Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Моделирование электрических и температурных полей в замкнутых многоточечных контактах 15
1.1. Существующие теоретические модели электрических контактов (литературный обзор) 15
1.2. Неточности при рассмотрении электротепловых процессов в контактах 27
1.2.1. Недостатки в постановке краевых задач 27
1.2.2. Влияние термоэлектрических эффектов на процессы в сильноточных контактах 29
1.3. Постановка краевой задачи для системы уравнений электро- и тешопереноса в замкнутых многоточечных контактах 32
1.3.1. Уравнения краевой задачи 34
1.3.2. Граничные условия краевой задачи 35
1.3.3. Коэффициенты краевой задачи 36
1.4. Выводы 39
Глава 2. Структура электрических и температурных полей в замкнутых многоточечных контактах 40
2.1. Сведение задачи к краевой задаче для уравнения Лапласа 40
2.1.1. Преобразование уравнений без учёта термоэлектрических эффектов 40
2.1.2. Преобразование уравнений с учётом термоэлектрических эффектов 45
2.1.3. Преобразование граничных условий 49
2.2. Построение решения краевой задачи 50
2.2.1. Структура решения 50
2.2.2. Построение добавочных функций 54
2.2.3. Выражение для плотности тока в пятнах 57
2.2.4. Принцип минимума диссипации энергии 59
2.2.5. Задача математического программирования для токов пятен 62
2.3. Исследование решения краевой задачи 62
2.3.1. Результаты расчётов 62
2.3.2. Гипотеза о существовании замкнутых трубок тока 72
2.4. Обобщённый подход к определению сопротивления стягивания 77
2.5. Выводы 83
Глава 3. Применение метода Вороного-Делоне к разбиению контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен
3.1. Метод Вороного-Делоне 84
3.1.1. Введение в метод 84
3.1.2. Совокупность трубок тока отдельных пятен как обобщённое разбиение Вороного 97
3.2. Построение разбиения на трубки тока отдельных пятен в плоскости контакта 100
3.3. Нахождение положения особых точек модуля плотности тока 109
3.4. Построение разбиения на трубки тока отдельных пятен в объёме проводников 110
3.4.1. Случай полупространств 110
3.4.2. Случай проводников конечного сечения 112
3.5. Выводы 113
Глава 4, Применение разбиения контактирующих проводников на трубки тока к изучению процессов в многоточечных контактах 114
4.1. Обобщение модели Хольма-Буша на случай многоточечных контактов 114
4.2. Расчёт переходного процесса коммутации тока с одного контактного пятна на другое при размыкании сильноточных контактов 120
4.3. Развитие методик определения ресурса контактных соединений 127
4.4. Выводы 128
Заключение 129
Список литературы 131
Приложение 142
- Неточности при рассмотрении электротепловых процессов в контактах
- Задача математического программирования для токов пятен
- Совокупность трубок тока отдельных пятен как обобщённое разбиение Вороного
- Расчёт переходного процесса коммутации тока с одного контактного пятна на другое при размыкании сильноточных контактов
Введение к работе
Актуальность темы работы. Математическое моделирование физических
и технологических процессов в настоящее время приобретает решающее значение в связи со значительным повышением быстродействия компьютеров и снижением их стоимости. Одновременно математические модели рассматриваемых процессов усложняются и приобретают новые черты. Модели всё более структурированы вслед за многокомпонентными, зачастую иерархическими, системами, которые они описывают и в которых проявляются процессы взаимовлияния компонентов. Модели с «непрерывным» математическим аппаратом не всегда могут описать особенности системы или процесса, поэтому современные модели в той или иной степени дискретны. Сложность моделей вслед за сложностью процессов также может быть обусловлена топологией источников полей, в том числе их относительным расположением и большим количеством.
