Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование эффектов, связанных с шероховатостью границ раздела сред с различными оптическими свойствами 13
1.1 Методы учета рассеяния на шероховатой поверхности 15
1.2 Учет рассеяния на шероховатой поверхности с точностью до членов второго порядка малости 21
1.2.1 Постановка задачи 21
1.2.2 Сведение задачи рассеяния к системе линейных алгебраических уравнений 24
1.2.3 Подход к решению системы линейных алгебраических уравнений 27
1.2.4 Выражения для амплитуд рассеянных мод 30
1.2.5 Поправки к амплитудным коэффициентам отражения и пропускания, связанные с возмущением границы раздела сред 31
1.3 Крупномасштабная и мелкомасштабная шероховатости 36
1.3.1 Сравнение с результатами скалярной теории дифракции 36
1.3.2 Физические эффекты, связанные с затухающими модами 37
1.3.3 Применимость приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей 41
1.4 Оценки крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей на основе экспериментов атомной силовой микроскопии 46
Выводы к главе 1 50
2. Исследование параметров тонких пленок с учетом шероховатости границ 51
2.1 Вариации элипсометрических углов при наличии мелкомасштабной поверхностной шероховатости слоя 54
2.2 Выбор модели пленки для решения обратной задачи спектральной эллипсометрии 65
2.3 Сравнение результатов спектральной элипсометрии и атомной силовой микроскопии 73
2.4 Определение параметров пленок в области вакуумного ультрафиолета по спектральным фотометрическим данным 81
Выводы к главе 2 92
3. Учет шероховатости границ в многослойных структурах 93
3.1 Расчет спектральных характеристик многослойных покрытий с учетом шероховатости границ слоев 93
3.2 Эффекты в многослойных структурах, связанные с наличием шероховатости границ слоев 99
3.2.1 Эффекты, вызванные крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостью 99
3.2.2 Исследование реальных многослойных зеркал для длины волны 193 нм 102
3.2.3 Влияние мелкомасштабной шероховатости на свойства чирп-зеркал 108
Выводы к главе 3 115
Заключение 116
Литература 118
- Сведение задачи рассеяния к системе линейных алгебраических уравнений
- Применимость приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей
- Выбор модели пленки для решения обратной задачи спектральной эллипсометрии
- Эффекты, вызванные крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостью
Введение к работе
Математическое моделирование является основой исследования большинства современных физических проблем и развития многих современных инновационных технологий. Важным объектом исследования, требующим применения методов математического моделирования, являются оптические слоистые структуры. Такие структуры, создаваемые путем напыления тонких диэлектрических слоев, находят самое широкое применение в современных физических исследованиях, связанных с изучением и формированием оптического излучения, а также в таких областях высоких технологий, как лазерная техника, оптоэлектроника, телекоммуникации.
Оптические слоистые структуры варьируются от однослойных до многослойных структур с десятками и даже сотнями слоев. При этом поперечные размеры слоев многократно превышают их полную толщину. В силу этого для исследования оптических слоистых структур с успехом применяются модели слоистых сред с неограниченными по двум координатным осям размерами слоев. Другим модельным предположением, на котором до самого последнего времени базировалось исследование оптических слоистых структур, является предположение об идеальных плоскопараллельных границах раздела слоев. Такая идеализация была оправдана как уровнем технологий, используемых для производства элементов слоистой оптики, так и точностью экспериментальных средств, используемых для контроля параметров этих элементов.
В последние годы был достигнут значительный прогресс в области технологий нанесения многослойных оптических покрытий. Соответственно этому возрастают требования к точности моделей, используемых для анализа свойств слоистых структур. Существенно возросло также качество экспериментального оборудования, используемого для исследования параметров отдельных тонких слоев. В связи с этим имеется реальная возможность повышения точности определения оптических параметров слоев, что также требует использования более совершенных чем ранее математических моделей. Такие модели должны принимать во внимание неидеальность границ оптических тонких слоев. Еще одним стимулом к учету шероховатости границ слоев оптических слоистых структур является расширение спектральной области их применения в сторону коротких длин волн, где, как известно, влияние шероховатостей границ слоев резко возрастает. Такое расширение связано, в частности, с планируемым переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета, что в свою очередь, позволит перейти в ближайшие годы к еще более компактным технологиям в микроэлектронике. Указанные обстоятельства делают крайне актуальной задачу расчета спектральных характеристик оптических слоистых структур, в первую очередь их спектральных коэффициентов отражения и пропускания, с учетом шероховатости границ слоев. Не менее важной проблемой является решение обратной задачи определения оптических параметров тонких слоев на основе моделей, адекватно учитывающих неидеальность границ слоев.
Математическому моделированию эффектов, связанных с шероховатостью границ раздела сред, посвящены десятки тысяч работ, начиная с известных работ Релея, Мандельштама и многих других ученых начала и середины двадцатого века. Эти работы связаны с различными областями физики, прежде всего с оптикой, акустикой, радиофизикой, электродинамикой. Всякое новое исследование по моделированию шероховатостей мотивируется новыми применениями разрабатываемых математических моделей. С точки зрения современных приложений оптических слоистых структур наиболее важным является моделирование шероховатостей на границах диэлектрических слоев и обрамляющих их диэлектрических сред, направленное на исследование влияния шероховатостей на энергетические коэффициенты пропускания и отражения этих структур. При этом разрабатываемые модели должны обеспечивать возможность построения эффективных алгоритмов, предназначенных для численного анализа данного влияния.
