Содержание к диссертации
Введение
Гл. 1. Постановка задачи нелинейного распространения фемтосекундного импульса в рамках уравнений Максвелла и разностные схемы для нее. Координаты (t, z) 12
1.1. Постановка задачи распространения импульса в оптически тонкой и протяженной среде 12
1.2. Разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой 19
1.3. Обоснование выбора модели среды 51
1.4. Краткие выводы 63
Гл. 2. Компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в одномерной нелинейной среде на основе уравнений Максвелла 64
2.1. Влияние длительности импульса на положение максимальной спектральной компоненты 64
2.2. Зависимость спектрального состава импульса от его абсолютной фазы на входе в среду .75
2.3. Формирование нескольких субимпульсов в оптически протяженной нелинейной среде 80
2.4. Гистерезисная зависимость максимумов некоторых спектральных линий от амплитуды воздействующего сигнала 102
2.5. Краткие выводы 125
Гл. 3. Компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в двумерной нелинейной среде 126
3.1. Постановка задачи распространения фемтосекундного импульса. Координаты (х, z, f) 126
3.2. Построение разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой. Координаты (х, z, і) 130
3.3. Тестовые численные эксперименты 139
3.4. Компьютерное моделирование эффекта формирования субимпульсов при
распространении фемтосекундного импульса в двумерной нелинейной среде 146
3.5. Краткие выводы 150
Основные результаты 151
Литература
- Разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой
- Краткие выводы
- Формирование нескольких субимпульсов в оптически протяженной нелинейной среде
- Построение разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой. Координаты (х, z, і)
Введение к работе
Актуальность исследования.
В последние 10-15 лет особый интерес представляет взаимодействие лазерных импульсов фемтосекундной длительности с веществом. &ш импульсы обладают уникальными свойствами: малой длительностью и высокой напряженностью электрического поля, сравнимой и превышающей на много порядков внутриатомную напряженность электрического поля. В этом случае традиционный подход нелинейной оптики, основанный на разложении поляризации среды в ряд по степеням амплитуды воздействующего поля, оказывается неприменим, например из-за того, что в разные моменты времени могут проявляться нелинейности разных порядков. Поэтому разработка адекватной математической модели распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде с интенсивностью меньшей интенсивности ионизации представляет собой актуальную проблему. Создание лазеров, генерирующих импульсы, содержащие несколько колебаний световой волны, делает необходимым также изучение влияния абсолютной фазы в его начальном распределении на нелинейный отклик среды, что для импульсов большей длительности не имеет место.
Высокая интенсивность фемтосекундного импульса, приводящая к проявлению нелинеиностеи различного порядка для его разньж временньж частей, может приводить с одной стороны к процессам генерации световых гармоник, с другой стороны к самовоздействию волн на разньж частотах, обусловленные действием нелинеиностеи 3-го и других порядков. Как результат, в принципе возможно формирование солигонов в среде с частотами, отличающимися от частоты воздействующего импульса.
Описанные выше проблемы (как и многие другие) весьма актуальны, так как позволяют создавать новые способы управления различными процессами в веществе.
Не менее актуальным является и построение эффективных численных методов,
обладающих высокой точностью, позволяющих моделировать распространение фемтосекундньж импульсов в нелинейной среде в рамках системы нелинеиньж уравнений Максвелла.
Цель работы заключалась в построении в рамках системы уравнений Максвелла математической модели распространения фемтосекундньж импульсов, позволяющей учитывать одновременное действие нелинеиностеи разньж порядков; в построении консервативных разностньж схем для предложенной математической модели; в изучении эффектов нелинейного распространения фемтосекундньж импульсов.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней:
Предложена математическая модель, позволяющая в рамках системы уравнений Максвелла одновременно описывать действие нелинеиностеи разньж порядков при распространении высокоингенсивньж фемтосекундньж импульсов с интенсивностью ниже интенсивности ионизации.
Построены консервативные разностные схемы для задачи нелинейного распространения фемгосекундного импульса в рамках системы уравнений Максвелла в двумерном и одномерном случае.
На основе компьютерного моделирования для импульсов фемгосекундной длительности предсказаны эффекты: гистерезисной зависимости наиболее яркой спектральной компоненты от амплитуды падающего импульса; зависимости спектра импульса фемгосекундной длительности от его абсолютной фазы на входе в нелинейную среду; формирование высокочастотных субимпульсов неизменной формы при распространении фемгосекундного импульса в нелинейной среде; зависимость наиболее яркой спектральной компоненты отклика среды от длительности воздействующего импульса.