Все отмеченные особенности в полной мере возникают при исследовании процессов электро- и теплопереноса в электрических контактах. Во-первых, контакт двух поверхностей принципиально дискретен. Наличие нескольких уровней отклонения реальной поверхности от идеальной приводит к иерархии размеров контактных пятен и группировке пятен на вершинах отдельных элементов поверхности. Во-вторых, процессы в электрических контактах сопровождаются взаимосвязанными изменениями электромагнитных, тепловых и механических полей, геометрии и топологии системы (изменением числа и размеров пятен), фазовыми переходами (плавлением и испарением материала в пятнах), химическими процессами (образованием плёнок различной природы). При этом связи между процессами обусловлены, в первую очередь, температурными зависимостями характеристик системы.
Возможности экспериментальных методов при изучении процессов в контактах ограничены, а наиболее результативным методом исследования является математическое моделирование. Для решения проблемы контактных явлений необходимо создание и исследование математических моделей, принципиальными элементами которых являются многоточечность контакта и взаимовлияние пятен.
В настоящее время при моделировании многоточечных контактов используются два подхода - исследование краевых задач для процессов переноса и исследование схем замещения контакта. Краевые задачи для процессов переноса в многоточечных контактах можно классифицировать как задачи со многими случайно расположенными источниками поля. Аналитическое решение, построенное для многоточечного контакта, универсально в смысле произвольного расположения источников и применимо к ана-
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ
' БИБЛИОТЕКА
логичным задачам электроразведки1, селективной диффузии примеси через многооконную защитную маску при производстве полупроводниковых приборов2, использования полупроницаемых мембран3. Для развития этого направления исследований представляется целесообразным поиск новых аналитических решений, учитывающих температурные зависимости максимального количества факторов, и корректный учёт физических эффектов более высокого порядка, например, термоэлектрических эффектов.
При исследовании схем замещения многоточечного контакта возникают проблемы выбора элементов схем и определения параметров (сопротивлений и индуктивностей) элементов и всей схемы. Традиционно строят последовательно-параллельное соединение областей стягивания тока и плёнок в отдельных пятнах, параметры которых берутся одинаковыми. Для сопротивления и индуктивности всей схемы это означает усреднение параметров элементов по числу пятен. Понятно, что такой подход грубый и для более точного определения параметров схемы необходима информация о геометрической структуре контакта. В настоящей работе предлагается в качестве элемента схемы принять срачу всю трубку тока отдельного пятна. Сопротивления и индуктивности являются функционалами интегрального типа от пространственных распределений электромагнитных и тепловых полей, поэтому для их нахождения необходимо определить как области интегрирования, так и подынтегральные функции. Таким образом, встают проблемы построения разбиения пространства контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен, и, опять же, решения краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является моделирование процессов электро- и теплопереноса в замкнутых электрических контактах с учётом их многоточечности и взаимовлияния пятен контакта друг на друга. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Построить и исследовать новое точное решение краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса в многоточечном замкнутом контакте, пятна которого покрыты плёнкой, с учётом термоэлектрических эффектов.
Разработать алгоритм разбиения пространства контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен и определения геометрических и электрических параметров этих трубок.
1 Жданов М. С. Электроразведка. —М.: Недра, 1986.
2 Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. - М.: Высшая школа,
2001.
3 Батаронов Л. И., Хрипунов К. Г., Шалимов Ю. П., Шунин Г. Е. Моделирование усреднённого гранич
ного условия на полупроницаемой мембране // Материалы III международного семинара «Компьютерное
моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах». -
Воронеж, ВГТУ, 2004. С. 158-160.
3. Исследовать процессы электро- и теплопереноса в многоточечном контакте в условиях изменения параметров трубок тока пятен. Методы исследования. Методологическую базу исследования составили фундаментальные работы Г. Ф. Вороного4 и Н. Б. Делоне5 по построению разбиений плоскости и пространства; А. Я. Сочнева6 по определению напряжённости векторного поля и теории особых точек поля; Р. Хольма7, Е. И. Кима, В. Т. Омельченко, С. Н. Харина8 и С. А. Некрасова9 по исследованиям электрических и тепловых полей при различных режимах работы контактов. В диссертационной работе непосредственное применение нашли методы математической физики, векторного анализа, линейной алгебры, вычислительной геометрии, электродинамики, теории теплопроводности, физической кинетики, теории упругости и пластичности и теоретической электротехники. Научная новизна.
