Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели, методы и алгоритмы измерения межкадровых геометрических деформаций изображений 13
1.1. Постановка задачи 13
1.2. Модели и методы измерения межкадровых геометрических деформаций изображений 14
1.3. Измерение межкадровых геометрических деформаций изображения в условиях априорной неопределенности 20
1.4. Псевдоградиентные алгоритмы 25
1.5. Асимптотически оптимальные алгоритмы стохастической аппроксимации и их точность 36
1.6. Известные подходы к оптимизации алгоритмов стохастической аппроксимации при конечном числе итераций 40
1.7. Выводы и постановка задач исследований 45
Глава 2. Плотность распределения вероятностей оценок параметров межкадровых геометрических деформаций изображений, сформированных псевдоградиентными процедурами за конечное число итераций 49
2.1. Постановка задачи 49
2.2. Алгоритм нахождения плотности распределения вероятностей оценок параметров межкадровых геометрических деформаций изображений при конечном числе итераций 51
2.3. Вероятности сноса оценок параметров при целевых функциях, характерных для оценивания межкадровых геометрических деформаций 56
2.4. Использование математического аппарата теории марковских процессов для анализа точности псевдоградиентного измерения межкадровых деформаций 71
2.5. Основные результаты и выводы 77
Глава 3. Сокращение вычислительных затрат при вероятностном моделировании псевдоградиентных процедур 78
3.1. Постановка задачи 78
3.2 Дискретизация области определения оценок исследуемых параметров ... 79
3.3. Уменьшение вычислительных затрат за счет модификации матрицы одношаговых переходов 84
3.4. Адаптивное ограничение области допустимых значений исследуемых параметров межкадровых геометрических деформаций 88
3.5. Основные результаты и выводы 100
Глава 4. Примеры использования методиіси анализа точности псевдоградиентных алгоритмов оценивания параметров 103
4.1. Постановка задачи 103
4.2. Реализация алгоритмического обеспечения методики анализа точности псевдоградиентных процедур при конечном числе итераций 104
4.3. Примеры анализа точности измерения параметров межкадровых геометрических деформации изображении 118
4.4. Пример использования разработанной методики анализа эффективности оценок, в задаче псевдоградиентного измерения квантилей радиопомех 124
4.5. Основные результаты и выводы 135
Заключение 137
Литература
- Измерение межкадровых геометрических деформаций изображения в условиях априорной неопределенности
- Алгоритм нахождения плотности распределения вероятностей оценок параметров межкадровых геометрических деформаций изображений при конечном числе итераций
- Дискретизация области определения оценок исследуемых параметров
- Реализация алгоритмического обеспечения методики анализа точности псевдоградиентных процедур при конечном числе итераций
Введение к работе
Актуальность работы
Многие области техники, связанные с получением, обработкой и передачей информации ориентируются в последнее время на развитие систем, в которых информация носит характер изображений. Связано это с тем, что изображения являются более емким носителями информации, чем одномерные сигналы. При этом одной из важных задач обработки последовательностей изменяющихся изображений является измерение их межкадровых геометрических деформаций (МГДИ). Решение этой задачи требуется в навигации, в радиолокации, дистанционном исследовании Земли, в медицинской диагностике и т.д.
Перспективным направлением при измерении МГДИ является использование рекуррентных псевдоградиентных процедур (ПГП), которые применимы к обработке изображений в условиях априорной неопределенности, обеспечивают высокую точность измерения при воздействии сложного комплекса помех, предполагают небольшие вычислительные затраты и не требуют предварительной оценки параметров исследуемых изображений.
К исследованию точностных возможностей ПГП обращались многие ученые как в нашей стране (Ю.М.Каниовский, М.Б.Невельсон, А.Г.Ташлинский, Р.З.Хасьминский, Я.З.Цыпкин, В.Т.Поляк, А.И.Ясгребов и др.), так и за рубежом (М.Вазан, А.Альберта, И.Гарднер, ЖХудвин, Р.Пейн, А.Бенвенист и др.) Асимптотическая скорость сходимости рекуррентных ПГП изучалась в работах К.Чжуна, Д.Сакса, Я.З.Цыпкина, Ю.М.Каниовского и других, найдены условия асимптотической нормальности различных ПГП (К.Острем, Т.Болин, В Г.Репин).
