Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамическое моделирование однопродуктового производственного объекта 17
1.1 Вводные замечания 17
1.2 Модель выпуска продукции 18
1.3 Вычисление величины вектора с пропорциональными компонентами 21
1.4 Случай параллельного соединения участков 23
1.5 Случай последовательного соединения участков 24
1.6 Случай параллельно-последовательного соединения участков 27
1.7 Пример. Сборка кессонной части отсека крыла 31
1.8 Алгоритм определения матрицы распределения продукции . 32
1.9 Алгоритмы вычисления потока потребных оборотных фондов 40
1.10 Определение потребных основных производственных фондов и мощности участка 42
1.11 Алгоритмы вычисления потребных основных фондов 44
1.12 Выводы по первой главе 46
Глава 2. Динамическое моделирование выпуска продукции однопродуктового производственного объекта с учетом цикла ее изготовления 47
2.1 Задача учета цикла производства 47
2.2 Модель выпуска с учетом чистого запаздывания 49
2.3 Модель выпуска с учетом инерционного запаздывания 52
2.4 Случай последовательного соединения участков 54
2.5 Случай параллельного соединения участков 58
2.6 Параллельно - последовательное соединение участков 60
2.7 Пример. Параллельно-последовательное соединение участков с учетом цикла изготовления на примере схемы сборки отсека кессонной части крыла 65
2.8 Алгоритмы вычисления потока потребных оборотных фондов с учетом запаздывания 66
2.9 Расчет потребных основных фондов 72
2.10 Сравнительный анализ методов календарного планирования и динамического моделирования 73
2.11 Выводы по второй главе 77
Глава 3. Моделирование многопродуктового производственного объекта 79
3.1 Вводные замечания 79
3.2 Моделирование выпуска продукции многопродуктового участка 80
3.3 Моделирование использования основных фондов многопродуктового участка 82
3.4 Моделирование производственного объекта в целом как сие темы 85
3.5 Задача выпуска заданного потока продукции 89
3.6 Модель выпуска многопродуктового производственного объекта с учетом цикла производства 94
3.7 Выводы по третьей главе 100
Заключение 101
Список литературы 103
Приложение 111
- Вычисление величины вектора с пропорциональными компонентами
- Случай параллельно-последовательного соединения участков
- Модель выпуска с учетом инерционного запаздывания
- Моделирование использования основных фондов многопродуктового участка
Введение к работе
Актуальность темы. В современных рыночных условиях производящим предприятиям приходится приспосабливаться к рынку. Рынок жестко определяет спрос на продукцию. Производимая продукция часто модифицируется и меняется, а предприятия подвергаются реструктуризациии. В связи с этим остро встает вопрос об определении возможностей предприятия с целью своевременного выпуска продукции, эффективного анализа и управления. Только своевременное приспособление к рынку, и эффективное управление предприятием позволяет адаптироваться к рыночным условиям и дает возможность выдержать конкуренцию и развиваться. Для управления в условиях постоянно меняющейся конъюнктуры рынка необходимо уметь прогнозировать выпуск продукции и возможность выполнения заказов.
Для достижения этих целей необходимо развить математические методы достаточно точной и быстрой оценки возможностей производства предприятия, а это возможно только при разработке адекватных математических моделей процессов, происходящих на предприятии. Экономико-математическое моделирование является важным и действенным инструментом, позволяющим анализировать экономические и производственные процессы и разрабатывать эффективные методы управления.
Так что задача математического моделирования производственных процессов в настоящее время является актуальной.
Построение экономико-математических моделей было начато в работах В.ВЛеонтьева [26], B.C. Немчинова [32], Л.В. Канторовича [21]-[23]. Начиная с 50-60-ых годов, методы моделирования развивались в работах К.А. Багриновского, А.Г.Гранберга [3], Ю.П. Иванилова [19], В.Л. Макарова [27], T.C.Koopmans, R.Stone и многих других авторов. Систематические исследования динамических математических моделей процесса производства с учетом основных производственных фондов и оборотных фондов были начаты в работах Сиразетдинова Т.К.
В работах Сиразетдинова Т.К. [41]-[65] разработан подход к составлению динамических моделей развития экономических объектов. Этот подход получил дальнейшее развитие в работах Джаксыбаева С.К. [12]-[17], Афанасьева А.А. [1],[6], Сиразетдинова Р.Т., Шурпша Ю.П.[66]-[69], Семенова П.К.[61], Родионова В.В. [35]-[37] и других авторов. Эти модели были разработаны с целью исследования отраслей электронной и авиационной промышленности и получили применение при выполнении плановых расчетов в головных институтах этих отраслей.