Практическая ценность.
Предсказан и исследован эффект зависимости спектра оптического излучения в толще среды от абсолютной фазы фемгосекундного импульса на входе в нелинейную среду. Он может быть использован в частности для управления химическими реакциями. Данный эффект независимо экспериментально подтвержден, например в работе Paulus1.
Обнаруженный и исследованный эффект гистерезисной зависимости частоты импульса, имеющей наибольшую спектральную яркость от амплитуды входного импульса открывает потенциальную возможность построения на нем сверхбыстрых оптических переключателей, имеющих быстродействие 10~мс (и выше).
Формирование в среде нескольких субимпульсов на разньж частотах позволяет на практике реализовать обсуждаемый в работе Manz2 способ управления химическими реакциями.
Предложенная математическая модель и постановка задачи может найти применение для широкого класса задач распространения фемтосекундных импульсов в различных средах, в частности в фотонных кристаллах.
Защищаемые положения. На защиту выносятся следующие положения: 1. Математическая модель, включая постановку задачи, для описания распространения фемгосекундного импульса в нелинейной среде, позволяющая одновременно учитывать действие нелинейносгей разньж порядков.
1 Paulus G.O. et al. Absolute-phase effects of few-cycle laser pulses. It Technical Digest of IQEC2Q01. Moscow. 2001. P.231.
1 Korolkov M.V., Manz Y., Paramonov G.K. Theory of ultrafast laser control for state-selective dynamics of diatomic molecules in the ground electronic state: vibrational excitation, dissociation, spatial squeezing and associatt^n.//Chemical Physics. 1997. V.217.P.341* 374.
2. Зависимость спектра фемтосекундного импульса в нелинейной среде от его аб
солютной фазы на входе в среду.
Гистерезисная зависимость частоты импульса, обладающей максимальной спектральной яркостью, от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса.
Формирование солитоноподобных субимпульсов на разных частотах при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на 5 международных конференциях:
Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях- ММТТ-12" (Великий Новгород, 1999)
Saratov Fall Meetings (Saratov, 1999)
Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика 99" (Санкт-Петербург, 1999)
Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-2000" (Санкт-Петербург, 2000)
Second Conference "Supeistrong fields in Plasmas - 2001" (Italy. Varenna, 2001).
Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории математического моделирования в физике и кафедре вычислительньж методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова, кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. Ломоносова.
Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основньж результатов, списка литературы, включающего в себя 61 наименование, и содержит 60
рисунков, 4 таблицы.
Разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой
Так как нелинейность процесса распространения связана с поляризацией, то в данном пункте кратко остановимся на сравнении результатов решения уравнения р.. (1.1.6) с помощью различных методов: Рунге-Кутта 2 порядка, который широко приме ч няется различными авторами для данного класса задач [21,28], и нелинейной схемы.
Так как метод Рунге-Кутта (2-го порядка) для уравнения (1.1.6 ) записывается извест ным образом, то не будем его здесь приводить, уделив внимание нелинейным разностным схемам. Введем в области расчета [0,ZJ сетку: t = Uj = JT;J = 0,N,,T = - -\ (1.2.1) Определим сеточную функцию pj=P(tj),j = 0 + Nt, (1.2.2) и введем следующие безиндексные обозначения для сеточной функции Р: P = P(tJ + T), Р = Р((;), = Р(/,-г),у = 1ч-ЛГ,-1.
Некоторые нелинейные разностные схемы. Для (1.1.6") запишем на этой сетке трехслойную нелинейную схему второго порядка: + 1 Л V Л V Р-2Р + Р Р-Р - + S + сг Р Р + 1 + Р" 1 + Р" Л V (1 - 2а) —-- aE{t) = Т(Р, Р, Р) = 0, =iU = 0 = 0 (1.2.3) ссЕ, дР Р\ Р\4. Л+Г + — 1 l = 0 dt\t = Q .дР U=0 dt\t = 0 l + P"[t=Q (УТ —Еи=0,0 1, где т- параметр (вес) рассматриваемого семейства схем.