Показано, что при исследовании процессов переноса в сильноточных многоточечных контактах нельзя пренебрегать термоэлектрическими эффектами и их необходимо учитывать, как и при рассмотрении слаботочных контактов.
Впервые построено точное решение краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом контакте двух проводников в виде полупространств с одновременным учётом термоэлектрических эффектов, многоточечности контакта и присутствия плёнок окисления на пятнах контакта.
Впервые математический аппарат разбиения Вороного-Делоне применён к изучению процессов в многоточечных контактах. Построено разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен контакта. Показано, что границы пар трубок тока определяются электрическими полями соответствующих пар пятен и приближённо описываются частями гиперболоидов. Вследствие малой дисперсии параметров пятен гиперболоиды почти вырождены и близки к плоскостям, а разбиение электродов на трубки тока в плоскости контакта близко к классическому разбиению Вороного для центров пятен.
Модель Хольма-Буша стягивания тока в проводниках конечного сечения обобщена на случай многоточечного контакта. Показано, что по-
4 Вороной Г. Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собрание сочинений. — Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т. 2. С. 239-368. "Делоне Н. Б. О пустоте сферы // Известия АН СССР. ОМЕН. 1934.4. С. 793-800.
6 Сочнев А. Я. Расчет напряженности поля прямым методом. -Л.: Энергоатомиздат, 1984.
7 Хольм Р. Электрические контакты. - М.: ИЛ, 1961.
8 Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Математические модели тепловых процессов в электриче
ских контактах. - Алма-Ата: Наука, 1977.
9 Некрасов С. А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в комму
тационной и электроразрядной аппаратуре // Диссертация на соискание учёной степени кандидата техни
ческих наук.-Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1992.
строенная модель может быть применена к исследованию процессов в контактах при изменяющейся геометрии пятен. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический
характер. Можно отметить следующие приложения результатов работы:
С помощью физических аналогий метод решения и исследования краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса может быть применён к другим «многоточечным» задачам - например, к электроразведке с помощью многих электродов или к расчёту диффузии сквозь многооконный шаблон при производстве полупроводниковых приборов.
Построенное решение краевой задачи может быть использовано при разработке и усовершенствовании методик исследования кинетических свойств проводников при высоких температурах.
Алгоритм разбиения электродов на трубки тока пятен может быть применён для приближённого определения особых точек и сепаратрис физических полей, полученных суперпозицией от многих источников.
Разработанный алгоритм определения параметров трубок тока может быть использован при составлении и исследовании схем замещения контактных узлов.
На основе результатов исследования возможно усовершенствование существующих методик прогноза срока службы контактных соединений.
Созданные модели и алгоритмы могут быть использованы при разработке и конструировании контактных систем новых автоматических выключателей низкого напряжения.
Положения, выносимые на защиту.
Новое точное решение краевой задачи для стационарной системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом многоточечном контакте проводников в виде полупространств, учитывающее термоэлектрические эффекты и наличие плёнок окисления в пятнах контакта.
Пятна многоточечного контакта неэквипотенциальны, а пространственное распределение плотности тока в отдельном пятне зависит от геометрии всех пятен.
Метод определения токов пятен по минимизации функционала энергии, выделяющейся в контактной системе, который сводится к квадратичной форме токов пятен.
Новый приближённый метод разбиения пространства электродов на трубки тока отдельных пятен, основанный на разбиении Вороного-Делоне.
Обобщение модели Хольма-Буша стягивания тока для случая многоточечного контакта.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
45' IEEE Holm Conference on Electrical Contacts (Pittsburgh, USA, 1999);
7-й международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (Москва, 2000 г.);
3-й международной объединённой конференции «Математическое моделирование физических, экономических и социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2000 г.);
3-м всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем-00 (МНС-2000)» (Красноярск, 2000 г.);
4-й международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.);
международной конференции «Электрические контакты (ЭК-2002)» (Санкт-Петербург, 2002 г.);
5-й международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003 г.);
международной конференции «Электрические контакты и электроды (ЭК-2003)» (Кацивели, Украина, 2003 г.);
10-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-10 (Москва, 2004 г.);
3-м международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2004 г.);
научных семинарах кафедры теоретической и математической физики Ульяновского государственного университета, кафедры физики Тверского государственного технического университета.