В этих исследованиях производственные процессы описываются, начиная с цехов, включая предприятия и отрасли. Развит метод агрегирования на уровне предприятий и отраслей. Они достаточно адекватно описывают экономические и производственные процессы. Но следует сказать, что в них не рассматриваются вопросы производственного процесса внутри предприятия, завода. А проблема исследования взаимодействия цехов, участков, их возможностей в настоящее время в условиях конкуренции и необходимости быстрого переналаживания производства является очень важной. Настоящая диссертационная работа посвящена именно математическому моделированию, построению алгоритмов прогнозирования выпуска продукции с учетом взаимодействия участков, основных производственных фондов и определения возможности выполнения заказов.
В течение целого ряда лет развивались АСУ ТП, а в последнее время» резко возрос интерес к методологиям типа ERP и MRP, входящим в основу интегрированных систе*м управления жизнедеятельностью предприятия типа CALS и другим технологиям, где технологические процессы рассматриваются детально и дискретно. Здесь в отличие от них, процессы рассматриваются непрерывными, как потоки, что позволяет более полно учитывать их динамику и использовать методы теории управления. Это также позволяет моделировать влияние различных факторов и дает возможность управления процессами производства с учетом их динамики и временной структуры, т.е. оперировать производственными процессами как динамическими величина-
ми. Модель, представленная в данной работе, охватывает важнейшую часть процессов жизненного цикла продукции, а именно, поступление фондов, подготовку и производство продукции.
Цель работы.
Целью данной работы является разработка гибких динамических моделей, которые обобщенно и достаточно адекватно описывают производственный процесс на предприятиях. Построение алгоритмов расчетов, позволяющих определить компоненты оборотных и основных производственных фондов, необходимые для выполнения потока заказов, определить возможности потока выпуска продукции при заданных основных фондах и потоках оборотных фондов,
Задачи исследования.
Разработка математической модели движения оборотных и развития основных производственных фондов предприятия с учетом их структуры.
Разработка динамической модели функционирования предприятия с учетом цикла или запаздывания производства продукции.
Математическое моделирование производственного процесса, когда цехи или участки производят несколько видов промежуточной продукции.
Разработка методов и алгоритмов, позволяющих решать задачи динамики распределения заданий по цехам при заданном потоке выпуска готовой продукции и определение при этом потребных оборотных и основных производственных фондов по видам.
Методы исследования.
Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования, теории систем, системного анализа, методы теории управления.
Научная новизна.
-Построение динамических моделей функционирования производственного процесса с учетом структуры и цикла производства как системы не-
7 прерывно взаимодействующих цехов или участков, которые производят один или несколько видов продукции.
-Разработка методов и алгоритмов расчета распределения потока компонентов оборотных фондов на участках, потока выпуска промежуточных изделий по заданной программе выпуска готовой продукции.
-Построение алгоритмов расчетов, позволяющих определять компоненты основных производственных фондов, необходимые для выполнения потока заказов, определять возможности выпуска продукции при заданных компонентах основных фондов и потоках компонентов оборотных фондов.
Практическая ценность работы.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют построить алгоритмы и решать задачу автоматизации расчетов, синтеза движения потоков видов оборотных фондов и определить потребное количество компонентов основных производственных фондов. Предложенные в работе методы и алгоритмы доведены до конкретных инженерных методик и по ним разработано программное обеспечение.
Использование работы.
Результаты работы использованы в Государственном институте прикладной оптики, Казанском медико-инструментальном заводе, ОАО Казанский научно-исследовательский институт авиационной технологии, в учебном процессе Казанского государственного технического университета им. Л.Н.Туполева.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на
VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань 2002;
Международной научно-практической конференции «Маркетинг, производство, сбыт: актуальные вопросы теории и практики», Казань 2002;
Всероссийской (с международным участием) молодежной научной конференции «XI Туполевские чтения», Казань 2003;
научных семинарах кафедры управления, маркетинга и предпринимательства Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева - КАИ.
Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликованы 3 печатные работы в журналах Изв. Вузов Авиационная техника и Вестник КГТУ им. Туполева и 3 тезиса конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, списка литературы. Объем диссертации 129 страниц машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе разработана динамическая модель однопродуктового производственного объекта, который рассматривается как состоящий из множества производственных участков (цехов) соединенных последовательно, параллельно или параллельно-последовательно.