Данное уравнение нелинейно и для его решения необходимо использовать итерационный процесс. Нами использовались несколько итерационных методов с целью нахождения наиболее эффективного с точки зрения его сходимости. Так для метода простой итерации решение нелинейного уравнения происходит следующим об раЬом з Л V P=P-rumep(P,P,P),S = 0,1,2,... , (1.2.4) где 5 - номер итерации, гитер - итерационный параметр. 1+1 Обозначим P = р(Р,т ), тогда для сходимости метода достаточно \(p\ q{Tumep) \. Для достижения максимальной скорости сходимости минимизируем q. В результате получим значение итерационного параметра 2 и 1 5 (1.2.5) итер 2Л 2Ъ + а 1 b = V+T 4и Итерации сходятся при выполнении следующего неравенства 5х а(п -1) 2 т 0, 4л 1 + —-2 которое означает ограничение на шаг дискретизации по времени г г (и,5,сг). Другой итерационный метод запишем в виде
Во всех рассмотренных итерационных процессах условием их окончания является выполнение неравенства s+1 s л л (1.2.8) є, Р+ є2, p-p m є1, є2 -положительные параметры, например равные 10 8. В качестве начального при ближения для всех итерационных методов берется значение функции Р с предыдущего временного слоя о Л р =р. Отметим, что в рассматриваемой ситуации метод (1.2.6) сходится с требуемой точностью обычно за 2-3 итерации, метод (1.2.4) — за 3-4, а метод (1.2.7) в среднем за 3.5-4, где среднее число итераций есть сумма всех итераций деленная на число переходов на следующий слой.
Для сравнения эффективности численных методов проводились расчеты поля ризации при одинаковых параметрах: шага сетки т, и воздействующего импульса E(t) = cos(cot). В качестве примера на рис. 1.2.1 представлена эволюция поляризации. і» Как видно из рис. 1.2.1, начиная с некоторого момента времени, значение поля ризации начинает неограниченно возрастать по модулю, что означает отрыв электрона. Следовательно, численный метод дает неверный результат из-за накопления ошибок округления. Сравнение показывает, что наихудшим из итерационных методов по длине отрезка времени, в пределах которого получаем правильные результаты, является ме тод (1.2.7). Метод Рунге-Кутта 2 порядка дает еще более худший результат, поэтому его лучше не использовать. Очевидно, что с уменьшением шага г временная область реализации правильных результатов увеличивается. LP(t)
Эволюция поляризации среды под действием внешнего поля E(t) = COS((Vt), СО = 0.3, а = 0.415, S = \0 рассчитанная с помощью различных методов: итерационный метод (1.2.6) (а), итерационный метод (1.2.7) (б, сплошная кривая) и метод Рунге-Кутта 2-го порядка (б, пунктир и точечная кривая). Параметры схемы: J = 0.5, Г = 0.04 (а; б, точечная кривая), 0.05 (б, сплошная кривая и пунктир). Рис. 1.2.1 а) соответствует временному интервалу, в пределах которого поляризация рассчитывается правильно. На рис. 1 б) такой эволюции P(t) соответствует горизонтальный участок вблизи нуля.
Схема на основе преобразованного уравнения. В этом подпункте рассмотрим схему для уравнения (1.1.10"), консервативную в смысле выполнения (как алгебраического следствия уравнений) разностного аналога интегрального закона сохранения е- ±(ре )$ЛаЕ —Ъ. dtx Ло l\ 1 + Р") Для чего представим уравнение (1.1.10") в виде: (1.2.9) ±(e- -(Pe j\ + -±- = aE. dt\ dtK ) 1 + Р" Для этого уравнения запишем следующую разностную схему: Л St/ v -St/ ( St/ -5t/\ л v Р Р л— + 7" 1 + Р" 1 + Р + (1-2ст) = аЕп т = 0.5, Рел+Ре /2-Р\е/г+е /г\ - + cr У = 1 + ЛГ,-1, (1.2.10) P0-0,Pl=—E{t=0. Для решения этой нелинейной схемы будем будем использовать следующие итерационные процессы, аналогичные (1.2.4), (1.2.6), (1.2.7) соответственно: для (1.2.4)
Краткие выводы
Для того чтобы отраженный от границы z = 0 импульс в схемах (1.2.22, 1.2.23) не появлялся справа (в точке z = Lz) за счет периодичности используемого в них разложения в ряд Фурье, импульс на отрезке [-L,,-h\ в момент времени t = Lt заменялся на нулевой. Полученный возможно разрывный импульс сдвигается дальше с помощью полученных ранее схем для уравнений Максвелла. Такой способ применим, так как при z О Р = 0. (Если же Р 0, то получаем четко выраженную встречную волну, амплитуды порядка величины разрыва (при используемых параметрах) и биения.) При этом в районе разрыва реализуются осцилляции поля с амплитудой порядка 0.1 величины разрыва (биения). Далее они смещаются вместе с разрывом импульса в том же направлении куда смещался основной импульс (т.е. обнуляемый отраженный импульс). Если "обнуление" ненужного отраженного импульса осуществлять переходя от точки где еще продолжается отраженный импульс до начала полностью обнуленного участка за три пространственных интервала (см. рис. 1.2.10), то осцилляции поля, движущиеся во встречном направлении относительно сдвигающейся точки разрыва, еще меньше, причем в обоих случаях перехода их за точку, в которой произошел разрыв, практически нет. b a
Схематичное изображение разглаживания разрыва за 3 пространственных интервала при обнулении отраженного импульса. Точка а - место разрыва, Ъ - точка начала обнуления.