Результаты диссертации использовались также при написании отчёта о НИР по теме «Исследования процессов гашения электрической дуги большой мощности в автоматических выключателях» (ЗАО «Контактор», Ульяновск) и при руководстве дипломными работами по электроприводу и автоматизации промышленных установок и технических комплексов. Личный вклад автора. Сведение системы уравнений электро- и теплопе-реноса к уравнению Лапласа и построение нового решения уравнения Лапласа проведены совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н., профессором В. М. Журавлёвым; разработка теоретических положений, построение моделей и методов их исследования, постановка задач, проведение аналитических и численных расчётов, анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, прямыми вычислениями для кон-
кретных конфигураций пятен, а также сравнением полученных результатов с результатами для других моделей, известных из литературы. Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 работах. Из них 2 - статьи, 2 - опубликованы в трудах конференций, 10 — в тезисах докладов конференций и семинаров.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, двух приложений, списка литературы из 108 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, изложена на 149 страницах печатного текста, включает 46 рисунков.
Неточности при рассмотрении электротепловых процессов в контактах
Проблема нахождения электрического и теплового поля контактов важна и её пытались решать разными способами и в разных постановках. Но обычно постановки этих краевых задач неадекватны реальной ситуации.
Во-первых, нам представляется, что при постановке краевых задач необходимо более строго подходить к постановке граничных условий. Граничные условия зачастую навязываются без должного обоснования или ставятся по аналогии, то есть берутся из ранее решённых задач. Также встречаются ситуации, когда граничное условие определённого физического смысла заменяется другим условием. Хотя при этом может получиться близкое к верному решение, методически такой подход некорректен.
Например, Хольм [1.1] пишет, что эквипотенциальность пятна равносильна равномерности плотности тока в нём. Это неверно, так как одно пятно может быть эквипотенциальным, но при этом плотность тока в нём неравномерна [1.1; 1.20]: где jn - нормальная к площадке пятна компонента плотности тока, I - сила тока, R - радиус пятна контакта, г - расстояние от точки наблюдения в плоскости контакта до центра пятна.
Подобные «упрощения» встречаются также в [1.23; 1.24; 1.41], причём в [1.41] они возведены в ранг рекомендаций.
Во-вторых, стационарные электрические и температурные поля в замкнутых контактах с учётом термоэлектрических эффектов описываются системой дифференциальных уравнений, выражающей законы непрерывности тока и теплового потока [L52; 1.53]:
Здесь j - плотность тока, q - плотность теплового потока, f — электрический потенциал, Т - температура, а(Т) — электропроводность, Л(7) -теплопроводность, [л(Т) - уровень Ферми (химический потенциал), (р іл(Т)!е — электрохимический потенциал, а(т) - абсолютная дифференциальная термоэлектродвижущая сила (коэффициент Зеебека), Щ7) - коэффициент Пельтье, т(7) - коэффициент Томсона. Существующие постановки краевых задач с учётом термоэлектрических эффектов (эффекта Томсона) [1.20] имеют тот недостаток, что слагаемое, связанное с градиентом температуры, в уравнении непрерывности потока энергии Vq = 0 учитывается, а в уравнении непрерывности тока Vj = 0 - нет. Кроме того, что дополнительное слагаемое может изменить картину линий тока, его учёт должен проводиться одновременно во всех уравнениях, независимо от соотношения по модулю с остальными слагаемыми. В-третьих, ставятся и рассматриваются «симметричные» краевые задачи, то есть решение ищется в полупространстве, ставятся граничные условия определённого вида (например, d.../5z=0) и т. п. В общем же случае было показано [1.20], что даже в случае электродов из одного металла есть тепловая асимметрия задачи. Если одну среду отбросить, то для другой пятна будут источниками или стоками тока. В общем случае этого делать нельзя (например, из-за отсутствия симметрии), поэтому необходимо решать самосогласованную задачу сразу