Под последовательным соединением имеется в виду случай, когда поток продукции идет последовательно из одного участка на другой. Под параллельным соединением понимается случай, когда поток продукции из нескольких участков может параллельно поступать на некоторый участок. Случай параллельно-последовательного соединения представляется комбинацией параллельного и последовательного соединений.
Выделим некоторый участок, который имеет свои входы и выходы. Через входы поступают различные материалы, комплектующие и промежуточные изделия, оборудование, т.е. используемые в данный момент времени оборотные фонды, труд и приобретаемое и устанавливаемое оборудование. Через выходы участка его покидают некоторая промежуточная продукция, которая поступает в другие участки и списываемое с участка оборудование.
Каждый участок обрабатывает только определенный один вид промежуточной продукции, которая на выходе может идти как на один, так и на несколько участков. Склад рассматривается как отдельный участок, из кото-
9 рого в другие участки поступает продукция в виде оборотных фондов, но в который произведенная промежуточная продукция не поступает. В данной модели процессы выпуска (производства или использования оборотных фондов) изделия и развития предприятия (расширения основных фондов) моделируются отдельно.
Считается, что процесс изготовления промежуточного изделия, т.е. процесс выпуска продукции на каждом участке, занимает относительно малый промежуток времени по сравнению с рассматриваемым интервалом времени. Учитывая это, принимается, что выпуск продукции мгновенный, т.е. как только оборотные фонды поступают на данный участок, сразу выходит готовая продукция. Это вполне допустимо, если время потребное для изготовления изделия значительно меньше, чем рассматриваемый интервал времени производства или если режим функционирования стабильный и стационарный.
Следует отметить, что в моделях, изложенных в данной работе, рассматриваются потоки выпуска продукции, энергии, оборотных производственных фондов и т. д. Под потоком понимается изменение величины в единицу времени, то есть скорость изменения величины.
Для вычисления потоков поступающих на участки оборотных фондов принимается во внимание, что они образуют вектор с пропорциональными компонентами [47]. Также это учитывается при расчете используемых на производственном объекте основных фондов, как на отдельных участках, так и на объекте в целом.
Каждая компонента оборотных фондов, поступающих на участок, имеет свою размерность. Рассматривается несколько способов вычисления величины вектора с пропорциональными компонентами.
Потребное количество потока оборотных фондов, поступающих из і-го участка в j-й vy = v,j(t) и со склада в тот же j - й участок vCJ- = vCJ(t) в момент времени t, для выпуска продукции в количестве Xj образуют вектор с пропорциональными компонентами и определяется по формулам
vy(t) = kuXj(t), vcrj(t) = kcqXjCt).
Отдельно рассматриваются случаи параллельного, последовательного и параллельно-последовательного соединения участков. Моделируется выпуск продукции на участках отдельно для каждого случая. Для каждого случая получены свои способы распределения потоков оборотных фондов по участкам.
Компоненты основных фондов, используемых при выпуске конкретного вида продукции, образуют вектор с пропорциональными компонентами и описываются уравнениями:
xj=Vmji=V%i=-"=FjQmjQ,
где Xj - поток выпускаемой продукции, mjq мгновенные фондоемкости q-й компоненты основных фондов, Fjq - количество q-й компоненты основных фондов, используемых для производства продукции на участке jeJ, q=l, 2,...,0,, где Q, - количество компонент основных фондов на участке j..
Развитие основных производственных фондов описывается системой дифференциальных уравнений
dFjq/dt=ujq-ubjq,
где ujq - поток поступающего, a Ubjq - поток списываемого оборудования вида q на участке j.
Разработан алгоритм, позволяющий рассчитывать распределение потоков промежуточной продукции по участкам, как потоки промежуточной продукции, необходимые для производства заданного потока конечной продукции. Также он используется для определения относительных коэффициентов пропорциональности, т.е. коэффициентов определяющих потребную продук-
цию участка, необходимую для производства единицы конечной продукции. Алгоритм представлен в виде, готовом к непосредственному использованию в качестве машинного алгоритма, т.е. формализован согласно потребностям языков программирования.
Разработаны алгоритмы определения потребных потоков оборотных фондов со склада, потребных потоков выпуска промежуточных фондов и основных производственных фондов, необходимых для выпуска заданного потока конечной продукции.
Построен алгоритм определения возможного выпуска конечной продукции при заданных потоках оборотных фондов, поступающих на участки со склада и при заданных значениях основных фондов.