Однако для решения практических задач измерения МГДИ важное значение имеет также исследование точностных возможностей ПГП при конечном числе итераций. К сожалению, этот вопрос в настоящее время исследован недостаточно. Это связано с тем, что при конечном числе итераций анализ вероятностных свойств погрешностей измеряемых параметров МГДИ осложнен большим числом факторов, влиянием которых нельзя пренебречь. К таким факторам можно отнести характер плотности распределения вероятностей (ПРВ) и корреляционной функции (КФ) изображений и мешающего шума, вид целевой функции (ЦФ), определяющей качество измерения, параметры ПГП и число итераций.
Таким образом, в настоящее время существует актуальная проблема исследования точности псевдоградиентпого измерения МГДИ при конечном числе итераций.
Цель и задачи исследований
Целью диссертационной работы является разработка и исследование математической модели псевдоградиентного измерения параметров МГДИ для анализа точности измерения параметров при конечном числа итераций.
Для достижения цели исследования необходимо решить следующие задачи:
І ^НАЦИОНАЛЬНА*
J БИБЛИОТЕКА I
1. Провести математическое моделирование псевдоградиентного измерения параметров МГДИ при заданных вероятностных моделях изображений и мешающих шумов
2 Разработать алгоритм нахождения ПРВ погрешностей измерения параметров МГДИ, полученных за конечное число итераций псевдоградиентного измерения.
-
Исследовать возможности сокращения вычислительных затрат, необходимых для расчета ПРВ погрешностей измерения параметров МГДИ.
-
Разработать библиотеку прикладных программ (БГШ) для нахождения основных вероятностных характеристик погрешностей параметров МГДИ, полученных за заданное число итераций псевдоградиентного измерения
Методы исследований
При решении поставленных задач в диссертационной работе использовались методы математического моделирования, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и полей, статистических испытаний.
Научная новизна работы
-
Разработан новый алгоритм расчета ПРВ погрешностей измерения параметров МГДИ, полученных за конечное число итераций псевдоградиентного измерения при заданных вероятностных моделях изображений и мешающих шумов. Алгоритм основан на методе нахождения ПРВ погрешностей через определение на каждой итерации вероятности изменения оценок параметров в направлении точных значений (вероятности сноса оценок).
-
Впервые получены аналитические выражения для расчета вероятностей сноса оценок параметров МГДИ при использовании в качестве ЦФ псевдоградиентного оценивания среднего квадрата межкадровой разности (СКМР) и выборочного коэффициента межкадровой корреляции (ВКМК). При этом использовано свойство нормализации оценок ЦФ при увеличении объема выборки.
-
Предложена модификация матрицы переходных вероятностей марковской цепи оценок параметров МГДИ, при которой размеры матрицы для каждого измеряемого параметра не зависят от числа измеряемых параметров. Такой подход позволяет найти компромисс между точностью расчета ПРВ погрешностей измеряемых параметров и возможностями имеющихся вычислительных ресурсов.
-
Предложен и реализован новый подход к моделированию процесса псевдоградиентного измерения параметров МГДИ, основанный на адаптивном ограничении области возможных значений измеряемых параметров и направленный на уменьшение вычислительных затрат.
Практическая ценность и использование результатов работы
1. Выработаны рекомендации по сокращению вычислительных затрат при адаптивном ограничении области возможных значений измеряемых параметров (окна моделирования), позволяющие учесть вероятность нахождения оценок за пределами окна моделирования.
-
Разработана БПП для нахождения основных вероятностных характеристик погрешностей параметров МГДИ, полученных за заданное число итераций псевдоіра-диентного измерения. Библиотека реализована в среде Borland C++ для Windows и рассчитана на использование стандартных ПЭВМ.
-
Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение может быть использовано при решении различных прикладных задач обработки пространственно-временных сигналов, где применяется рекуррентное оценивание параметров. В частности, в качестве примера исследована задача оценивания погрешности измерения квантилей помех заданного уровня.
