Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости 22
1.1. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости, занимающей полупространство 22
1.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора 30
1.3. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости конечной глубины 42
Глава 2. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей 45
2.1. Задача о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, когда нижняя жидкость занимает полупространство 45
2.2. Высокие вырождения линеаризованного оператор а 53
2.3. Капиллярно-гравитационные волны на границе раздела двух жидкостей конечной глубины 61
Глава 3. Решения, инвариантные относительно подгрупп до пускаемой группы симметрии 63
3.1. Группа симметрии прямоугольника 64
3.2. Группа симметрии квадрата 69
Глава 4. Редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений задач о капиллярно-гравитационных волнах 78
4.1. Критерии устойчивости решений задачи о поверхностных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости 87
4.2. Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей 97
4.3. Устойчивость решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра 100
4.3.1. Задача на поверхности слоя жидкости на бесконечном цилиндре 100
4.3.2. Задача о волнах на границе раздела двух жидкостей на бесконечном цилиндре 106
Заключение 112
Список используемой литературы 113
- Высокие вырождения линеаризованного оператора
- Высокие вырождения линеаризованного оператор
- Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей
- Устойчивость решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра
Введение к работе
Теория ветвления решений нелинейных уравнений, становление и развитие которой началось в конце XIX - начале XX столетия в трудах A.M. Ляпунова [1], А. Пуанкаре [2] и Э. Шмидта [3], находит новые многочисленные, иногда удивительные своей неожиданностью приложения в задачах естественнонаучных дисциплин: гидродинамики, теории упругости, математической биологии (в частности, теории нейронных сетей [4]), теории колебаний динамических систем. Наиболее полный обзор прикладных задач, исследованных методами теории ветвления и бифуркаций, содержится в трудах конференции "Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines"[5]. Основатели теории A.M. Ляпунов и А. Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э. Шмидта содержали исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. Уже в первых их результатах было показано, что задачи ветвления решений нелинейных уравнений сводятся к исследованию эквивалентных уравнений разветвления (УР) — конечномерных систем неявных функций. Различные варианты сведения нелинейной задачи к УР стали называть (асимптотическим) методом Ляпунова-Шмидта. Последующее развитие теории ветвления содержится в работах А.И. Некрасова [6, 7] об установившихся волнах на поверхности тяжелой жидкости, Н.Е. Кочина [8, 9] о волнах на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины (в которых рассматривались плоские задачи), Л. Лихтенштейна [10] и Н.Н. Назарова [11, 12] в теории нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Метод неопределенных коэффициентов непосредственного построения решений нелинейных уравнений в виде рядов по дробным степеням малого параметра стали называть впоследствии методом Некрасова-Назарова. Дж. Кронин [13, 14] применила теорию степени отображения к во- просу о существовании разветвляющихся решений. В абстрактной постановке, т.е. для нелинейных функциональных уравнений в банаховых пространствах топологические и вариационные методы теории ветвления были предложены в работах М.М. Вайнберга [15], М.А. Красносельского [16], Дж. Кро-нин [17]. Эти результаты не были конструктивными. По плану чл.-корр. АН СССР Л.А. Люстерника предпочтение должно быть уделено аналитическим методам, развивавшимся в работах В.А. Треногина [18, 19]. Отметим здесь обзорную работу М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [20] и их монографию [21], где четко разделены части, написанные каждым автором. Вслед за ней выходит монография коллектива авторов во главе с М.А. Красносельским [22] с акцентом на приближенные методы в нелинейном анализе. Укажем более поздние монографии: Ю.А. Кузнецов [23], Н. Kielhofer [24], R. Temam [25], Z. Mei [26], S. Wiggins [27], T. Ma, S. Wang [28]. Особо отметим фундаментальный пятитомный труд Е. Zeidler "Нелинейный функциональный анализ и его приложения" [29].
УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [21], позволяющим представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра. В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен к одномерному случаю и в системах неявных функций в двух работах W.D. McMillan [30]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано L.M. Graves [31] и А.Э. Стапану [32]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах Брюно [33] и диссертации А. Солеева [34].
