Введение к работе
Актуальность темы. Решение многих задач современной инженерной практики связано с исследованием и прогнозированием теплового состояния конструкций и разработкой методов их тепловой защиты.
В рамках указанных направлений можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и характерного времени процесса теплопереноса или работы устройства таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему тепловому воздействию, можно пренебречь. Это значит, что толщина теплового слоя мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае твёрдое тело можно моделировать полуограниченной областью, что позволяет получить более простые, наглядные и удобные с точки зрения практического использования аналитические представления решений задач теплопроводности.
При изучении реальных процессов теплопереноса методами математического моделирования полезно иметь аналитические или приближённые аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации.
Поэтому в математической теории теплопроводности классической является задача определения температурного поля в полуограниченном твёрдом теле, на поверхности которого реализуется теплообмен с внешней средой (граничное условие третьего рода). Трудности, возникающие при решении подобных задач, ещё более усугубляются в случае необходимости учёта влияния разного рода механических или физико-химических процессов, ассоциируемых, например, с процессами горения, эрозии, износа, и имеющих место на границе твёрдого тела, что может приводить к временному изменению коэффициента теплоотдачи, в том числе импульсному или импульсно-периодическому.
Решение многих практически важных задач связано не только с необходимостью исследования и учёта влияния теплового воздействия на конструкцию или техническое устройство, но и с необходимостью разработки методов их тепловой защиты, которая заключается в нанесении на основную конструкцию одного или нескольких слоёв теплоизоляционных материалов, служащих для снижения кондуктивного, конвективного и радиационного теплообменов на ней. Заметим, что наименее изученными в этом отношении являются неидеально контактные краевые задачи, в которых на контактной поверхности присутствует граничное условие специфического вида, обусловленное, например, зазором, наличием термического сопротивления, теплообмена по закону Ньютона или тепловыделения, что приводит к более сложным аналитическим представлениям решения.
Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования состоит в получении аналитических представлений решений для класса контактных задач теплопроводности для системы «полуограниченное тело — покрытие» с учётом различных видов контактного теплообмена, а также использовании данных решений для математического моделирования теплопереноса в изучаемых системах.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:
-
Получение аналитического представления решения смешанной задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с покрытием для обобщённого условия неидеального теплового контакта и проверка корректности решения в сравнении с известными частными и предельными случаями.
-
Построение обобщённого интегрального преобразования по пространственному переменному для получения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим однослойным покрытием, в случае нестационарных условий теплообмена с внешней средой и при наличии неидеального теплового контакта.
-
Применение подхода обобщённого граничного условия и разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полуограниченном теле с покрытием (для декартовой системы координат и осевой симметрии). Определение области возможного применения каждой из моделей.
-
Построение сингулярного интегрального преобразования для нахождения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом при наличии многослойного покрытия и неидеального контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие — твёрдое тело».
-
Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемых системах с целью установления их характерных особенностей в зависимости от вида теплового контакта.
-
Проведение вычислительных экспериментов для проверки адекватности математических моделей и решений на примере расчётов температурных полей в конструкциях.
Объектом исследования являются тепловые процессы и математические модели теплопереноса в технических системах и многослойных конструкциях.
Предметом исследования являются методы математического моделирования на основе аналитических и численных алгоритмов решения технических задач, формализуемых начально-краевыми задачами математической физики, а также закономерности изменения температур в изучаемых системах.
Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационного исследования, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводности; методы интегральных преобразований и теории функций комплексного переменного; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и линейных дифференциальных операторов; методы математического, функционального и матричного анализа; численные методы интегрирования и решения краевых задач.
Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путём их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.
Научная новизна. Получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.
Предложена математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае условий неидеального теплового контакта.
Построено сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному, с помощью которого получено решение задачи о нахождении температурного поля в неограниченном теле, содержащем цилиндрический канал с покрытием, при условии неидеального теплового контакта; проведён параметрический анализ изучаемого процесса.
Получено обобщённое граничное условие для задачи нестационарной теплопроводности в системе «полупространство — слой», которое позволило упростить исходную математическую модель, и с использованием интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решение упрощенной задачи.
Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивным покрытием, в условиях теплообмена по закону Ньютона. В аналитически замкнутом виде найдены решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их помощью определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы.
С помощью построенного сингулярного интегрального преобразования, в аналитически замкнутом виде получено решение класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием, в случае неидеального теплового контакта как в системе «покрытие — твёрдое тело», так и между слоями покрытия, при нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.
Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании температурного состояния многослойных конструкций и при разработке эффективных методов теплозащиты в различных областях техники.
На защиту выносятся следующие положения:
-
-
Аналитически замкнутое представление решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «полупространство — покрытие» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.
-
Математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, при условиях неидеального теплового контакта. Обобщённое интегральное преобразование по пространственному переменному и основанный на нём аналитический метод решения указанного класса задач.
-
Аналитически замкнутое решение задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с обобщённым граничным условием.
-
Иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля твёрдого изотропного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, и аналитические представления решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности.
-
Математическая модель и соответствующее ей обобщённое интегральное преобразование для решения задачи теплопроводности в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, заполненным высокотемпературным газом и обладающим многослойным покрытием, при нестационарных режимах теплообмена в изучаемой системе и неидеальном тепловом контакте как между слоями покрытия, так и в системе «тело — покрытие».
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на XV-й (Калуга, 2005) и XVI-й (Санкт-Петербург, 2007) Школах-семинарах молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева, Международном симпозиуме «Образование через науку» (Москва, 2005), 4-й Российской национальной конференции по тепло- и массообмену (Москва, 2006), 6-м Международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 07, Цюрих, 2007), 6-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Беларусь, 2008), 17-й Международной конферен
ции по математической физике (ICMP, Прага, 2009), 4-м Международном конгрессе по трибологии (WTC, Киото, 2009).Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 21 работа: 1 монография [19]; 12 научных статей [1-3, 5-7, 9, 11, 14, 17, 20, 21], в том числе 8 статей из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий; 8 тезисов докладов [4, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 18].
Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в настоящей работе, получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 116 страницах, содержит 16 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 155 наименований.
Похожие диссертации на Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта
-