-
Разработанные приемы адаптивного ограничения области возможных значений исследуемых параметров могут найти применение при вероятностном моделировании многомерных процессов.
Реализация резул ътатов работы
Результаты диссертационной работы использованы в научно-исследовательском проекте 209.01.01.072 «Рекуррентное оценивание параметров пространственных деформаций последовательностей многомерных изображений» программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», а также при выполнении хоздоговорных НИР 2/2000-ПИТ "Методы представления и статистического анализа многомерных изображений" и 2/2001 -ПИТ "Методы и адаптивные алгоритмы оперативного обнаружения аномалий на изображениях и в многомерных сш налах, заданных на сетках со случайными деформациями", проводимых в рамках проекта 0201.05.237 направления "Распознавание образов и обработка изображений" Федеральной целевой научно-технической программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения".
Разработанные алгоритмы и БПП нахождения основных вероятностных характеристик погрешностей измерения параметров МГДИ, полученных за заданное число итераций псевдоградиентного измерения, внедрены в деятельность Института систем обработки изображений РАН (г. Самара). Кроме того, некоторые из полученных результатов применяются в учебном процессе Ульяновского государственного технического университета при изучении дисциплины «Цифровые методы обработки изображений» для направления 657100 «Прикладная математика».
Достоверность результатов
Достоверность полученных результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата, полнотой учета факторов, влияющих на погрешность измерения МГДИ, и подтверждается экспериментальными результатами.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Синтезирован алгоритм расчета ПРВ погрешностей измерения параметров МГДИ, полученных за конечное число итераций псевдоградиентного оценивания при заданных вероятностных моделях изображений и мешающих шумов.
-
Предложена модифицированная матрица переходных вероятностей марковской цепи оценок параметров МГДИ, размеры которой для каждого параметра не зависят от числа измеряемых параметров.
-
Разработан новый подход к моделированию процесса псевдоградиентного измерения параметров МГДИ, использующий адаптивное ограничение окна моделирования.
-
Выработаны рекомендации по сокращению вычислительных затрат при адаптивном ограничении окна моделирования, основанные на учете вероятности нахождения оценок за пределами окна моделирования.
-
Создана БПП, позволяющая находить основные вероятностные характеристики погрешностей измерения параметров МГДИ за заданное число итераций псевдоградиентного измерения.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на международных конференциях «Континуальные логико-алгебраические и нейросетевые методы в науке, технике и экономике» (г. Ульяновск, 2000), «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (г. Самара, 2000), «Contemporary information technologies» (г. Пенза, 2000), « Нейронные сети и искусственный интеллект в задачах науки, техники и экономики» (г. Ульяновск, 2000), «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (г. Ульяновск, 2003), «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 2002), на Ш Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (г. Ульяновск, 2001), на Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы теории и практики совершенствования вооружения и военной техники. Актуальные вопросы реализации профессиональных образовательных программ в ВУЗах» (Нижний Новгород, 2000), на межвузовской научно-технической конференции «Развитие средств и комплексов связи. Подготовка специалистов связи» (Новочеркасск, 2001), на 5-й военной научно- технической конференции, посвященная 105-летию изобретения радио Л.С.Поповым (Ульяновск, 2000).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 12 статей (7 из них в трудах и материалах конференций), 3 течиса докладов, всего 3.5 печатных листа.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 111 наименований и приложения. Содержит 149 страниц машинописного текста, 39 рисунков и 3 таблицы.
Измерение межкадровых геометрических деформаций изображения в условиях априорной неопределенности
В настоящее время методы решения ряда задач обработки сигналов в условиях априорной неопределенности глубоко проработаны [6, 8, 9,33,34, 57, 86]. Основой этих методов служит, как правило, адаптивный байесов подход [57]. Этот подход основан на принципе выбора наилучшего алгоритма в условиях априорной неопределенности, исходя пз минимума ожидаемых потерь, который определяется на основании всей имеющейся информации об обрабатываемых данных. При неполноте априорного описания данных недостающая информация извлекается из самих данных. Отметим, что иногда в адаптивном байесовом подходе в качестве критерия может использоваться не минимум ожидаемых потерь, а максимум ожидаемого выигрыша [15].