Наиболее эффективным экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких слоев являются методы спектральной фотометрии и эллипсометрии. Достигнутая к настоящему времени точность спектрофотометров и спектральных эллипсометров позволяет ставить вопрос о повышении точности решения обратных задач определения параметров тонких слоев по соответствующим экспериментальным данным. В связи с этим разрабатываемые модели тонких слоев с учетом шероховатости их границ должны служить основой для построения не только эффективных с численной точки зрения, но и устойчивых алгоритмов решения данных обратных задач.
Указанные обстоятельства определяют актуальность основной цели диссертационной работы.
Целью диссертации является моделирование эффектов, связанных с шероховатостью границ диэлектрических сред с различными оптическими свойствами, и построение моделей, обеспечивающих решение обратных задач определения параметров тонких диэлектрических слоев и построение эффективных алгоритмов численного анализа спектральных коэффициентов оптических слоистых систем. Научная новизна работы состоит в следующем.
1. В приближении малых по высоте возмущений границы раздела двух диэлектрических сред получены формулы, отражающие во втором порядке малости влияние шероховатости на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания этой границы. Полученные формулы позволили проанализировать переход между предельными случаями крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей и предложить количественные оценки для отнесения различных пространственных гармоник шероховатой поверхности к крупномасштабному или мелкомасштабному типу. Для моделирования эффектов, связанных с влиянием шероховатостей на амплитудные коэффициенты отражения и пропускания границ сред с различными оптическими параметрами, предложено использовать два новых параметра: крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости. На основе анализа данных атомной силовой микроскопии получены оценки этих параметров для типичных образцов оптических покрытий.
2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.
3. Проведен детальный анализ обратной задачи определения параметров тонких слоев по эллипсометрическим данным с учетом шероховатости границ слоев. При этом получены простые, но достаточно точные формулы для вариаций эллипсометрических углов, связанных с наличием поверхностного оверслоя, моделирующего мелкомасштабную шероховатость. С помощью полученных формул в различных спектральных зонах проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов к толщине поверхностного оверслоя. Показано, что эллипсометрический угол Д существенно более чувствителен к мелкомасштабной поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол . Введена базовая шестипараметрическая модель для решения обратной задачи эллипсометрии тонких диэлектрических пленок. На основе этой модели построен численный алгоритм решения обратной задачи, на реальных экспериментальных данных продемонстрирована его эффективность и показано, что учет в модели пленки мелкомасштабной шероховатости необходим для повышения точности определения ее параметров. Проведено сравнение результатов решения обратной задачи эллипсометрии с данными атомной силовой микроскопии и подтверждено, что спектральная эллипсометрия может использоваться для изучения мелкомасштабной поверхностной шероховатости.
4. Проведен сравнительный анализ влияния крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на фотометрические данные (энергетические коэффициенты отражения и пропускания). На основе этого анализа показано, что при решении обратной задачи фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным моментом может явиться учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости в модели оптической тонкой пленки. Выполнен анализ реальных экспериментальных данных, требующих использования соответствующих моделей, и показано, что учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости приводит к существенному увеличению точности решения обратной задачи фотометрии.
5. Построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев. Продемонстрировано, что влияние крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей на спектральные коэффициенты отражения и пропускания многослойных оптических структур различно. В то же время обнаружено, что рассеяние на границах слоев многослойных диэлектрических зеркал и наличие мелкомасштабных шероховатостей на границах их слоев может приводить к сходным эффектам в зоне высокого отражения.
Перейдем теперь к практической ценности проведенных исследований. Проведенное аналитическое исследование влияния шероховатостей на френелевские коэффициенты отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред позволило ввести в рассмотрение два новых параметра - крупномасштабную и мелкомасштабную среднеквадратичные шероховатости, и предложить способ их численной оценки. Это открывает путь к построению моделей и численных алгоритмов, необходимых для изучения практически важных объектов, как тех, которые уже рассмотрены в данной работе, так, возможно, и ряда других в будущем.
Разработанные в диссертации модели и численные алгоритмы позволяют эффективно анализировать влияние шероховатостей на спектральные характеристики оптических слоистых структур, реально использующихся на практике. Разделение эффектов, связанных с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, и возможность численного моделирования этих эффектов позволяют более надежно интерпретировать реальные экспериментальные данные, получаемые как при исследовании отдельных тонких слоев, так и в процессе разработки сложных многослойных элементов современной оптики.
Использование полученных в работе результатов для построения моделей тонких пленок позволяет существенно повысить точность решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии, являющихся в настоящее время двумя основными экспериментальными методами исследования параметров оптических тонких пленок.
Проведенное в работе сравнение с результатами атомной силовой микроскопии показывает, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости. Практическая значимость этого вывода определяется тем, что экспериментальные исследования на основе спектральной эллипсометрии является существенно менее трудоемкими и более дешевыми, чем исследования, проводимые с помощью атомной силовой микроскопии.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Введены в рассмотрение два новых параметра, характеризующие шероховатость границы раздела двух диэлектрических сред, - крупномасштабная и мелкомасштабная среднеквадратичные шероховатости и предложен способ их количественной оценки.