для двух сред. В-четвёртых, вследствие учёта структуры контакта, то есть его многоточечное, аргументация о малом влиянии термоэлектрических эффектов при больших токах может быть пересмотрена. В литературе по теории электрических контактов распространено мнение, что термоэлектрические эффекты в контактах, обусловленные градиентами температуры, существенно проявляются на фоне джоулева тепловыделения только при малых токах и поэтому при расчётах процессов в сильноточных контактах их влиянием пренебрегают. Например, Ким, Омельченко, Харин пишут [1.20]: «Следует иметь в виду, что рассматриваемые термоэлектрические эффекты могут существенно влиять на нагрев области стягивания лишь в случае слаботочных контактов (/ 10 А), когда из-за малых контактных нажатий радиус токопроводящей площадки мал (/--10" см)». Подразумевается, что джоулево тепловыделение зависит от плотности тока квадратичным образом, а термоэлектрические эффекты - линейно. Это совершенно справедливо для одноточечных контактов, для которых это приближение обычно и рассматривается, но в случае многоточечных контактов к этому вопросу, на наш взгляд, нужно подходить осторожно. Дело в том, что при сильных токах для предотвращения электродинамического отброса контактов, увеличивают контактное нажатие, что ведёт к увеличению числа пятен N. Общий ток / перераспределяется между пятнами и отношение мощности qj джоулевых потерь к, например, мощности qTh томсоновских потерь становится меньше в N раз по сравнению со случаем одного пятна с током / (индекс 1 относится к одному пятну): Теперь покажем, что в случае сильноточного контакта плотность токарі в отдельном пятне мало отличается от плотности тока в пятне слаботочного контакта. Известно [1.15; 1.16], что при увеличении нажатия площадь контакта увеличивается за счёт вовлечения в контакт новых пятен, дисперсия размеров которых мала. Размеры пятен слаботочного и сильноточного контактов меняются слабо (1-10 мкм), поэтому плотность тока jj вблизи одного пятна слабо зависит от площади пятна S\. Увеличение же силы тока / компенсируется увеличением числа пятен N. Другими словами, ток 1: —, приходящийся на одно пятно, слабо меняется. Покажем это на численном примере. Общий номинальный ток или ток перегрузки / в каждом полюсе выключателя распределяется между: 1. JVi контактными элементами (ламелями, мостиками и т. п.) в полюсе аппарата (iVi=2-30); Подобная мера повышения надёжности контакта (дробление на несколько контактирующих участков, продольный разрез) описана в [1.17].
Задача математического программирования для токов пятен
В работах Некрасова [2.4] присутствует следующий недостаток. При оптимизации сопротивления стягивания после вывода некоторых вспомогательных интегралов для пятен различных радиусов дальнейшее рассмотрение задачи проводится при среднем радиусе пятна. Вследствие этого процедура определения токов при оптимизации даёт сбои - при решении системы линейных алгебраических уравнений токи пятен получаются как действительными, так и комплексными. Наш подход свободен от этого недостатка — все токи являются вещественными величинами.
Учёт структуры электрического контакта, а именно его многоточечное;, открывает для исследователя интересную проблему о связях между пятнами контакта и взаимовлиянии пятен друг на друга. Рассмотрим системы линий тока и эквипотенциален в различных моделях контакта.
Одноточечный контакт обладает одним пятном и, соответственно, одной трубкой тока, которая связывает в системе области ввода и вывода тока. Будем называть такие трубки незамкнутыми (они, конечно же, замыкаются через внешнюю цепь, но для нас эти части трубок вместе с внешней цепью лежат за пределами системы). Существующие современные модели представляют многоточечный контакт как параллельное соединение незамкнутых трубок тока, проходящих через эквипотенциальные пятна. Но рассмотрение многоточечного контакта не исключает и второй возможности, которую мы сформулируем в виде гипотезы.
Гипотеза о существовании замкнутых трубок тока. Наряду с незамкнутыми трубками тока, каждая из которых проходит ровно через одно пятно и связывает в системе области ввода и вывода тока, существуют замкнутые трубки тока, связывающие пары пятен контакта.
Действительно, многие авторы выдвигали предположения о взаимовлиянии пятен друг на друга, например, в повышении потенциала пятна соседними пятнами. Мы тоже могли наблюдать подобную картину на рис. 2.3, 2.7. Но идея построения в плоскости контакта графа неких связей, например, «электрических» (линий или трубок тока), в литературе не встречалась, хотя она возникает естественным путём при увеличении числа пятен.
Сразу же оговоримся, что проблема доказательства или опровержения выдвинутой гипотезы ждёт своего исследователя. Мы же приведём некоторые доводы в её пользу и соображения об условиях возникновения замкнутых трубок и путях математического исследования гипотезы.
Доводы в пользу возникновения замкнутых трубок тока. Во-первых, нам представляется, что главной причиной возникновения замкнутых трубок тока являются термоэлектрические эффекты вследствие неравномерного распределения температуры. Так как в общем случае пятна контакта находятся при разных температурах, то между ними возникают термо-ЭДС (эффект Зеебека), которые могут быть достаточными для протекания тока. В общем же условия возникновения вихревых термоэлектрических токов весьма разнообразны [2.17], среди них отмечается и неоднородность материала [2.18; 2.19].
Во-вторых, многоточечный контакт аналогичен микросхеме с повышающейся плотностью упаковки элементов. В [2.20; 2,21] отмечается, что в таких условиях значительны и должны учитываться токи утечки вдоль поверхности.
В-третьих, существует теория пятен, развитая Ленгмюром [2.22]. Известен ряд задач, в которых исследовалась зависимость характеристик электронной эмиссии различных типов от пятнистой структуры поверхности [2.22-2.24]. На рис. 2.11 схематично представлены силы, действующие на электроны, вблизи пятен с различающимися работами выхода рт[п и ртах. Общее поле складывается из внешнего, приложенного к электродам поля и приповерхностного поля пятен (поля контактной разности потенциалов). При этом в зависимости от соотношения напряжённостей этих полей при термоэлектронной эмиссии из пятнистого катода происходит смена режима без насыщения на режим с насыщением [2.22-2.24], то есть линии тока термоэлектронов не замыкаются на катод, на соседние пятна с другой работой выхода, а замыкаются на анод.
В-четвёртых, в работах Д. В. Подольского [2.25] показано, что в зависимости от значений напряжения, тока и удельного сопротивления плазмы дугового разряда между параллельными электродами линии тока дуги разрываются и замыкаются на «свой» электрод. По терминологии
Рис. 2.11 [2.22]. Силы, действующие на электроны, вблизи пятен с различающимися работами выхода pmin и ртах. Общее поле складывается из внешнего, приложенного к электродам поля и приповерхностного поля пятен (поля контактной разности потенциалов). Поле контактной разности потенциалов существенно на расстоянии от катода порядка /} где I - среднее расстояние между пятнами работы выхода.
Совокупность трубок тока отдельных пятен как обобщённое разбиение Вороного
Доводом в пользу приближённого описания границ трубок тока гиперболоидами вращения нам послужат два факта. Во-первых, граница трубки тока есть огибающая линий тока, а в эллиптической модели единственного пятна [3.7; 3.8] линии тока являются гиперболами. Особенно близость гиперболоидальной огибающей и линий тока-гипербол проявляется на бесконечности, когда и линии тока, и граница трубки тока (3.9) стремятся к своим асимптотам - прямым и конусу вращения. Во-вторых, мы можем применить разбиение Вороного-Медведева для шаров разных радиусов, потому что в сферической модели пятна [3.7] плоский объект (пятно) заменяется сферой бесконечной проводимости. Теперь, подобно тому, как в параграфе 3.2 продолжение контуров Аф, А\М внутрь пятен было несущественно вследствие эквипотенциальности пятна, расстояние до пятна эквивалентно расстоянию до поверхности заменяющей его эквипотенциальной сферы.