К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые А. Пуанкаре [2], а затем в краткой заметке в "УМН В.А. Треногиным и М.М. Вайнбергом кронекеровский метод исключения [К теории ветвления нелинейных уравнений. УМН, 1963, т. 18, №5, с.223-224]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров, а также методов регуляризации построения решений [35, 36]. Отметим также популярную в задачах теории ветвления методику применения теории особенностей гладких отображений, развиваемую в работах В.И. Арнольда [37], М. Голубицкого и Дж. Шеффера [38, 39], берущую начало от исследований Р. Тома [40].
Перейдем к освещению роли теории ветвления и бифуркаций в прикладных задачах математического моделирования и места симметрийной теории бифуркаций в теоретико-групповом моделировании.
К настоящему времени трудно дать обзор различных приложений стационарной и динамической теории бифуркаций (ветвления). Отметим здесь первые конференции по прикладным задачам: труды конференции (семинара) по теории ветвления и нелинейным задачам на собственные значения, организованного Дж.Б. Келлером и Э.Л. Рейссом (Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. J.B. Keller, S.T. Antman - Eds. Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems. 1969. Русский перевод: Мир, Москва, 1974), содержат приложения теории бифуркации к различным задачам теории упругости и пластичности, гидродинамики, математической и теоретической физики. В 700-страничных трудах конференции [5] имеются самые различные приложения теории ветвления, даже в метеорологии и медицине (механизм возникновения шизофрении). Отметим также более поздние конференции: Contemporary Mathematics v. 56: Multiparameter Bifurcation theory. Proceedings of a Summer Research Conference held July 14-20, 1985, Martin Golubitsky and John M. Guckenheimer, Editors, AMS; Oscillation, Bifurcation and Chaos, Proceedings of the 1986 Annual Seminar held July 13-25, 1986, Canadian Math. Soc. v.8, F.V. Atkinson, W.F. Langford and A.B. Mingarelli (Editors) и серию конференций ECMI по прикладной математике.
Прикладные задачи, связанные с действием законов сохранения, обладают групповой симметрией (инвариантностью, эквивариантностью) [41]. В случае действия интранзитивной группы преобразований задача построения многопараметрических семейств малых решений нелинейных уравнений значительно упрощается. Первые результаты применения групповой симметрии в задачах теории ветвления были получены В.И. Юдовичем [42] с многочисленными приложениями руководимого им коллектива Ростовского-на-Дону университета к различным задачам гидродинамики [43],[44], [45], в частности, к задачам о свободной конвекции в жидкости.
Теория ветвления в условиях групповой симметрии была развита после первых работ В.И. Юдовича в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногииа [46],[47]. Далее в общих ситуациях стационарного и динамического ветвления были доказаны [48],[49],[50] теоремы о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии нелинейного уравнения - одно из многочисленных применений пропагандируемого в школе проф. В.А. Треногииа "принципа конечномерности", - послужившие основой построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии. На этой основе была исследована задача о кристаллизации жидкого фазового состояния с простой кубической решеткой в статистической теории кристалла [51],[52],[48] и случай четырехмерного вырождения в задаче о капиллярно-гравитационных волнах (КГБ) в слое жидкости над ровным дном [53],[54], а также определены возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов.
Однако наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л.В. Овсянникова [55],[56] группового анализа дифференциальных уравнений. Они открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии стационарного [57] и динамического [58],[59], [60] ветвления. Как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов. Работа [57] была первым применением методов группового анализа в симметрийной теории бифуркаций, конкретно к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. В диссертации О.В. Макеева [61] и в предшествовавших работах [62-64] методы группового анализа для построения и исследования уравнения разветвления на основе теоремы о наследовании были применены к задаче о кристаллизации с симметриями старших кристаллических классов кристаллографических групп с определением подгрупповой структуры разветвляющихся решений согласно "Программе подмодели" академика Л.В. Овсянникова. Результаты о симметрии подгрупп были установлены также в работах [65, 66] для бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа (динамического ветвления) для разветвляющихся решений с симметриями плоских и пространственных кристаллографических групп с простой кубической решеткой.
Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в усло- виях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голубицкого, Д. Шеффера и И. Стюарта [67] (не содержащие никаких ссылок на советские работы и даже на работы В.И. Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе [68]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. С этих же позиций написана книга [69]. Восходящие к Каччопполи вариационные методы в теории бифуркаций в удачном сочетании с теорией особенностей дифференцируемых отображений разрабатываются в Воронежской школе Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова [70] нелинейного функционального анализа.