2. Показано, что изменения френелевских коэффициентов отражения и пропускания границы раздела двух диэлектрических сред, связанные с наличием мелкомасштабной шероховатости, могут быть промоделированы путем введения тонкого промежуточного слоя, толщина которого равна удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости и показатель преломления которого однозначно определяется показателями преломления этих сред.
3. Для решения обратных задач эллипсометрии и фотометрии тонких диэлектрических слоев предложена шестипараметрическая модель, учитывающая поверхностную мелкомасштабную шероховатость, предложены приближенные алгоритмы решения прямой и обратной задач эллипсометрии, и показано, что использование модели, учитывающей мелкомасштабную шероховатость, позволяет существенно повысить точность определения параметров тонких слоев.
4. Разработан эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов многослойных структур, позволяющий учесть эффекты, связанные с крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостями границ слоев, проведен сравнительный анализ этих эффектов и на его основе установлено, что основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная шероховатость границ слоев зеркал.
Содержание работы.
Основной задачей первой главы является получение простых расчетных формул, которые, в то же время отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью границы раздела двух диэлектрических сред. В работе основное внимание уделено учету воздействия шероховатости поверхности на коэффициенты отражения и пропускания тонких пленок и многослойных оптических покрытий. Вместо того, чтобы использовать один параметр (среднеквадратичную шероховатость), предлагается учитывать два параметра, а именно, среднеквадратичную шероховатость сг,, связанную с крупномасштабной шероховатостью, и среднеквадратичную шероховатость о,, связанную с мелкомасштабной шероховатостью. Относительно оценок "крупномасштабная" либо "мелкомасштабная" шероховатость даются разъяснения последовательно по ходу изложения материала первой главы работы.
В параграфе 1.1 дается обзор литературы, наиболее близко соответствующей тематике данной работы. Здесь же анализируются наиболее широко используемые экспериментальные подходы к исследованию поверхностной шероховатости.
В параграфе 1.2 рассмотрен случай нормального падения плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на цилиндрическую поверхность с произвольным профилем шероховатости. Как уже было отмечено выше, основная задача этой главы - получение формул, описывающих изменения коэффициентов отражения и пропускания при наличии шероховатости. Имея в виду основные цели работы, такая упрощенная постановка вполне оправдана. Следует отметить, что и реальные практические исследования шероховатости фактически сводятся к исследованию одномерных профилей [8].
В параграфе 1.3 работы рассматриваются предельные случаи широкомасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Показано, что в случае крупномасштабных шероховатостей, полученные в параграфе 1.2 расчетные формулы переходят в пределе в известные формулы скалярной теории дифракции [16, 17].
Также показано, что предельный случай мелкомасштабной шероховатости может быть JL, эффективно учтен путем введения тонкого поверхностного слоя с толщиной, равной удвоенной величине мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости, и с показателем преломления, связанным простой формулой с показателем преломления сред, разделенных шероховатой поверхностью. В этом же параграфе предложены количественные оценки для отнесения различных пространственных гармоник шероховатостей к крупномасштабному или мелкомасштабному типу.
В параграфе 1.4 анализируются результаты атомной силовой микроскопии (АСМ) для нескольких типичных образцов оптических поверхностей. На основе этого анализа получены оценки значений крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей для этих образцов.
Вторая глава посвящена исследованию параметров тонких пленок с учетом ф шероховатости их границ. Определение параметров пленок с высокой точностью является определяющим для надежного проектирования и изготовления современных высококачественных оптических покрытий. Наиболее распространенными экспериментальными подходами к такому определению в настоящее время являются спектральная фотометрия и спектральная эллипсометрия. Основные параграфы главы связаны с исследованием параметров тонких пленок на основе данных спектральной т эллипсометрии.
В параграфе 2.1 выводятся простые, но достаточно точные, формулы для учета вариаций эллипсометрических углов при наличии поверхностной неоднородности пленки, связанной с мелкомасштабной шероховатостью ее внешней границы, моделируемой поверхностным оверслоем. Эти формулы дают в первом приближении по толщине оверслоя явные выражения для вариаций эллипсометрических углов, W связанных с наличием мелкомасштабной шероховатости на внешней границе тонкой пленки.
В параграфе 2.2 формулы, полученные в предыдущем параграфе, используются для обоснования выбора модели пленки, используемой для решения обратной задачи эллипсометрии, а также разрабатывается алгоритм решения данной задачи в рамках выбранной модели. В этом параграфе проведена оценка чувствительности эллипсометрических углов по отношению к толщине поверхностного оверслоя в различных областях спектра. Показано, что эллипсометрический угол А существенно более чувствителен к поверхностной шероховатости, чем эллипсометрический угол .
Выявлены спектральные области, в которых измерительная информация о наличии поверхностного оверслоя наиболее надежна.
