Введение к работе
Актуальность темы. Актуальность темы работы определяется широким применением резин и резиноподобных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и возможное разрушение элементов конструкций, изготовленных из этих материалов (резинометаллические амортизаторы, шины и др.), с использованием методов математического моделирования. Такие элементы конструкций обычно эксплуатируются в условиях многократного деформирования, при этом деформации в них не малы (например, деформации в шинах достигают 50%).1 При таких деформациях существенное влияние на НДС оказывают эффекты геометрической и физической нелинейности. Зависимость долговечности высокоэластичных материалов от напряжений является нелинейной. Например, при изменении напряжений на 30-40% долговечность может измениться в несколько раз. Поэтому важно с максимально возможной точностью учесть нелинейные эффекты при математическом моделировании НДС изделий из таких материалов.
В процессе деформирования и разрушения резиноподобных материалов и композитов на их основе микроструктура этих материалов может существенно меняться.2 Разрушение сопровождается образованием микрополостей. Деформирование резин и других полимеров сопровождается их частичной кристаллизацией. Кристаллизация резин представляет собой фазовый переход первого рода, при котором меняется плотность материала, а также существенно меняются его упругие свойства: жесткость кристаллической фазы на 2-3 порядка превосходит жесткость аморфной фазы. С учетом этого при математическом моделировании НДС резин в процессе их кристаллизации можно рассматривать области, в которых материал находится в кристаллическом состоянии, как жесткие включения. Изменение плотности материала приводит к тому, что размер этих включений меняется в процессе кристаллизации.
Образование микрополостей или жестких включений приводит к перераспределению деформаций и напряжений в материале. Поэтому необходимо при построении моделей, описывающих эти явления, учесть эффекты, связанные с перераспределением конечных деформаций.
При построении математических моделей НДС изделий из резиноподобных материалов эти материалы обычно рассматриваются как нелинейно-упругие или вязкоупругие. Учет вязкоупругих свойств важен в случае, когда
Тамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина, 2002. — № 3. — с. 29-39.
2Бухина М.Ф., Зорина Н.М., Морозов Ю.Л. Частично закристаллизованный эластомер как модель нанокомпозита //' Инженерно-физический журнал, 2005. - Т. 78, № 5. - с. 19-23.
период времени, в течение которого происходит нагружение, сопоставим со временем релаксации. Вязкоупругие процессы сопровождаются переходом части энергии деформации в тепловую энергию, что может быть важно при анализе теплового состояния элементов конструкций. Для моделирования вязкоупругих свойств материала могут быть использованы определяющие соотношения с экспоненциальными или слабосингулярными ядрами; при этом определяющие соотношения со слабосингулярными ядрами позволяют более точно описать механическое поведение резиноподобных материалов.
В связи с вышеизложенным возникает необходимость в решении следующей научной задачи: построение и исследование математических моделей, описывающих НДС в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями и полостями (в том числе и возникающими в процессе нагружения) при конечных деформациях и их перераспределении; разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения для расчета НДС таких тел.
Необходимость в решении такой задачи подтверждается также и тем, что
до настоящего времени не были разработаны приближенные аналитические
методы расчета НДС тел, содержащих жесткие включения для случая
конечных плоских деформаций. Ранее математические модели для описания
НДС нелинейно-упругих и вязкоупругих тел при конечных деформациях были
развиты в работах Дж. Адкинса, А. Грина, А.И. Лурье, Н.Ф. Морозова,
Ф. Мурнагана, В.В. Новожилова, Л.И. Седова, К.Ф. Черных. Теория
наложения больших деформаций была предложена Г.С. Тарасьевым и
обобщена на случай многократного наложения (перераспределения) больших
деформаций В.А. Левиным. Математические модели для описания
механического поведения нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях предложены в работах А. А. Адамова, Ю. А. Гамлицкого, Д.В. Георгиевского, А.А. Ильюшина, М.А. Колтунова, В.А. Левина, А. Лиона, Б.Е. Победри, Ю.Н. Работнова. Физико-механические свойства резин, особенности кристаллизации резин рассмотрены в работах Л. Трелоара, М.Ф. Бухиной. Аналитические и численные методы расчета НДС структурно-неоднородных упругих и вязкоупругих тел развиты в работах В.И. Воровича, В.И. Горбачева, Л.М. Зубова, В.П. Матвеенко. СВ. Шешенина. Методы расчета НДС шин развиты в работах А.Е. Белкина, В.Л. Бидермана, Б.Л. Бухина, О.Н. Мухина. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных тел, содержащих отверстия различной формы, при конечных плоских деформациях и их перераспределении были разработаны К.М. Зингерманом. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного
изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении ранее не были разработаны.
