Введение к работе
Актуальность работы. Динамика и устойчивость тонких плёнок жидкости привлекали внимание учёных многие десятилетия. Интенсивное изучение указанной проблемы обусловлено, в частности, её широким техническим применением для осуществления технологических процессов, связанных с тепло- и массообменом между фазами. Плёночные течения возникают в самых разных масштабах и являются ключевыми в многочисленных областях индустрии, геофизики и биофизики. С теоретической точки зрения исследование волновых движений стимулировало развитие новых отраслей математики, механики и теоретической физики. Основу развития этого направления заложили в своих фундаментальных работах П. Л. Капица, В. Г. Левич, В. Е. Накоряков и В. Я. Шкадов. Фундаментальные исследования данной проблемы в России проведены С. В. Алексеенко, Е. А. Демёхи-ным, А. А. Непомнящим, Б. Г. Покусаевым, В. В. Пухначёвым, Ю. Я. Трифоновым, О. Ю. Цвелодубом; за рубежом — такими исследователями, как Т. Бенджамин, Дж. Бинни, В. Бонтозугло, Дж. Голлуб, А. Даклер, С. Пор-тальски, Х.-Ч. Чан.
Сложность исследования вязких слоев жидкости связана с наличием на поверхности раздела системы волн, которые меняют свою форму в зависимости от расхода жидкости, её физических свойств, геометрии канала, спектра внешних возмущений и т. д. В таких течениях вниз по потоку, по мере развития возмущений, реализуется каскад неустоичивостеи, соответствующих бифуркаций и нелинейных переходов. При малых и умеренных числах Рей-нольдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн. При увеличении числа Рейнольдса двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трёхмерными волновыми режимами, в т. ч. режимом, известным как режим поверхностной турбулентности.
В настоящее время закончился этап исследования двумерных волн, длившийся более шестидесяти лет, и двумерные волны полностью поняты. Иначе ситуация обстоит с трёхмерными волнами, наиболее интересными с практической точки зрения. Ключевую роль в динамике трёхмерных волновых режимов играют Л-солитоны, зафиксированные в ряде экспериментов. С теоретической точки зрения трёхмерные волновые режимы явно недостаточно изучены, хотя и выведена упрощённая система уравнений для их исследования — система Капицы - Шкадова. Для восполнения этого теоретического пробела в настоящей работе исследуется проблема неединственности од-
ногорбых Л-солитонов и их устойчивости. Трёхмерный режим течения является типичным примером детерминированного хаоса: поверхность плёнки покрыта детерминированными когерентными структурами (Л-солитонами), которые, однако, хаотическим образом распределены по поверхности плёнки, давая процессу случайную составляющую. Хотя число Рейнольдса при таком режиме далеко от критического для перехода к обычной турбулентности, поверхность плёнки выглядит очень нерегулярно и поэтому этот режим часто называется режимом поверхностной турбулентности.
В настоящей работе впервые создан численный алгоритм для моделирования пространственно-временного развития трёхмерных волновых структур в стекающей плёнке жидкости. С помощью этого алгоритма исследованы различные волновые режимы и переходы к ним, включая режим поверхностной турбулентности. Помимо разработки специальных численных методов расчёта пространственно-временного развития, исследование потребовало также применения математического аппарата теории бифуркаций и теории гидродинамической неустойчивости. В работе теоретически объяснён и описан экспериментальный факт существования трёхмерных двугорбых уединённых волн.
Основной целью диссертационного исследования является моделирование трёхмерных режимов гравитационного стекания плёнок жидкости.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
Выполнить анализ и сделать выбор численных методов решения задач динамики стекающей плёнки жидкости.
Провести математическое моделирование нелинейной неустойчивости трёхмерных уединённых волн.
Исследовать бифуркации многогорбых стационарных трёхмерных уединённых волн в стекающей плёнке.
Провести численные эксперименты по эволюции трёхмерного волнового течения плёнки при естественных возмущениях на входе.
Построить математическую модель режима поверхностной турбулентности в стекающем вязком слое и найти характеристики этого режима.
Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты:
Разработаны новые численные алгоритмы получения трёхмерных соли-тонных решений уравнений, описывающих стекающую плёнку.
Построена математическая модель, на основе которой впервые объяснены наблюдавшихся в экспериментах трёхмерные двугорбые уединённые волны.
Разработан и апробирован новый численный алгоритм для расчёта пространственно-временной эволюции трёхмерных возмущений в стекающих плёнках жидкости.