В параграфе 2.3 приводится пример решения обратной задачи эллипсометрии с использованием разработанного в предыдущем параграфе алгоритма. На основе сравнения результатов, полученных путем обработки данных спектральной эллипсометрии и атомной силовой микроскопии, экспериментально подтверждается адекватность построенной модели пленки и возможность использования спектральной эллипсометрии для исследования мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонких пленок. Проведенное экспериментальное исследование тонких пленок методом спектральной эллипсометрии показывает, что учет в модели пленки поверхностного оверслоя необходим для более точного определения ее параметров. Путем сравнения данных спектральной эллипсометрии с результатами атомной силовой микроскопии экспериментально подтверждено, что спектральная эллипсометрия является чувствительным методом диагностики мелкомасштабной поверхностной шероховатости.
Энергетические коэффициенты отражения и пропускания при нормальном падении света мало чувствительны к шероховатости границ тонкой пленки. В силу этого при обработке спектральных фотометрических данных, как правило, можно пренебречь этой шероховатостью. Однако, в самое последнее время в связи с продвижением оптических покрытий в область вакуумного ультрафиолета, возникают задачи, требующие использования моделей, учитывающих поверхностную шероховатость и в случае обработки фотометрических данных. С этими задачами связано содержание параграфа 2.4. Показано, что при обработке данных спектральной фотометрии в области вакуумного ультрафиолета принципиальным является учет мелкомасштабной поверхностной шероховатости тонкой пленки. Введение в модель пленки дополнительного параметра - толщины поверхностного оверслоя, позволяет повысить точность определения показателя преломления пленки в этой области спектра.
Третья глава посвящена разработке методов моделирования эффектов в многослойных структурах, связанных с наличием шероховатости границ слоев, а также непосредственному исследованию этих эффектов для ряда многослойных структур, находящих применение в новейших технологиях.
В параграфе 3.1 построен эффективный алгоритм расчета спектральных коэффициентов слоистых покрытий, позволяющий учесть эффекты, связанные с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостями границ слоев. Ряд рекуррентных алгоритмов расчета спектральных характеристик многослойных покрытий использует в явном виде френелевские коэффициенты для границ раздела слоев покрытия. Поэтому влияние шероховатостей границ слоев на спектральные характеристики покрытия в целом можно учесть, модифицировав необходимым образом один из этих алгоритмов. В параграфе 3.1 для этих целей используется алгоритм, основанный на понятии матрицы передачи. С использованием данного алгоритма составлена программа для расчета амплитудных и энергетических коэффициентов многослойного покрытия с учетом крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей границ слоев покрытия.
В параграфе 3.2 продемонстрировано, что влияние мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостей на коэффициенты отражения и пропускания ф многослойных систем различно. Показано, что и рассеяние на границах пленок и наличие мелкомасштабной шероховатости, связанной с колончатой структурой пленок, может приводить к существенному сужению области высокого отражения диэлектрических зеркал. На основе анализа экспериментальных данных установлено, что наряду с потерями на поглощение энергии основной причиной деградации свойств многослойных зеркал в области вакуумного ультрафиолета является мелкомасштабная т шероховатость границ слоев зеркал. В этом же параграфе анализируется влияние мелкомасштабной шероховатости на свойства чирп-зеркал, являющихся важнейшими элементами для разработки лазеров со сверхкороткими длительностями импульсов.
В заключении даются окончательные выводы диссертационной работы.
Сведение задачи рассеяния к системе линейных алгебраических уравнений
Слоистые среды, в первую очередь многослойные оптические покрытия [1 -4] находят широкое применение во многих областях науки и техники, связанных с передовыми технологиями. До последнего времени проектировались и исследовались слоистые покрытия в основном для областей спектра от ближнего ультрафиолета до ИК области. В настоящее время возрастает интерес к оптическим покрытиям, предназначенным для работы в дальней ультрафиолетовой области, начиная с длин волн порядка 120 - 150 нм. Это связано, в частности, с потребностями полупроводниковой литографии, ближайшей целью которой является достижение пространственного разрешения существенно лучшего, чем 100 нм. Для этой цели могут использоваться эксимерные лазеры с длиной волны 157 и 193 нм. Эффективность применения подобных лазеров непосредственно зависит от качества различных компонент на основе многослойных диэлектрических покрытий (таких, как многослойные диэлектрические зеркала, просветляющие покрытия и т.д.). Для создания таких компонент используются наиболее совершенные технологические процессы и подложки самого высокого уровня с точки зрения их шероховатости [7]. Тем не менее, в коротковолновой области спектра эффекты, связанные с рассеянием света на границах подложки и на границах диэлектрических слоев, могут оказаться существенными.
Учет шероховатости в математических алгоритмах требует представления шероховатости рядом параметров, которые могут описать воздействие шероховатости на оцениваемые спектральные свойства. Как упомянуто J.M.Bennett и L.Mattsson, "Самым важным, наиболее часто используемым и, пожалуй, наиболее часто неправильно понимаемым статистическим параметром поверхности является ее среднеквадратичная шероховатость" [8]. Среднеквадратическая шероховатость используется в скалярной теории рассеяния, для оценки коэффициента отражения шероховатой поверхности [14, 16, 17]. Эта теория может быть также применена для расчета оптических свойств многослойных оптических покрытий [13]. Исследованию рассеяния на шероховатостях поверхностей посвящено огромное количество работ. Хороший обзор по данной тематике можно найти в [8]. Имеется также ряд работ, посвященных рассеянию на многослойных оптических покрытиях [9 -15]. Однако, полученные в данных работах соотношения являются громоздкими и неудобными для эффективного анализа влияния рассеяния на спектральные характеристики реальных оптических покрытий. Важным для практического использования является получение простых расчетных формул, которые в полной мере отражают наиболее существенные эффекты, связанные с шероховатостью поверхности. Для получения таких формул важно качественное понимание влияния шероховатостей различных масштабов на спектральные свойства коэффициентов отражения и пропускания поверхностей и покрытий.