К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А.И. Некрасова, Т. Леви-Чивита [71] и Д. Стройка [72]. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [71] и [72] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.В. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика Н.Н. Моисеева и A.M. Тер-Крикорова содержится в [73]. В работах Я.И. Секерж-Зеньковича задача о капиллярно-гравитационных волнах [74] исследована методами теории конформных отображений. Существенно более трудная задача о пространственных гравитационных волнах, основанная на ветвлении от собственного значения внутри непрерывного спектра, решена П.И. Плотниковым [75]. Коллективная монография под редакцией Л.В. Овсянникова [76] содержит обзор работ по волновым движениям жидкости, выполненным в Институте Гидродинамики СО РАН. Сотрудничество Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН и Университета ВАТ (Великобритания) интенсифицируется с начала нашего века. Здесь следует отметить ряд совместных работ, выполненных П.И. Плотниковым и Дж.Ф. Толандом.
Ряд задач теории капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости рассмотрен в работах Б.В. Логинова и его аспирантов. Это работы [53],[54],[77],[78] о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, [79],[80],[81],[82],[83] о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости, [84],[85] о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, [86],[87] о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, [88],[89] о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости (последовавшая за работой Твомбли [90]), в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля.
Отметим ряд работ об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости, выполненных коллективом кафедры математики физического факультета МГУ [91],[92]. В 2007 г. этой группой была опубликована монография [93] по многим прикладным задачам динамической теории ветвления с вырожденным оператором при производной, содержащая, в частности, задачи о поверхностных волнах.
Большой цикл работ о поверхностных волнах в пленках жидкости (например, [94]) опубликован сотрудниками института теплофизики СО РАН.
В.В. Пухначевым [95] было дано доказательство существования капиллярно-гравитационных волн в плоской задаче о пленке жидкости, стекающей по вертикальной стенке.
Монография Н. Okamoto и М. Shoji [96] по теории гравитационных и капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости содержит обзор достижений японских математиков. Сюда же следует отнести работы Т. Iguchi [97], N. Tanaka и A. Tani [98]. Однако в этих работах не применялись теоретико-групповые методы теории ветвления. Обзор работ W. Craig и M.D. Groves по пространственным капиллярно-гравитационным волнам и, в частности, уединенным волнам, приведен в выпуске журнала GAMM Mitteilungen 30(1) 2007, посвященном нелинейным волнам, и здесь также не используются теоретико-групповые методы теории ветвления. В динамических задачах, описывающих течения жидкости, имеются работы румынских математиков, в которых начинают применяться теоретико-групповые методы, например [99]. Основной результат здесь — бифуркационная теорема Андронова-Хопфа с Zfc-симметрией в задаче со свободной границей для течений вязкой несжимаемой жидкости в открытом трехмерном прямоугольном канале с учетом поверхностного натяжения.
Отметим ряд интересных задач со свободной границей, возникающих в теории плазмы и модели роста опухоли, в которых используются вариационные методы. Такие задачи рассмотрены в монографии Фридмана [100].
Приведем небольшой список работ в этом направлении [101-104]. Отметим, что основополагающей работой здесь следует считать опубликованную в 1970 г. статью И.И. Данилюка [105].
Переходя к описанию содержания выполненной работы, отметим еще раз ее характерную черту — принадлежность теоретико-групповому моделированию. Используемые здесь методы — групповой анализ дифференциальных уравнений С. Ли - Л.В. Освянникова — основанные на построении общего вида УР по допускаемой группе симметрии, теории инвариантов и инвариантных многообразий. Вид уравнения разветвления, характер ветвления и редуцированная устойчивость семейств решений не зависят от физического содержания модели, могут изменяться только коэффициенты системы разветвления. Естественно, что устойчивость семейства решений понимается относительно возмущений, обладающих той же симметрией. Если же решение неустойчиво относительно таких возмущений, то оно неустойчиво вообще.
В 1 первой главы изложены результаты, полученные соискателем для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости, занимающей полупространство в случае размерности линеаризованного оператора п = dimN(B) = 4. Выписана асимптотика разветвляющися решений. В 2 исследуются высокие вырождения линеаризованного оператора. В 3 приводятся результаты С.А. Карповой (Гришиной) в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в 4.3.
В 1 второй главы соискателем решается задача о поверхностных волнах на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Выписана асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения линеаризованного оператора. 2 содержит исследование высоких вырождении. В 3 приводятся результаты Е.В. Трофимова в задаче о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений ис- следована в 4.4.
