Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи и численные методы распространения фемтосекундного импульса в одномерном кубично-нелинейном фотонном кристалле 16
1.1. Постановка задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с кубично-нелинейным одномерным ФК. Инварианты распространения 16
1.2. Неотражающие граничные условия для задачи линейного распространения лазерного излучения в среде. Инварианты 24
1.3. Консервативная разностная схема (КРС) для задачи распространения фем тосекундного импульса в одномерном кубично-нелинейном фотонном кристалле 29
1.4. Сравнение эффективности разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в кубично-нелинейном ФК 40
1.5. Краткие выводы 54
Глава II. Постановка задачи и численные методы для двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в одномерном нелинейном фотонном кристалле 56
2.1. Неотражающие граничные условия для задачи ГВГ. Инварианты распространения 56
2.2. Неотражающие граничные условия для задачи ГВГ. Инварианты распространения 61
2.3. Постановка задачи двухволнового взаимодействия лазерного излучения в одномерном нелинейном фотонном кристалле с комбинированной нелинейностью. Инварианты распространения 63
2.4. Консервативная разностная схема (КРС) для задачи ГВГ при распространении фемтосекундного импульса в одномерном нелинейном фотонном кристале 65
2.4. Сравнение эффективности разностных схем для задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в нелинейном ФК 73
2.4. Краткие выводы 83
Глава III. Компьютерное моделирование распространения световых импульсов в кубично нелинейных фотонных кристаллах 84
3.1. Нелинейная локализация световой энергии в слоях кубично-нелинейного фотонного кристалла 84
3.2. Солитонное решение уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью и локализация световой энергии в фотонном кристалле 101
3.3. Изменение зон полной прозрачности фотонного кристалла в зависимости от нелинейности и длительности падающего импульса. Полностью оптический переключатель на основе нелинейного одномерного фотонного кристалла 109
3.4. Андерсоновская локализация и устойчивость нелинейной локализации световой энергии в фотонном кристалле 122
3.5. Краткие выводы 133
Основные результаты 136
Список литературы
- Неотражающие граничные условия для задачи линейного распространения лазерного излучения в среде. Инварианты
- Сравнение эффективности разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в кубично-нелинейном ФК
- Постановка задачи двухволнового взаимодействия лазерного излучения в одномерном нелинейном фотонном кристалле с комбинированной нелинейностью. Инварианты распространения
- Изменение зон полной прозрачности фотонного кристалла в зависимости от нелинейности и длительности падающего импульса. Полностью оптический переключатель на основе нелинейного одномерного фотонного кристалла
Введение к работе
В последние годы все большее применение в системах управления и обработки информацией находят фотонные кристаллы (ФК). Их характерным свойством является существование частотных интервалов, для которых имеет место полное отражение падающего светового импульса или полное его прохождение через структуру [1-6]. В виду малых размеров коммутирующие элементы, построенные на основе фотонных кристаллов, выгодно отличаются от многих других полностью оптических переключателей. Поэтому их широкое применение связано, в частности, с областью обработки и передачи информации в оптоэлектронных и полностью оптических системах [7-15]. Это особенно становится актуальным в связи с созданием фирмой Lenslet первого оптического процессора на основе квантовых ям в 2002 году [15]. Его производительность на несколько порядков превышает производительность современных электронных процессоров. Суть оптического процессора на основе квантовых ям состоит во внесении локальных дефектов в полупроводниковую структуру. В результате локально изменяется уровень Ферми и образуется состояние с энергией, ниже окружающей структуры. Заметим, что оптической бистабилыюсти, которая является основой построения оптических процессоров и различных переключателей в литературе посвящено много работ [7-9, 12, 13, 16, 18], и поиск новых механизмов реализации оптической бистабильности является актуальной проблемой.
Для практики представляет большой интерес проявление нелинейных эффектов [17-28] при взаимодействии высокоинтенсивного светового импульса с ФК. Их проявление имеет место вплоть до интенсивностей оптического излучения порядка 2.5-10 Вт/см (в зависимости от длительности импульса), не разрушая ФК. Следует заметить, что интенсивность светового излучения, падающего на ФК, даже в линейном случае может возрастать на порядок внутри самой структуры, что усиливает нелинейный отклик среды. При этом особый интерес представляет распространение сверхкоротких
5 фемтосекундных импульсов в ФК, которые в настоящее время являются доступными для реализации различными лазерными системами [29, 30]. Как известно, основными изучаемыми нелинейными процессами являются генерация оптических гармоник [31, 32], явление самофокусировки (или дефокусировки) светового импульса в кубично-нелинейных средах [33] и формирование солитонов в различных оптических системах [34-54]. Принципиальным вопросом является и проявление различных эффектов в ФК с нерегулярной структурой [55-57], локализация света [58-63].