В работе основное внимание уделено учету воздействия шероховатости поверхности на коэффициенты отражения и пропускания тонких пленок и многослойных оптических покрытий. Вместо того чтобы использовать один параметр (среднеквадратичную шероховатость) предлагается учитывать два параметра, а именно, среднеквадратичную шероховатость сг/5 связанную с крупномасштабной шероховатостью, и среднеквадратичную шероховатость as, связанную с мелкомасштабной шероховатостью. Относительно оценок "крупномасштабной" и "мелкомасштабной" шероховатости будут даваться разъяснения последовательно по ходу изложения материала первой главы работы.
В первом параграфе данной главы проводится более детальный обзор работ по рассеянию, а также анализируются наиболее широко используемые экспериментальные подходы к исследованию поверхностной шероховатости. Во втором параграфе главы рассмотрен случай нормального падения плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на цилиндрическую поверхность с произвольным профилем шероховатости. Как уже было отмечено выше, основная задача этой главы - получение формул, описывающих изменения коэффициентов отражения и пропускания при наличии шероховатости. Имея в виду основную цель работы, такая упрощенная постановка вполне оправдана. Следует отметить, что и реальные практические исследования шероховатости часто сводятся к исследованию одномерных профилей [8]. В третьем параграфе первой главы рассматриваются предельные случаи широкомасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Показано, что в случае крупномасштабной шероховатости, полученные в первой главе расчетные формулы переходят в пределе в известные формулы скалярной теории дифракции [16, 17]. Также показано, что предельный случай мелкомасштабной шероховатости может быть эффективно учтен путем введения тонкого поверхностного слоя со специально заданным показателем преломления.
В четвертом параграфе анализируются результаты экспериментов атомной силовой микроскопии (АСМ) для нескольких оптических образцов и на основе этого анализа оцениваются значения крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей.
Математическое моделирование процесса отражения плоской электромагнитной волны от шероховатой поверхности требуется при решении многих практически значимых задач современной физики. При этом основной для моделирования является система уравнений Максвелла, которая определенным образом упрощается в зависимости от физической сущности рассматриваемой задачи [81]. Как отмечено в обзоре [82], методы решения задач дифракции электромагнитной волны на шероховатой границе раздела сред развиваются по двум направлениям: граница раздела рассматривается как строго периодическая волнистая поверхность и как поверхность, нерегулярная на конечном зондируемом участке. С точки зрения задач оптики слоистых структур первое из этих направлений является более естественным, поскольку всегда длина волны оптического излучения много меньше поперечных размеров структуры и периодическое продолжение последней в пространстве не вносит принципиальных изменений в характер исследуемых явлений.
Исследованию периодических волнистых поверхностей посвящено огромное количество работ, прекрасный обзор которых можно найти в монографии [83]. Большинство работ в этом направлении связано с различными задачами электродинамики волноводных и антенных структур. Типичным при их решении является использование граничных условий на идеально проводящей границе или различных эквивалентных граничных условий [83], позволяющих свести исследование проблемы к решению уравнений Максвелла только в одной однородной среде, из которой падает электромагнитная волна.
В задачах оптики слоистых структур необходимо рассматривать шероховатые —. границы между двумя однородными диэлектрическими средами, поглощением в которых можно полностью пренебречь. Принципиальным при этом является рассмотрение полей с обеих сторон от шероховатой границы. Наиболее общим математическим аппаратом для решения подобных задач является разложение полей вблизи шероховатых границ и удовлетворение граничным условиям [83]. Именно на основе этого подхода Рэлеем были получены первые результаты по рассеянию плоских волн на шероховатой поверхности [84].
Применимость приближений крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей
В этом параграфе используются экспериментальные результаты по определению функции спектральной плотности мощности (PSD функции) для различных образцов, широко используемых в современной оптике и электронике, полученные в работах [26] и [27]. Эти результаты используются для того, чтобы проиллюстрировать понятия крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичных шероховатостей. Мы рассмотрим PSD функции, полученные с помощью атомной силовой микроскопии (АСМ) для трех различных образцов. Среди этих образцов - две чистых подложки: Zerodur 665 и плавленый кварц (SQ1), а так же - один образец с однослойным покрытием из фторида магния на подложке из плавленого кварца. Параметры первых двух образцов даются в таблице 1 из [27]. Третий образец подробно описан в [26]. Оптическая толщина слоя из MgF2 равняетсяДля чистой подложки, АСМ измерения были выполнены для трех различных областей сканирования: \мкмх\мкм, ЮмкмхЮмкм и 50мкмх50мкм . Для третьего образца области сканирования были взяты равными Імкмхімкм и ЮмкмхЮмкм. Общие PSD функции были вычислены, основываясь на этих измерениях, и представлены в работах [26], [27].
