Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света в протяженной среде 12
1.1. Модель ВКР-активной среды. Эволюционные уравнения для амплитуд когерентных состояний 12
1.2. Поляризованность среды. Уравнение для амплитуд падающего и рассеянного полей 20
1.3. Уравнения нестационарного ВКР с использованием матрицы плотности. Постановка задачи 25
1.4. Масштабы времени, длины, напряженности электрического поля, энергии. Уравнения нестационарного ВКР в безразмерном виде 29
Глава 2. ВКР-усиление света при линейном взаимодействии основной, стоксовой и антистоксовой волн 33
2.1. Уравнения линейного взаимодействия волн накачки, Стокса и анти-Стокса 34
2.2. Близкие рамановские поляризуемости. Сведение к упрощенной системе уравнений 36
2.3. Близкие рамановские поляризуемости. Построение решения методом последовательных приближений 37
2.4. Неравные рамановские поляризуемости. Сведение задачи к уравнениям гиперболического типа при q = 0 52
2.5. Неравные рамановские поляризуемости. Решение уравнений методом Римана-Вольтерра при q = 0 54
2.6. Неравные рамановские поляризуемости. Явный вид решения при сильной нестационарности взаимодействия света с ВКР-средой. Случай q = 0 59
2.7. Неравные рамановские поляризуемости. Результаты численного решения при q ФО 63
Глава 3. Методы численного решения уравнений нестационарного ВКР. Нелинейное взаимодействие волн 68
3.1. Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: неявная схема 69
3.2. Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: приближенная явная схема 79
3.3. Проявления нелинейного члена, пропорционального разности поляризуемостей молекулы 84
3.4. Переход от линейного взаимодействия к нелинейному. Нелинейное ВКР при строгом фазовом согласовании 88
3.5. Нелинейное ВКР при фазовом рассогласовании 100
Заключение 108
Библиографический список 110
Приложение 120
- Поляризованность среды. Уравнение для амплитуд падающего и рассеянного полей
- Близкие рамановские поляризуемости. Сведение к упрощенной системе уравнений
- Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: приближенная явная схема
- Переход от линейного взаимодействия к нелинейному. Нелинейное ВКР при строгом фазовом согласовании
Введение к работе
J Одним из важных оптических эффектов является вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) света, открытое Вудбери и Нгом в 1962 г. Оно наблюдается при облучении различных ВКР-сред [6, 39, 40, 47, 87, 88, 92, 94, 98, 103] лазерным излучением. В зависимости от параметров излучения и характеристик среды возможны различные виды или режимы ВКР. Когда длительность импульса накачки значительно превосходит время релаксации макроскопического дипольного момента, то реализуется так называемое стационарное ВКР, свойства которого в значительной степени установлены [55].
Менее исследованным является так называемое переходное или нестационарное ВКР [5, 14, 19, 20, 30, 40, 41, 46-48, 55, 56, 65-73, 75, 76, 85, 86,193, 95, 96, 97, 99, 106, 107, 108, 109, 112, 117-121]. Оно имеет место, если взаимодействие излучения со средой происходит за очень малый промежуток времени, так что наведенная макроскопическая поляризованность отстает по времени от пиковых значений полей возбуждающего излучения. В общем случае нестационарное ВКР описывается системой укороченных волновых уравнений для амплитуд электрических полей, число которых зависит от параметров задачи, и эволюционных уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы, моделирующей молекулу ВКР-среды [85, 105-107]: Йри самых общих предположениях это система нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными для величин комплексной природы, зависящих от пространственных и временных переменных. Неизвестные функции входят в правую часть уравнений в квадратичной либо кубической форме. Таким образом, масштабы и степень трудности решения задачи определяются числом уравнений и степенью их нелинейности.