Адаптивный байесов подход к измерению прострапствспно-времспных деформаций изображений
В рамках байесова подхода соответствие модели наблюдаемому изображению оценивается критерием качества [86]: j(a) = M(F(c(z(1),Z(2),a))), (1.3.1) где М - символ математического ожидания; F() - функция потерь, которая обычно представляет собой четную функцию погрешности є; a - вектор измеряемых параметров; Z и Z - исследуемые изображения. При этом наиболее распространенными являются квадратичные функции потерь вида F\jj= с2, приводящие к методу наименьших квадратов, то есть к решению системы линейных алгебраических уравнений. Оптимальное решение а выражается, как правило, в явной аналитической форме через корреляционные функции. В случае, когда функция потерь неквадратична минимизация критериев качества приводит к необходимости решения нелинейных систем уравнении. При этом оптимальное решение, может быть найдено лишь приближенно. Критерий (1.3.1) представляет собой средние потери, чем они меньше, тем выше качество измерения параметров. В общем случае наблюдения могут включать в себя кадры изображений 71 ,7} ,...,7}п . На практике чаще требуется измерение МГДИ, и тогда наблюдения включают только кадры изображения Z и Z , которые могут быть представлены моделью наблюдения вида Zw = Х(к)+0(к), к = 1,2, (1.3.2) где: Х{к)- исходное изображение; Qw - аддитивная помеха, представляющая собой поле независимых случайных величин. В задачах, связанных с обработкой изображений при априорной неопределенности, наиболее типичной является ситуация, когда структура и параметры оптимального алгоритма меняются в зависимости от характеристик обрабатываемых данных. Алгоритмы измерения МГДИ можно отнести к таким адаптивным алгоритмам. Термин «адаптивный» в данном случае означает изменяющийся в процессе обработки. Схема адаптивного алгоритма измерения МГДИ, предложенная в [86] приведена на рис. 1.3. Здесь разность между значениями отсчетов наблюдаемого изображения и настраиваемой модели изображения образуют невязку s , которая поступает на вход функционального преобразователя F(e).
Критерием качества измерения являются средние потери. Улучшение качества достигается выбором структуры настраиваемой модели МГДИ и изменением ее параметров а . Это изменение осуществляется алгоритмом, который определяется функцией потерь и структурой настраиваемой модели. По наблюдениям Z(2) и формируемой оценкой Х(2) параметры модели изменяются так, чтобы средние потери достигали минимума с ростом числа обработанных отсчетов. Как следует из блок-схемы, представленной на рис. 1.3, для адаптивного измерения МГДИ исследуемого класса изображении нужно выбрать настраиваемую модель МГДИ и критерий качества измерения. На их основе сформировать алгоритм, использующий доступные для наблюдения значения входных и выходных величин, изменяющий параметры настраиваемой модели.
Известны два вида априорной неопределенности: параметрическая и непараметрическая. Более простым случаем является параметрическая априорная неопределенность, при которой неизвестны лишь значения некоторых параметров, полностью характеризующих объект обработки. Вид процедуры обработки, как правило, может быть найден; неизвестными остаются лишь ее параметры. При этом задачей процедуры адаптации, входящей в адаптивный алгоритм, является определение неизвестных пара.четров в соответствии с поступающими данными, исходя из выбранного критерия качества. Более сложной является непараметрическая априорная неопределенность. Здесь возникают трудности в определении структуры процедуры обработки, которая может зависеть от типа распределений и перестраиваться в зависимости от меняющихся условий. Реализация таких адаптивных алгоритмов представляется достаточно трудоемкой задачей. Аргументные и критериальные алгоритмы адаптивного измерении
По цели обработки данных адаптивные алгоритмы можно разделить на аргументные и критериальные [52]. В обоих случаях конечной целью является минимизация средних потерь, которые определяются некоторым функционалом качества J(a) вида (13.1), который нужно минимизировать по параметрам а.