Чтобы получить PSD функции в одном и том же диапазоне для всех трех образцов, выберем более низкий предел пространственный частоты, равный 0.1 мкм 1 (это значение соответствует максимальному пространственному периоду 10 мкм ).
Число точек измерения для всех областей сканирования было равным 512x512. Таким образом, минимальным пробным расстоянием было 1/512лши, и минимальный пространственный период гармоник ряда Фурье был равен 1/256 мкм. Следовательно, максимальная пространственная частота диапазона измерений была равной 256мкм 1.
Следует отметить, что PSD функции из [26] и [27] являются двумерными функциями, а все математические выкладки в предыдущих параграфах были выполнены для одномерного случая. Несмотря на это, концепция мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостей может быть применена и в этом случае, так как она связана только с отношением частоты падающего света к частоте пространственных гармоник шероховатости. В двумерном случае значения а] и СУ] должны быть рассчитаны по двумерной PSD функции по аналогии с формулой, используемой для того, чтобы вычислить среднеквадратичную шероховатость (см. ниже). Как следует из 1.3, значения крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичного шероховатостей зависят от длины волны падающего света. В качестве примера, оценим значения crs и а, для длины волны 193нм. Согласно 1.3 все пространственные периоды, удовлетворяющие неравенству 1п(Л/Гт) -1пи2, рассматриваются как дающие вклады в крупномасштабную шероховатость. Будем использовать значение 1.55 как оценку величины показателя преломления подложки из плавленого кварца на длине волны 193нм. Согласно отношению 1п(Л/Гт) -1пл2, нижняя граница пространственных гармоник, относящихся к крупномасштабной шероховатости, оценивается как 1.55 х 193км = 299/ш. В пространственном частотном диапазоне это означает, что область крупномасштабной шероховатости заканчивается на 3.3 мкм 1. Верхняя граница мелкомасштабных пространственных периодов определяется в соответствии с неравенством Ы(Я/Тт) 1пп2 как \25нм. В пространственном частотном диапазоне это дает 8 мкм 1 для значения границы мелкомасштабной шероховатости. Границы крупномасштабных и мелкомасштабных шероховатостей отмечены вертикальными пунктирными линиями на рис. 1.6. Обозначим f, и fs границы областей пространственных частот крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостей. Вычислим т, и as по формулам, аналогичным (1.4.1) в интервалах от fmia до f, и от fs до /тах, соответственно. Введем также промежуточную среднеквадратичную шероховатость ai, рассчитываемую по аналогии с (1.4.1) в пространственном частотном диапазоне от /, до fs. Очевидно, что обычная среднеквадратичная шероховатость связана с тремя введенными параметрами следующим образом: cr2=af + af+a2. (1.4.2) Таблица 1.1 представляет значения всех четырех параметров из формулы (1.4.2) для трех указанных выше образцов. Первая строка в таблице 1.1 представляет среднеквадратичные шероховатости для подложки из плавленого кварца. Следующие строки представляют эти значения для подложки из Zerodur 665 и для подложки из плавленого кварца, покрытой полуволновым слоем MgF2. Значения рассчитаны исходя из соответствующих PSD функций, (см. [26], [27]) в интервалах частот, описанных выше. При этих вычислениях значение 1.43 было взято как оценка показателя преломления MgF2 при длине волны падающего света \93им, а значение 1.55 как оценка показателя преломления Zerodur 665 для той же самой длины волны.
Таблица 1.1 показывает, что для первых двух образцов (чистые подложки) крупномасштабная поверхностная шероховатость играет доминирующую роль. В случае третьего образца самый существенный параметр - среднеквадратичная мелкомасштабная шероховатость as. Как отмечено в [26], наличие мелкомасштабной шероховатости в третьем случае связано с колончатой структурой пленок MgF2 (эта структура связана с характером роста пленок и приводит к образованию рельефа на внешней границе пленки с характерными размерами в несколько десятков нанометров). Промежуточная область поверхностной шероховатости не имеет большого значения для всех рассмотренных образцов. Это не означает, однако, что более детальный анализ, который будет также включать промежуточный случай, не потребуется в будущем. Необходимо отметить также, что все три значения, a,, JS и ст. будут отличны, как только длина волны падающего света будет взята не равной 193/ш.
Выбор модели пленки для решения обратной задачи спектральной эллипсометрии
Определение параметров тонкой пленки по данным эллипсометрических измерений является типичной обратной задачей, решение которой связано с трудностями, присущими данным задачам. Корректная постановка обратной задачи определения параметров пленки требует введения определенной модели, которая при этом описывается конечным числом неизвестных параметров. Данные параметры определяются затем из условия минимума функционала невязки, сравнивающего экспериментальные и модельные эллипсометрические данные.