Третья глава посвящена построению решений, инвариантных относительно подгрупп, последовательно для рассмотренных задач предыдущих пунктов. Это соответствует содержанию "Программы подмодели" Л.В. Овсянникова.
Высокие вырождения линеаризованного оператора
К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А.И. Некрасова, Т. Леви-Чивита [71] и Д. Стройка [72]. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [71] и [72] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.В. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика Н.Н. Моисеева и A.M. Тер-Крикорова содержится в [73]. В работах Я.И. Секерж-Зеньковича задача о капиллярно-гравитационных волнах [74] исследована методами теории конформных отображений. Существенно более трудная задача о пространственных гравитационных волнах, основанная на ветвлении от собственного значения внутри непрерывного спектра, решена П.И. Плотниковым [75]. Коллективная монография под редакцией Л.В. Овсянникова [76] содержит обзор работ по волновым движениям жидкости, выполненным в Институте Гидродинамики СО РАН. Сотрудничество Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН и Университета ВАТ (Великобритания) интенсифицируется с начала нашего века. Здесь следует отметить ряд совместных работ, выполненных П.И. Плотниковым и Дж.Ф. Толандом.
Ряд задач теории капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости рассмотрен в работах Б.В. Логинова и его аспирантов. Это работы [53],[54],[77],[78] о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, [79],[80],[81],[82],[83] о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости, [84],[85] о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, [86],[87] о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, [88],[89] о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости (последовавшая за работой Твомбли [90]), в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля.
Отметим ряд работ об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости, выполненных коллективом кафедры математики физического факультета МГУ [91],[92]. В 2007 г. этой группой была опубликована монография [93] по многим прикладным задачам динамической теории ветвления с вырожденным оператором при производной, содержащая, в частности, задачи о поверхностных волнах.
Большой цикл работ о поверхностных волнах в пленках жидкости (например, [94]) опубликован сотрудниками института теплофизики СО РАН.
В.В. Пухначевым [95] было дано доказательство существования капиллярно-гравитационных волн в плоской задаче о пленке жидкости, стекающей по вертикальной стенке.
Монография Н. Okamoto и М. Shoji [96] по теории гравитационных и капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости содержит обзор достижений японских математиков. Сюда же следует отнести работы Т. Iguchi [97], N. Tanaka и A. Tani [98]. Однако в этих работах не применялись теоретико-групповые методы теории ветвления. Обзор работ W. Craig и M.D. Groves по пространственным капиллярно-гравитационным волнам и, в частности, уединенным волнам, приведен в выпуске журнала GAMM Mitteilungen 30(1) 2007, посвященном нелинейным волнам, и здесь также не используются теоретико-групповые методы теории ветвления. В динамических задачах, описывающих течения жидкости, имеются работы румынских математиков, в которых начинают применяться теоретико-групповые методы, например [99]. Основной результат здесь — бифуркационная теорема Андронова-Хопфа с Zfc-симметрией в задаче со свободной границей для течений вязкой несжимаемой жидкости в открытом трехмерном прямоугольном канале с учетом поверхностного натяжения.
Отметим ряд интересных задач со свободной границей, возникающих в теории плазмы и модели роста опухоли, в которых используются вариационные методы. Такие задачи рассмотрены в монографии Фридмана [100].
Приведем небольшой список работ в этом направлении [101-104]. Отметим, что основополагающей работой здесь следует считать опубликованную в 1970 г. статью И.И. Данилюка [105].
Переходя к описанию содержания выполненной работы, отметим еще раз ее характерную черту — принадлежность теоретико-групповому моделированию. Используемые здесь методы — групповой анализ дифференциальных уравнений С. Ли - Л.В. Освянникова — основанные на построении общего вида УР по допускаемой группе симметрии, теории инвариантов и инвариантных многообразий. Вид уравнения разветвления, характер ветвления и редуцированная устойчивость семейств решений не зависят от физического содержания модели, могут изменяться только коэффициенты системы разветвления. Естественно, что устойчивость семейства решений понимается относительно возмущений, обладающих той же симметрией. Если же решение неустойчиво относительно таких возмущений, то оно неустойчиво вообще.
В 1 первой главы изложены результаты, полученные соискателем для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости, занимающей полупространство в случае размерности линеаризованного оператора п = dimN(B) = 4. Выписана асимптотика разветвляющися решений. В 2 исследуются высокие вырождения линеаризованного оператора. В 3 приводятся результаты С.А. Карповой (Гришиной) в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в 4.3.