Если длина системы меньше определенной [65, 72], а мощность лазерного излучения не столь высока [4, 85], то реализуется ситуация, когда изменением населенностей уровней и амплитуды возбуждающего поля можно пренебречь. В этом случае задача становится линейной [5, 14, 21, 30, 41, 64, 74, 85, 86, 93, 95, 96, 98, 99, 106-109, 112, 115, 116, 121]. В пренебрежении антистоксовым излучением система оставшихся нестационарных уравнений для амплитуды стоксового поля и недиагонального элемента матрицы плотности эффективной двухуровневой системы имеет аналитическое решение [4, 85, 92, 93, ПО, 122]. При учете антистоксовой компоненты соответствующая задача решена аналитически лишь в частном случае импульса накачки ступенчатой формы в существенно нестационарном приближении и при строгом фазовом согласовании взаимодействующих волн [105-108]. При общих предположениях относительно формы возбуждающего импульса и соотношения между его длительностью и временем фазовой памяти ВКР молекул аналогичная линейная задача решалась только численно [28, 74]. Если учесть истощение накачки в процессе ВКР, т.е. при условии слабой нелинейности, то в этом случае, даже в отсутствии антистоксовой составляющей задача имеет лишь численное решение [86, 97, 99, 108, 109, 112].
При больших длинах системы и высокой мощности накачки задача становится существенно нелинейной. ВКР приобретает ряд принципиально новых черт. В частности, возможно существование уединенных устойчивых волн' на" стоксовой частоте, так называемых солитонов ВКР. Различные виды солитонных решений получены в [116-120]. Кроме того, интенсивность рассеянного света начинает зависеть от числа рассеивающих центров нелинейным образом. Соответствующий тип рассеяния называют кооперативным ВКР [19, 20, 40, 46-48, 55, 56, 65-73, 75,76]. Уравнения кооперативного ВКР могут быть решены только численно, либо путем сведения к более простой системе уравнений [19, 20, 40, 47, 48, 65], либо
применением методов прямого решения к непреобразованным уравнениям [66-74]. Такая нелинейная задача решена лишь в трехволновом приближении в условиях строгого фазового согласования возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн [66-74].
Актуальность темы. Исследование нестационарных оптических явлений представляет собой интенсивно развивающуюся область нелинейной оптики. Одно из направлений таких исследований — определение условий генерации и усиления мощных ультракоротких импульсов электромагнитного излучения с перестраиваемой частотой в процессе нестационарного ВКР. Поскольку в об-щем случае инспирируется большое число компонент ВКР, то для более кор-ректного описания этого явления актуальным, прежде всего, является создание модели, учитывающей многоволновой характер процесса. Первая модель такого рода была предложена Хикманом Х.П., Пейзнером Д.Н. и Бишелем В.К. в конце 80-х годов 20 века. Однако эта модель не учитывает всех факторов,' влияющих на процессы генерации и усиления излучения в процессе ВКР.
Еще более сложной задачей является решение предложенных уравнений. Здесь, как правило, используются либо двухволновое (волны накачки и Стокса), либо трехволновое (волны накачки, Стокса и анти-Стокса) приближение. Основные результаты при таком подходе получены численным путем. Аналитические решения в ряде случаев получены Ахманбвым С.А., Драбовичем К.Н., Сухоруковым А.П., Чиркиным А.С. и Карманом Р.Л., Шимизу Ф., Вангом К.С. Поэтому актуальной является разработка новых аналитических методов решения уравнений нестационарного ВКР.
При постановке проблемы получения наиболее интенсивных и коротких импульсов на смещенной частоте приобретает актуальность исследование нестационарного ВКР при больших длинах усиливающей среды" и высоких мощностях накачивающего излучения. В этом случае процессы в нестацио-нарном ВКР становятся существенно нелинейными с
участием большего числа волн. При этом аналитические подходы практически неприменимы, и актуальным становится разработка численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными большого порядка. Поскольку нужные эффекты обнаруживают себя по достижении большого числа итераций, то для решения поставленной задачи требуется метод с абсолютной устойчивостью и высокой точностью аппроксимации исходных уравнений. Не менее важным является также разработка интегральных критериев точности решения рассматриваемых уравнений.
- Целью 'диссертационной работы является исследование различными методами математической модели нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния. Она достигается решением следующих задач:
1. Обобщение модели попутного нестационарного вынужденного
комбинационного рассеяния.
2. Численное решение уравнений линейного взаимодействия основной,
стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и
слабых полей, когда истощением основной волны и изменением населенностей уровней можно пренебречь.