При компьютерном моделировании распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде в зависимости от длительности импульса применяется несколько подходов. Так для импульсов длительностью более 30 фс используется нелинейное уравнение Шредингера, для численного решения которого наибольшее распространение получил метод расщепления [64-68] и консервативные разностные схемы [69-71, 27]. При этом, традиционно при записи уравнения выделяют направление распространения светового импульса [3]. Заметим, что предложенный нами подход к компьютерному моделированию взаимодействия световых импульсов с ФК базируется на отказе от выделения направления [72, 73]. Сравнение эффективности консервативности разностных схем и метода расщепления для задач нелинейной оптики проводилось в ряде работ [70, 71]. Однако, для взаимодействия оптического излучения с ФК такого сравнения не проводилось.
Для многих практически важных задач большой интерес представляют способы повышения эффективности численных методов для решения нелинейных уравнений Шредингера. Так, для различных задач математической физики широко используются неотражающие граничные условия [74-80], позволяющие существенно сократить область, на которой необходимо проводить расчет. Важно подчеркнуть, что для задач фемтосекундной нелинейной оптики требуется чтобы коэффициент отражения неотражающих краевых условий не превышал 0.1% от падающей амплитуды. В противном случае решение исходной задачи может существенно измениться. Поэтому построение высокоэффективных неотражающих граничных условий также является актуальной задачей.
Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения лазерных фемтосекундных импульсов в одномерном нелинейном фотонном кристалле; в изучении эффектов нелинейного взаимодействия фемтосекундных световых импульсов с ФК.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней:
Для задачи нелинейного взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с одномерным ФК, описываемого системой уравнений Шредингера с периодическими линейными коэффициентами и коэффициентами при нелинейных слагаемых, построены неотражающие граничные условия.
Для рассматриваемых задач построены консервативные разностные схемы, в том числе с учетом неотражающих граничных условий.
Предложен полностью оптический бистаб ильный элемент, состоящий всего из трех слоев, один из которых является нелинейным.
Предсказана и изучена локализация световой энергии в одномерном ФК, формирование солитонов в отдельных его слоях; остановка света. Изучено влияние флуктуации параметров ФК на нелинейную локализацию световой энергии.
Практическая ценность.
Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия лазерного импульса с одномерным нелинейным ФК с учетом неотражающих краевых условий, которые позволяют существенно повысить эффективность компьютерного моделирования рассматриваемого класса задач.
Предложенный полностью оптический переключатель с минимальным числом слоев может найти применение в системах оптической обработки информации. Экспе-
7 риментально подобный переключатель независимо реализован в работе Katouf R. и ДР- [2].
Обнаруженная зависимость коэффициентов отражения и пропускания ФК в режимах полной непрозрачности или прозрачности от длительности импульса важна для использования одномерных ФК в различных системах оптической связи.
Предсказанные и изученные эффекты нелинейной локализации световой энергии и остановка света в некоторых слоях ФК позволяют на этой основе реализовать устройства оптической памяти. В [60] полагалось, что на основе ФК сделать это невозможно. Однако в этой работе рассматривалось только линейное распространение. В работе [63] показана возможность остановки первоначально заданного соли-тона с брэгговской длиной волны на дефекте при специальном выборе его скорости и без учета дифракции оптического излучения в случае косинусоидальной модуляции диэлектрической проницаемости в рамках взаимодействия двух волн. Строго говоря, рассмотренный объект не является ФК.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы и содержит 30 рисунков и 3 таблиц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.
Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.
В первом параграфе первой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в кубично-нелинейном ФК. Постановка задачи записана в рамках развиваемого нами [72, 73] подхода к описанию распространения лазерного излучения в среде. Он заключается в отказе от выделения направления распространения импульса, и его распространение в среде в этом случае описывается следующим безразмерным нелинейным уравнением Шредингера относительно медленно изменяющейся во времени комплексной амплитуды.
Для последующего сравнения имеющихся в литературе подходов также записана математическая постановка задачи в соответствии с традиционным подходом [3], состоящем в выделении направления распространения волны. Следует подчеркнуть, что для математической задачи в рамках нового подхода, так называемый, спектральный инвариант выполняется автоматически [73]. В этом параграфе записаны инварианты задачи в случае нулевых краевых условий.
Во втором параграфе первой главы построены неотражающие граничные условия для одноволнового распространения света в среде, с учетом которых записаны инварианты исходной задачи [81].
В третьем параграфе первой главы на основе инвариантов, предложена консервативная разностная схема (КРС) как с нулевыми [82], так и с неотражающими граничными условиями [81] и итерационным процессом. Заметим, что под консервативностью понимается сохранение разностных аналогов инвариантов дифференциальной задачи. Доказательство консервативности предложенных схем также приведено. Для решения полученной системы разностных уравнений используются метод прогонки.
В этом параграфе также приведены схемы расщепления, широко используемые в литературе для решения данного класса задач. Записаны классическая схема расщепления (MP) и схема с введенным итерационным процессом на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ), что позволяет контролировать инварианты системы [73].
Четвертый параграф первой главы посвящен сравнению записанных во втором параграфе разностных схем. Проведенные численные эксперименты показывают, что предложенная КРС является лучшей среди рассмотренных. При этом, новый подход, на основе которого она построена, в вычислительном плане оказался более предпочтителен, чем традиционный подход, так как он позволяет сократить, например, число итераций, требуемых для перехода на новый временной слой [83].