В 1 второй главы соискателем решается задача о поверхностных волнах на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Выписана асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения линеаризованного оператора. 2 содержит исследование высоких вырождении. В 3 приводятся результаты Е.В. Трофимова в задаче о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в 4.4.
Высокие вырождения линеаризованного оператор
В банаховом пространстве Е рассматривается нелинейное уравнение с фредгольмовым оператором В, N(B) = {ері,... ,(fn}, N (B) = {ч/ 1,... ,V n}, {7І}І и izj}i соответствующие биортогональные системы. Стационарное решение уравнения (4.2), т.е. решение уравнения Вх — R(x,e) разыскивается с помощью регуляризатора Шмидта В = В 4- Yl( i1t)zi Первое уравнение имеет единственное решение х = х(,є), т.к. В г — Г -ограниченный оператор и первое уравнение переписывается в виде х — TR(x, є) + 2 ,№% Подставляя х — х(, є) во второе уравнение, получаем Система разветвления L(, є) = 0 имеет решение, аналитическое (достаточно гладкое) по дробным степеням є (є = єк) = (є). Соответственно, стационарное решение уравнения (4.2) имеет вид х — ж((є),є)). Стационарное решение я;((є),є) уравнения (4.2) (соответственно стационарное решение (є) уравнения — = L(, є)) линейно устойчиво, если спектр оператора В — Rx(x{(e), є), єк) - производной Фреше на ответвившемся решении (соответственно матрица Якоби -=г— на ответвившемся решении = (є)) лежит в левой полуплоскости и неустойчиво, если хотя бы одна точка попадает в правую полуплоскость. В только что приведенном предложении сформулирована линеаризованная устойчивость для стационарного решения уравнения (4.2) и соответственно для стационарного решения уравнения (4.3). Многими авторами ([Н. Kielhoffer, R. Lauterbach, 1983], [D.H. Sattinger, 1978], [L. Recke, 1989], [Б.В. Логинов, 1980], [S. Taliferro, 1987], [K. Landman, S. Rosenblat, 1978]) был исследован вопрос о редуцированной устойчивости, т.е. в какой мере линеаризованная устойчивость стационарного решения уравнения (4.2) может быть охарактеризована линеаризованной устойчивостью стационарного решения уравнения (4.3). Далее мы показываем, что пеисчсзающие главные члены асимптотики собственных значений, ответвляющихся от n-кратного нулевого іл — fi(e) и v = v(e) совпадают, т.е. справедлив "принцип линеаризованной устойчивости". При этом предполагается, что остальные точки спектра сг(В) лежат в левой полуплоскости. Таким образом, мы имеем две возмущенные задачи на собственные значения для которых мы должны доказать указанное выше совпадение главных членов. Из первого уравнения системы следует Следовательно, уравнение разветвления для системы (4.5) принимает вид Применим регуляризатор Шмидта к уравнению (4.4) где [(/- ГД Гу (/- ГД,)"1 = {(ГД,.) Г } и символ {(ГД Г } озна-чает сумму всевозможных произведений 5 операторов TRX и I операторов Г. Лемма 4.1. Пусть длины 7-жордановых цепочек оператора В равны едини- оо це и оператор-функции В — Rx(x((e), є), єк) = В — Yl - отвечает полный k=i канонический ОЖН с длинами г і г 2 гп. Тогда принцип линеаризованной устойчивости стационарного решения уравнения (4.2) редуцируется к принципу линеаризованной устойчивости стационарного решения (4.3), т.е. собственные значения производной Фреше на ответвившихся решениях (4.2) и (4.3) имеют одинаковые ведущие члены по е.