Впервые найдены и теоретически описаны статистические характеристики трёхмерных волновых режимов.
Создана математическая модель режима поверхностной турбулентности.
Следующие результаты диссертационной работы выносятся на защиту:
Разработка численного алгоритма нахождения трёхмерных стационарных солитонных решений уравнений, описывающих стекающую плёнку.
Исследование бифуркационных переходов одногорбых и многогорбых трёхмерных уединённых волн в активно-диссипативных средах.
Исследование нелинейной устойчивости многогорбых трёхмерных уединённых волн в стекающих плёнках жидкости.
Разработка численного алгоритма моделирования пространственно-временной эволюции трёхмерных волновых режимов течения плёнок жидкости.
Изучение структуры и количественных характеристик трёхмерных волновых режимов, в том числе так называемой поверхностной турбулентности.
Научная значимость полученных в диссертационном исследовании результатов заключается в том, что они являются частью общего исследования устойчивости и волновых режимов течения тонких слоев вязкой жидкости. Практическая значимость заключается в возможности использования результатов в многочисленных технических устройствах, использующих тонкие плёнки жидкости (тепломассоперенос, химические реакции и т. д.).
Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в Кубанском государственном университете, в Южном федеральном университете, в Институте механики МГУ, в Институте теплофизики СО РАН (г. Новосибирск), в НИИ механики и прикладной математики (г. Ростов-на-Дону). В ходе выполнения работы был разработан и зарегистрирован программный комплекс для нахождения стационарных решений уравнений динамики жидкости и газа квазиспектральным методом [16]. Результаты диссертационного исследования внедрены в работу ОАО "НИПИгазпереработка".
Достоверность результатов настоящего исследования обеспечивается согласованностью результатов, полученных в вычислительном эксперименте, с аналитическими решениями в предельных случаях существующих теорий и известными экспериментальными данными других авторов.
Апробация работы. Материалы диссертационного исследования представлялись на следующих конференциях:
Международная конференция "Environmental Problems and Ecological Safety", Университет Висбадена, Висбаден, Германия, июнь 2004 г.;
IV, V, VI, VIII, X конференции студентов, аспирантов и молодых учёных ФПМ КубГУ "Прикладная математика XXI века", КубГУ, Краснодар, 2004-2010 гг.;
II Всероссийская научная конференция молодых учёных и студентов "Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах", Анапа, октябрь 2005 г.;
Третья научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН, Ростов-на-Дону, сентябрь 2007 г.;
Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", пансионат "Университетский" МГУ им. М. В. Ломоносова, Московская область, 24 февраля - 2 марта 2008 г.;
1-я Европейская конференция по микротечениям "Microfluidics 2008", Бо-лонский университет, Болонья, Италия, 10-12 декабря 2008 г.;
Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", пансионат "Звенигородский" Российской Академии наук, Московская область, 28 февраля - 7 марта 2010 г.
и на следующих семинарах:
IV школа-семинар "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", КубГУ, Краснодар, 2006 г.;
Семинар лаборатории природных процессов и сред ЮНЦ РАН, КубГУ, Краснодар, 9 октября 2006 г.;
XVI школа-семинар Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова "Современные проблемы аэрогидродинамики", МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 6-16 сентября 2010 г.
Проведённые исследования были поддержаны научным фондом РФФИ:
Российский фонд фундаментальных исследований, проект № 05-08-33585-а "Создание теории и математических моделей тепломассоперено-са в течениях с поверхностью раздела фаз" (исполнитель), 2005-2007 гг.;
Российский фонд фундаментальных исследований, проект № 06-01-96647-р_юг_а "Нелинейная динамика трёхмерных солитонов и поверхностная турбулентность в стекающей плёнке вязкой жидкости" (исполнитель), 2006-2008 гг.
За доклад на международной конференции "НеЗаТеГиУс и турбулентность" 2010 г. автор удостоен Почётной грамоты лауреата конференции.
Публикации. Основное содержание и результаты исследования изложены в пятнадцати работах [1-15], в том числе в трёх работах [1-3] в рекомендованных ВАК журналах. В работах [1-11,14,15] автору диссертации принадлежит вывод основных соотношений и формул, построение основных алгоритмов решения задачи, составление комплексов программ, получение и анализ результатов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (147 наименований) и двух приложений. Общий объём диссертации — 141 страница, включая 29 рисунков и 7 таблиц.