Цель работы: разработка математических моделей, описывающих НДС в бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах, содержащих жесткие включения круговой формы и другие концентраторы напряжений, при конечных плоских деформациях и их перераспределении; разработка методов расчета НДС, алгоритмов и программного обеспечения, реализующих эти методы на основе указанных моделей.
Методы исследований. Построение моделей осуществляется на основе уравнений нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Все задачи решены в основном методом возмущений (метод последовательных приближений). При решении линеаризованных задач применялся метод Колосова-Мусхелишвили; при этом в случае многосвязных областей использовался алгоритм последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.
Положения, выносимые на защиту:
— разработан метод построения математических моделей, описывающих
НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций, на
основе записи уравнений нелинейной теории упругости и вязкоупругости,
в том числе записи граничных условий на контуре жестких включений,
включая модель, описывающую НДС при деформировании предварительно
нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих
тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями, и модель,
описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных
бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми
жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной
формы;
предложены новые формулы для расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями приближенными аналитическими методами решения краевых задач;
в программный комплекс для расчета НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций были добавлены возможности расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями (имеющимися в теле изначально или возникающими после приложения нагрузки); модификация выполнена на основе разработанных приближенных численно-аналитических методов;
—исследованы численные результаты решения задач о концентрации напряжений вблизи круговых жестких включений и отверстий с учетом их взаимовлияния и нелинейных эффектов с применением указанного программного комплекса.
Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с. контролируемой точностью для каждого приближения и точным выполнением граничных условий для каждого приближения; подтверждается совпадением результатов решения линейной задачи упругости с известным аналитическим решением, малым различием между результатами, полученными методами возмущений и Ньютона-Канторовича.
Научная новизна:
разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями, возникающими после цредварительного нагружепия, с учетом изменения размеров включений после образования; ранее такие модели не были построены;
разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями для случая, когда в этих телах после нагружепия образуются полости различной формы; ранее такие модели не были построены;
— впервые предложен способ нахождения решения линеаризованных
задач для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-
Канторовича, удовлетворяющего граничным условиям на контурах жестких
круговых включений.
Теоретическая и практическая значимость
Предлагаемая работа вносит вклад в нелинейную теорию упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения: созданы математические модели для описания НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях; разработаны на основе уже имеющихся подходов приближенные численно-аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения круговой формы (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении; предложен подход, позволяющий для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на контурах жестких круговых включений.
Практическая значимость состоит в решении при конечных плоских
деформациях задачи о НДС вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, для случая, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром, предложенными А.А. Адамовым (использованы четырехпараметрическое ядро М.А. Колтунова и его частный случай - ядро А.Р. Ржаницына); решение этой задачи важно для анализа деформирования и прочности однонаправленных резинокордных композитов с учетом вязкоупругих свойств резиноиодобных материалов.
Разработанная модифицированная версия программного комплекса, реализует алгоритмы решения класса задач о напряженно-деформированном состоянии тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. С использованием модифицированного программного комплекса решены новые задачи о НДС нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях с учетом их перераспределения, вызванного изменением размеров включения или образованием полостей вблизи него; решение этих задач важно при прочностном анализе резиноиодобных материалов в процессе их кристаллизации и при моделировании возможного разрушения однонаправленных волокнистых композитов с высокоэластичной матрицей.
Проведен анализ НДС бесконечно протяженных тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, для случая конечных плоских деформаций; исследованы нелинейные эффекты, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений и отверстий; эти эффекты существенны при анализе разрушения элементов конструкций из резинокордных композитов.
Полученные результаты и методы могут быть применены для анализа прочности элементов конструкций из резиноподобных материалов и для расчета НДС в изделиях из резины при ее кристаллизации после деформации и в предварительно деформированных однонаправленных волокнистых композитах при возникновении в них дефектов (полостей).
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедр вычислительной математики и математического моделирования Тверского государственного университета, на VI и VII Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005, 2007); на VI международном научном симпозиуме "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела" (Тверь, 2006); на конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2007, 2009, 2010); на
XVIII и XXI Всероссийских Симпозиумах "Проблемы шин и резинокордных
композитов" (Москва, 2007, 2010). Некоторые результаты работы были
включены в монографию.3 Модифицированный программный комплекс
"Наложение", разработанный в ходе выполнения диссертационной работы, был использован при тестировании программного комплекса FIDESYS. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 03-01-00233.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 16 научных работ, в том числе 5 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация содержит 102 страницы, рисунков — 60. Список литературы включает 105 источников.