Доказательство. В силу полноты ОЖН с ОЖЦ длин г і г гп, име-ем Me) = ( (/-o(\e\). В силу диаграммы Ньютона /х-УР (4.7) имеет п решений /и — //(є) — 0 при є — О, представимых в виде //(б) - е"(С + о(е)), где р Є (гь ..., г„), С О. Пусть для определенности р = rs и гі Г2 ... гте, а 0. Здесь (сг + 1) из ОЖЦ имеют равные длины rs. Подставляя /х(е) в определитель (4.7), вынесем общий множитель ер из j-ых строк s, s +1,..., п и, сокращая множитель 6p(n-s+i) уСТрЄМИМ б _4 о. В результате коэффициент С при главном члене решения (4.4) должен удовлетворять уравнению Cn s cr det[aj + C5j] s+a = 0 и главные члены решений (4.4) р-УР являются ненулевыми корнями многочлена степени (сг + 1) Fcr+i(C) = detjo + С И" . В случае а — 0 С = —ass, а в случае ri = Г2 = ... = rn = р коэффициент С определяется корнями полинома г-ой степени Рп(С) = det[a + С А]?&=І = 0, где det[o ]j fc:=1 7 0- В последнем случае все п собственных значений fi(e) оператора В — Rx(x( (e),e),eK) имеют одинаковый порядок малости р. Таким образом, метод диаграммы Ньютона показывает, что главные члены асимптотики /х?(б), определяемых из (4.7) и -(б), определяемых из (4.6), совпадают, т.е. справедлив принцип линеаризованной устойчивости. Согласно терминологии теории ветвления решение х = х(Х) уравнения F(x, Л) = 0 в окрестности точки ветвления (жо, Ло), определенное для малых Л—Ло, называется простым, если при всех Л из достаточно малой окрестности Ло (за исключением самой точки Ло) оператор F(x(X), Л) имеет ограниченный обратный. Согласно теореме 30.1 [21] о необходимом и достаточном условии полноты обобщенного жорданова набора доказывается следующий результат.
Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей
Тогда длина рі{ф) ОЖЦ элемента р определяется номером первой ненулевой проекции на подпространство, натянутое на совокупность элементов (fi с одинаковой длиной ОЖЦ. И для любого д(а) Є G разложение элемента Lgia) по базису {y?i}i начинается с номеров этой совокупности. Операторы L(a) индуцируют в координатном подпространстве S нижнюю блочную треугольную матрицу А(а). Т.е. 6(а) = 0 при pk Pi- Если группа А(а) компактна, то матрицы А(а) имеют блочно-диагональный вид.
При действии непрерывной группы Ад(а) n-мерное векторное пространство Е распадается на траектории (см. Введение). Пусть для /-параметрической непрерывной группы ц = [?7a]j=i, n является матрицей (а - число строк, j - число столбцов) координат инфинитезимальных операторов Ха = Y1 Щ {)(д/дз) а I)---)/ имеет 1\ функционально независимых инвариантов {-/j()}i- Траектории общего положения определяются системой вида //() = Cj, j 1,..., /і и имеют размерность п — 1\. Порождающие многообразия для траекторий группы в Е определяются как транс-версальные к этим траекториям и могут быть как подпространствами, так и нелинейными многообразиями. В условиях групповой симметрии решения уравнения (4.1), если они существуют, не являются простыми, т.е. производная Фреше на ответвившемся решении является необратимым оператором. Действительно, вместе с каждым решением хо(е) решением является также гс(а,є) = L(a)rb o(e), где L(a), a = (ai,...,a7l) — /-параметрическая группа преобразований линейного уравнения. Все малые решения (4.1) представимы в виде /-параметрических семейств х = Ыа)х\ где х - общее малое решение в порождающем подпространстве %0 из полной минимальной системы 8 порождающих подпространств в Е. Эквивалентное (4.1) УР наследует его группу симметрии. По определению линейного касательного многообразия ТХох(а, є) в точке жо(е) для уравнения (4.1) получаем а для соответствующего УР (, є) = О где о(е) - решение УР, отвечающее хо(є), La и AQ, а = 1,..., / - операторы инфинитезимального представления алгебры Ли вДи Н".
Так как ранг матрицы г) в точках траектории старшей размерности (общего положения) и в точках соответствующих порождающих многообразий равен п—/і, то эти точки имеют стационарные подгруппы размерности Z—(п—1{) и Z + Zi — п решений (4.9) и (4.10) линейно зависимы. Соответственно размерность подпространства нулей производной Фреше В — Rx(x(e), ек) нелинейного оператора F(x(e), ек) — Bx(e)—R(x(e), ек) на ответвившемся решении равна числу ее ОЖЦ бесконечной длины. Следовательно, для решения хо(е), не зависящего от негрупповых параметров, построенного для порождающих подпространств старшей размерности Zi, имеем dim N(B — Rx(xo(e), ек)) = п —1\ и среди ОЖЦ оператор-функции В — Rx{xo(e), ек) существует п — 1у цепочек бесконечной длины.