Отмеченное в параграфе 3.2 вырождение гипербол в прямые сохраняется и в пространстве - гиперболоиды близки к вырождению и поэтому могут быть заменены некоторыми плоскостями, а разбиение объёма проводников на трубки тока пятен близко к разбиению Вороного на многогранники для центров пятен. Поскольку все центры пятен лежат в одной плоскости 2=0, то все плоскости Вороного перпендикулярны этой плоскости. Из этого факта вытекает следующее: вследствие того, что границы трубок тока при подходе из объёма проводника нормальны плоскости z=0j и вследствие малой кривизны границ трубок тока контактные пятна лежат внутри проекций своих трубок тока на плоскость контакта.
В любой плоскости, параллельной плоскости контакта, трубки тока внутренних пятен группового пятна имеют конечное сечение, а периферийных пятен - бесконечное. Следовательно, внутренние пятна имеют короткое стягивание, а периферийные - длинное.
Этот случай необходимо рассмотреть для обобщения модели Хольма-Буша (см. ниже) и доведения конкретных расчётных методик параметров контактов до численных результатов.
В случае контакта проводников конечных размеров необходимо учесть искривление трубок тока вблизи границ проводников. Сделаем это при помощи метода зеркальных отображений. Построим требуемую процедуру на примере контакта проводников прямоугольного сечения.
Отобразим все пятна относительно четырёх граней проводников. Припишем пятнам-отражениям токи тех же знаков, что и в исходных пятнах. Общее распределение потенциала найдём как сумму полей всех пятен для случая проводников бесконечного сечения (полупространств).
В силу зеркального метода построения системы пятен границы трубок тока совпадут с границами проводников. Мы видим, что граница двух трубок тока определяется параметрами их пятен. Поэтому конфигурация трубки тока, прилегающей к внешней границе проводника, будет определяться параметрами ближайшего к границе пятна (и его же зеркального отражения). А именно, она будет пересечением трубки тока для случая полубесконечных проводников с сечением самого проводника. Вывод о принадлежности граничных пятен проекциям своих трубок тока на плоскость z=0 остаётся в силе, так как все пятна лежат внутри сечения проводника. Этот факт послужит нам основой для построения обобщённой модели Хольма-Бушав случае многоточечных контактов (параграф 4.1).
Для простоты мы рассматриваем случай проводников прямоугольного сечения. В случае проводников многоугольного (и-угольного, п 4) сечения количество отражённых пятен и членов функционального ряда увеличивается, а в случае круглого сечения — стремится к бесконечности.
1. На основе метода Вороного-Делоне построено разбиение пространства электродов на трубки тока отдельных пятен. Разбиение электродов на трубки тока может быть заменено разбиением Вороного на многогранники для центров пятен.
2. Показано, что границы трубок тока приближённо описываются в плоскости контакта кусками гипербол, а в объёме проводников — кусками гиперболоидов.
3. Вследствие малой дисперсии параметров пятен гиперболы и гиперболоиды вырождаются в прямые и плоскости. Вырождение больше для внутренних пятен группового пятна, чем для лежащих на периферии, что связано с характером стягивания тока вблизи этих пятен. Вследствие вырождения гиперболоидов пятна лежат внутри проекций своих трубок тока на плоскость контакта.
4. Показано применение разбиения на трубки тока для нахождения особых точек электрического поля. Информация о них требуется, например, в прямом методе определения напряжённости поля Сочнева.
Расчёт переходного процесса коммутации тока с одного контактного пятна на другое при размыкании сильноточных контактов
Как отмечалось выше, общее применение разбиения Вороного и модели Хольма-Буша интересно в нестационарных задачах. Одной из таких задач, является моделирование размыкания многоточечного контакта при отключении тока короткого замыкания. При размыкании электрических контактов на стадии металлического и жидкометаллического контакта происходит последовательное уменьшение числа контактных площадок и перераспределение тока между остающимися площадками. Задача становится нестационарной, а при больших скоростях нарастания тока процессы принимают взрывной характер. Задача с одним пятном уменьшающегося размера рассмотрена, например, в [4.4]. Подобная задача для двух пятен с перераспределяющимися токами рассмотрена в [4.5], на основе которой мы и поясним метод. Необходимо построить и исследовать схему замещения многоточечного контакта с изменяющимися во времени параметрами. В свете результатов главы 3 последовательное размыкание пятен теперь представляется как последовательное исчезновение трубок тока. Будем рассматривать случай двух контактных площадок, соответствующий линейному самоустанавливающемуся контакту после большого числа отключений, и переходный процесс коммутации тока с одной площадки на другую. Работа сводится к определению: 1. времени снятия упругой деформации материала в пятнах; 2. зависимостей токов в пятнах и напряжения на контакте от времени; 3. температур и фазового состояния материала в пятнах. По фазовому состоянию материала в пятне, теряющем сцепление, делается вывод о возможности вытягивания жидкого мостика из расплавленного пятна. Ниже представлены характеристики модели и схема их расчётов. 1. Рассматриваем линейный самоустанавливающийся контакт с двумя контактными площадками. Контакты прямоугольного сечения состоят из одного материала. 2.