Однако требования к этой минимизации могут быть различными. В критериальных алгоритмах целью является приближение J (а) к минимальному (максимальному) значению J = J(a ), при этом сами значения а интереса не представляют и могут значительно отличаться от a . Например, если a - весовой вектор линейного измерения параметра по гауссовским наблюдениям, а J(a) - дисперсия ошибки измерения, то поверхности J(a) = const представляют собой эллипсоиды, которые могут быть значительно вытянуты. В этом случае может оказаться, что 5(щ) J(a2), хотя а, дальше от центра эллипсоида а чем а2. Следовательно, целью должно быть не максимальное приближение к a , а нахождение а на эллипсоидах минимально возможных уровней.
Алгоритм нахождения плотности распределения вероятностей оценок параметров межкадровых геометрических деформаций изображений при конечном числе итераций
В п. 2.1 данной диссертационной работы показано, что при использовании для измерения МГДИ ПГП вида (2.2.1) анализ точности оценок, полученных за конечное число итераций, может быть выполнен с использованием методики, предложенной в [65, 70]. Указанная методика предполагает использование в качестве параметра, комплексно характеризующего факторы, влияющие на точность измерения (ПРВ и ЛКФ изображений Х(,) иХ( , мешающий шум 0, вид ЦФ Q, псевдоградиента р и матрицы усиления Л,, начальное приближение ct0), ВСО р на текущей итерации. Ниже рассмотрен алгоритм анализа точности псевдо градиентного измерения МГДИ при конечном числе итераций, разработанный на основе указанной методики.
Упрощенная блок-схема алгоритма приведена на рис. 2.1. Рассмотрим подробнее каждый из его блоков, В блоке 1 осуществляется выбор целевой функции Q ПГП (2.1.1). В блоке 2 задаются параметры моделей исследуемых изображений X и помех 0. Как было показано ранее, такими параметрами могут быть ПРВ и КФ. Блок 3 задает модель МГДИ и набор измеряемых параметров а модели. В блоке 4, на основе исходных данных производится расчет массивов вероятностей сноса р, комплексно характеризующих параметры, задаваемые в блоке 2. В блоке 5 загружаются параметры ПГП, которые могут изменяться в ходе работы алгоритма. К таким параметрам в нашем случае относятся вид псевдо градиента р целевой функции и матрицы усиления At7 определяющей величину /-го изменения оценки, номер итерации / и максимальное число итераций Т н начальное приближение а0 вектора а.
Блок 6 выполняет дискретизацию области определения параметров исследуемых МГДИ. Операции, задаваемые последующими тремя блоками - 7, 8 и 9 выполняются циклически на каждом шаге моделирования работы ПГП. При этом в блоке 7 производится ограничение области допустимых значений параметров МГДИ, в блоке 8 рассчитывается матрица переходных вероятностей, а в блоке 9 - ПРВ оценок МГДИ на текущей итерации. Блок 10 представленного алгоритма осуществляет проверку условия достижения заданного порогового числа Т итерации. Если при этом, количество выполненных итераций не превышает порогового, то управление алгоритмом передается в блок 7 для выполнения следующей итерации, в противном случае работа алгоритма завешается.
На каждой итерации алгоритма осуществляется расчет ПРВ погрешностей измерения МГДИ, с учетом параметров, заданных в блоке 3. В блоке 9 по ПРВ погрешностей измерения параметров МГДИ, полученным на предыдущей итерации алгоритма, производится расчет требуемых статистических параметров моделирования (математического ожидания, дисперсии, вероятности попадання в доверительный интервал и т.д.) Затем происходит формирование массива выходных данных, при этом получение данных возможно либо для конкретных итераций заданных списком, либо для всех итераций моделируемой ПГП измерения МГДИ.
Таким образом, алгоритм, блок-схема которого представлена на рис. 2.1, позволяет рассчитать ПРВ оценок at, формируемых ПГП, по которым можно проводить вероятностный анализ точности ПГП измерения МГДИ при любом конечном числе итераций.