Для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по временной координате для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Важно подчеркнуть, что для достижения консервативности в схеме МРИ требуется дальнейшее уменьшение шага. При отсутствии же итерационного процесса, схема MP оказалась неприменимой для компьютерного моделирования задачи распространения фемтосе-кундного импульса в кубично-нелинейном ФК [83-85].
Применение неотражающих граничных условий позволило существенно уменьшить пространственную область и на порядок уменьшить время расчета для нелинейных задач с солитонными режимами распространения световой энергии внутри ФК, а также для большого интервала времени.
В пятом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.
Вторая глава, содержащая 6 параграфов, посвящена математической постановке задач двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в нелинейном ФК (с квадратичной, или комбинированной нелинейностями). Предложены эффективные консервативные разностные схемы для их решения, использующие, в частности, построенные неотражающие граничные условия.
В первом параграфе второй главы рассматривается математическая постановка задачи ГВГ при распространении фемтосекундного светового импульса в квадратично-нелинейном ФК. Эта задача в рамках развиваемого нами подхода описывается системой нелинейных уравнений Шредингера.
Во втором параграфе второй главы построены неотражающие граничные условия [81] для двухволнового распространения света в среде. Здесь же сформулированы инварианты исходной системы дифференциальных уравнения, учитывающие эти условия, а также и в случае нулевых краевых условий.
В третьем параграфе второй главы выполнена математическая постановка задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных световых импульсов в ФК с ком-
10 бинированной нелинейностью. Получены инварианты исходной системы дифференциальных уравнений как в случае нулевых граничных условий, так и в случае неотражающих граничных условий.
В четвертом параграфе второй главы построены консервативные разностные схемы для задач, поставленных в предыдущих параграфах второй главы. В этом же параграфе также приведены схемы расщепления, широко используемые в литературе. Для задачи ГВГ и задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов ФК с комбинированной нелинейностью записаны классическая схема расщепления и схема с итерационным процессом на этапе решения нелинейных уравнений. Консервативные разностные схемы записаны как с нулевыми [86], так и с неотражающими граничными условиями [81], увеличившие эффективность численного метода для нелинейных задач в несколько раз.
Пятый параграф второй главы посвящен сравнению предложенных консервативных разностных схем и схем, основанных на методе расщепления. Проведенные численные эксперименты показывают, что КРС для задачи ГВГ и КРС для задачи распространения светового импульса в ФК с комбинированной нелинейностью являются лучшими среди рассмотренных схем. Сравнение КРС со схемами, построенными по методу расщепления, показало, что для схемы МРИ требуется существенное уменьшение шагов по временной координате для сохранения инвариантов распространения с заданной точностью. При расчете же по схеме MP требуется еще на порядок более мелкий шаг по временной координате по сравнению со схемой МРИ. В противном случае решение, полученное с помощью схемы MP, неограниченно растет. Таким образом схемы, построенные на основе классического метода расщепления, оказались практически неприменимыми для решения данного класса задач.
В шестом параграфе второй главы сформулированы ее краткие выводы.
В третьей главе описаны эффекты, полученные при компьютерном моделировании взаимодействия фемтосекундных импульсов в кубично-нелинейных ФК. Компьютерные эксперименты проводятся на основе КРС как с нулевыми, так и с неотражающими краевыми условиями.
В первом параграфе третьей главы рассмотрен эффект локализации световой энергии в одномерном ФК [87-94]. Под локализацией понимается сохранение световой энергии в определенной пространственной области. В основе ее лежит формирование в некоторых слоях ФК субимпульса, который испытывает полное отражение от соседних слоев, имеющие другое значение нелинейности или являются линейными средами. Важно подчеркнуть, что доля локализованной энергии в слоях ФК может достигать 40% от общей энергии начального импульса.
Для регистрации нелинейной локализации света в ФК рассмотрен случай воздействия на ФК последовательности фемтосекундных импульсов [90]. При воздействии каждого последующего светового импульса количество локализованной в ФК энергии увеличивается. Это связано как с увеличением интенсивности уже локализованных субимпульсов, так и с формированием новых.
При определенных условиях в нелинейном слое ФК возможно формирование практически неподвижного субимпульса [91-93]. Следует подчеркнуть, что световой импульс не останавливается полностью: он слабо осциллирует вблизи границы слоя и из-за нелинейного взаимодействия со средой при незначительном отклонении его от границы слоя возвращается обратно (интересно отметить, что соседний слой при этом может быть линейным). Существенно, что часть энергии световой волны (хотя и незначительная) находится в соседнем слое.
Также в этом параграфе подробно рассмотрена динамика взаимодействия соли-тоноподобных субимпульсов внутри нелинейного слоя ФК. При ее анализе можно вы-
12 делить периодический режим трансформации продольного распределения интенсивности локализованных субимпульсов [91].
Для проверки и объяснения результатов, полученных в первом параграфе третьей главы во втором параграфе третьей главы построено аналитическое решение уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью [91], для постоянных коэффициентов. Сопоставления решения, полученного при компьютерном моделировании, с построе-ным солитонным показывают, что полученные решения совпадают с высокой точностью.