Во второй главе построена динамическая модель однопродуктового производственного объекта с учетом цикла производства продукции на производственных участках.
Цикл производства рассматривается как некоторое запаздывание или задержка в производстве по отношению к идеальному случаю мгновенного изготовления изделия. Учитывается также время необходимое для транспортировки из одного участка на другое.
Рассматривается модели чистого запаздывания (лаг) и инерционного запаздывания, как это делается в теории автоматического управления [47].
Чистое запаздывание приводит к уравнениям с запаздывающим аргументом вида
х^(1)=^(1)/кГ^(1 Tj)/ k,,
где Vj(t) - поток суммарных оборотных фондов, перешедших в производимую на j-м участке продукцию в момент времени t, V,(t) - суммарный поток оборотных фондов, поступающих в j-й участок в момент времени t, а т, - время производственного цикла на участке].
12 Поток выпускаемой продукции Xj(t) через суммарный поток оборотных фондов Vy(t), поступающих из і-го в j-й участок в момент времени t, записывается в виде
wtV_V.Ct-T,) VcnO-Tc)
jW k " k '
где кч, keg — коэффициенты пропорциональности промежуточных оборотных фондов и оборотных фондов со склада, соответственно; т1} йТщ- время использования компонентов оборотных фондов на участке].
Инерционное запаздывание для определения потока Xj(t) приводит к дифференциальным уравнениям
Tq,dXj(t)/dt + Xj (t) = V/t)/ k,.
где Toj« т/3 - коэффициент инерционного запаздывания.
Отдельно рассматриваются случаи последовательного, параллельного и параллельно-последовательного соединения участков.
Отметим, что в силу пропорциональности компонентов достаточно ре-шить уравнение для одного индекса і є R, или г є Rg, например, і = і, если і є R,, или г = і , т.е. решить уравнение
Tq,dx,(t)/dt + Xj(t) = (l/k^v,*/!),
тогда остальные составляющие компоненты оборотных фондов определятся согласно формулам
(l/k^v^O) = (l/kyOvyO) = (l/keq^O), і є Rj с J, гє Rg с J, где Rj и Rq множество оборотных фондов, используемых на участке].
Разработаны алгоритмы определения потребных потоков оборотных фондов, поступающих на участки производственного объекта и необходимых
13 для обеспечения заданного выпуска конечной продукции с учетом запаздывания. Для расчета по соответствующим алгоритмам разработан метод возможных путей. Составляющие оборотных фондов, поступившие на некоторый начальный участок, переходят на этом участке в промежуточный продукт, который поступает на следующий участок и последовательно вместе с промежуточными продукциями проходит ряд участков и, наконец, поступает на конечный участок. Эта последовательность участков образует один путь.
В таком случае связи между участками производственного объекта предстают в виде ориентированного графа, где вершинами являются участки, дугами - элементы пути по которым потоки продукции идут из участка на участок. Это дает возможность определить необходимые потоки продукции на участках с учетом потребности каждого из участков, на которые эти потоки продукции впоследствии попадают, а также участков, на которых эти потоки используются косвенно, т.е. попадают в качестве промежуточной продукции уже других участков. Методика позволяет рассчитать распределение потоков каждого из участков, с учетом необходимости обеспечения потребного потока выпуска готовой продукции.
Для j - го участка потребный поток выпуска вычисляется по формуле
ХГЁ Xi(n)> п=1
где Xj(n) - часть продукции, выпускаемой участком j и направляемой по пути с индексом п, а N„0 - общее количество путей, берущих начало с участка j и идущих на конечный участок jo, a Nyo их множество.
Тогда поток промежуточной продукции поступающий из участка j на конечный участок jo и прошедший n-й путь j, jo(n), пєІЧцо представляется как
XJjO(n)(t)= П Цз xj0(t + тр),
14 где Шо(п)] - множество индексов участков, через которые проходит путь с номером п от участка с индексом j до конечного участка с индексом jo, тр -время, затрачиваемое для обработки и транспортировки промежуточной продукции между двумя участками.
Разработаны методы и алгоритмы, позволяющие определить потребные потоки оборотных фондов, поступающих на участки и потребное количество основных производственных фондов на участках, необходимое для выпуска заданного потока конечной продукции.
Дается сравнительный анализ возможностей метода динамического моделирования и календарного планирования производственного процесса. Проанализированы различия в управлении и в применяемых методах.
В третьей главе разработана динамическая модель многопродуктового производственного объекта. Здесь учитывается возможность выпуска нескольких видов продукции на участках. На разных участках производятся только разные виды продукции, т.е. на двух разных участках не производится продукция одинакового вида. Все продукции каждого участка обязательно используются на каком-нибудь одном или нескольких участках.
Потоки оборотных фондов V(PJ), используемые на участках для производства каждого вида продукции X(PJ), где р принадлежит множеству Pj производимой на участке j продукции, представляются как
v(pj)= k(Pj)x(pj)'
где k(PJ) - коэффициент пропорциональности.
В модели выпуска рассмотрены взаимосвязи между потоками продукции и оборотных фондов на различных участках. Изложены формулы для расчета оборотных фондов для заданного вида продукции, оборотных фондов определенного вида, поступающих на участок и т.д. В модели рассмотрены условия, ограничивающие потоки оборотных фондов на участках. Модель развития основных фондов представляется в виде системы дифференци-
15 альных уравнений и условий ограничивающих основные фонды. Взаимосвязь между потребными основными фондами и потоком выпуска продукции на участках представляется в виде системы алгебраических уравнений.
Компоненты основных фондов, используемых для выпуска конкретного вида оборудования, определяются уравнениями
%j)=F(pjl/m(pJl)=F(pj2/nl(pj2)=.. .=Р(иО)П1<иО),
где X(PJ)(t) - поток выпускаемой продукции вида р на участке j, п%4) мгновенные фондоемкости q-ой компоненты основных фондов, F(pjq) q-ая компонента основных фондов, используемые при выпуске продукции р-го вида, принадлежащая множеству QPj основных фондов используемых при производстве продукции вида р на участке j. Ограничения на мощность производственных участков и мощность выпуска продукции на участке учитываются в виде следующих соотношений
0< x(si)< у(я),
где У(51) мощность участка].
Построена динамическая модель многопродуктового производственного объекта с учетом цикла производства. Запаздывание перехода оборотных фондов в готовую продукцию рассмотрены как чистое запаздывание, так и* инерционное запаздывание. При использовании чистого запаздывания^ выпуск продукции моделируется системой уравнений.
x(Pj)(t)=V(pJi)(t-TPJi)/k(pji)= V(pj2)(t-Tpj2)/k(pJ2)=...= V(pjR)(t-TpjR)/ kfoR),
где xPJr - запаздывание освоения r-ой компоненты оборотных фондов, a R-суммарное количество компонентов оборотных фондов, используемых при
выпуске продукции р-го вида на j-ом участке. Если же поток продукции н а участке выражать через потоки конкретных видов продукции других участков, то применяются следующие формулы
^D(t)=Vte)(t - Tfcjykfeor Vg(t-Tg)/k|g, VsePij и ijeJ,
где kg, Vg, xg соответственно коэффициенты пропорциональности, потоки оборотных фондов, время производства для продукции s участка і, поступающей как оборотные фонды для производства продукции вида р на участке
J-
При использовании инерционного запаздывания выпуск продукции на участках производственного объекта моделируется системой дифференциальных уравнений
xopjdxp/tydt+xpj^ Vm(t)/ kPJ=Vpjr(t)/ kpjr= Vg}(t)/ kg,
где ToPj=Tpj/3, ieRjCzJ и которая решается при начальных условиях xPJ(t=0)=0.
Методики и алгоритмы реализованы в программном виде. В приложении рассмотрены численные примеры.
Вычисление величины вектора с пропорциональными компонентами
Оборотные фонды, поступающие на каждый участок, могут иметь различные размерности. Например, на участок могут поступать оборотные фонды с предыдущего участка (болты, гайки, энергия, комплектующие и т.д.), которые имеют различные единицы измерения. Тогда возникает проблема, как измерить их и можно ли воспользоваться одной скалярной величиной?
Обозначим вектор компонентов оборотных фондов как V = (vi,v2,...,v„), где п - количество компонентов оборотных фондов, которые представляют вектор с пропорциональными компонентами и удовлетворяют следующей пропорции vj/ki = v2/k2 =.. .= vn/kn.
Если все они измеряются в денежном выражении, то величину вектора оборотных фондов, обычно, представляют в виде суммы компонентов
Тогда величина оборотных фондов измеряется в рублях, а поток оборотных фондов - в рублях в единицу времени.