При применении такого же способа к схеме (1.2.25) (для этой схемы соответствующий отрезок для Я заменяется на [- ,,-0.5Л]) получили переносимые в обе стороны биения (со скоростью 1.0 в обе стороны) на максимальных частотах 2к( N Л 2л N ±__ __L_і f L (расчет происходил при т-h) (рис. 1.2.11). L, 2 U2 Щ г) 12 14 Рис. 1.2.11. Появление биений при расчете по схеме (1.2.25) при обнулении полей Е и Н для z 0 . Величина биений порядка величины разрыва. Поэтому был применен более сложный способ: на отрезке [L2-LV,LZ], где Lv размер области затухания, исходная пара уравнений Максвелла заменялась на пару уравнений вида (рассмотрим только для затухания на правом конце, для левого достаточно поменять знак перед /р, ) (1.2.32) -vz дЕ дЕ _ пдН дН „ п dt dz dt dz
Точное решение, например, первого из них E = E0(t- z)e , где Е0Q) - значение при z = 0. Произведение vLv бралось так, чтобы амплитуда импульса становилась доста точно малой. На примере только одного уравнения (для поля Е), приведем схемы, которые анализировались при рассмотрении (1.2.32). Эти схемы (1.2.33) - (1.2.35) задаются для точек попадающих в отрезок затухания Lv. 1) Схема крест.
Схематичное изображение точек задания сеточных функций для схемы (1.2.33). Прямые линии изображают целые точки сеток (1.2.20), а пунктирные - полуцелые. Сеточная функция Е задается в точках как в точках О, так и в дополнительных точках X.
Введем дополнительные узлы сетки (на шаблоне рис.1.2.12 обозначены символом X) и зададим функцию на сетке П = 63, х г u col х сог - целые (символ О на шаблоне рис. 1.2.12) и дополнительные (дробные - символ X на шаблоне рис.1.2.12) узлы задания сеточной функции Е, Для точек попадающих в область затухания решение будем получать в два шага: (1.2.33) 4wvJ-4 J ,J-4 )+v(4w Mw )+4 )+4 ))=0_ 2) Схема крест. О h —О Рис.1.2.13. Схематичное изображение точек задания сеточных функций для схемы (1.2.34). Прямые линии изображают целые точки сеток (1.2.20). Сеточная функция Е задается в точках О.
Также будет рассматривать еще одну схему вида "крест": 2г 2й U J . Обе эти схемы (1.2.33) и (1.2.34) быстро расходятся (т.е. происходит не физич-ное увеличение амплитуд электрического и магнитного полей) при используемых параметрах даже при малых значениях к 3) Схема уголок.
Схематичное изображение точек задания сеточных функций для схемы уголок. Прямые линии изображают целые точки сеток (1.2.20). Сеточная функция Е задается в точках О. Схема уголок дает лишь первый порядок аппроксимации при т Ф h, что эквивалентно при r = h замедлению импульса при неравной нулю поляризации. Поэтому в используемой нами схеме (1.2.25) ее не целесообразно использовать. К тому же она сопровождается появлением не имеющих физической основы биений на отрезке [Lz -LV,LZ\ (обычно в крайних точках) немного больше чем следующая. 4) Схема кабаре [39,40].
Схематичное изображение точек задания сеточных функций для схемы (1.2.35). Прямые линии изображают целые точки сеток (1.2.20). Сеточная функция Е задается в точках О.
В этом случае уравнения (1.2.32) аппроксимируются схемой (например относительно функции Е)
Схема для v = 0 при т = h и т = 0.5h является точной. При т = h происходит появление паразитных биений в точке Lz-Lv. При т = 0.5h паразитные биения возникают в правой части прошедшего в область затухания импульса (в районе L2) из-за ее аномальной дисперсии. В рассматриваемой задаче эта ситуация существенно лучше, так как сеточное решение полученное по схеме кабаре (и уголок) не зависят от решения, находящегося справа от расчетных точек. Поэтому после одного просчитанного слоя по этой схеме можно занулять Е правее этого слоя и до Lz. Тогда отраженной волны не будет. Но так как схема (1.2.25) точнее считает при т = h, а Н вычисляется по двум соседним значениям Е, то мы не можем использовать неравномерную сетку И =2 г при z Lz-Lv. При используемых параметрах паразитные биения для r = h имеют амплитуду (медленно растущую по времени) меньше 0.02 % исходной амплитуды импульса. Анализируя вышесказанное далее будем использовать схему кабаре с т = h. В связи с вышеизложенными свойствами схемы в качестве неотражающего условия можно использовать краевое условие вида 8Е 8Е _ _ — + — + vE = 0,z = Lz, dt 8z которое обладает необходимыми свойствами и при v = 0 (см. [35]). Если т незначительно меньше И, то отраженная волна имеет амплитуду 10"5 -10"6, что примерно в два раза больше, чем уровень шумов на решении. При г = h отраженная волна отсутствует
Формирование нескольких субимпульсов в оптически протяженной нелинейной среде
В этом случае решается только уравнение (1.1.10") относительно поляризации с коэффициентом затухания д = 10 4 при заданном импульсе (1.1.11). Результаты расчетов для двух соотношений несущей частоты со и резонансной частоты со0 = 1 представлены на рис. 2.1.1, 2.1.2 в виде зависимостей поляризации от времени (под этими рисунками присутствует буква) и спектрального состава поляризации от номера гармоники (см. формулу 1.2.14) (под этими рисунками отсутствует буква) при различных длительностях импульса. Качественно эти рисунки отличаются степенью заполнения импульса. Так для части рис. 2.1.1 импульс с частотой со = 0.2 не заполнен. Из представленных данных следует, что при импульсе с наполнением менее 50% (на длине импульса укладывается менее половины периода волны) отклик среды происходит на резонансной частоте (л = 16). С увеличением длительности импульса до 80% длины волны помимо резонансного пика появляется достаточно сильный отклик на частоте внешнего воздействия (рис. 2.1.1.6). При увеличении длительности импульса (130% -рис. 2.1.1.в) происходит выделение в отклике среды частоты близкой к частоте внешнего воздействия, и при дальнейшем увеличении длительности импульса частота отклика среды приближается к частоте воздействующего импульса (рис. 2.1.1.г).
Эволюция поляризации среды (под этими рис. поставлена буква) и квадрата модуля спектральной гармоники для а = 0.2, со = 0.2, =10"4, Е0 =1, ,=100, тр =4 (а), 6 (б), 10 (в), 30 (г). Собственной частоте линейного осциллятора соответствует номер л=16. Для рис. (г) L, =200 и соответственно «=32.
Эволюция поляризации среды (под этими рис. поставлена буква) и квадрата модуля спектральной гармоники для а = 2, со = 1.8, =10"\ E0=l,L, =100, тр =0.005 (а), 1 (б), 3 (в), 4 (г), 5 (д), 6 (е). Собственной частоте линейного осциллятора соответствует номер и=16. Аналогичные зависимости имеют место и при частоте внешнего воздействия, превышающей собственную частоту перехода со = 1.8 со0 (рис. 2.1.2). Однако имеются и существенные отличия от предыдущего случая. Так, если на рис. 2.1.2а отклик среды реализуется на частоте собственных колебаний, то для случая взаимодействия, представленного на рис. 2.1.26, происходит отрыв частицы, и она увлекается полем. При дальнейшем увеличении длительности импульса взаимодействие поля с частицей имеет две важные черты. Во-первых, сначала расширяется спектральный состав генерируемых частот (рис. 2.1.2в, 2.1.2г), но с преобладанием спектральной составляющей на собственной частоте. Во-вторых, начиная с тр = 2 отклик среды на собственной частоте уменьшается и постепенно преобладающей частотой спектральной составляющей становится частота внешнего воздействия. При этом происходит как сужение спектрального состава отклика среды (рис. 2.1.26 - 2.1.2г), так и сдвиг его центральной спектральной частоты. Важно подчеркнуть, что амплитуда внешнего воздействия в численных экспериментах оставалась постоянной. Следовательно, указанная зависимость обусловлена изменением длительности импульса.