Для дальнейшего изучения природы нелинейной локализации света в слоях ФК выполнено компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в среде с самофокусировкой. Так, падающий импульс задается слева вне нелинейной среды, за которой также располагается линейная среда. В процессе распространения импульса в нелинейной среде он разделяется на отдельные субимпульсы (продольные фокусы), которые различаются как скоростью распространения, так и протяженностью и интенсивностью, что соответствует свойствам аналитического решения. При этом имеет место отражение некоторых сформировавшихся солитонов от границы раздела нелинейной-линейной сред.
Следует отметить, что коэффициент преломления в этих средах одинаковый. При различных значениях как нелинейных коэффициентов, так и показателей преломления сред имеет место существенное увеличение количества отраженных от границы сформировавшихся солитонов. Также представлен анализ отражения отдельного соли-тона, распространяющегося в кубично-нелинейной среде от границы раздела сред в зависимости от его длительности, интенсивности и частоты. На основании проведенных компьютерных экспериментов сделан вывод, что нелинейная локализация света в ФК связана с самоформированием солитонов внутри нелинейных слоев и их полным отражением от границ с соседними слоями.
В третьем параграфе третьей главы рассмотрены зависимости частотных зон полной прозрачности и запрещенных зон (полного отражения) ФК от длительности импульса [90]. Показано, что с уменьшением длительности импульса такие зоны в линейном ФК перестают существовать. Таким образом, часть световой энергии всегда отражается и проходит через ФК. При наличии слабой кубичной нелинейности в слоях ФК имеет место сдвиг зон прозрачности и непрозрачности ФК в зависимости от интенсивности светового импульса [90, 95, 96]. В результате этого, доля отраженной от нелинейного ФК энергии может существенно возрастать по сравнению с соответствующим значением, достигаемым для линейного ФК при условии нахождения несущей частоты вблизи частоты непрозрачности ФК. На этой зависимости предложен полностью оптический переключатель [95, 96]. Для этого нами использовался ФК с дефокусирующей нелинейностью. Ранее в литературе ее использование для переключателя не обсуждалось. Существенно, что этот вид нелинейности более предпочтителен, так как при самофокусировке импульса в ФК возможна реализация локализации световой энергии в ФК.
Важным свойством переключателя с дефокусирующей нелинейностью являются его пространственные размеры: они могут быть порядка длины волны падающего излучения. ФК в этом случае состоит всего из трех слоев, один из которых нелинейный. При этом реализуется высокая контрастность состояний переключения. Так, рассчитанные для него коэффициент отражения и пиковая интенсивность отраженной волны различаются более чем в 10 раз.
В четвертом параграфе третьей главы рассмотрена известная в литературе Андерсеновская локализация световой энергии [55, 58, 62]. Данный эффект проявляется при появлении погрешностей в структуре ФК. Для иллюстрации Андерсоновской локализации в одномерном ФК рассмотрен случай линейного ФК с введенными флуктуа-циями в длины его слоев. Показано, что в этом случае локализация света имеет место
14 при флуктуациях длины слоев, для которых реализуется локальная запрещенная зона (ЛЗЗ), состоящая из пары слоев. При этом часть энергии воздействующего излучения проходит через ЛЗЗ и локализуется в виде низко интенсивного импульса, распространяющегося между возникшими ЛЗЗ внутри ФК [97].
На основе результатов компьютерного моделирования показано, что наличие небольших погрешностей в длине слоев (порядка 5%) ведет к увеличению доли световой энергии, локализованной в нелинейном ФК. Таким образом, эффект нелинейной локализации можно наблюдать в нерегулярной структуре при меньших интенсивностях воздействующего на ФК импульса, по сравнению с "идеальным" кристаллом. Большие флуктуации (±20%) могут как увеличить долю локализованной в ФК световой энергии, так и привести к потере эффекта. Ее исчезновение связано с возникновением ЛЗЗ в начале ФК, от которой отражается основная часть начального импульса и, как следствие, в кристалл проникает лишь незначительная часть излучения.
В пятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [81-98] и докладывались на 9 международных и российских конференциях:
Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Trakai, Lithuania, 2003);
Международная научная конференция "XI Conference on Laser Optics" (St.-Petersburg, 2003);
Международная научная конференция "Saratov Fall Meeting" (Saratov, 2003);
Международная научная конференция "Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering" (Sweden, Uppsala, 2004);
Международная научная конференция "Saratov Fall Meeting" (Internet session. Saratov, 2004);
Российская научная конференция "Ломоносовские чтения" (МГУ им. Ломоносова, факультете вычислительной математики и кибернетики. 2004);
Международная научная конференция "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (St.-Petersburg, 2005);
Международная научная конференция "Nonlinear Optics Applications" в составе конгресса "Optics and Optoelectronics" (Poland, Warsaw, 2005);
Международная научная конференция "International Quantum Electronics Conference 2005 and the Pacific Rim Conference on Lasers and Electro-Optics 2005" (Tokyo, Japan, 2005).
Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова и в НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова.
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации и коллективу кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.ВЛомоносова за творческую обстановку.
Неотражающие граничные условия для задачи линейного распространения лазерного излучения в среде. Инварианты
Как уже отмечалось, при проведении компьютерного моделирования размер области выбирается таким, чтобы решение вблизи ее границы обращалось в ноль. Это необходимо, в частности, для контроля инвариантов. Поэтому с ростом временного интервала, на котором рассматривается взаимодействие лазерного импульса с ФК, необходимо увеличивать размер области по пространственной координате, что приводит к значительному увеличению расчетного времени, и эффективность компьютерного моделирования уменьшается.
Для её повышения в литературе для различных задач математической физики широко используются неотражающие граничные условия (см. например [74-80]). Так, например, известны методы, основанные на введении поглощения среды вблизи границы рассматриваемой области [76]. Однако, данный подход для линейных уравнений Максвелла позволяет получить неотражающие условия с точностью лишь до нескольких процентов. Еще один метод построения неотражающих граничных условий, предложенный в [74, 79], основан на применении к исходному уравнению преобразования Лапласа. Но полученные неотражающие условия имеют два основных недостатка: требуется сохранение всех предыдущих по времени значений решения в граничных точках, и при численной реализации возникает вопрос об аппроксимации используемых интегральных преобразований. Важно подчеркнуть, что и в этом случае амплитуда отраженной волны может достигать 5-10% амплитуды прошедшей волны. Это неприемлемо при анализе задач нелинейной оптики, когда даже амплитуда отраженной волны, составляющая 1%-2% от амплитуды падающей волны, может качественно изменить процесс взаимодействия светового импульса с нелинейной средой. Поэтому вопрос о построении неотражающих краевых условий для уравнений Шредингера является актуальным. В виду того, что области до ФК и после него являются линейной, далее рассмотрим линейное уравнение Шредингера относительно медленно изменяющейся во времени амплитуды A(z,t), записанное в безразмерных координатах (1.1.3) и описывающее распространение лазерного излучения в линейной среде с коэффициентом диэлектрической проницаемости s(z) дА .„д2А ., dt dz2 s(z) : + iD rT + ij3(z)A = 0 ,t 0 ,0 z L. (1.2.1) Начальные условия задаются формулами (1.1.7).
С целью записи неотражающих краевых условий для уравнения (1.2.1) рассмотрим волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси z: A(z,t) = 0.5(Q+(z,t)ei !Z+Q_e-i 2) , (1.2.2) где Q+(z,t), Q_(z,t) медленно изменяющиеся во времени и пространстве комплексные амплитуды световых волн распространяющихся в соответствующем направлении по координате z, q - некоторое волновое число, которое будет определено ниже. Подставляя (1.2.2) в уравнение (1.2.1), разделив уравнения на функцию e(z), значение которой не обращается в нуль ни при каком z, используя стандартную процедуру выделения амплитуды волны Q+(z,t), распространяющейся в положительном направлении, получим следующее уравнение, в частности, при z = L: %+-ГТ( % + й - +) + +=0 , / 0 , z = L . (1.2.3) dt {z) dz oz Заметим, что начальному условию (1.1.7) в (1.2.3) соответствует Я = -2Д/Ф). (1.2-4) Знак "минус" в (1.2.4) появляется из определения параметра J3 в (1.1.3). Пренебрегая второй производной по z на правой границе среды, поставим здесь следующее условие: S8L_ «&.о., о,х.і. Или возвращаясь к прежним переменным, получим для (1.2.1) граничное условие вида: дА 1 дА .+ , — + i2j3A = 0 , / 0 , z = L. (1.2.5) dt J z)dz
Применяя аналогичную процедуру, описанной выше, для волны Q_(z,t), распространяющейся в отрицательном направлении оси z, запишем левое граничное ус ловие, описывающее прохождение световой волны через левую границу среды: дА 1 дА (1.2.6) dt Js&dz + /2/24 = 0 , / 0 , z = 0.
Таким образом, распространение фемтосекундного импульса в линейной среде с диэлектрической проницаемостью, задаваемой функцией є(z), описывается уравнением (1.2.1) с начальным условием (1.1.7) и граничными условиями (1.2.5), (1.2.6) [81].
Для построения консервативных разностных схем с неотражающими граничными условиями необходимо записать инварианты распространения лазерного излучения с их учетом. Процедура построения инвариантов аналогична проведенной в 1.1. и для первого инварианта справедливо равенство (1.1.8), из которого в результате получаем следующее интегральное соотношение: /,(/)= j(z)M2flfe-2Djlm о о dz ) z=L ґдА Л dz z=0j drj = const, (1.2.7) Физический смысл слагаемых подынтегрального выражения (1.2.7) следующий: первое слагаемое соответствует световой энергии внутри области, а второе и третье слагаемые характеризуют энергию, прошедшую за время / через правую и левую границы среды соответственно.