Но формула (1.3.1) справедлива, и когда каждая компонента измеряется своей физической единицей измерения, если эти компоненты образуют вектор с пропорциональными компонентами [47]. При этом размерность учитывается через коэффициенты пропорциональности ks компонентов вектора. В экономике формула (1.3.1) является общепринятой для вычисления суммарной величины (модуля) оборотных фондов. Как известно, в векторном исчислении величина вектора v=(vb v2,..., vn) в разном пространстве определяется по-разному. В частности, в евклидовом пространстве по формуле
Покажем, что между значениями v (1.3.1) и Vo (1.3.2) существует прямая пропорциональность, и эти формулы дают равносильные значения величин вектора. Из формулы (1.2.1) следует где Kr= l/krV ks Это означает, что величина ВПК v может быть выражена через величину любого из своих компонентов vr, г = 1,...,п. Подставляя величину vr из формулы (1.3.4) в выражение (1.3.2), получим
Согласно формуле (1.3.5) величины vo и v линейно зависимы. Так что допустимо пользоваться любой из величин Vo и v для определения модуля вектора с пропорциональными компонентами. Но следует отметить, что если введено какое-либо одно определение модуля и единицы измерения компонентов оборотных фондов, то их надо придерживаться и в дальнейших расчетах. В противном случае должен быть произведен пересчет по всем правилам преобразования размерностей по аналогии с тем, как это делается в физике.
Пусть производственный объект состоит из множества параллельно соединенных производственных участков (рис. 1.1), где каждый участок выпускает свой определенный вид промежуточной продукции. Потоки этих промежуточных изделий x,(t), і є Rj с: J поступают на один определенный участок j с J, j Ф і. Выходом участка j с J является поток некоторой промежуточной или конечной продукции Xj(t). Здесь потоки х15 ieRj, представляют входы j-ro участка и поэтому являются компонентами вектора с пропорциональными компонентами. Для такой системы выполняется соотношение (1.2.1). Отметим также, что рассматриваемый производственный объект может быть представлен как промежуточный участок крупного объекта.
При построении модели не имеет значения, поступают оборотные фонды непосредственно со склада или являются промежуточной продукцией. Важно то, что они являются ВПК. Модель производства строится на основе пропорциональной зависимости между выпуском продукции на участке и оборотными фондами, поступающими на участок, которые, в свою очередь, отражают выпуск продукции на предыдущих участках.
Случай параллельно-последовательного соединения участков
Параллельно-последовательное соединение отличается от последовательного тем, что на любой участок продукция может поступать не только с предыдущего участка, но из одного или нескольких параллельных. Также, из одного участка продукция может идти не только на один участок. Приведенная схема является комбинацией параллельного и последовательного соединений участков. Производственный процесс идет не на одной линии производства, а на нескольких. В данном случае также соблюдаются определенные пропорции компонентов оборотных фондов.
В связи с пропорциональностью компонентов поступающих на участок оборотных фондов, которую мы принимаем как один из базовых факторов в данных моделях производственных процессов, в подходе к построению модели конкретного участка нет принципиальных различий по сравнению со случаями параллельного и последовательного соединения участков. Участки и их функционирование описываются аналогично случаям последовательного и параллельного соединения участков.
Рассмотрим участок j є J с точки зрения потоков оборотных фондов поступающих на него из других участков и потока продукции, производимой на этом участке. Согласно формулам (1.2.1), компоненты потоков оборотных фондов поступают на участок jeJ пропорционально и удовлетворяют следующим соотношениям: где у, - величина суммарного потока всех оборотных фондов, поступающих на участок j как со склада, так и с предыдущих участков в данный момент времени t согласно технологическому процессу, уц — потоки промежуточных оборотных фондов, поступающих из участков і є Rj, vcq - потоки оборотных фондов, поступающих со склада. Величина у, определяется согласно одной из формул (1.3.1) либо (1.3.2). Отсюда следует формула для компонента оборотных фондов, поступающего из участка і. Таким образом, через поток оборотных фондов, поступающих со склада, определяются потоки оборотных фондов, поступающих из других участков на участок j є Jj. Поток продукции, производимой j - м участком (если это не конечный участок), представляется в следующем виде: где Jj - множество индексов к участков, куда распределяется продукция участка с индексом j, а х - часть продукции xJ5 произведенной на участке j и распределяемой на участок к є Jj. При этом считается, что на соответствующий участок идет соответствующая доля потока продукции.