3. Аналитическое решение линейной задачи в условиях полного
' ' фазового согласования взаимодействующих волн и . неравных
' поляризуемостей молекул ВКР-среды, а также в условиях фазового
пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостей молекул ВКР-среды.
4. Разработка метода численного решения системы нелинейных
укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом
запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности
эффективной двухуровневой системы. Оценка точности
соответствующей аппроксимации и поиск условий устойчивости
предложенной вычислительной схемы.
5. Исследование численными методами нелинейного усиления ВКР-компонент различного порядка.
Методы исследования. При проведении исследований использовались методы математической физики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также вычислительный эксперимент. Использовались как аналитические методы (метод Римана-Вольтерра, метод рядов со специальными функциями), так и численные методы с применением косоугольной сетки.
Научная новизна. Впервые построена математическая модель попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, учитывающая компонент, ответственный за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющийся при изменении населенностей уровней. Эта модель была исследована в линейном и нелинейном случаях в условиях как фазового синхронизма, так и рассогласования фаз. Разработан и апробирован метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Произведена 'оценка точности соответствующей аппроксимации и найдены условия' устойчивости предложенной вычислительной схемы. Проведена программная реализация разработанной вычислительной схемы.
Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для теоретических и экспериментальных исследований по нелинейной оптике. В частности, они могут быть использованы для выяснения оптимальных условий получения сверхкоротких импульсов большой мощности с варьируемой несущей частотой, оценки стабильности параметров излучения однопроходных комбинационных лазеров, определения констант поперечной релаксации, дипольных моментов и сечений комбинационного рассеяния атомных и молекулярных систем. Кроме того, возможно использование
разработанного программного комплекса в научных исследованиях и в учебном процессе в высшей школе при подготовке студентов различных специальностей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации
докладывались на Восьмой международной конференции
«Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008 г.), на Международном оптическом конгрессе «Оптика - XXI век» (Санкт-Петербург, 2008 г.), на научной конференции «Огаревские чтения» (Саранск, 2007 г.), на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск, 2008 г.).
Личный вклад автора. Предложенные в работе новые математические модели и их программная реализация в виде алгоритма и компьютерного кода принадлежат автору.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в работах [77],[78],[79],[80],[81],[82],[83].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, библиографического списка и приложения.
- ( Во введении к диссертационной работе обосновывается актуальность темы, определяются цели проводимых исследований, формулируется научная новизна, приводится структура диссертации.
В Главе 1 строится математическая модель нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния света в протяженной среде в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
1 " В разделе 1.1 рассмотрены базовые понятия и определения предметной области, выведены эволюционные уравнения для амплитуд когерентных состояний эффективной двухуровневой системы.
В разделе 1.2 получены уравнения для амплитуд падающего и рассеянного полей на основе уравнения.
В разделе 1.3 приведены уравнения нестационарного ВКР с использованием матрицы плотности. Поставлена одномерная краевая задача о нестационарном ВКР импульсного лазерного излучения.
В разделе 1.4 приведены уравнения нестационарного ВКР в безразмерном виде. Оценены масштабы базовых параметров системы -времени процесса, длины системы, напряженности электрического поля, энергии излучения.
В Главе 2 рассматривается ВКР-усиление света при линейном взаимодействии основной, стоксовой и антистоксовой волн.
В разделе 2.1 поставлена краевая задача линейного взаимодействия волн накачки, Стокса и анти-Стокса в режиме усиления.
В разделе 2.2 линейная система уравнений упрощена с учетом близких рамановских поляризуемостей.
В разделе 2.3 строится решение линейной системы методом последовательных приближений с применением аппарата числовых рядов с использованием сферических функций Бесселя.
В разделе 2.4 производится сведение задачи к уравнениям гиперболического типа при полном фазовом согласовании.
В разделе 2.5 приводится решение уравнений гиперболического типа методом Римана-Вольтерра.
В разделе 2.6 найден явный вид решения уравнений взаимодействия света с ВКР-средой в случае, когда длительность импульса накачки гораздо меньше времени поперечной релаксации в рамановском переходе. Произведен анализ полученного решения.