Обозначим X - конечномерный вектор параметров пленки в рамках выбранной модели пленки. Вопрос о конкретном выборе этой модели обсуждается ниже и является основным вопросом данного параграфа. Пусть Ч у и А„р/ - измеренные значения эллипсометрических углов на некоторой сетке длин волн {Я;} в спектральном диапазоне эллипсометрических измерений. В дальнейшем J - общее число точек этой сетки (/ = 1,.... J). Обозначим Р}{Х) и Ау(Х) - модельные значения эллипсометрических углов на той же сетке длин волн, соответствующие вектору параметров X. Введем функционал невязки следующим образом: Здесь среднеквадратичные отклонения экспериментальных данных в различных спектральных точках измерения. Современные эллипсометрические приборы проводят многократные измерения эллипсометрических углов в каждой спектральной точке и значения dVJt SAj поставляются вместе с измеренными данными Ч ,., Дехр,. В выражении (2.2.1) неявным образом предполагается, что эллипсометрические измерения производятся при одном угле падения света. В случае, когда измерения производятся при нескольких углах падения света, функционал (2.2.1) может быть расширен соответствующим образом (появляется еще одно суммирование по индексу, соответствующему этим углам). Определение параметров тонкой пленки производится путем минимизации функционала невязки (2.2.1). Вектор X , доставляющий минимум этому функционалу, принимается за решение обратной задачи эллипсометрии. Задание естественных ограничений на искомые параметры пленки (неотрицательность ряда параметров, ограничения на значения параметров сверху и т.п.) выделяет в конечномерном пространстве параметров замкнутое ограниченное множество и, тем самым, вводит задачу в класс корректности. Однако, даже при относительно небольшом числе модельных параметров может проявляться практическая неустойчивость задачи, выражающаяся в том, что вектор X дает значения параметров пленки далекие от реальных. Поэтому вопрос обоснованного выбора модели пленки, описываемой минимально возможным числом наиболее существенных параметров, имеет принципиальное значение.
Общепринятыми модельными предположениями при решении прямых и обратных задач эллипсометрии является предположение о том, что пленка является неограниченной и изотропной по всем направлениям в плоскости ее границы. Практический опыт подтверждает, что это допущение вполне оправдано. Наиболее существенными параметрами пленки являются ее полная толщина d и показатель преломления п. В дальнейшем мы будем рассматривать диэлектрические пленки, поглощение в которых мало. Поскольку метод спектральной эллипсометрии мало чувствителен к малому поглощению в диэлектрических пленках, поглощение в модели пленки учитывать не будем.
При сделанных выше предположениях показатель преломления пленки зависит от двух переменных: ее толщины z и длины волны падающего излучения Я (дисперсионная зависимость показателя преломления). В большинстве исследований прошлого тысячелетия предполагалось, что пленка близка к однородной по толщине и зависимостью п от z пренебрегали [47, 48]. Стандартной моделью дисперсионной зависимости диэлектрической пленки является модель Коши, которая хорошо работает в спектральной области от ультрафиолета (УФ) до инфракрасной области спектра (ИК):
Таким образом, можно сказать, что базовой моделью тонкой пленки до недавнего времени была четырехпараметрическая модель, описываемая вектором X = {d,nn, А,В), в который входит толщина пленки d и три параметра дисперсионной модели Коши. Эта модель, однако, далеко не всегда соответствует действительности, поскольку диэлектрические пленки обладают слабой неоднородностью по толщине [52, 54]. В работах [24, 57] было показано, что слабая неоднородность пленки по толщине хорошо моделируется линейной зависимостью показателя преломления от толщины пленки z. Таким образом, функция n(z,X) на отрезке [0,d] параметризуется следующим образом: где и(Л) задается в соответствии с (2.2.2), d- толщина пленки, a S -дополнительный (пятый) параметр, характеризующий неоднородность пленки по толщине и называемый степенью неоднородности пленки. Нашей ближайшей целью является показать, что при современной точности эллипсометрических измерений описанная выше пятипараметрическая модель должна быть расширена с тем, чтобы учесть мелкомасштабную поверхностную шероховатость пленки. Толщина оптических тонких пленок составляет, как правило, десятки или сотни нанометров. Понятно, что при такой толщине крупномасштабная шероховатость связана в основном с шероховатостью подложек. Качество современных подложек очень высоко (см. в качестве примера результаты 1.4). Поэтому крупномасштабной шероховатостью можно пренебречь. В то же время особенности процессов нанесения пленок [1,2] зачастую приводят к развитию мелкомасштабной шероховатости по мере их роста. Этот тип шероховатости в большинстве случаев присутствует на верхней границе пленки.
Эффекты, вызванные крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостью
Спектральная фотометрия является широко используемым методом исследования параметров тонких пленок. Это исследование базируется на измерении энергетических коэффициентов пропускания и/или отражения для тонкой пленки, нанесенной на подложку, параметры которой хорошо известны. Измерения проводятся, как правило, при нормальном падении света или при углах падения, близких к нормальному.
Современные спектрофотометры (Perkin-Elmer, Сагу) обеспечивают высокую точность измерения энергетических коэффициентов отражения R и пропускания Т: ошибки измерения составляют доли процентов в абсолютной шкале измерений R и Т от 0 до 100%. Основными интересующими исследователей параметрами являются толщина пленки и параметры, характеризующие дисперсионную зависимость показателя преломления пленки [48]. Для дисперсионной зависимости в случае диэлектрических пленок обычно используется трехпараметрическая модель Коши:
Здесь пт,А,В- параметры модели Коши, а Я - длина волны падающего света. Для определения толщины и показателя преломления пленки с высокой точностью в используемую для этого модель часто приходится вводить и другие параметры, например параметры, характеризующие поглощение в пленке или ее объемную неоднородность [49-54]. Как и в случае спектральной эллипсометрии, усложнение модели пленки требует большой осторожности, поскольку легко приводит к практической неустойчивости решения обратной задачи определения ее параметров.