Сравнение эффективности разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в кубично-нелинейном ФК
В этом пункте представлены результаты сравнения КРС (1.3.3)-(1.3.5), основанной на новом подходе, и КРС (1.3.13), (1.3.14) построенной на основе классического описания распространения лазерного излучения в среде. Напомним, что новый подход заключается в отказе от выделения в уравнении направления распространения светового импульса в среде. Также следует подчеркнуть, что для системы уравнений, записанной на основе традиционного подхода, необходимо контролировать спектральный инвариант при компьютерном моделировании по схеме (1.3.13), (1.3.14).
В линейном случае различие в эффективности КРС, рассмотренных в этом пункте, для проведенных расчетов оказалось несущественно. Однако в нелинейном случае КРС (1.3.3)-(1.3.5) в вычислительном плане оказалась эффективнее КРС (1.3.13), (1.3.14), построенной на основе традиционного подхода. Так, в случае расчетов солито-ноподобных режимов распространения лазерного излучения в кубично-нелинейном ФК, количество итераций, необходимых для удовлетворения условия прекращения итерационного процесса, для КРС (1.3.3)-(1.3.5) меньше соответствующего значения для КРС (1.3.13), (1.3.14) на 20%. Следовательно, время расчета, на протяжении которого имеет место солитоноподобное распространение внутри ФК, также меньше.
На рис. 1.4.1 представлена динамика сходимости итерационного процесса в зависимости от временного момента /. С момента времени / = 7 в ФК самоформируются солитоны, распространяющиеся внутри нелинейного ФК, локализуя таким образомсветовую энергию в конкретных слоях ФК. Для примера использовались следующие параметры: 4=0.1, =0.77, ,=(2.3)2, е2=и з=(1-3)2, 4=10, =5, 1,,=16, «,=-5, а2=5, Q = 4 , /5 = -12.6 , D = -0.02, // = 0.0005, г = 0.001, = 10-8.
Нетрудно видеть, что количество итераций при одинаковом значении шага г, необходимых для расчета нового временного слоя для КРС (1.3.13), (1.3.14) больше, чем для КРС (1.3.3)-(1.3.5), построенной на основе нового подхода. Сплошной и пунктирной кривыми, соответственно, обозначены приближения дискретных данных полиномом 5-й степени. Из рисунка хорошо видно, что, начиная с момента времени / = 12, различие между этими кривыми достигает двух единиц.
Следует заметить, что уменьшение шага по временной координате г уменьшает количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, и различие между схемами уменьшается.
В этом пункте представлены результаты сравнения КРС (1.3.3)-(1.3.5) и разностных схем, построенных по методу расщепления. При этом рассмотрен как случай с итерационным процессом на этапе решения нелинейного слоя (1.3.17), (1.3.4), (1.3.5) (схема МРИ), так и без него (1.3.16), (1.3.4), (1.3.5) (схема MP).
В случае линейного распространения лазерного импульса, как и следует из вида сравниваемых разностных схем, их существенного различия нет. Ожидать его следует только в нелинейном случае, который и рассматривается ниже для следующих значений параметров. Так, левая граница ФК, состоящего из Nstr = 3 пар слоев, расположена
в точке L0 =15, ширины его слоев dx =0.2 и d2 =0.6, их диэлектрическая проницаемость соответственно равна sx = (2.3)2 и є2-\, а нелинейная добавка составляет ах = 0, а2 = 2 (положительные значения а соответствуют самофокусировке импульса в среде). За ФК расположена подложка с диэлектрической проницаемостью є3 =(1.3)2. Начальный импульс длительностью а = 4задается с центром в точке 4.=12, а отстройка от частоты структуры составляет Q = 2.12. Рассматриваемая пространственная область L = 29.
На Рис. 1.4.2 представлено распределение интенсивности световой энергии внутри ФК в момент времени / = 10. Различия между исследуемыми схемами проявляются уже на этом коротком временном отрезке. В виду того, что шаг по пространственной координает h для распространения светового импульса в кубично-нелинейной среде влияет на сходимость численного решения примерно одинаково для рассматриваемых схем, далее будем исследовать лишь влияние шага т по временной координате /, зафиксировав при этом h = 0.001. Так, при расчетах по КРС (1.3.3)-(1.3.5) предельное распределение (т.е. такое, которое не изменяется при дальнейшем уменьшении шагов сетки) можно получить уже при г = 0.01. Для его достижения в случае использова ния схемы МРИ требуется шаг т = 0.002. Следует заметить, что при численном моделировании по схемам, основанным на методе расщепления, рассчитываются дополнительные временные слои, относительно которых сетка по временной координате, используемая при расчете по КРС, в 2 раза крупнее. Поэтому для корректного сравнения с КРС при расчете по схемам МРИ и MP следует использовать в 2 раза более мелкий шаг по временной координате / и время расчета по КРС и схемам расщепления в этом случае различается несущественно. Несмотря на это для получения предельного распределения световой волны в случае схемы МРИ (1.3.17), (1.3.4), (1.3.5) требуется более чем в два раза большее время для расчета. В случае же схемы MP (1.3.16), (1.3.4), (1.3.5) даже при шаге г = 0.001 получаемое распределение неверно. Если учесть, что при более грубых шагах по времени (г 0.01) при фиксированном шаге по координате z решение нелинейной задачи неограниченно возрастает, метод расщепления без итерационного процесса на нелинейном шаге [68, 65] можно считать неприменимым для задач нелинейной фемтосекундной оптики [84, 85].