В разделе 2.7 численным путем установлено оптимальное значение угла антистоксовой параметрической генерации.
В Главе 3 рассмотрены различные методы численного решения уравнений нестационарного ВКР в условиях нелинейного взаимодействия волн.
В разделе 3.1 описана неявная схема численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР с двухслойной сеткой. Исследована устойчивость схемы.
В разделе 3.2 описана приближенная явная схема численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР с двухслойной сеткой.
В разделе 3.3 исследуются свойства нелинейного члена, пропорционального разности поляризуемостей молекулы.
В разделе 3.4 произведен переход от случая линейного взаимодействия к нелинейному при строгом фазовом согласовании. Приведены некоторые результаты проведенных численных экспериментов в графическом виде.
В разделе 3.5 рассмотрено нелинейное ВКР в условиях фазового рассогласования. Приведены некоторые результаты проведенных численных экспериментов в графическом виде.
В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.
В приложении приводится фрагмент текста программы Cascad, предназначенной для проведения вычислительных экспериментов на базе математической модели нелинейного попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния.
Поляризованность среды. Уравнение для амплитуд падающего и рассеянного полей
Исследование нестационарных оптических явлений представляет собой интенсивно развивающуюся область нелинейной оптики. Одно из направлений таких исследований — определение условий генерации и усиления мощных ультракоротких импульсов электромагнитного излучения с перестраиваемой частотой в процессе нестационарного ВКР. Поскольку в об-щем случае инспирируется большое число компонент ВКР, то для более кор-ректного описания этого явления актуальным, прежде всего, является создание модели, учитывающей многоволновой характер процесса. Первая модель такого рода была предложена Хикманом Х.П., Пейзнером Д.Н. и Бишелем В.К. в конце 80-х годов 20 века. Однако эта модель не учитывает всех факторов, влияющих на процессы генерации и усиления излучения в процессе ВКР.
Еще более сложной задачей является решение предложенных уравнений. Здесь, как правило, используются либо двухволновое (волны накачки и Стокса), либо трехволновое (волны накачки, Стокса и анти-Стокса) приближение. Основные результаты при таком подходе получены численным путем. Аналитические решения в ряде случаев получены Ахманбвым С.А., Драбовичем К.Н., Сухоруковым А.П., Чиркиным А.С. и Карманом Р.Л., Шимизу Ф., Вангом К.С. Поэтому актуальной является разработка новых аналитических методов решения уравнений нестационарного ВКР.
При постановке проблемы получения наиболее интенсивных и коротких импульсов на смещенной частоте приобретает актуальность исследование нестационарного ВКР при больших длинах усиливающей среды" и высоких мощностях накачивающего излучения. В этом случае процессы в нестацио-нарном ВКР становятся существенно нелинейными с участием большего числа волн. При этом аналитические подходы практически неприменимы, и актуальным становится разработка численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными большого порядка. Поскольку нужные эффекты обнаруживают себя по достижении большого числа итераций, то для решения поставленной задачи требуется метод с абсолютной устойчивостью и высокой точностью аппроксимации исходных уравнений. Не менее важным является также разработка интегральных критериев точности решения рассматриваемых уравнений. - Целью диссертационной работы является исследование различными методами математической модели нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния. Она достигается решением следующих задач: 1. Обобщение модели попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния. 2. Численное решение уравнений линейного взаимодействия основной, стоксовой и антистоксовой волн для относительно коротких систем и слабых полей, когда истощением основной волны и изменением населенностей уровней можно пренебречь. 3. Аналитическое решение линейной задачи в условиях полного фазового согласования взаимодействующих волн и . неравных поляризуемостей молекул ВКР-среды, а также в условиях фазового пространственного рассогласования и близких рамановских поляризуемостей молекул ВКР-среды. 4. Разработка метода численного решения системы нелинейных укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы.