Для наглядности зависимость спектральной составляющей отклика среды, на которой достигается максимальная амплитуда вне области собственных колебаний (л 18), представлена на рис. 2.1.3. Пунктирной кривой представлена зависимость среднего значения (центра тяжести) спектрального отклика, определенного по правилу
Как видно из рис.2.1.3 на начальном этапе имеется логарифмический рост (п&а + Ып(тр-т0)) спектральной составляющей с максимальной амплитудой от длительности воздействующего импульса. Важно подчеркнуть, что при воздействии длинного импульса смещение частоты имеет место как для поляризации среды, так и для индукции электрического поля. 29,0 28,5 п, "с - /. - 28,0 . /
Зависимость максимальной спектральной составляющей (сплошная кривая) и её среднего значения (пунктир) поляризации 1п = Рп \ (а) и электрической индукции In = Dn \2 (б) от длительности воздействующего импульса для параметров, соответствующих рис. 2.1.2 а=2, ЙТ=1.8, =10"4, Е0=\, L, =100. Собственной частоте линейного осциллятора соответствует номер п=16. Точки графика соединялись отрезками прямых, поэтому разрывы сплошной кривой изображены наклонными линиями. 2.1.2. Оптически протяженная среда.
В оптически протяженной среде зависимость номера максимальной гармоники поляризации от длительности воздействующего импульса при его фиксированной частоте для трасс распространения принципиально остается такой же, как в приближении оптически тонкой среды. Однако, при увеличении времени пробега волны по сравнению с длительностью импульса характер взаимодействия существенно отличается от выше полученных результатов. Так зависимость максимальной частоты от длительности импульса становится убывающей (рис.2.1.4). Еще более сложно изменяется индукция электрического поля и поляризация (становится немонотонно убывающей, при этом возникают осцилляции на многих частотах).
Таким образом, при воздействии фемтосекундного импульса частота, на которой достигается максимальный отклик среды, зависит от его длительности.
Зависимость максимальной спектральной составляющей электрического поля 1п = Еп 2 (а, б -квадраты соединенные непрерывной линией), её среднего значения (а, б - круги соединенные прерывистой линией), от длительности воздействующего импульса для параметров а=0.1592, аМ.8, (5=10 3, „=17.8571, L, = 200, L, = 100, Ьг = 100, z=0 (а- импульс только вошел в среду), z=10 (б - импульс заметно вошел в среду). Собственной частоте линейного осциллятора соответствует номер «=31.83=32. Треугольники вверху графика (б) показывают среднее значение (математическое ожидание) спектральной компоненты поля при распространении импульса в линейной среде (гармонический осциллятор).
Построение разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой. Координаты (х, z, і)
Полученные выше закономерности можно объяснить, рассматривая поведение нелинейного осциллятора (1.1.10) под действием постоянной во времени внешней силы. Как известно (см. например [49]), во-первых, в зависимости от величины внешнего сигнала в системе происходит сдвиг резонансной частоты; во-вторых, при превышении амплитудой внешней силы некоторого значения имеет место гистерезисная зависимость амплитуды установившихся колебаний от их частоты; в-третьих, частота установившихся колебаний также зависит от коэффициента затухания. В анализируемом в этом параграфе случае воздействует модулированный импульс конечной длительности. Из-за этого отклик среды, очевидно, становится более сложным. Однако, качественно зависимость поляризации во времени и ее спектр описывается в рамках приведенных в 2.1 результатах. В частности, нарис.2.3.1 имеет место ярко выраженная зависимость спектра от параметра нелинейности, а также различное изменение частоты и амплитуды поляризации на переднем и заднем фронте воздействующего импульса, что свидетельствует о наличии гистерезиса.