Постановка задачи двухволнового взаимодействия лазерного излучения в одномерном нелинейном фотонном кристалле с комбинированной нелинейностью. Инварианты распространения
В этом параграфе представлена математическая постановка задачи распространения фемтосекундного импульса в ФК с комбинированной нелинейностью, соответствующей учету квадратичного и кубичного отклика среды. В этом случае нелинейная поляризация имеет вид: где х(У) и Х(2) соответственно кубичная и квадратичная нелинейные добавки к диэлектрической проницаемости среды. Перейдя к медленно изменяющимся во времени амплитудам At(z,t) и A2(z,t), введенным в 2.3, запишем систему уравнений Шредин-гера в безразмерных переменных (1.1.3), (2.1.4)-(2.1.7), описывающую распространение фемтосекундных импульсов в ФК с комбинированной нелинейностью: (2) - + / 44- + 1 ) + ) .12 +2\A2\2bl+iMz)A2A;=0, (2.3.1) at dz є2 (z) - + iD2 -4- + /2/?L (z) + a(z)L2 f + 2Ц 2 )U + Wy{z)A] = 0. (2.3.2) dt dz
Начальное условие (2.1.9) соответствует отсутствию в начальный момент времени световой волны на удвоенной частоте на входе в нелинейную среду и гауссову импульсу на основной частоте в области до ФК. Представленные в пункте 1.4.3 результаты численных экспериментов показали высокую эффективность применения построенных в 1.2 неотражающих граничных условий в случае среды с кубичной нелинейностью. Заметим, что в случае ФК с комбинированной нелинейностью, следует также ожидать существенного уменьшения расчетной области, а значит и уменьшение общего времени счета. Как уже отмечалось в 2.2, для генерируемой в процессе взаимодействия лазерного излучения с ФК волны A2(z,t) левое неотражающее граничное условие следует ставить на расстоянии длины подложки от ФК. Поэтому граничные условия для задачи (2.3.1), (2.3.2), (2.1.9) будут иметь вид (2.2.1)-(2.2.4).
Закон сохранения энергии для задачи (2.3.1), (2.3.2), (2.1.9), (2.2.1)-(2.2.4) имеет вид (2.2.5). Ниже запишем интегральное соотношение, соответствующее инварианту
В этом параграфе построены КРС, основанные на новом подходе к описанию распространения фемтосекундных импульсов в ФК. Для выявления эффективности предложенной схемы также записана разностная схема, построенная на основе метода расщепления.
Для построения разностных схем введем в области Q = {0xZ,}x{0xZ,,} равномерную СеТКу 0) = 0) 0),, где 0)z = \zn=nh, n = 0,Nz, hNz=L), со, ={tm=mr, т = 0,М,, N, =,,}. Определим на ней следующие сеточные функции, используя стандартные безындексные обозначения [14]. U = UnjH=Al{z„,tm), / = С/ЯіИ+1=4(гя,/т+І), U = 0.5(0+ U), (2.4.1) V = Vnm=A2{,zn,tm), V = Vnm+i=A2(zn,tm+i), V = 0.5(V+V). (2.4.2)
Разностный оператор Лапласа определен в (1.3.2). Сеточные аналоги кусочно-постоянных коэффициентов ex(z), 2{z) и y{z), определяются аналогично функциям e(z) na(z) в (1.4.2).
Для построения разностной схемы на основе метода расщепления [64-68] в дополнении к сеточным функциям (2.4.1), (2.4.2) введем следующие обозначения: U = л,ет+0.5 U =U/i,m+2 U = л,т+1.5 У = л,т+0.5 У = л,т+2 » = л.т+1.5 (2.4.13)
Тогда, для задачи (2.1.2), (2.1.3), (2.1.8), (2.1.9) алгоритм перехода с n-го на п+2 шаг по времени имеет следующий вид:
Начальные и граничные условия имеют следующий вид 0= (#iMW, Vnfi =0,n = WPi ; U0=UN =V0=VNi =0, m = lN \. В дальнейшем, для удобства будем обозначать эту схему как MP (метод расщепления).
Разностные уравнения (2.4.16) и (2.4.17) относительно U и V являются линейными, в результате чего, теряется консервативность схемы. Так как свойство консервативности важно в задачах нелинейной оптики, запишем разностную схему с итерационным процессом [71], позволяющим контролировать сохранение инвариантов, на этапе решения соответствующих нелинейных уравнений
Схема (2.4.26)-(2.4.29) аппроксимирует исходную систему уравнений с точностью о(п2+т2). Для этой КРС выполняется разностный аналог закона сохранения энергии (2.4.7), разностная аппроксимация интегрального выражения для /3 записана ниже: (2.4.30) h = const. -p(sln+an[0.5\U„\2+2\V„\2]}\Un\2--р\є2п + 0.5«„ I V„ \2)\ Vn \2 +y„ Rc{vn(u:j)]
В случае постановки задачи с неотражающими граничными условиями (2.3.1), (2.3.2), (2.1.9), (2.2.1)-(2.2.4), соответствующая разностная аппроксимация будет иметь вид (2.4.26)-(2.4.28), (2.4.9), (2.4.10).