Поэтому в условиях групповой симметрии ответвляющееся семейство решений (соответствующих траекториям старшей размерности) уравнение (4.1) должно определяться как устойчивое, если /-спектр производной Фреше имеет п — Zi-кратный ноль, а остальные его точки лежат в левой полуплоскости. Соответственно, в теореме имеется п —1\ нулевых собственных значений матрицы Якоби. Равенство п — 1\ = 1 выполняется лишь в том случае, если точки порождающего многообразия - обыкновенные точки пространства действия группы, т.е. не допускают нетривиальных стационарных подгрупп. Здесь среди собственных значений производной Фреше на ответвившемся решении нулевые порождены действием группы. Именно поэтому ответвившееся семейство решений обладает устойчивостью по отношению к возмущениям с той же симметрией. Знаки главных частей асимптотики остальных собственных значений определяют устойчивость (неустойчивость) ответвившегося семейства решений.
Таким образом, в условиях групповой симметрии нелинейной задачи относительно непрерывной группы всюду далее под устойчивым семейством ре шений нелинейного уравнения мы понимаелі параметризованное действием группы семейство редуцированно устойчивых разветвляющихся решений. Здесь среди собственных значений матрицы Якоби присутствуют нулевые только порожденные действием группы. Именно поэтому ответвившееся семейство решений устойчиво относительно возмущений, обладающих той же симметрией. В исследуемых нами задачах капиллярно-гравитационных волн как раз и наблюдается изложенная только что ситуация, когда n — li — l при отсутствии жордановых цепочек.
Устойчивость решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра
Прикладные задачи, связанные с действием законов сохранения, обладают групповой симметрией (инвариантностью, эквивариантностью) [41]. В случае действия интранзитивной группы преобразований задача построения многопараметрических семейств малых решений нелинейных уравнений значительно упрощается. Первые результаты применения групповой симметрии в задачах теории ветвления были получены В.И. Юдовичем [42] с многочисленными приложениями руководимого им коллектива Ростовского-на-Дону университета к различным задачам гидродинамики [43],[44], [45], в частности, к задачам о свободной конвекции в жидкости.
Теория ветвления в условиях групповой симметрии была развита после первых работ В.И. Юдовича в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногииа [46],[47]. Далее в общих ситуациях стационарного и динамического ветвления были доказаны [48],[49],[50] теоремы о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии нелинейного уравнения - одно из многочисленных применений пропагандируемого в школе проф. В.А. Треногииа "принципа конечномерности", - послужившие основой построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии. На этой основе была исследована задача о кристаллизации жидкого фазового состояния с простой кубической решеткой в статистической теории кристалла [51],[52],[48] и случай четырехмерного вырождения в задаче о капиллярно-гравитационных волнах (КГБ) в слое жидкости над ровным дном [53],[54], а также определены возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов.
Однако наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л.В. Овсянникова [55],[56] группового анализа дифференциальных уравнений. Они открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии стационарного [57] и динамического [58],[59], [60] ветвления. Как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов. Работа [57] была первым применением методов группового анализа в симметрийной теории бифуркаций, конкретно к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. В диссертации О.В. Макеева [61] и в предшествовавших работах [62-64] методы группового анализа для построения и исследования уравнения разветвления на основе теоремы о наследовании были применены к задаче о кристаллизации с симметриями старших кристаллических классов кристаллографических групп с определением подгрупповой структуры разветвляющихся решений согласно "Программе подмодели" академика Л.В. Овсянникова. Результаты о симметрии подгрупп были установлены также в работах [65, 66] для бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа (динамического ветвления) для разветвляющихся решений с симметриями плоских и пространственных кристаллографических групп с простой кубической решеткой.
Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голубицкого, Д. Шеффера и И. Стюарта [67] (не содержащие никаких ссылок на советские работы и даже на работы В.И. Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе [68]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. С этих же позиций написана книга [69]. Восходящие к Каччопполи вариационные методы в теории бифуркаций в удачном сочетании с теорией особенностей дифференцируемых отображений разрабатываются в Воронежской школе Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова [70] нелинейного функционального анализа.
К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А.И. Некрасова, Т. Леви-Чивита [71] и Д. Стройка [72]. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [71] и [72] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.В. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика Н.Н. Моисеева и A.M. Тер-Крикорова содержится в [73].