Для определения потоков продукции Xjk из (1.6.2) используется следующее соотношение: где kx(jk) G є Rk , к є Jj) обозначает, какая доля потока продукции участка j идет на участок к. Коэффициенты kx(jk) удовлетворяют условию kx(jk)= 1.
Обозначим через к о величину, равную количеству продукции, которое необходимо произвести на участке j, чтобы на конечном участке jo произвести одну единицу продукции. Величину, равную количеству продукции, произведенной на участке j и необходимую на участке к для производства одной единицы продукции на конечном участке j0, обозначим как к о- Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению kX(jk) = k jo/k jo. Порядок расчета данных коэффициентов к о и к о приводится в алгоритме в п. 1.8.
Согласно рис. 1.3 выразим потоки оборотных фондов, поступающих на какой-либо участок, через потоки оборотных фондов на любом другом участке. С учетом формул (1.2.1) и рис. 1.3 получаются следующие соотношения
Аналогичные формулы получаются для каждого участка, приведенного на рис. 1.3, а также для любого случая параллельно-последовательного соединения участков, так как условие пропорциональности поступления оборотных фондов на участки соблюдается всюду. Последовательно записывая аналогичные выражения для всех участков, то есть выражая по формулам (1.2.1) потоки оборотных фондов на одних участках через потоки на других, мы получим формулы, которые выражают потоки оборотных фондов участка j через потоки оборотных фондов любого другого участка в виде
Модель выпуска с учетом инерционного запаздывания
В связи с тем, что исследование уравнений с чистым запаздыванием представляет определенные трудности, в работе [47] предлагается использовать инерционное запаздывание, т.е. производственный процесс рассматривать как инерционное звено. Инерционное запаздывание можно вводить разными способами. Например, изменение выпуска в единицу времени, то есть производную (dvj/dt) принять пропорциональным разности Vj(t)-Vj(t). Тогда получим где (3, - коэффициент пропорциональности. Вводя обозначение To,=l/pj и учитывая, что Xj(t) = Vj(t)/k,, получаем модель выпуска продукции с инерционным запаздыванием
Уравнение (2.3.2) решается при начальных условиях Xj(t=0)=x0j, где Tj=max{Ty, Тег,}, і є R,cJ,re Rgс J. Параметр Tqj имеет размерность времени, характеризует время запаздывания и поэтому называется коэффициентом инерционного запаздывания. Инерционное запаздывание, в отличие от чистого запаздывания, как бы растягивает процесс задержки по времени и отражает реальное запаздывание процесса в виде последовательности малых изменений. Это более адекватно отражает динамичность реального процесса.
Модель с инерционным запаздыванием можно построить и другим способом, который позволяет установить приближенную зависимость между величинами Tq, и т,, то есть коэффициентом инерционного запаздывания и чистым запаздыванием.
Согласно подходу, изложенному в [47], зависимость Xj(t)=V,(tj)/Ц, введением переменной s=t-x, может быть представлена как Функцию Xj(s + і,) разложим по формуле Тейлора по степеням TJ и, удерживая только линейный член, приближенно получим Так как s - произвольная переменная, обозначим ее через t. Тогда получим
Это выражение по виду полностью совпадает с моделью с инерционным запаздыванием То,, но отличается значением коэффициента т,. Величина т, -чистое запаздывание - и здесь предполагается малой величиной. Анализ показывает, что решения уравнений (2.3.1) и (2.3.3) совпадают с точностью до пяти процентов, если принять T0j = т/3 [47].
Потоки поступающих на каждый участок оборотных фондов vy(t), Vcq(t) образуют вектор с пропорциональными компонентами. Поэтому равенства (2.3.2) имеют место для всех і є R, с J, г є R с J. Следовательно, достаточно решить уравнение для одного индекса і є R, или г є Rg, например, і = і, если і є Rj, или г = і, т.е. решить уравнение
Тогда остальные составляющие компоненты оборотных фондов определятся согласно формулам
Здесь множество допустимых индексов і зависит от индекса участка j. Если же задан поток выпуска готовой функции xj0 = xj0(t), где j0 - индекс последнего, выпускающего участка (сборочного цеха), т.е. задана программа выпуска готовой продукции, то по формулам (2.3.4), (2.3.5) определяются потребные количества оборотных фондов на всех участках.
