бесконечный двугранный угол величиной 1а (рис. 4.14). Рассмотрим поле напряжений в окрестности вершины углового выреза, порождаемое растягивающими и сдвигающими напряжениями на бесконечности. Введем декартовы прямоугольные Оху и полярные Отв системы координат. Допустим, что твердое тело, симметричное относительно оси выреза, нагружено симметрично относительно выреза. Тогда из-за симметрии задачи наибольшие напряжения возникают на оси выреза. Для углового выреза в окрестности его вершины с точностью до величин высшего порядка малости в линейной задаче растягивающие сгд(г,9) и сдвигающие напряжения тго{г,6) на оси выреза в = 0 можно представить в виде:
