Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод дополнительной вязкости 15
ГЛАВА 2. Теоретические основы расчета нелинейных деформаций гибких конструкций с учетом контакта 32
2.1 Сравнительный анализ различных методов 33
2.2 Уравнения нелинейного деформирования оболочек вращения 35
2.3 Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек вращения 40
2.4 Устойчивость оболочек с учетом пластических деформаций 43
2.5 Устойчивость полусферических оболочек 49
2.6 Устойчивость с учетом контактного взаимодействия 60
ГЛАВА 3. Расчет сварных сильфонов 67
3.1. Расчет сильфона с косинусоидальной гофрировкой мембран 67
ГЛАВА 4. Расчет мембран сильфонов различного профиля 72
4.1 Расчет сильфонов с учетом контакта между мембранами и жесткими вставками —72
4.2 Расчет вытеснительной емкости 82
Заключение 84
Литература
- Уравнения нелинейного деформирования оболочек вращения
- Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек вращения
- Устойчивость полусферических оболочек
- Расчет вытеснительной емкости
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время методы исследования в естественных науках существенно обогатились. Там где сложно, дорого или вообще невозможно производить физический эксперимент, прибегают к математическому моделированию. И, если раньше моделирование ограничивалось только аналитическими методами, то с появлением вычислительной техники появился новый способ исследования -вычислительный эксперимент. То, что невозможно получить аналитически, зачастую легко моделируется на ЭВМ. Кроме того, вычислительный эксперимент гораздо дешевле физического, а если требуется серия исследований, то применение ЭВМ становится еще более привлекательным. Особенно вычислительный эксперимент необходим там, где есть угроза жизни человека. С помощью вычислительного эксперимента можно смоделировать поведение опасного объекта в различных условиях, дать практические рекомендации обеспечения для условий безопасной работы и т.д.
Большинство задач механики невозможно решить явно в аналитическом виде. Связано это с нелинейностью рассматриваемых уравнений. Сложности также встречаются на пути формализации задачи и построения математической модели, поскольку физическая постановка задачи не всегда формализована и может включать множество дополнительных факторов. Адекватность построенной модели и использованных методов моделирования должны проверяться путем сравнения с результатами экспериментов, других расчетов, аналитических выкладок.
Модели в основном строятся как численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. Для решения таких задач используется численное моделирование. При численном моделировании осуществляется переход от непрерывной модели, выражающейся в записи исходной системы дифференциальных уравнений и граничных условий, к дискретной модели, представляющей собой систему алгебраических уравнений большой размерности, получаемую на основе различных разностных схем исследуемых уравнений. В дискретных моделях дифференцирование заменяется разностными операторами, интегрирование -суммированием и т.д.
В данной работе приводятся методы и алгоритмы для расчета гибких элементов. Использование гибких элементов (типа сильфонов, оболочек при больших перемещениях) в различных узлах современной техники, включая конструкции и агрегаты нефтяной и газовой отрасли, позволяет наиболее эффективно решать ряд проблем, таких как, например, сопряжение жестких конструкций, измерение давления, возможность работы при большом количестве циклов нагружен ия. Это обуславливает необходимость разработки уточненных методов их расчета. Наилучшие результаты получаются при использовании геометрически нелинейной теории, однако, при решении таких задач возникают значительные трудности, связанные с . неоднозначностью решений, наличием особых точек, плохой обусловленностью систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому разработка эффективных численных методов для решения указанных выше задач весьма актуальна.
При решении задач устойчивости может возникнуть потребность учета взаимодействия оболочки либо с препятствием (жестким или имеющим свой закон деформирования), либо с другой деформируемой оболочкой или с другой частью этой же оболочки. В таком случае необходимо определять ее форму с учетом контактного взаимодействия и вычислять дополнительное давление в зоне контакта. Это требует усложнение алгоритма расчета нелинейных деформаций и устойчивости оболочек.
При квазистатическом нагружении для устойчивых ветвей можно пренебречь компонентами, зависящими от вязких и динамических сил. Часто и переходной процесс рассматривается как статический, при котором этими компонентами так же пренебрегают, а внешняя нагрузка становится неизвестной величиной, в этом случае приходится следовать вдоль статической кривой деформирования, выбирать независимые параметры решения и искать способы обхода особых точек.