Изменение зон полной прозрачности фотонного кристалла в зависимости от нелинейности и длительности падающего импульса. Полностью оптический переключатель на основе нелинейного одномерного фотонного кристалла
Поскольку нелинейная локализация световой энергии в ФК может быть обусловлена рядом причин (в частности, как формированием солитоноподобных импульсов, так и сдвигом частотной области прозрачности ФК) в настоящем параграфе представлены иллюстрации зависимости области пропускания и отражения световой энергии, падающей на ФК, от длительности импульса и параметра нелинейности. С этой целью на Рис. 3.3.1 сплошной линией показана R доля отраженной от линейного ФК энергии падающего импульса (а, = а2 =0) при его длительности а = 20. Как видно из рисунка для частот 1.85 Q 1.91 происходит полное отражение световой энергии при воздействии длинного светового импульса, а при 2.11 Q 2.16 имеет место прозрачность кристалла. Следующие параметры оставались неизменными , =(2.3)2 , Ег =3 =1, d{ =0.2 , d2 =0.6, Nslr =10 Значения є} является, в частности, диэлектрической проницаемостью для ZnS [31].
Штрих-пунктирной линии соответствует изменение доли отраженной от линейного ФК энергии при уменьшении длительности падающего на него импульса (а = 10). Хорошо видно, что в этом случае для частот 1.85 Q 1.91 доля отраженной энергии достигает лишь значения 86.9%, а при 2.11 О 2.16 не опускается ниже 3.8%. Таким образом, в этом случае уже не существует зон полного отражения и полного пропускания. Это связано с тем, что ФК перестает восприниматься импульсом как единая структура и импульс начинает взаимодействовать с каждым слоем ФК отдельно.
Пунктирная линия соответствует падению длинного светового импульса (я = 20) на слабо нелинейный ФК (аг,=0, а2=0.25). Заметим, что минимальное значение доли отраженной от ФК энергии в этом случае еще выше и достигает 9%. Это связано с тем, что при самофокусировке импульса, как было показано в 3.2, он разбивается на короткие субимпульсы, для которых, в свою очередь, доля прошедшей энергии в области прозрачности длинного импульса уменьшается. Подчеркнем, что в этом случае эффект локализации отсутствует.
Следует заметить, что в слабо-нелинейном случае имеет место сдвиг зон прозрачности и непрозрачности. Так, для случая (ог,=0, а2=0.25) пунктирная кривая, количественно повторяя сплошную кривую, соответствующую линейному режиму распространения, сдвинута примерно на 0.15 единиц по параметру Q из-за влияния интенсивности воздействующего светового импульса на диэлектрическую проницаемость кристалла. Так как для ФК характерным является резкое изменение прозрачности или полного отражения, то можно реализовать оптическую бистабильность. Например, режим прозрачности, соответствующий линейному распространению, можно изменить на режим полного отражения при превышении интенсивности воздействующего импульса некоторого критического значения. Таким образом можно построить оптический переключатель.
С ростом интенсивности падающего оптического импульса, например при or, =0, а2 =2 (на Рис. 3.3.1 этому случаю соответствуют треугольники), построение подобного графика затруднительно, т.к. проявляется эффект локализации световой энергии в ФК. Из-за его зависимости также и от частоты оптического излучения, доля локализованной энергии различна для разных Q. Кроме того, локализованный световой импульс по-разному влияет на доли отраженной и прошедшей энергии для разных Q.. Тем не менее, можно видеть, что доля отраженной энергии существенно снижается по сравнению со случаем падения длинного импульса на ФК.
Реализация оптического переключения на основе ФК является актуальной задачей нелинейной оптики [8-18]. Помимо малых геометрических размеров ФК, переключение может проходить со скоростью фемтосекундного диапазона, что позволяет достичь частоты переключения более, чем 1 ТГц. Отметим, что в [17] фемтосекундный переключатель предложен на основе нарушения законов Снеллиусса. Характерный продольный размер переключателя - 1 мкм. В [15] рассматривается оптический переключатель на основе ФК с фокусирующей кубичной нелинейностью. В этом случае переключение состояния системы ФК - оптическое излучение регистрируется по интенсивности импульса, прошедшего через ФК. Однако при фокусирующей нелинейности в слоях ФК, как было обсуждено в 3.1 и 3.2, при воздействии высокоинтенсивным световым импульсом в ФК могут возникнуть условия для проявления эффекта локализации световой энергии, что неприемлемо для задачи оптического переключения. В [10] показана возможность переключения из пропускающего режима ФК для основной волны на его отражающий режим с помощью дополнительного светового излучения, под воздействием которого материал ФК изменяет коэффициент отражения.