Рассмотрим схему последовательного соединения участков, приведенную на рис.2.1. Пусть на производственный участок в момент t поступают оборотные фонды и сразу же начинают осваиваться. Они завершают осваиваться через промежуток времени, равный циклу производства, и полностью переходят в продукцию. Здесь так же, как и в случае последовательного соединения участков без учета запаздывания, имеет место пропорциональность поступления оборотных фондов на участки. Используя это, а также учитывая запаздывание, получим следующие формулы:
Последовательно записывая это выражение для фиксированного je J от i=j-m до i=j, можно получить следующую обобщенную формулу, выражающую поток продукции в данный момент времени на участке j через поток продукции на любом другом участке
Моделирование использования основных фондов многопродуктового участка
Пусть Fj - суммарное количество (величина) основных фондов на j-ом участке в данный момент времени t, ]eJ. Количество Fj изменяется за счет поступления (капитальные вложения) и выбытия (списания) фондов. Но на участках обычно нечасто производится модернизация, расширение основных фондов. В течение достаточно продолжительного времени величину F, часто можно считать постоянной. Но Fj здесь будем считать функцией от времени Fj=Fj(t).
Основные фонды каждого участка имеют свою структуру. Пусть Fjq количество q-ой компоненты основных фондов, используемых на участке jeJ, q=l, 2,...,Qj, где Qj - количество компонент основных фондов на участке j, а их множество обозначим как Qj. На j-ом участке выпускается Pj видов продукции. Множество индексов компонент основных фондов, используемых при выпуске продукции р-го вида j-ro участка, обозначим через QPj, тогда q є QPj, где р є Pj и Qpj с Qj, а количество обозначим как QPJ. При этом используются различные компоненты основных фондов. Если оборудование некоторого вида используется при изготовлении данного изделия, то это не означает, что оно не будет использоваться при изготовлении другого вида изделия. Одно и тоже оборудование может использоваться при выпуске различной продукции, но в разное время. Если же имеется несколько единиц одного и того же вида оборудования, то они могут использоваться одновременно при производстве разных видов продукции. Пусть при выпуске продукции р-го вида используется q-я компонента в количестве F(pjq). Количество F(pjq) измеряется в штуках данного вида оборудования за смену, или продолжительности использования, или нормо-часах. Введем вектор Fjp=(F(Pjl), F(pj2),..., F Q)). ТО, ЧТО В F(pjq), где qQpj, рядом с индексом q присутствует индекс р и j, означает, что q — индекс компонента основных фондов, необходимого для выпуска продукции р-го вида на участке]. При использовании основных фондов для выпуска конкретного вида оборудования они образуют вектор с пропорциональными компонентами: где rn jq) - мгновенные фондоемкости q-ой компоненты основных фондов. По смыслу они представляют количество q-ой компоненты основных фондов при выпуске (изготовлении) единицы продукции р-го вида на участке j. Потребное количество компонент для выпуска изделия в количестве X(PJ) равняется:
Если Q - множество всех видов основных фондов на данном участке, то QPj с Q. Тогда неиспользуемые компоненты F(pjq) из множества Q при производстве продукции вида р на участке JG J и соответствующие фондоемкости ЩР}Ч) принимаются равными нулю.
На каждом участке имеется ограниченное количество оборудования, т.е. F(pjq). Поэтому при заданном потоке выпуска X(PJ) равенства (3.3.1) могут не выполняться. Найдем значение величины x(pj), для которой все равенства (3.3.1) выполняются при заданных или имеющихся компонентах основных фондов на данном участке F(Pjq). Для этого введем величину
Величина у(И) представляет возможный наибольший объем выпуска в единицу времени на имеющихся основных фондах и является мощностью j-ro участка по выпуску продукции р-го вида. Поток выпуска участка не может превосходить его мощности, т.е. имеет место неравенство
Ограничения вида (3.3.4) должны выполняться для каждого вида продукции р. Каждый вид фонда, вообще говоря, используется при выпуске различных видов продукции. Введем сумму где Fjq представляет суммарное количество основных фондов вида q на j-м участке. Величина Fjq, вообще говоря, зависит от времени, и ее развитие определяется по уравнению: где ujq - поток поступающего и устанавливаемого оборудования, иъ,ч - поток списываемого оборудования. Если ujq-Ubjq=0, то Fjq=const.
Система (3.2.5)-(3.3.6) описывает возможности выпуска продукции на данных основных фондах участка. А система (3.2.1)-(3.3.6) представляет модель выпуска продукции многопродуктового участка. Эта система не определяет единственно возможный выпуск продукции. Дело в том, что остается выбор выпуска того или другого вида продукции. Этот выбор делается из соображений использования этой продукции на других участках.