Выбираем модель выступов поверхности, имитирующих пятна, например цилиндры (стержневая модель контакта) или сферы (сферическая модель). Допускаем, что деформация выступов упругая (возможно - одна площадка деформирована упруго, другая пластически). По закону сохранения энергии рассчитываем время снятия упругой деформации в меньшем из пятен. 3. По временной зависимости скорости размыкания контактов определяем зависимости межконтактного зазора и размеров пятен от времени. Задаём также закон нарастания тока /(/) при коротком замыкании. 4. Строим схему замещения контакта и определяем её параметры (сопротивления и индуктивности) в зависимости от геометрических параметров контакта и от времени. Сводим уравнения Кирхгофа к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно тока в одном из пятен. Решение даёт зависимости токов в пятнах и напряжения на контакте от времени. 5. Оцениваем температуру пятен в момент потери контакта меньшим пятном и определяем фазовое состояние материала. Делаем выводы о числе мостиков и характере контактирования (твёрдое или по расплаву) для дальнейшего численного решения задачи электро- и теплопроводности в размыкающихся контактах. Механически наша система может быть описана в терминах задачи Герца [4.6]. Герц нашел (рис. 4.5), что для упругого контакта двух поверхностей с радиусами кривизны R, R1 потенциальная энергия деформации U, усилие F, вызывающее сближение деформируемых тел h, и радиус а пятна контакта равны соответственно: Будем рассматривать две пары сферических неровностей разных радиусов. Это означает, что размыкание пар неровностей происходит неодновременно, и при снятии упругой деформации в меньшем из пятен, произойдёт сброс тока на остающееся пятно. Динамика сближения h в нашем случае описывается уравнением где // = —з—2— - приведённая масса контактов, hi - деформация z -й пары неровностей, Ф(х) - единичная функция Хевисайда, v - относительная скорость контактов после отброса.
С другой стороны будем рассматривать переходный процесс перераспределения тока в некоторой схеме, замещения, представляющей собой параллельное соединение двух ветвей-трубок тока (рис. 4.5). Каждой трубке припишем два параметра - сопротивление Rj и индуктивность Д-, которые определим по параграфу 4.1, Записываем уравнения Кирхгофа для нашей схемы: где 7Q - полный ток. Третьей частью модели является уравнение теплопроводности, которое для модели со сферой бесконечной проводимости и теплопроводности имеет вид: Примеры результатов счёта представлены на рис. 4.6-4.10. Как видим, ток постепенно переходит на большее пятно, а напряжение на контакте (параллельном соединении пятен) растёт. В момент, близкий к моменту полного размыкания первой пары неровностей, напряжение испытывает скачок. Интерес представляет рис. 4.9. На нём представлено изменение со временем доли тока в меньшем пятне. График имеет сглаженный максимум, то есть в течение размыкания неровности, несмотря на то, что радиус пятна уменьшается, меньшее пятно оттягивает на себя ещё какую-то долю тока. Построенная методика позволяет оценивать поведение контактной системы при размыкании и строить временнь/е зависимости механических (деформации, потенциальная энергия, усилия в пятнах), электрических (токи пятен, сопротивления, индуктивности трубок тока, напряжение на контакте), тепловых (температура пятен, фазовое состояние материала) величин.