Как было показано в главе 1, коэффициенты отражения и пропускания при нормальном падении света зависят от поверхностной шероховатости только во втором порядке малости. Поэтому в большинстве случаев модели пленок, используемые для обработки данных спектральной фотометрии, не требуют учета шероховатости ее границ. Ниже это утверждение продемонстрировано путем модельных расчетов.
Однако продвижение современной многослойной оптики в область вакуумного ультрафиолета может потребовать учета шероховатости в моделях тонкой пленки. Действительно, поправки к коэффициентам отражения и пропускания, связанные как с мелкомасштабной, так и с крупномасштабной шероховатостью, имеют порядок а2 IX2. Отсюда следует, что при одной и той же величине а влияние шероховатости на коэффициенты отражения и пропускания на длине волны 193 нм (длина волны лазера, предлагаемого для использования в лазерной литографии) будет на порядок больше, чем в видимой области спектра.
В настоящем параграфе будет показано, что для получения точных данных о показателях преломления материалов, используемых в области вакуумного ультрафиолета, может потребоваться использование моделей, учитывающих поверхностную шероховатость пленок.
В начале параграфа рассмотрен модельный пример, который позволяет оценить влияние поверхностной шероховатости на энергетические коэффициенты отражения и пропускания, как на качественном, так и на количественном уровне. Возьмем тонкий слой с показателем преломления и=1.66 и физической толщиной rf=200 nm, нанесенный на подложку с показателем преломления ns = 1.49. Одна из целей состоит в том, чтобы продемонстрировать, что влияние на коэффициент отражения и пропускания, вызванное крупномасштабной и мелкомасштабной шероховатостью различно. Это наглядно продемонстрировано на рис. 2.13 и 2.14, на которых дается сравнение эффектов, связанных с мелкомасштабной и крупномасштабной шероховатостью. Значения крупномасштабной и мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости равные 2.5 нм выбраны для обеих поверхностей пленки. Пунктирные кривые на Рис. 2.13 и 2.14 соответствуют случаю крупномасштабной шероховатости, в то время как разрывные кривые на этих рисунках соответствуют случаю мелкомасштабной шероховатости. При построении рис. 2.13 и 2.14 для оси длин волн специально выбрана область вакуумного ультрафиолета, в которой влияние шероховатости достаточно заметно (как уже отмечалось, при тех же значениях а влияние шероховатости на коэффициент отражения и пропускания в видимой части спектра будет на порядок ниже).
При выбранных значениях параметров crt и crs вариации коэффициентов отражения и пропускания, связанные с наличием шероховатости составляют доли процента, что по порядку соответствует точности современных фотометрических данных. Заданная при построении рис. 2.13 и 2.14 величина крупномасштабной среднеквадратичной шероховатости существенно превышает эту величину для современных хорошо отполированных подложек (см. примеры в 1.5). При значениях а, порядка I нм и менее вариации R и Т, связанные с крупномасштабной шероховатостью будут неразличимы на фоне ошибок экспериментальных данных. В тоже время значения мелкомасштабной среднеквадратичной шероховатости порядка 2.5 нм и более вполне возможны для внешних границ тонких пленок, нанесенных на подложки. Как уже отмечалось ранее это связано со специфическими особенностями роста пленок и образования так называемых колончатых структур. Таким образом, мелкомасштабная поверхностная шероховатость пленок может в принципе оказывать заметное влияние на данные фотометрических измерений в области вакуумного ультрафиолета. Мелкомасштабная шероховатость хорошо видна на рис 2.15, показывающем микроструктуру многослойного покрытия на основе пленок из фторида лантана (темные линии) и фтористого магния (светлые линии). Снимок получен с помощью электронной микроскопии [7]. Толщина отдельных пленок составляет около 30 нм. Видно, что характерные размеры микрошероховатостей и их амплитуды измеряются как минимум несколькими нанометрами.
Приведенные выше соображения говорят о возможной необходимости учета мелкомасштабной шероховатости в модели тонкой пленки, используемой для решения обратной задачи фотометрии. Дальнейшее содержание данного параграфа связано с доказательством того, что использование соответствующей модели необходимо не только для оценки собственно мелкомасштабной шероховатости, но, в первую очередь, для повышения точности определения основных параметров пленки, т.е. ее толщины и показателя преломления. С этой целью мы проводим детальное исследование, связанное с определением основных параметров пленки из фторида лантана (ЬаРъ) в области вакуумного ультрафиолета. Следует отметить, что LaF - один из двух основных материалов, используемых для создания оптики, применяемой в лазерной литографии на длинах воли 193 нм и 157 им. Продвижение лазерной литографии на эти длины волн позволит в ближайшие годы перейти к технологии 0.065 мкм в микроэлектрони ке.