Следует отметить, что для предельно коротких импульсов, как известно, отклик среды на его переднем и заднем фронте различается, и спектр из-за этого будет различаться (для иллюстрации этого в конце работы (рис.2.3.9) приведен вариант расчета для рассматриваемых в работе значений параметров взаимодействия). Однако важно подчеркнуть, что во-первых подобная трансформация спектра не зависит от при прохождении импульсом воздействующего импульса. Во-вторых, для достаточно длинных импульсов отклик линейной среды происходит на несущей частоте воздействующего импульса с незначительной трансформацией его спектра. В этом случае проявляющая несимметричность в спектральном распределении вблизи некоторых генерируемых несущих частот может быть объяснена именно в рамках нелинейной теории колебаний. Заметим, что понятие "достаточно длинный импульс" зависит от конкретных условий взаимодействия. Применительно к рассматриваемым в работе случаю распространения ответ на вопрос о длительности импульса дан в 2.1: ниже анализируется случай "длинных" импульсов.
В оптически протяженной среде нелинейное распространение светового импульса приводит к ряду новых особенностей. Среди них отметим разбиение исходного импульса на субимпульсы в общем случае с различными несущими частотами вследствие генерации оптических гармоник, нелинейного резонанса, гистерезисной зависимости амплитуды колебаний поляризации от их частоты и дисперсии среды. Как следствие этого, имеет место изменение пространственной частоты основного импульса.
В проведенных численных экспериментах первый субимпульс появляется с наполнением на утроенной частоте входного светового импульса. Его формирование происходит на переднем фронте падающего импульса из-за генерации новых спектральных гармоник. По мере распространения оптического излучения в среде из-за ее дисперсионных свойств основная часть импульса отстает от субимпульса на утроенной частоте. Далее будем называть эту переднюю часть импульса предвестником, распространяющуюся практически без изменения максимального значения индукции электрического поля, с постоянной скоростью (примерно на 10% меньшей скорости света) и с наполнением на утроенной частоте воздействующего импульса. Существенно, что его энергия сохраняется в процессе распространения. Так например, для ярко выраженного отделившегося от основного импульса предвестника, изображенного на рис.6 правая колонка, энергия сохраняется с точностью более 99%. Следовательно, в данном случае может идти речь о солитоноподобном импульсе. Заметим, что при некоторых условиях генерация 3-й гармоники имеет место и в рамках модели Дуффинга с кубичной нелинейностью в приближении оптически тонкой среды для положительного Р в (1.1.10м).
Для практики представляет интерес изучение зависимости коэффициента отражения световой энергии при ее прохождении границы раздела сред от длительности импульса, его амплитуды и параметра нелинейности а. Коэффициент отражения удобно рассчитывать по формуле
Знаменатель дроби в (2.3.3) равен полной энергии импульса, падающей на нелинейную среду, а ее числитель равен отраженной световой энергии, по истечении достаточного промежутка времени, необходимого для того чтобы отраженный импульс полностью находился слева от границы раздела двух сред (до сечения 2 = 0). Результаты расчетов представлены в табл.2.3.1. В ней же для наглядности приведено значение коэффициента отражения световой энергии при падении импульса на линейную среду как с нестационарным, так и со стационарным ее откликом. В последнем случае коэффициент отражения энергии рассчитывается по формуле [47] ІІ-Г R = , п = 4є, є = \ + Аяа. - (2.3.4) и + 1,
Из таблицы следует, что даже в линейном случае нестационарность отклика среды (ее дисперсия) при определенных условиях может приводить к существенному увеличению коэффициента отражения при уменьшении длительности импульса. Это хорошо видно из сравнения результатов расчетов при воздействии импульса с амплитудой Е0 =20 для а = 0.1, что соответствует достаточно слабому влиянию отклика среды на процесс распространения оптического излучения. При уменьшении длительности импульса до 5 безразмерных единиц коэффициент отражения по энергии возрастает в три раза по сравнению со случаем тр = 15, соответствующему квазистационарному отклику среды.
Наблюдается и обратная зависимость коэффициента отражения от длительности импульса, например при Е0 =10, а = 0.2. В этом случае роль поляризации среды возрастает, и чем длиннее воздействующий импульс, тем большая часть его энергии отражается. По-видимому, здесь можно говорить о сильном возбуждении поляризации вблизи границы раздела двух сред. В результате чего реализуется большое локальное значение показателя преломления, и как следствие этого в среду проникает лишь небольшая часть световой энергии.
В случае нелинейного распространения проявляются аналогичные зависимости, полученные для нестационарного линейного отклика среды. При этом отражение световой энергии может быть существенно меньшим, чем соответствующее его значение, достигаемое в линейной среде.