Сформулируем основные задачи, решение которых требуется для практической реализации данного алгоритма. Так, для расчета ВСО р (блок 4) необходимо получить математические соотношения, позволяющие рассчитывать этот комплексный параметр для ЦФ ПГП, характерных для задачи оценивания МГДИ. В работе [66] показано, что при измерении параметров МГДИ наиболее используемыми ЦФ являются средний квадрат межкадровой разности (СКМР) и выборочный квадрат межкадровой корреляции (ВКМК). Расчетные выражения для нахождения ВСО при указанных ЦФ получены в п. 2.3 настоящей главы.
Для реализации вероятностного моделирования процесса работы ПГП при измерении МГДИ (блоки 6-10) целесообразно применение математического аппарата теории марковских процессов. Указанная целесообразность Л я Л обуславливается тем, что последовательность оценок а0, ос],..., а,,..., ат вектора параметров а, получаемая с помощью ПГП вида (2.1.1) является m -мерной последовательностью без последействия и представляет собой векторный марковский процесс [78]. Исследованию возможностей применения математического аппарата марковских последовательностей и цепей при конечном числе итераций псевдоградиентного оценивания посвящен п. 2.4.
Кроме того, для реализации предложенного алгоритма на различных классах вычислительных средств, необходимо решить задачу сокращения вычислительных затрат. Связано это с тем, что при шаге изменения оценки X Ф const или числе исследуемых параметров т 1 использование классических методов теории марковских процессов для анализа эффективности ПГП при конечном числе итераций приводит к большим вычислительным затратам. При этом одним из основных факторов, определяющих вычислительные затраты, является число возможных значений оценок параметров за Т итераций. Уменьшение этого числа можно достичь переходом к дискретной области определения возможных значений оценок. Переходу от непрерывной к дискретной области определения параметров посвящен п. 3.2 третьей главы диссертации.
Однако даже при дискретной области определения параметров в случае использовании стандартной матрицы одиошаговых переходов увеличение числа исследуемых параметров на единицу, приводит к увеличению вычислительных затрат примерно в Km+l раз, где Кт±{ - число возможных дискретных значений оценок (ш + 1)-го параметра. Поэтому если число оцениваемых параметров
МГДИ превышает 2-3, то реализация рассмотренного алгоритма даже на современных вычислительных средствах представляется проблематичной задачей, В связи с этим возникает задача модификации матрицы одиошаговых переходов (блок 8 алгоритма), направленной на сокращение вычислительных затрат. Решению этой задачи посвящен п. 3.3 третьей главы диссертации.
Дискретизация области определения оценок исследуемых параметров
В предыдущей главе диссертации предложен алгоритм анализа точности оценок, формируемых ПГП при конечном числе итераций, и показано, что при реализации этого алгоритма целесообразно использование математического аппарата теории марковских цепей. Однако, при увеличении числа оцениваемых параметров МГДИ увеличивается и размерность матрицы одношаговых т т переходов до Х /хХ і гДе /«-размерность вектора оцениваемых і=і (=1 параметров, а Кі-число возможных состояний оценки і-го параметра. Это влечет за собой резкий рост вычислительных затрат. В работе [67] показано, что использование классического математического аппарата теории марковских цепей целесообразно лишь при исследовании одного параметра (ш = 1) при постоянном шаге приращения оценки параметра (Я = const). В тех же случаях, когда ХФ const, либо т \, применение классического математического аппарата марковских цепей для анализа точности ПГП при конечном числе итераций становится проблематичным. Таким образом, возникает задача сокращения вычислительных затрат при сохранении преимуществ методов марковских цепей. Для решения этой задачи в п. 3.2 данной главы рассматриваются возможности сокращения вычислительных затрат при расчете ПРВ оценок параметров при конечном числе итераций ПГП за счет дискретизации области определения оцениваемых параметров. Такой подход позволяет априорно выбирать размерность матрицы одношаговых переходов. Кроме того, в п. 3.3. предлагается модифицированная матрица одношаговых переходов, размерность которой не зависит от числа оцениваемых параметров МГДИ и определяется только дискретизацией области определения параметра, для которого рассчитывается матрица одношаговых переходов. Это позволяет найти компромисс между точностью расчета ПРВ оцениваемых параметров и возможностями имеющихся вычислительных ресурсов. Кроме указанных подходов к сокращению вычислительных затрат для той же цели в п. 3.4., предлагается адаптивное ограничение области допустимых значений ПГП за счет ограничения количества дискрет области определения параметров МГДИ, обрабатываемых на каждой итерации математического моделирования работы ПГП. Кроме того, в этом же параграфе исследуется адекватность полученных математических моделей, анализируются их точностные возможности и вычислительные затраты.