Оценка точности соответствующей аппроксимации и поиск условий устойчивости предложенной вычислительной схемы. 5. Исследование численными методами нелинейного усиления ВКР-компонент различного порядка. Методы исследования. При проведении исследований использовались методы математической физики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, а также вычислительный эксперимент. Использовались как аналитические методы (метод Римана-Вольтерра, метод рядов со специальными функциями), так и численные методы с применением косоугольной сетки. Научная новизна. Впервые построена математическая модель попутного нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния, учитывающая компонент, ответственный за нелинейный вклад в поляризованность среды и проявляющийся при изменении населенностей уровней. Эта модель была исследована в линейном и нелинейном случаях в условиях как фазового синхронизма, так и рассогласования фаз. Разработан и апробирован метод численного решения систем укороченных волновых уравнений для амплитуд полей с учетом запаздывания и уравнений для элементов матрицы плотности эффективной двухуровневой системы. Произведена оценка точности соответствующей аппроксимации и найдены условия устойчивости предложенной вычислительной схемы. Проведена программная реализация разработанной вычислительной схемы. Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для теоретических и экспериментальных исследований по нелинейной оптике. В частности, они могут быть использованы для выяснения оптимальных условий получения сверхкоротких импульсов большой мощности с варьируемой несущей частотой, оценки стабильности параметров излучения однопроходных комбинационных лазеров, определения констант поперечной релаксации, дипольных моментов и сечений комбинационного рассеяния атомных и молекулярных систем. Кроме того, возможно использование
Близкие рамановские поляризуемости. Сведение к упрощенной системе уравнений
Ранее было показано в разделах 2.3-2.6, что при q = О возможно аналитическое решение уравнений (2.1.19) - (2.1.21). Если же q = О, то решить эти уравнения можно только численно. Расчеты показывают, что при условии (2.7.4) в целом испускание стоксова и антистоксова излучения происходит примерно по тем же законам (рис. 2.6 и 2.7). Однако, если при условии (2.2.1) в направлении угла 0О ни стоксова, ни антистоксова волны не усиливались, то при условии (2.7А) существует область излучения параметра ах =//j///0 такая, что при О ах а наоборот наиболее интенсивное испускание как стоксова, так и антистоксова излучения происходит именно в этом направлении (рис. 2.8 при д«0.3). В этом случае усиление света при ВКР хорошо описывается ранее полученными решениями (2.6.7), (2.6.8). И лишь при ах а снова возможны значения параметра q = qm ФО, при которых антистоксова генерация происходит наиболее успешно.
Однако при условии (2.7.4) значения qm и соответствующие им значения углов в меньше, чем при условии (2.1). Оказалось, что с ростом ах оптимальное значение qm увеличивается (рис. 2.8), и когда рамановские поляризуемости сближаются, достигает максимума (рис. 2.3). В общем случае даже численное решение краевой задачи (3.1.3) - (3.1.12) невозможно. Однако существуют приближенные методы ее решения. В настоящей главе рассматриваются два таких метода. Приближение состоит либо в линеаризации исходных уравнений и последующем использовании неявных схем различной степени точности, либо в использовании приближенных методов решения соответствующих нелинейных алгебраических уравнений с предельной точностью, не превосходящей 0(h3) на каждом шаге интегрирования, вовлекая явную схему. Для решения краевой задачи (3.1.3) - (3.1.12) применяется один из приближенных методов численного решения уравнений в частных производных - метод сеток (рис. 3.1). Непрерывные переменные Е,, г и х заменяются дискретными наборами к, j и к- j, так что В, =kh, г = jh, % — т-, = (j-k)h, где к — целочисленный индекс по координате {к = 0,l,2,...,w; n = l/h),j — целочисленный индекс по времени (у = 0,l,2,...,m; т = TprocJh, тргос - безразмерное время процесса), h — шаг интегрирования. Здесь используем двухслойную схему интегрирования. Первый слой -совокупность узловых точек, в которых определяются значения искомых функций в момент времени Tj - jh (диагональ j на рис. 3.1). Второй слой совокупность узловых точек, в которых определяются значения искомых функций в момент времени zjH=(j + l)h (диагональ j+ \ на рис. 3.1). Производится приближенное интегрирование уравнений на целых отрезках длиной h, связывающих узловые точки на соседних диагоналях. При использовании для такого интегрирования формулы трапеций имеем:
Двухслойная сетка численного интегрирования уравнений нестационарного ВКР: приближенная явная схема
Уравнения (3.1.13) - (3.1.15), (3.1.18) - (3.1.21) можно решить приближенно с использованием явной схемы. Для этого необходимо сделать так, чтобы в правой части уравнений (3.1.13) - (3.1.15), (3.1.18), (3.1.19) содержались величины, вычисленные в момент времени Tj=jh, т.е. на диагонали j, а в левой части определялись величины со значениями в момент времени rJ+l = (j + \)h, т.е. на диагонали у +1. В начальный момент времени т — 0 известны значения величин ss (О,0), а(0,0), р(0,0), Q(k,-k), W{k,-k) {к = 0,1,...,п). Эти значения заполняют диагональ у = 0. Затем в результате вычислений находятся значения этих величин в момент времени т-h, т.е. значения s(0,l), 5(1,0), єа(0,1), а(1,0), (0,1), ,(1,0), Q{k,-k + \), W(k,-k + l) (A: = 0,1,..., л). Эти значения заполняют диагональ j = 1 и т.д. При этом полагается, что в начальный момент времени поля в образце нет, т.е. є5(к,-к) = 0, єа(к,-к) = 0, єр(к,-к) = 0 (к = 1,...,п). Поле проникает в образец слева направо за один шаг на расстояние, равное h . Данную схему вычислений можно реализовать следующим образом. При проведении приближенного интегрирования уравнений (3.1.3) - (3.1.7) на малых участках длиной h пользоваться не формулой трапеций, а формулой прямоугольников. Это дает Легко видеть, что данная явная схема имеет точность аппроксимации 0(h2) на каждом шаге интегрирования. Однако точность явной схемы можно повысить.
Для этого найденные значения полей: ss(k,j-k), sa(k,j-k), sp(k,j-k), поляризованности Q{k,j — k) и разности населенностей W(k,j-k) согласно формул (3.2.1) -(3.2.5) подставляем на каждом шаге в правую часть уравнений (3.1.13) -(3.1.15), (3.1.18), (3.1.19). Другими словами, в данной явной схеме реализуется метод «прогноз-коррекция». По формулам (3.2.1) — (3.2.5) рассчитываются грубые значения величин ер (к +1, j - к),..., W(k +1, j - к), а затем по формулам (3.1.13) — (3.1.15), (3.1.18), (3.1.19) происходит их уточнение. Легко видеть, что последняя явная схема «прогноз-коррекция» имеет точность аппроксимации 0(h3) на каждом шаге интегрирования. Наряду с локальной ошибкой, допускаемой на каждом шаге интегрирования, важное значение имеет интегральная ошибка, накапливающаяся по прошествии некоторого промежутка времени. За меру такой ошибки берут степень отклонения интеграла движения, имеющегося у системы, от его известного по краевым условиям значения. Здесь в роли такого интеграла движения выступает полная энергия системы «поле-образец». Покажем, что уравнения (3.1.3) — (3.1.7) имеют интеграл движения. Для этого вернемся в них к обычному безразмерному времени т. Имеем: дє„ дег Помножим уравнение (3.2.6) на є р, а комплексно-сопряженное ему уравнение - на єр, и суммируем полученные уравнения. В итоге получим: электромагнитной энергии, вышедшей из образца, и количеству электромагнитной энергии, запасенной в образце. При т2 = оо имеется еще один интеграл движения. Найдем его. Для этого помножим уравнение (3.2.9) на Q , а комплексно-сопряженное ему уравнение — на Q и сложим полученные уравнения. Таким образом Соотношения (3.2.15), (3.2.19) и (3.2.21) и позволяют осуществлять интегральный контроль точности решения уравнений (3.2.6) - (3.2.10), а значит уравнений (3.1.3) - (3.1.7). До сих пор мы рассматривали взаимодействие лишь трех волн: накачки, первой стоксовой и первой антистоксовой компонент. Обратимся к более общему случаю: у = 0,±1,±2. Тогда система уравнений (1.4.6) — (1.4.8) главы 1 примет вид:
Переход от линейного взаимодействия к нелинейному. Нелинейное ВКР при строгом фазовом согласовании
Рассмотрим ситуацию, когда в уравнениях (1.4.6) — (1.4.8) главы 1 слагаемыми, пропорциональными параметрам Ъ} (_/ = 0,±1,±2,...), можно пренебречь. Как мы видим в разделе 3.3, учет этих членов приводит лишь к смещениям в спектре компонент ВКР, но не влияет на динамику интенсивности излучения и заселения уровней. В настоящем разделе обратимся к наиболее простому случаю: 3=0 (у = 0,±1,±2,...). При этих условиях между волнами по мере прохождения ими среды дополнительной разности фаз не возникает. Следовательно, если волны є синхронизированы на входе в образец, то они остаются такими же и по мере их распространения через ВКР-среду. Результаты численного решения полностью подтверждают эти предположения (рис. 3.1-3.18). Если входное поле накачки 0) не очень сильное, т.е. Е 0) 0,ШК (fo0) 0,l), а длина системы не очень большая, т.е. L LR (1-ї), то взаимодействие волн носит линейный характер. Зависимость IJ(T) SJ(1,T)\ li j имеет монотонно возрастающий характер, причем значимыми являются лишь две компоненты ВКР с у = -1 и У = 1, т.е. первая стоксова и первая антистоксова компоненты. Компонента с j = —2 примерно на 2, а компонента с j = 2 примерно на 4 порядка меньше по интенсивности по сравнению с компонентами с у = ±1 (рис. 3.1-3.4). Степень истощения накачки, т.е. величина 0 = (h(/,r)f -Cf)/Cf и степень возбуждения средь, хт = 22 = ni} W) т-е- малы (рис. 3.5-3.6), т.е. є0( ,т)«г0(0,т), а fF(,r)«fF(,0)«l. Однако с ростом интенсивности импульса накачки, т.е. величины SQ0) отклонения х0 и хт становятся все заметней и не учитывать нелинейный характер взаимодействия волн со средой становится невозможным (рис 3.7-3.18). Однако, по прежнему 12 : 1__2 «: /±1, т.е. актуальным является учет взаимодействия лишь трех волн: накачки, первой стоксовои и первой антистоксовой компонент.
Такой случай назовем нелинейным режимом первого рода (рис. 3.7-3.12). Его можно реализовать либо повышением интенсивности накачки, т.е. увеличением поля є 0), либо ростом размера среды вдоль которого происходит усиление, т.е. увеличением длины /. Обе ситуации однотипны. Мы приводим результаты численного решения уравнений (1.4.6) — (1.4.8) главы 1 при j = 0,+1 для второго случая (рис. 3.7-3.12). Из этих рисунков видно,, что с ростом / монотонный характер зависимости /Дг)- еу(/,г) /2гу нарушается, темп усиления ВКР-компонент падает с течением времени. В некоторый момент времени рост Ij сменяется их спадом: образуется характерная «колоколо-образная» структура стоксова и антистоксова импульсов. Эти импульсы синхронизированы во времени. Их генерации соответствует заметное ослабление импульса накачки и переход заметного числа молекул из основного состояния в возбужденное (рис. 3.11-3.12). При увеличении длины системы за первыми стоксовым и антистоксовым импульсами могут последовать вторые, третьи и т.д. Причем пиковые интенсивности этих импульсов непрерывно снижаются. В зависимостях г0(/,г) и W{r) наблюдаются соответствующие характерные последовательные «провалы». Однако, при рассматриваемых длинах, соответствующие отклонения в интенсивности накачки х0 и населенности уровней хт все еще составляют лишь порядка 10-30 процентов. Когда длина системы становится очень большой L 10LR (/ — 10), наступает нелинейный режим 2 рода (рис. 3.13-3.18). Для него характерно сильное истощение накачки (величина х0 в некоторые моменты времени близка к нулю), переход большей части молекул в возбужденное состояние (хт 1/2 или W 0). При этом первая и вторая стоксовы компоненты становятся сопоставимыми по интенсивности. Однако, вторая антистоксова компонента продолжает оставаться очень слабой {I_2/I_x 0,01). Таким образом, при наступлении нелинейного режима второго рода актуальными компонентами ВКР являются компоненты с у = 0,±1,-2, т.е. реализуется четырехволновое взаимодействие.