При построении алгоритмов решения нелинейных задач деформирования и устойчивости оболочек можно пойти и по другому пути -пренебречь кинетической составляющей, оставив при этом вязкую как для устойчивых ветвей, так и для переходного процесса. Этот метод носит название метода дополнительной вязкости (Якушев В,Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек). Вязкость в этом случае может рассматриваться не как реальное свойство материала, а как средство для получения непрерывного решения во времени при переходном процессе. Такой подход дает ряд вычислительных преимуществ, поскольку решение зависит только от одного параметра - времени, нет необходимости искать способы обхода особых точек, а на каждом временном слое рассматривается линейная эллиптическая задача, методы решения которой достаточно хорошо разработаны. Можно построить единый итерационный процесс для расчета нелинейных деформаций и устойчивости тонкостенных элементов, хорошо сходящийся около особых точек и позволяющий по единому алгоритму провести расчет нелинейных деформаций оболочки, устойчивых до- и закритических состояний, верхних и нижних критических нагрузок.
Цели и задачи диссертационной работы. Разработка комплекса алгоритмов и программ для численного моделирования нелинейных деформаций гибких конструкций. Вычислительный комплекс проектировался для расчета сварных сильфонов различной сложности и устойчивости полусферических оболочек с учетом контакта.
Научная новизна работы.
1. Предложены математические модели для расчета сварных сильфонов с учетом контактного взаимодействия; 2. Создан вычислительный комплекс для решения нелинейных задач деформаций гибких конструкций с учетом контактного взаимодействия. В нём реализованы технологии распараллеливания составляющих его . вычислительных алгоритмов.
Научная и практическая ценность работы. Разработанный вычислительный комплекс может использоваться для решения широкого круга научно-практических задач. В частности, для расчета сильфонов различных типов с учетом контактного взаимодействия, разработки алгоритмов решения контактных задач.
Апробация результатов работы. Материалы, отражающие содержание диссертационной работы опубликованы в работах [30 — 33], а так же докладывались на следующих научных конференциях:
На XLVI научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2003);
На региональной научно-практической конференции ТюмГНГУ "Информационные технологии в образовании", (Тюмень, 2004).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация изложена на 90 страницах, включает 5 таблиц и 25 рисунков. Список литературы содержит 80 наименований.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна, сформулированы цели и задачи, формулируются основные результаты работы.
В первой главе подробно изложены математические модели для расчета гибких конструкций. Выполнен обзор работ по теме исследований.
Вторая глава посвящена вопросам контактного взаимодействия. Приведен алгоритм расчета нелинейных деформаций гибких конструкций с учетом контакта. Сейчас известен ряд алгоритмов для решения контактного взаимодействия деформируемых тел. Чтобы упростить решение в случае несовпадающих сеток, приведена схема "сквозного счета" без явного определения зоны контакта, использующая метод, основанный на введении силы дальнодействия, действующей на элемент оболочки.
В третьей главе приведен пример расчета сварного сильф она с косинусоидальной гофрировкой мембран. Используя метод, описанный во второй главе, был проведен полный расчет напряженно-деформированного состояния пластин сильфона.
В последней главе приведен расчет вытеснительной емкости для жидкости, представляющей собой цилиндрический бак, внутри которого находится стальной сильфон со сферическим резиновым днищем. С точки зрения расчета на прочность наиболее сложными элементами конструкции являются сильфон и резиновое днище. Одновременно определяется необходимый перепад давления для выталкивания жидкости без учета гидродинамического сопротивления.
На защиту выносятся:
Математические модели для расчета сварных сильфонов с учетом контактного взаимодействия.
Разработанные численные алгоритмы и их программная реализация для решения нелинейных задач деформаций гибких конструкций с учетом контактного взаимодействия.
Численное моделирование нелинейных деформаций сварного сильфона с косинусоидальной гофрировкой мембран.
Численное моделирование нелинейных деформаций сильфона и резинового днища вытеснительной емкости.
Исследования по устойчивости тонкостенных конструкций при квазистатическом нагружении можно разделить на три группы с точки зрения учета в уравнениях инерционных сил и вязкости. Уравнения первой группы (динамические с учетом вязкости) были впервые использованы Феодосьевым [38] при рассмотрении потери устойчивости пологих сферических куполов. Во второй группе (уравнения с учетом вязкости, но без учета инерционных сил) существует два подхода к вязкости. При первом подходе вязкость рассматривается как реальное свойство материала. При втором - вязкость рассматривается как дополнение к статическим уравнениям для обеспечения непрерывности решения при переходном процессе. Она может вводиться либо в реологические уравнения, либо в виде дополнительных внешних сил, пропорциональных скоростям перемещения точек срединной поверхности оболочки.
Статические нелинейные задачи, относящиеся к третьей группе, решаются либо методом продолжения по параметру, либо итерационными способами. Анализ публикаций показывает, что это наиболее часто используемый метод решения подобных задач.
Автором диссертации использован метод дополнительной вязкости, предложенный Якушевым В. Л. [53], в котором вязкость вводится специальным образом для обеспечения непрерывности решения при переходе от докритического к закритическому состоянию.
Из многочисленных теоретических и экспериментальных работ известно, что характер поведения оболочек при потере устойчивости чрезвычайно сложен и определяется многими факторами: геометрией, видом нагружения, условиями закрепления и т. п. Изначально симметричные сферические оболочки, как правило, теряют устойчивость несимметричным образом, при этом на докритической стадии могут наблюдаться осесимметричные прогибы порядка толщины оболочки. Поэтому осесимметричные решения имеют смысл, прежде всего для сравнительно толстостенных или тонкостенных на начальной стадии деформирования, или специально изготовленных с малыми начальными неправильностями оболочек. Например, А.В. Погорелов провел эксперименты с медными сферическими оболочками, изготовленными путем напыления на специальную сферическую подложку. Их результаты показали, что критические нагрузки близки к теоретическим для осесимметричной потери устойчивости.
Существует большое количество публикаций об осесимметричной устойчивости пологих и непологих оболочек вращения, и прежде всего о сферических куполах. Нелинейность уравнений теории оболочек и, как следствие, многозначность решений приводят к тому, что указанная задача до сих пор не решена в общем виде и поэтому не утратила своей актуальности. Среди работ, посвященных различным ее аспектам, следует отметить работы Феодосьева В.И. [38], И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [12], Мескола Д. [72], Валишвили Н.В., Стегния В.Н. [4], Григолюка Э.И., Мамая В,И., Фролова А.Н. [21], Бауэра Л. и др. [65], Срубщика Л.С, [36]. Состояние проблемы, трудности численного решения отражены в статьях Григолюка Э.И., Мамая В.И. [19, 20], Арбокза Д. [64], Борншауэра Ф. [66]^ Бушнела Д. [67], Фэмили Д. и Арчера Р. [68]. Решению нелинейных задач на ЭВМ посвящена работа Григоренко Я.М. и Мукоеда АЛ. [22].
Сравнение теоретических и экспериментальных данных проводится в обзоре Григолюка Э.И и Мамая В.И. [17] и статье Сейши Ю. и др [76], работе Погорелова.
Первой работой, в которой содержится вывод уравнений для пологих сферических куполов, является работа К. Маргерра [71]. Уравнения Маргерра состоят из двух связанных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых являются перемещения и внутренние усилия.
Для исследования осесимметричного деформирования непологих оболочек вращения используются так же уравнения Э. Рейсснера для конечного перемещения тонких оболочек [72-74]. В качестве переменных в них приняты функция напряжений и угол поворота касательной к меридиану оболочки.
Многочисленные работы были посвящены разработке методов их решения, как аналитических, так и численных - конечных разностей и конечных элементов.
Сейчас одним из самых популярных методов является метод дифференцирования по параметру. Одним из первых к исследованию устойчивости сферической оболочки его применил Г. Терстон [78]. Затем различные модификации этого метода использовались многими авторами.
Григолюк Э.И. и Мамай В. И. [20] рассмотрели основные трудности численной реализации и возможности методов типа начальных параметров при исследовании нелинейного поведения тонких упругих оболочек. Эти методы существенно используют продолжение решения по параметру. В работе подробно рассматривается история развития этого направления и основные достижения. Обращено внимание на расходимость итерационных процессов Эйткена-Стеффенсона и Ньютона-Рафсона при грубом начальном приближении или достижении особых точек на кривой "нагрузка-прогиб". Для получения решения рекомендуется смена параметра продолжения.
Шилькрут Д,И. [41], а затем он же совместно с Вырланом П.М. [42] использовали для исследования задач устойчивости метод типа "стрельбы по параметрам". При использовании этого метода возникают вычислительные проблемы связанные с решением задачи Коши для плохо обусловленных систем. Поэтому его применение для тонких и непологих оболочек затруднительно, в особенности для больших интервалов интегрирования.
Келлер X. [69] предложил метод интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который сводится к заданию неизвестных начальных параметров, интегрированию задачи Коши и применению итерационного метода Ньютона для уточнения начальных параметров. Однако, с увеличением параметра Ъ и интервала интегрирования возникают затруднения в применении этого метода. Для получения решения часто используют прием Вейничке X. [79], когда интервал интегрирования разбивают на подинтервалы. В частности, этот прием широко использовался Валишвили Н. В. [3] для расчета оболочек вращения.
Уравнения Э. Рейсснера для случая действия сосредоточенных сил в вершине были проинтегрированы Месколлом Дж. [72] модифицированным конечно-разностным методом. Исследованию устойчивости сферических куполов посвящена работа Воровича И. И. и Минаковой Н. И. [14]. На основе полученных ими уравнений теории конечных перемещений оболочек и метода И.Г. Бубнова в высоких приближениях, им удалось получить вместо краевой - задачу Коши.
Феодосьев В.И. [39] методом начальных параметров рассмотрел выворачивание упругой замкнутой сферической оболочки.
Методом типа начальных параметров Бауэр Л. и др. [65] рассмотрели устойчивость нагруженных равномерным давлением защемленных по контуру полусферических оболочек различной степени тонкостенности. Связь "нагрузка-прогиб" имела сложный петлеобразный характер.
Григолюк Э.И., Мамай В.И. и Фролов А.Н. [21] исследовали осесимметричное поведение непологих сферических оболочек при различных видах нагружения и закрепления. Они сравнили три варианта уравнений теории конечных осесимметричных перемещений непологих тонких оболочек Э. Рейсснера, модифицированный более точный вариант этих уравнений и уравнения К. Маргера для пологих оболочек, проанализировали результаты решения по различным теориям. По мнению авторов наиболее приемлемым методом решения нелинейных краевых задач является сочетание шагового метода и ортогональной прогонки.
Выпучивание оболочек вращения и их закритическое поведение изучались Бураго Н.Г. и Кукуджановым В.Н. [2]. Ими был использован метод продолжения по параметру в сочетании со сплайн-аппроксимацией.
Осесимметричное деформирование шарнирно закрепленных по экватору полусфер под действием равномерного давления было рассмотрено КороваЙцевым А. В. Корнейчук Л.Г. рассмотрел устойчивость равномерно нагруженных полусферических оболочек при пластических деформациях [27].
Метод, основанный на применении метода Ньютона в сочетании с методом матричной прогонки и процедурой продолжения по параметру нагрузки, был применен Срубщиком Л.С. [36] для определения верхних критических нагрузок при осесимметричном прощелкивании сферических оболочек.
Послекритическому поведению оболочек посвящена также работа Вриггерс Р., Вагнер В. [80]. Для расчета вблизи предельных и бифуркационных точек рассматривалась расширенная система уравнений. Решение велось методом "длины дуги" в сочетании с итерационной обработкой по методу типа Ньютона с квадратичной сходимостью. В качестве примера рассмотрена устойчивость сферического сегмента под действием сосредоточенной силы в центре. Такая же задача была рассмотрена Кузнецовым В.В. и Левяковым СВ. [29].
Другой подход к решению задач устойчивости предложил Феодосьев В.И. [38], идея которого состоит в формальном учете в уравнениях равновесия инерционных и вязких сил. Из-за этого решение задачи сводится к рассмотрению динамического процесса, единственным параметром которого является время. Краевая задача на каждом шаге по времени решалась методом Бубнова при трехчленной полиноминальной аппроксимации прогиба. Таким образом удалось исследовать прямое и обратное прощелкивание пологих сферических куполов.
Обзор различных методов решения упругопластических задач и сравнение их эффективности дано в работах Угодчикова А.Г., Коротких Ю.Г., Капустина С.А., Санкова Е.И., Паутова А.Н. и Стриклина Д.А., Хайслера В.Е., Риземана В.А., в статье Ильюшина А.А. и Толоконникова
Л.А. Особое внимание уделено проблеме упруго-пластической устойчивости при сложном нагружении.
Зубчанинов В.Г. [25] рассмотрел достижения и проблемы в расчетах и экспериментах по упруго-пластической устойчивости конструкций. В частности, для сжатой в одном и в двух направлениях прямоугольной шарнирно-опертой пластинки из сплава АМц дано сравнение результатов по теории В.Г. Зубчанинова при простом и сложном нагружении, теории А.А. Ильюшина, теории на базе теории течения с изотропным упрочнением. Сделан вывод, что сложное нагружение в момент потери устойчивости существенно влияет на критическое состояние пластинки. Результаты экспериментов при испытаниях на сжатие, сжатие с внутренним давлением и сжатие с кручением цилиндрических оболочек при пропорциональном докритическом нагружении хорошо подтверждают теорию устойчивости А.А. Ильюшина,
Она базируется на предположении, что на докритической стадии имеет место простое нагружение, а при бесконечно малом продолжении процесса, связанного с потерей устойчивости и изломом траекторий деформирования и нагружения - законами пластичности квазипростых процессов (деформационная теория Генки-Надай в дифференциальной форме).
В монографии Королева В.И. [28] изложены методы расчета пластин и оболочек на прочность и устойчивость при упругих и упруго-пластических деформациях. Изложение основ теории устойчивости оболочек за перелом упругости можно найти так же в книге Шевелева Л.П. [40].
В работе для решения нелинейных задач деформирования гибких элементов использован метод дополнительной вязкости. На его основе построен единый итерационный алгоритм для решения нелинейных задач деформаций гибких элементов конструкций с учетом контактного взаимодействия, проведено моделирование нелинейных деформаций нескольких сильфонов, а так же резинового днища вытеснительной емкости.
Автор выражает глубокую благодарность за внимание, терпение, поддержку и чуткое руководство своему научному руководителю ~ д.ф.-м.н., профессору Владимиру Лаврентьевичу Якушеву, а также д.т.н., профессору Владимиру Романовичу Цибульскому, с.н.с. Елене Раилевне Павлюковой за помощь в решении организационных вопросов, а также коллективам кафедры технической кибернетики ТюмГНГУ, ИПОС СО РАН и ИАП РАН за доброжелательное отношение и содействие в работе.
Уравнения нелинейного деформирования оболочек вращения
В системе координат х,у,0 рассмотрим осесимметрично нагруженную оболочку вращения толщины h, срединная поверхность которой получена в результате вращения плоской кривой x = x(s), y = y(s) относительно оси у (рис. 2.3). Координаты срединной поверхности х,у, угол наклона р между касательной к срединной поверхности и осью х, радиусы кривизны в меридиональном г, и в окружном г2 направлениях являются известными функциями длины дуги срединной линии s. Соответствующие величины в недеформированном состоянии отмечаются индексом "ноль". Нормаль к срединной поверхности направим так, чтобы касательная и нормаль составляли правую систему координат (Ширко, Якушев [43, 44]).
Деформации на расстоянии г по нормали от срединной поверхности вдоль меридиана г?ив окружном направлении єв на основании гипотез Кирхгофа Лява равны „- i-zfti, є0=є3-гк2, (2.4) _ h 1 і. _ 1 1 - 1 fr _ SlU 5-Sin )(, f j — — J, Aj — , 2 2 "So /} / [0 JCQ XQ (2.5) Координаты срединной поверхности в деформированном состоянии определяются уравнениями d P г 1 dx /, \ rfv /, v . -2-=Aj + , -— = (1 + ) COS р, - - = (1 + -,)31П . Н\ fit І ds. ri0 ds0 dsn (2.6) J0 10 ""0 "J0 Кроме того, должны выполняться условия совместимости деформаций: cos% —2- = -171+ ff,)cOSp-(l + i)cOS l ds0 x0L \ \ d% [_ds0 + L +k, cos# 1 0 dk2 _ 1 dsQ x0 / (2.7) В слагаемых типа 1+ не всегда можно приближенно принимать l+є, «1. Это следует делать, каждый раз производя соответствующие оценки.
Рассмотрим» например, некоторые варианты деформирования оболочки. Предварительно введем величины А р = р- р0, Ах = х-х0, Ау = у-у0. (2.8) Найдем производные по s0 от этих величин: dAx dx dxa (. ч = - l + ejcosp-cosfh, dAy dy dyQ ,. ч . —— = — — = (! + ,) sin 3-sin (v ds0 ds0 ds0 ds0 dsy ds0
Далее рассмотрим деформацию цилиндрической оболочки, с параллельной оси у образующей, под действием равномерно распределенных по торцу растягивающих продольных сил, для участка оболочки которой выполняются условия р = рй= к}7.. Тогда из второго уравнения (2.9) следует dAy/dsa = єх. Рассмотрим другой вариант - продольную деформацию круглой пластинки, в ее центре р = р0=0. И на основании первого соотношения (2.9) будет dAx/dsa = st.
Оба вывода справедливы, но если бы в (2.5) с самого начала было бы принято, что l+t«l, то в обоих рассмотренных случаях получилось бы , = 0 , ЧТО Неверно.
Вообще, пренебрежение какими-либо членами в уравнениях при современном развитии численных методов и вычислительной техники, как правило, выигрыша не дает, но может привести к серьезным ошибкам или сужению области применения уравнений. Уравнения равновесия в случае немалых смещений и углов поворота записываются для деформированного состояния следующим образом: +л=о, - I + S C -QL A + P Q, (2.10) "о &„ _ . + (1 + )_ї 2-COSP-3, =0, где р - поперечная сила, N и N0 - нормальные силы, М9 и Мв изгибающие моменты, pv и pz - соответственно касательная и нормальная к срединной поверхности составляющие внешней распределенной нагрузки. В случае упругих деформаций связь между силовыми факторами, деформациями и кривизнами срединной поверхности определяется соотношениями
Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек вращения
Ниже для осесимметричного деформирования оболочек вращения рассматриваются уравнения различных теорий пластичности с учетом введения в них дополнительной вязкости.
Рассмотрим вначале построение уравнений для деформационной теории пластичности. При отсутствии вязкости ее соотношения записываются следующим образом: s;j=2Gse.., T = GST, s = av-aS еі}=єі}-є5ір 2.33) где Т - интенсивность касательных напряжений, Г - интенсивность деформаций сдвига; r=UijSij, Г2=2,,е„ (2.34) G, - величина переменная, зависящая от Т и определяемая экспериментально. После введения вязкости получаем соотношения: s9=2G,(Te9 + ey). 2.35) Совместно с соотношениями, показывающими связь между объемной деформацией и средним давлением, Ка = тс + є, (2.36)
Соотношения (2.35) определяют реологические свойства материала. Выражения для напряжений и деформаций получаются после умножения обеих частей (2.36) на G, и прибавлением их к (2.35): , + 7GJL06, = 2G, (те, + е,). (2.3 7) Из них для оболочек вращения следует: (2.38) тв = т(ахє8 +агє9) + а}є0+агєр, где через ах и аг обозначены коэффициенты (2.39) AG,{\ + G,K) _4G,(0,5-GtK) ах= , л„\, а2 l + AGtK 1 + 40Д Для силовых факторов получаем: (2.40)
Система уравнений типа (2.28) может быть получена так же как и в случае упругих деформаций путем подстановки (2.40) и в уравнения равновесия (2.10). Поскольку параметр у ни в какие соотношения для пластических деформаций не входит, то выражение для Q (2.25) остается неизменным. Уравнения для координат срединной поверхности тоже не меняются. Однако при переходе от упругости к пластичности приходится полностью менять процедуры для вычисления матриц А и В. Поскольку речь идет о построении итерационного процесса, который должен обладать хорошей сходимостью и асимптотически сходиться к нелинейному статическому решению, но от него не требуется получение какого-либо правильного решения при промежуточных значениях времени /, когда процесс еще не сошелся, то можно пойти на значительные упрощения и вместо соотношений (2.37) принять уравнения, в которых перед скоростями деформаций стоят коэффициенты, соответствующие упругости, а перед самими деформациями - коэффициенты, взятые для пластического деформирования. При этом учитывается то, что в деформационной теории пластичности конечный результат не зависит от траектории в пространстве девиаторов напряжений и деформаций. В результате имеем:
Эти уравнения при стремлении к нулю скоростей деформаций дают решение, соответствующее деформационной теории пластичности. Для силовых факторов следуют соотношения: К = JTT" +V ) + Jn -J2\k\+JUS2- J22kl Ng = —т (є2 + vff, ) + J„E2-J2ik2+ J]2st - J22k{, Eh3r ,. . (2.43) -j- y\\ 2 +VK ) + Jl\S2 J3]k2+ 22S] /)2 1(1 — v у В системе уравнений (2.28) приходится менять только матрицу В, а матрица А остается такой же, как и при упругих деформациях, что облегчает процесс программирования.
Перейдем теперь к построению системы уравнений, основанной на теории пластического течения. Введение вязкости для моделей твердого деформируемого тела, соответствующих пластическому деформированию, при их схематическом изображении в виде пружин, элементов трения, равносильно подключению к ним параллельно вязкого элемента,
Рассмотрим модель, состоящую из двух параллельных ветвей. В одной из них будет присутствовать вязкий элемент, а в другой - упруго-пластический. Для последнего должно выполняться условие %= + , , (2.44) где е\ - девиатор упругих деформаций, ef; - девиатор пластических деформаций. Для девиатора напряжений sef, действующего в упруго-пластической части имеем sf=2Gel. (2.45) И из (2.44) и (2.45) следует: sf=2G(e,-ef). (2.46) Для ветви, содержащей вязкий элемент, определена связь между девиатором напряжений s для нее и полным девиатором деформаций: $ = гстёг (2.47) Суммарный девиатор напряжений равен s s; + s;f. (2.48) Из этих соотношений следует 5, = 20 ,+ - ). (2.49)
Дополнив его условием вязкой сжимаемости, получим выражение для компонент деформаций при условии ву =sfj : sv-WKoS9 =2G(re, +є0 -є ). (2.50)
Решение задач по теории пластического течения является сложной проблемой и требует запоминания информации по толщине оболочки.
Несколько более простой алгоритм вычислений получается, если рассматривать поверхность нагружсния не в пространстве напряжений, а в пространстве деформаций.
Устойчивость полусферических оболочек
Таким образом, для первого режима нагружения удается найти участки 0-1; 2-3; 4-5. Остальные участки соответствуют неустойчивым состояниям равновесия. Значения критических нагрузок путем повторных расчетов были найдены с точностью до 0,001. Так в точке 1 / = 0,07 соответствует устойчивому состоянию, a = 0,071 - неустойчивому, а в точке 3 критическая нагрузка находится между 0,02 и 0, 021, а в точке 5 между 0,016 и 0,017.
Изменение V от Т при Р, равном 0,02 и 0,016 показано нарис. 2.6 кривыми 2 и 3 соответственно. На рис. 2.8 — с такими же номерами показана зависимость скорости V от Т для этих случаев. Начальные значения для Ф при решении (2.28) брались после установления при нагрузках 0,021 и 0,017. Для демонстрации хорошей сходимости метода к оболочке в недеформированном состоянии была сразу приложена нагрузка Р = 0,071. Зависимость Г от Г показана кривой 1 на рис. 2.6, выходящей из начала координат. Скорость изменения объема V от т для этого случая приведена на рис. 2,8, При втором режиме нагружения после достижения точки 1 оболочка переходит в состояние, соответствующее точке 9 на рис. 2.4 с формой, показанной на рис. 2.7. Объем V при этом не менялся. Путем последовательного изменения V были получены участки 9-5-4-3-2, которые для этого режима соответствовали устойчивым состояниям. При уменьшении V был также найден участок 9-7. При выходе на точку 7 оболочка теряла устойчивость и переходила в состояние 8.
Рассмотрим устойчивость той же самой полусферической оболочки, но с учетом пластических деформаций. Среди предложенных выше моделей наиболее простыми с точки зрения программной реализации являются соотношения (2.42)-(2.43) при v = 0,5. На их основе было выполнено несколько численных экспериментов с целью выяснения влияния пластических деформаций на величину критических нагрузок. На основе опыта расчета пластических деформаций, можно утверждать, что учет разгрузки на основе соотношений упругости, эффекта Баушингера, повторных пластических деформаций, упругой сжимаемости, незначительно повлияет на эти величины, хотя локальные величины напряжений могут значительно измениться. При проведении численных расчетов связь между Г и Г за пределом пропорциональности єт была принята в виде, позволяющим аналитически вычислить интегралы j,i-J}2, входящие в соотношения (2.43): Т = а + -@-. (2.61) / + Г v J В одномерном случае имеем: Г = л/3ср T = -Lay (2.62) v3
Коэффициенты а, /і и у подбирались из условия наилучшего приближения к реальной диаграмме материала методом наименьших квадратов. Их величины для некоторых материалов равны: дюралевые сплавы АДО - АД1 г =0,573-10-1, «=9,654, /7 = -0,403, / = 0,071; медь ег-0,616-10"3, # = 22,55, /ї = -1,265, / = 0,064; нержавеющая сталь 12Х18Н10Т ЕТ = 0,107-10-1, а = 60,19, /? = -4Д10, / = 0,101. Для оболочек вращения при v = 0,5 : ЄР = c i ео = « е2 =-К + ««) (2.63) Отсюда следует: 1 % 1 ar, = 4C7„ a2= alt Ja= jz }a,dz = /;2=- /л- (2.64) 1 -% l Интегралы по толщине можно разбить на три части: Jn= J zl xaxdz=Ril Rll+Ra, (2.65) /2 Ri}= jz - a z, Д„ = Jz - or z, Д/3 = \z axdz, (2.66) - Л % где 7/i и 2 значения координаты z для границ между упругой и пластическими зонами. Эти границы могут быть найдены следующим образом. Воспользовавшись соотношениями (2.4) можно получить зависимость интенсивности напряжений г от координаты z:
Расчет вытеснительной емкости
Рассматриваемые оболочки врпщения имеют малое отношение толщины к характерному размеру Л - !\i, из-за этого при установлении решения с некоторого шага в нем появляются небольшие колебания, которые резко ухудшают сходимость и увеличивают время счета. Это свидетельствует о том, что приведен: ля выше система уравнений (2.12) обладает жесткостью. Для се решения было использовано нелинейное преобразование Эйткена, которое дает для уравнения = ЛФ) (4.П) следующую формулу [34, 35] для решения на /+1 шаге Ф(Ч1 = Ф(. + At (4.12) 1+1 2ЛФ,)-ДФІ + Д;ДФ,)) v Опишем полученные численно р чультаты. Расчеты были проведены для трех случаев: первый, когда мембрана деформируется без контакта с другими мембранами и жесткой вставкой, второй, когда имеется контакт с другой мембраной на плоскости у = 0, и третий - при наличии контакта, как с другой мембраной, так и с жесткоіі вставкой. Расчет проводился для интервала давлений от 0 до 0.0003.
Нарис. 4.6 показаны формы мембраны для каждого случая в исходном состоянии (пунктирная линия) и при делении Р = 0.0003 (сплошная линия). На рис. 4.7 для них показано изменение безразмерной максимальной интенсивности тензора напряжений аив зависимости от давления. Номера на рисунке соответствуют обозначенном выше случаям контактного взаимодействия.
Как видно в первом случае, у мембраны имеются значительные вертикальные перемещения и, как следствие, на ее левом конце появляются напряжения в несколько раз превышающие предел упругости. Учет контакта с другой полуволной мембраны существенно снижает напряжения и изменяет окончательную форму мембраны. Наличие жесткой вставки приводит к еще более сильному снижению напряжений.
Для оценки влияния величины к были проведены расчеты для двух ее значений к = 0.005 и к = 0.01 для второго случая контактного взаимодействия. Зависимости для относительного вытесненного объема V, вертикального перемещения правого конца мембраны W и минимального расстояния \УЫп от мембраны до плоскости = 0 показаны соответственно на рис. 4.8 и рис. 4.9. Переходные участки на них соотве гствуют сближению мембраны с препятствием у = 0. Для мены не го к этот участок более выражен.
Распределение контактного давления вдоль срединной линии для третьего случая при Р = 0.0003 показано па рис. -110. На рисунке имеется два пика, первый соответствует взаимодействию с другой мембраной на плоскости у = 0, второй — с жесткой вставкой. На рис. 4.11 представлен отдельно с увеличением участок в районе пика 1.
Далее приведен расчет вытеснительной емкости для жидкости (рис. 4.12), Она представляет собой цилиндрический бак, внутри которого находится стальной сильфон со сферическим резиновым днищем MN. На первом этапе жидкость закачивается через трубу А внутрь сильфона, который расширяется и заполняет практически весь объем бака. На втором этапе, являющемся основным, через трубу В в бак подается газ под давлением. В результате сильфон сжимается и жидкость вытекает из трубы А в расходную магистраль. Второй этап заканчивается, когда пластины сильфона практически полностью сжимаются, а резиновое днище MN прогибается до соприкосновения со стальным сферическим сегментом LK. Жидкость при этом практически полностью вытесняется из сильфона.
Подобная конструкция емкости для жидкости обеспечивает герметичность, предотвращает образование газообразной фазы в жидкости и имеет хорошее отношение веса конструкции к объему вытесненной жидкости.
С точки зрения расчета на прочность наиболее сложными элементами конструкции являются сильфон и резиновое днище. Одновременно определяется необходимый перепад давления для выталкивания жидкости без учета гидродинамического сопротивления.
Используемая в диссертации методика нашла приложение при расчете описанной выше вытеснительной емкости. Сами расчеты, ввиду громоздкости, в диссертации не приводятся, но в качественном плане они совпадают с результатами, приведенными в предыдущих разделах.