Как показано в п. 2.4, при т \ или Х const ь использование методов теории марковских цепей для анализа точности ПГП при конечном числе итераций, приводит к большому объему вычислительных затрат. Поэтому рассмотрим несколько приемов уменьшения объема вычислений при решении поставленной задачи.
Одним из основных параметров, определяющих вычислительные затраты, при использовании математического аппарата теории маковскнх цепей, является число возможных значений оценок параметров МГДИ. Очевидно, что уменьшения вычислительных затрат можно добиться ограничением множества возможных значении оценок исследуемых параметров. Такое ограничение может быть реализовано переходом от непрерывной области Qai определения возможных значений оценок а вектора параметров а к дискретной области определения Q [67]
Для такого перехода разобьем область Па/, / = ],ш, определения возможных значений каждого параметра а, МГДИ на фиксированные подобласти со,д ,/: = 1, Kt, поставив в соответствие каждой подобласти (oik є Q i фиксированное значение a- k, к — 1, AT,, оценки параметра а,. При этом вероятностные свойства оценок d( внутри каждой подобласти (о,А, будем считать неизменными. Такой подход позволяет априорно выбрать размерность матрицы 11,(/) = Tijj (Л , /= 1,ш, одношаговых переходов, размер которой в т этом случае будет кпх к , кл = К;, Элемент л . этой матрицы задает вероятность того, что оценка а(- примет на / -й итерации значение at k, если при (/ - 1)-й итерации она имела значение ос,}.
Считая дискретизацию области определения параметра а, равномерном: aik = altk_x + Дш-, k = \ Ki,c шагом Дш, найдем 71 -(/). Если оценивается одни параметр (т = 1), то для фиксированного значения оценки а, = аф на t-u итерации вероятность nkj(t) будет определяться соотношением: Ч,Л0= \\Ч + W,Hhh) (3-2.1) ч-У2 где: щ() ПРВ оценки параметра а после (/-1)-й итерации; Д = Ды - шаг дискретизации области определения параметра а; ак середина интервала шА. Однако, при дискретизации области QUI. точное значение а на г-й итерации неизвестно. Поэтому, предполагая, что возможные значения оценки распределены на интервале шА равномерно, можно записать: лк . (г) = — J Ju , (a + x)dxda, (3.2.2)
Если А « Л/{ (р} можно использовать приближенное соотношение: ч+Уі TCkJ{t) [wt(aj+xpx. (3.2.3)
Рассмотрим более подробно ситуацию, когда псевдоградиент представляет собой знаковую функцию (2.4.2). В этом случае элементы я ./(О могут быть выражены непосредственно через вероятности сноса р+,р и р, причем р++рй + р-=1.[74]
Реализация алгоритмического обеспечения методики анализа точности псевдоградиентных процедур при конечном числе итераций
Учитывая, что алгоритм моделирования процесса псевд о градиентного оценивания параметров МГДИ достаточно сложен, рассмотрим вначале упрощенный алгоритм расчета ПРВ погрешностей оценок параметров на каждой итерации. Блок-схема алгоритма (БСЛ), представлена на рис. 4.1.
При этом будем предполагать, что массивы ВСО р по всем исследуемым параметрам МГДИ получены заранее либо на основе математических моделей изображений и шумов, либо экспериментальным путем с использованием реальных изображений. Алгоритм формирования таких массивов приведен ниже. Работа алгоритма, представленного на рис. 4.1, начинается с загрузки массивов вероятностей сноса р . Для этого служат блоки 1-4. Порядок загрузки следующий. Вначале (блок 1) загружается карта массивов вероятностей сноса, по которой определяется число используемых параметров (блок 2) и объем памяти, необходимый для хранения массива (блок 3). Затем осуществляется выделение памяти и загрузка массивов по каждому параметру отдельно (блок 4). параметров МГДИ на отдельной итерации вероятность Р-. попадания в конкретный дискет пространства параметров определяется как произведение всех вероятностей нахождения оценок параметров в соответствующих дискретах у, дискретной области определения параметров: т Pj TlPfl С4-2-1) 1=1 где т - число измеряемых параметров МГДИ. Такой подход удобен тем, что в этом случае вместо многомерной ПРВ погрешностей оценок в памяти достаточно хранить лишь одномерные ПРВ Pyi оценок отдельных параметров. В этом случае объем памяти, необходимый для одного окна моделирования, определяется соотношением т К = тя5 /5баит, где тя - размер в байтах одной ячейки окна моделирования (в приведенных ниже примерах - 4 байта), Л - максимальный размер окна моделирования по і у параметру. В противном случае для хранения ПРВ погрешностей оценок потребовалось бы: К = тяП#мбайт. і=і
Выигрыш становится особенно заметным при большой размерности пространства параметров. Кроме того, раздельное храпение массивов вероятностен сноса ориентированно на их обработку в многозадачных операционных системах, которые предусматривают оптимизацию доступа к блокам памяти различных задач в зависимости от их потребностей. Особенно это актуально при большом числе исследуемых параметров МГДИ.
На следующем шаге алгоритма (блок 5) производится загрузка внутренних параметров моделирования из файла инициализации, для каждого измеряемого параметра деформаций. На данном этапе задаются начальные приближения оценок параметров ос0, начальные шаги изменения параметра Х0і, закон изменения шага каждого параметра, пороговое (минимальное) значение вероятности на границе окна моделирования, пороговое (максимальное) значение вероятности нахождения оценки за границами окна моделирования, список контрольных циклов, максимально возможное число итерации, максимально допустимый размер окна моделирования. Список контрольных циклов содержит номера циклов, на которых требуется сохранение значений ПРВ погрешностей параметров и заданных статистических параметров (математического ожидания, дисперсии, границ доверительных интервалов и т.п.). Максимальное число итераций ограничивает время моделирования и, кроме того, при переменном шаге Хи изменения оценки /-го параметра, определяет минимальный шаг дискретизации пространства параметров. Максимальный размер окна моделирования определяет объем оперативной памяти, требуемый для хранения и накопления ПРВ погрешностей оценивания. Этот параметр позволяет контролировать процесс моделирования работы ПГП. Если оценки параметров не сходятся, то ширина окна моделирования на некоторой итерации превысит допустимый предел и работа алгоритма будет прекращена. Такая ситуация может возникнуть, либо когда параметры ПГП заданны некорректно, либо когда начальное приближение параметра лежит за пределами рабочего диапазона ПГП.
Последним подготовительным этапом к моделированию является создание окон моделирования (блок 6). Под окном моделирования здесь понимается область пространства параметров, в которой производится расчет ПРВ оценки. Преимуществом окон моделирования является возможность изменения их положения и размеров. Это позволяет значительно сократить объем используемой памяти и снизить вычислительные затраты.
Процесс формирования ПРВ оценок является, вообще говоря, циклическим и определяется максимально возможным числом итераций Т, заданным в блоке 5. Для управления этим процессом служат блоки 7 и 11. В рамках цикла, ограниченного блоками 7 и II, выполняется моделирование процесса формирования оценок параметров и расчет изменяемых ПРВ оценок параметров внутри окна моделирования (блок 8). Здесь же производится расчет вероятностных параметров сформированных оценок (блок 9) и запись результатов моделирования в файл (например, на жесткий диск) (блок 10). Однако если в файле инициализации указано, что сохранение результатов производится не на каждой итерации, а только в соответствии с заданным списком, то на остальных итерациях шаги 9 и 10 могут быть пропущены.
После того как программа выполнит заданное число Т итераций, производится освобождение выделенных ресурсов (блок 12) и работа программы прекращается.
